9.3.1 平面向量基本定理-【优化探究】2025-2026学年新教材高中数学必修第二册同步导学案配套PPT课件（苏教版）

9.3　向量基本定理及坐标表示 9.3.1　平面向量基本定理 第9章 平面向量 [学习目标]　1.理解平面向量基本定理及其意义，了解向量基底的含义.　2.掌握平面向量基本定理，会用基底表示平面向量.　3.会应用平面向量基本定理解决有关平面向量的综合问题. [素养目标]　水平一：1.通过具体实例推导出平面向量基本定理.(数学抽象、逻辑推理)　2.理解平面向量基本定理的含义，了解基底的含义.(逻辑推理) 水平二：熟练掌握平面向量基本定理，并能应用它解决相应的问题.(逻辑推理) 已知两个力，可以求出它们的合力；反过来，一个力可以分解为两个力. 我们能否通过作平行四边形，将向量a分解为两个向量，使向量a是这两个向量的和呢？ 探究活动1　平面向量基本定理 内容索引 探究活动2　基底表示向量 探究活动3　平面向量基本定理的应用 备选题库 教师独具 课时作业 巩固提升 4 探究活动1　平面向量基本定理 问题1　如图，光滑斜面上的一个木块受到了哪些力的作用？这些力之间有什么关系？ 提示　该木块受到重力G的作用，产生两个效果，一是木块受平行于斜面的力F1的作用沿斜面下滑；二是木块产生垂直于斜面的压力F2，也就是说，重力G的效果等价于力F1和F2的合力的效果，即G＝F1 ＋F2. 问题2　如图，设e1，e2是同一平面内两个不共线的向量，a是这一平面内与e1，e2都不共线的向量. 请你将向量a分解成图中所给的两个方向上的向量. 提示　＝e1，＝λ1e1，＝e2，＝λ2e2，＝a＝＋＝λ1e1＋λ2e2. 问题3　问题2中的分解方法是否唯一？为什么？ 提示　分解方法唯一.如果a还可以表示成μ1e1＋μ2e2的形式，那么λ1e1＋λ2e2＝μ1e1＋μ2e2，可得(λ1－μ1)e1＋(λ2－μ2)e2＝0，由此式可推出λ1－μ1，λ2－μ2全为0(假设λ1－μ1，λ2－μ2不全为0，不妨假设λ1－μ1≠0，则e1＝－e2.由此可得e1，e2共线，这与e1，e2不共线矛盾)，即λ1＝μ1，λ2＝μ2，因此，分解方法是唯一的. 问题4　如果e1，e2是共线向量，那么向量a能否用e1，e2表示？为 什么？ 提示　不一定，当a与e1共线时可以表示，否则不能表示. 1.平面向量基本定理 如果e1，e2是同一平面内两个________的向量，那么对于这一平面内的______向量a，______________实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2. 2.基底 我们把两个不共线的向量e1，e2叫作这个平面的一组基底. 知识生成 不共线 任一 有且只有一对 3.向量的正交分解 平面内任一向量a可以用一组基底e1，e2表示成a＝λ1e1＋λ2e2的形式，我们称λ1e1＋λ2e2为向量a的______.当e1，e2所在直线互相______时，这种分解也称为向量a的__________. 分解 垂直 正交分解 [例1]　(多选)如果e1，e2是平面α的一组基底，λ，μ是实数，则下列说法正确的是(　　) A.若λ，μ满足λe1＋μe2＝0，则λ＝μ＝0 B.对于平面α内任意一个向量a，使得a＝λe1＋μe2成立的实数λ，μ有无数对 C.线性组合λe1＋μe2可以表示平面α内的所有向量 D.当λ，μ取不同的值时，向量λe1＋μe2可能表示同一向量 知识应用 AC 解析　A正确.若λ≠0，则e1＝－e2， 从而向量e1，e2共线，这与e1，e2不共线相矛盾，所以λ＝0. 同理可说明μ＝0； B不正确.由平面向量基本定理可知λ，μ唯一确定； C正确.平面α内的任一向量a可表示成λe1＋μe2的形式，反之也成立； D不正确.结合向量加法的平行四边形法则易知，当λe1和μe2确定后，其和向量λe1＋μe2便唯一确定. 对基底的理解 1.两个向量能否作为一组基底，关键是看这两个向量是否共线.若共线，则不能作基底，反之，则可作基底. 2.一个平面的基底一旦确定，那么平面上任意一个向量都可以用这组基底唯一线性表示出来.设向量a与b是平面内两个不共线的向量，若x1a＋y1b＝x2a＋y2b，则 [提醒]　一个平面的基底不是唯一的，同一个向量用不同的基底表示，表达式不一样. 