午练4 空间角的计算-【优化探究】2025-2026学年新教材高中数学选择性必修第二册同步导学案配套PPT课件（苏教版）

午练4　空间角的计算 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 二、多选题 5．如图，正方体ABCD-A1B1C1D1棱长为2，E，F分别是A1B1，B1C1的中点，则( 　　) A．EF∥平面ABCD B．AF＝3 1 2 3 4 5 6 7 8 9 ABC 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 BD 1 2 3 4 5 6 7 8 9 三、填空题 7．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，G分别是C1D1，D1D的中点，则 直线CE与直线AG所成角的余弦值为________． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 四、解答题 9．在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，PC⊥PD，PC＝PD，O为CD的中点，二面角A-CD-P为直二面角． (1)求证：PB⊥PD； (2)求直线PC与平面PAB所成角的正弦值； (3)求平面POB与平面PAB所成角的余弦值． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 (1)证明：因为PC＝PD，O为CD的中点， 所以PO⊥CD. 又因为平面PCD⊥平面ABCD，平面PCD∩平面ABCD＝CD，PO⊂平面PCD， 所以PO⊥平面ABCD. 因为CD＝2，PC⊥PD，PC＝PD，所以PO＝1. 取AB的中点E，连接OE，则OE⊥CD， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 一、单选题 1．已知两条异面直线的方向向量分别是m＝，n＝，这两条异面直线所成的角为(　　) A．　　　　　　　　　 B． C． D． 解析：设两条异面直线所成的角为θ，且这两条异面直线的方向向量分别是m＝，n＝，则cos θ＝＝＝0，且0<θ≤， 所以两条异面直线所成的角θ＝. 2．在空间直角坐标系中，已知向量m＝是平面ABC的一个法向量，且＝，则直线CD与平面ABC所成角的正弦值是(　　) A． B． C． D． 解析：直线CD与平面ABC所成角的正弦值等于 ＝＝＝. 3．若平面α的一个法向量为n＝(1，1，0)，平面β的一个法向量为m＝(-1，0，1)，则α与β所成角的大小为(　　) A． B． C． D． 解析：∵cos 〈n，m〉＝＝＝-，∴α与β所成角的余弦值为， 又α与β所成角为， ∴α与β所成角的大小为. 4.如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点O为线段BD的中点．设点P在线段CC1上，直线OP与平面A1BD所成的角为α，则cos α的取值范围是(　　) A. B． C． D． 解析：以D为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 设正方体的棱长2，A1(2，0，2)，D(0，0，0)，B(2，2，0)，O(1，1，0)，P(0，2，a)， 则＝(-1，1，a)，a∈[0，2]， 则＝(2，0，2)，＝(2，2，0)， 设平面A1BD的法向量n＝(x，y，z)， 则即令x＝-1， 可得n＝(-1，1，1)， n·＝1＋1＋a＝2＋a，|n|＝，＝ ， cos 〈n，〉＝＝＝， 设直线OP与平面A1BD所成的角为α，α∈， 所以sin α＝|cos 〈n，〉|＝， 所以cos α＝ ＝＝ ＝ ， 设t＝4a＋2∈[2，10]， 则cos α＝ ， 设y＝t＋-，t∈[2，10]， 当t＝时，即t＝6， 则t∈[2，6]时，函数y单调递减，t∈(6，10]时，函数y单调递增， 而t＝2时，y＝3；当t＝6时，y＝； 当t＝10时，y＝， 所以t∈[2，10]时，y∈，所以∈， 进而可得-∈， 所以cos α∈. C．直线AF与平面ADD1A1所成角的正弦值为 D．直线AF与平面ADD1A1所成角的正弦值为 解析：由题意， 在正方体ABCD-A1B1C1D1中，棱长为2，E，F分别是A1B1，B1C1的中点， 建立空间直角坐标系如图所示， A，B，C，D，A1(2，0，2)，B1，C1，D1，E，F， 对于A项，＝， 平面ABCD的一个法向量为n1＝， ∵·n1＝0， ∴EF∥平面ABCD，A正确； 对于B项，AF＝||＝ ＝3，B正确； ∵＝，平面ADD1A1的一个法向量为n2＝， 设直线AF与平面ADD1A1所成角为θ， sin θ＝＝＝， ∴C正确，D错误． 6．已知在二面角α-l-β中，平面α的一个法向量为n1＝，平面β的一个法向量为n2＝，则二面角α-l-β的平面角满足(　　) A．余弦值为 B．正弦值为 C．大小为60° D．大小为30°或150° 解析：设所求二面角的平面角的大小为θ， 则＝＝＝， 所以θ＝30°或150°，故C错误，D正确， 又sin 30°＝sin 150°＝，而cos 30°≠cos 150°≠，故A错误，B正确． 解析：设正方体棱长为2，构建如图所示空间直角坐标系，则A(2，0，0)，C(0，2，0)，E(0，1，2)，G(0，0，1)， 所以＝(0，-1，2)，＝(-2，0，1)， 故·＝2，||＝，||＝， 直线CE与直线AG所成角为θ∈，则cos θ＝＝. 8．已知二面角α-l-β为直二面角，A∈α，B∈β，A∉l，B∉l，且AB与α，β所成的角分别为，，则AB与l所成的角为________． 解析：如图， α⊥β，α∩β＝l，a⊂β，b⊂α，a⊥l，b⊥l，则a，b，l两两垂直． 作AD⊥l，BC⊥l，垂足分别为D，C，连接BD，AC， 则AD⊥β，BC⊥α， 所以∠BAC为AB与α的所成角，∠ABD为AB与β的所成角， 即∠BAC＝，∠ABD＝， 建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz，设AB＝2m， 则BC＝m，AC＝m，AD＝BD＝m，得DC＝＝m， A(m，0，0)，B(0，m，m)，所以＝ (-m，m，m)，取l＝(0，1，0)， 则cos 〈，l〉＝＝＝，又〈，l〉∈， 所以〈，l〉＝，即AB与l所成的角为. 以点O为坐标原点，OD，OE，OP所在直线分别为x，y，z轴，如图建立空间直角坐标系O-xyz， 则O，D，C，B，P，A. ＝，＝， 因为·＝-1＋0＋1＝0， 所以PB⊥PD. (2)解：设平面PAB的一个法向量为m＝， 则即 解得x＝0，令y＝1，则z＝2，则m＝. 设直线PC与平面PAB所成的角为θ， 又＝， 则sin θ＝＝＝ ＝＝， 所以直线PC与平面PAB所成的角的正弦值为. (3)解：设平面POB的一个法向量为n＝， 则即 解得c＝0，令b＝1，则a＝2，故n＝. 设平面POB与平面PAB的夹角为α， 则cos α＝＝＝ ＝＝. 故平面POB与平面PAB所成角的余弦值为. $$