1.若向量a，b不共线，c＝2a－b，d＝3a－2b，试判断c，d能否作为一组基底. 跟踪训练 解：设存在实数λ，使c＝λd， 则2a－b＝λ(3a－2b)，即2a－b＝3λa－2λb， 由于向量a，b不共线， 所以无解， 所以不存在实数λ，使c＝λd，从而c，d不共线，所以c，d能作为一组基底. 探究活动2　基底表示向量 [例2]　如图，已知在梯形ABCD中，AB∥DC，AB＝2DC，E，F分别是DC，AB的中点，设＝a，＝b，试用a，b为基底表示，. 知识应用 解　因为AB∥DC，AB＝2DC，E，F分别是DC，AB的中点，所以＝＝＝b. ＝＋＋＝－－＋ ＝－×b－a＋b＝b－a. 用基底表示向量的三个依据和两个“模型” 1.依据 (1)向量加法的三角形法则和平行四边形法则； (2)向量减法的几何意义； (3)数乘向量的几何意义. 2.模型 2.如图，在平行四边形ABCD中，设向量＝a，＝b，试用基底{a，b}表示，. 跟踪训练 解：设＝x，＝y，则＝＝y， 又所以解得 即＝a－b，＝a＋b. 探究活动3　平面向量基本定理的应用 [例3]　如图所示，在▱ABCD中，BM＝BC，AN＝AB，AM与DN交于点O，求的值. 知识应用 解　设＝a，＝b，则＝－＝ a－b，＝＋＝a＋b. ∵A，O，M三点共线，∴设＝λ， 则＝－＝λ－＝λ－b＝λa＋b，　① ∵D，O，N三点共线， ∴设＝μ＝μ＝μa－μb，　② 由①②得，λa＋b＝μa－μb， ∵a，b不共线， ∴解得 ∴＝，∴＝， ∴＝. 若直接用基底表示向量比较困难，则可以先设出目标向量并建立其与基底之间的二元关系式，再利用已知条件(或结论)表示出目标向量，然后根据待定系数法确定系数，建立方程(或方程组)，解方程(或方程组). 3.如图，在直角梯形ABCD中，P是BC的中点，AB∥CD，∠DAB＝90°，AB＝2，AD＝CD＝1，若＝m＋n，则＝(　　) A. B. C. D.2 跟踪训练 C 解析：因为P是BC的中点， 所以＝＋＝＋＝＋(－ )＝＋＝＋(＋)＝＋ ＋×＝＋. 又＝m＋n，且，不共线， 所以m＝，n＝，所以＝. 1.牢记3个知识点 (1)平面向量基本定理. (2)用基底表示向量. (3)平面向量基本定理的应用. 2.掌握2种方法 (1)已知e1，e2不共线，作λ1e1＋λ2e2(λ1，λ2∈R)的方法 ——数形结合法，利用三角形法则或平行四边形法则进行转化. (2)已知基底a，b，用a，b表示向量c的方法 ①线性运算法，②待定系数法. 3.注意1个易错点 基底中的向量必须是不共线的向量. 备选题库 教师独具 1.已知e1，e2是平面内所有向量的一组基底，则下列四组向量中，不能作为基底的一组是(　　) A.e1＋e2和e1－2e2 B.2e1－e2和2e2－4e1 C.e1－2e2和e1 D.e1＋e2和2e2＋e1 B 解析：因为2e1－e2＝－(2e2－4e1)，所以2e1－e2和2e2－4e1共线，所以2e1－e2和2e2－4e1不能作为基底. 2.在△ABC中，＝c，＝b，若点D满足＝2，以b，c作为基底，则等于(　　) A.b＋c B.c－b C.b－c D.b＋c A 解析：∵＝2， ∴－＝2(－)， ∴－c＝2(b－)， ∴＝b＋c. 3.已知e1，e2不共线，a＝e1＋2e2，b＝2e1＋λe2，要使a，b能作为平面内的一组基底，则实数λ的取值范围为_____________________. (－∞，4)∪(4，＋∞) 解析：若a，b能作为平面内一组基底，则a与b不共线.又a＝e1＋2e2，b＝2e1＋λe2，故由a≠kb(k∈R)，得λ≠4. 4.如图，在△ABC中，＝2，＝m＋n，则＝____. 解析：因为＝2，所以＝，所以＝＋＝＋＝＋(－)＝＋， 所以所以＝. 课时作业 巩固提升 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 [A组] 1.若e1，e2是平面内的一组基底，则下列四组向量能作为平面向量的基底的是(　　) A.e1－e2，e2－e1 B.2e1－e2，e1－e2 C.2e2－3e1，6e1－4e2 D.e1＋e2，e1－2e2 D 解析：不共线的两个向量可以作为平面的一组基底. 对于A，e2－e1＝－(e1－3e2)不满足；对于B，2e1－e2＝2(e1－e2)不满足；对于C，6e1－4e2＝－2(2e2－3e1)不满足. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2.在矩形ABCD中，O是对角线的交点，若＝e1，＝e2，则＝ (　　) A.(e1＋e2) B.(e1－e2) C.(2e2－e1) D.(e2－e1) A 解析：因为O是矩形ABCD对角线的交点，＝e1，＝e2，所以＝(＋)＝(e1＋e2). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3.设D为△ABC所在平面内一点，＝－＋，若＝λ(λ∈R)，则λ＝(　　) A.2 B.3 C.－2 D.－3 D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 解析：由＝－＋，可得3＝－＋4，即4－4＝－，则4＝， 即＝－4，可得＋＝－3， 故＝－3， 则λ＝－3. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 4.已知e1，e2为基底，向量＝e1－ke2，＝2e1－e2，＝3e1－3e2，若A，B，D三点共线，则k的值是(　　) A.2 B.－3 C.－2 D.3 A 解析：＝－＝－e1＋2e2＝－(e1－2e2).又A，B，D三点共线，则和是共线向量，所以k＝2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 5.(多选)下列说法中，错误的是(　 　) A.一个平面内只有一对不共线的向量可作为表示该平面内所有向量的基底 B.若e1，e2是同一平面内两个不共线向量，则λ1e1＋λ2e2(λ1，λ2为实数)可以表示该平面内的所有向量 C.若ae1＋be2＝ce1＋de2(a，b，c，d∈R)，则a＝c，b＝d D.若一组向量中含有零向量，则该组向量也可以作为平面内的基底 向量 ACD 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 解析：对于A，根据基底的概念可知，平面内不共线的向量都可以作为该平面内所有向量的基底，错误；易知B中说法正确；对于C，当e1与e2共线时，结论不一定成立，错误；对于D，由于零向量与任何向量都是共线的，因此零向量不能作为平面内的基底向量，结论错误. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 6.(多选)如图所示，四边形ABCD为梯形，其中AB∥CD，AB＝2CD，M，N分别为AB，CD的中点，则下列结论正确的是(　 　) A.＝＋ B.＝＋ C.＝＋ D.＝－ ABD 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 解析：＝＋＝＋，A正确； ＝＋＝＋＝(－)＋ ＝＋，B正确； ＝＋＋＝－＋＋＝－，C错误； ＝＋＋＝－＋＋＝－，D正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 7.已知向量e1，e2不共线，实数x，y满足(2x－3y)e1＋(3x－4y)e2＝6e1＋3e2，则x＝______，y＝______. －15 －12 解析：∵向量e1，e2不共线， ∴解得 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 8.如图，在平行四边形ABCD中，E和F分别是边CD和BC的中点，若 ＝λ＋μ，其中λ，μ∈R，则λ＋μ＝____. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 解析：设＝a，＝b， 则＝a＋b，＝a＋b. 又∵＝a＋b，∴＝(＋)， 即λ＝μ＝，∴λ＋μ＝. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 9.设e1，e2是不共线的非零向量，且a＝e1－2e2，b＝e1＋3e2. (1)证明：{a，b}可以作为一组基底； 证明：设a＝λb(λ∈R)，则e1－2e2＝λ(e1＋3e2)，由e1，e2不共线， 得⇒ 所以λ不存在，故a，b不共线，所以{a，b}可以作为一组基底. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 (2)以{a，b}为基底，用基底表示向量c＝3e1－e2. 解：设c＝ma＋nb(m，n∈R)，得3e1－e2＝m(e1－2e2)＋n(e1＋3e2)＝(m＋n)e1＋(－2m＋3n)e2， 所以得所以c＝2a＋b. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 10.在△OAB的边OA，OB上分别取点M，N，使｜OM｜∶｜OA｜＝1∶3，｜ON｜∶｜OB｜＝1∶4，设线段AN与BM的交点为P，＝a，＝b，用a，b表示. 解：如图所示， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 设＝λ(λ∈R)，＝k(k∈R)，则有＝λ＝λ，从而＝＋＝a＋λ＝(1－λ)a＋λb. 又＝k＝k， 所以＝＋＝ka＋(1－k)b，由平面向量基本 定理及a，b不共线可得解得λ＝，从而＝a＋b. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 [B组] 11.如图，AB是☉O的直径，点C，D是半圆弧AB的两个三等分点，＝a，＝b，则＝(　　) A.a－b B.a－b C.a＋b D.a＋b D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 解析：连接CD，OD(图略)， ∵点C，D是半圆弧AB的两个三等分点， ∴＝＝，∴∠CAD＝∠DAB＝ ∠CDA＝30°， ∴CD∥AB. ∵OA＝OD，∠ADO＝∠DAO＝30°， ∴∠CAD＝∠ADO＝30°， ∴AC∥DO， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 ∴四边形ACDO为平行四边形，∴＝＋. ∵＝＝a，＝b， ∴＝a＋b. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 12.(多选)在等边三角形ABC中，＝，＝2，AD与BE交于点F，则下列结论正确的有(　 　) A.＝(＋) B.＝＋ C.＝＋ D.＝＋ ABC 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 解析：如图所示， ∵＝，∴D为BC的中点，∴＝(＋)， A结论正确； ∵＝2，∴＝，＝＋＝＋ ＝＋(＋)＝＋，B结论正确； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 由E，F，B三点共线，可设＝λ＋(1－λ)＝λ＋(1－λ)， 设＝x＝x(＋)＝x＋x，则 ⇒ ∴＝＋＝＋×3＝＋，C结论正确； ＝＋＝＋＝＋(－)＝＋＝＋，D结论错误. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 13.在平行四边形ABCD中，M为BC的中点，若＝λ＋μ，则λ －μ＝____. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 解析：过点A作AE∥BD，延长CB与AE交于点E，如图， 易得＝， 所以四边形ADBE为平行四边形，所以BE＝AD ＝BC，所以＝，则＝2⇒－ ＝2(－)⇒3＝2＋， 即＝＋＝＋，所以λ＝，μ＝，故λ－μ＝. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 14.如图，在△ABC中，AD，BE，CF为△ABC的三条中线，BE，CF交于点O.求证：A，O，D三点共线. 证明：∵AD是△ABC的中线， ∴＝(＋). 设＝λ，＝μ，其中λ，μ∈R， 则＝＋＝＋λ＝＋λ(－)＝λ＋， ＝＋＝＋μ＝＋μ(－)＝＋μ， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 ∴解得λ＝， ∴＝(＋)＝， ∴∥，又与有公共点A， ∴A，O，D三点共线. $$