11.1 余弦定理-【优化探究】2025-2026学年新教材高中数学必修第二册同步导学案配套PPT课件（苏教版）

11.1　余弦定理 第11章 解三角形 [学习目标]　1.借助向量的运算，探索三角形边长与角度的关系，掌握余弦定理.　2.能用余弦定理解决简单的实际问题. [素养目标]　水平一：1.通过教材实例理解余弦定理的推导.(逻辑推理)　2.结合教材实例掌握余弦定理及其应用.(数学运算) 水平二：能利用余弦定理解决三角形中边角互化的三角形形状的判断等问题.(数学运算、逻辑推理) 我们知道，两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等.这说明，给定两边及其夹角的三角形是唯一确定的.也就是说，三角形的其他边、角都可以用这两边及其夹角来表示.那么，表示的公式是什么？因为涉及的是三角形的两边长和它们的夹角，所以我们可以考虑用向量的数量积来研究. 探究活动1　余弦定理 内容索引 探究活动2　已知三边解三角形 探究活动3　余弦定理的应用 备选题库 教师独具 课时作业 巩固提升 4 探究活动1　余弦定理 问题　在△ABC中，有向量等式＝＋.从这个等式出发，如何用三角形的边与角参与到三角形的计算中？ 提示　在△ABC中，有向量等式＝＋， 所以＝·＝(＋)·(＋)＝＋2·＋＝｜｜2＋2｜｜｜｜cos(180°－A)＋｜｜2＝c2－2cbcos A＋b2，即a2＝b2＋c2－2bccos A. 余弦定理 知识生成 文字语言 三角形任何一边的______等于其他两边__________减去这两边与它们夹角的________________ 符号语言 a2＝_________________， b2＝_________________， c2＝__________________ 平方 平方的和 余弦的积的两倍 b2＋c2－2bccos A c2＋a2－2cacos B a2＋b2－2abcos C [例1]　在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，若C＝60°，a＝5，b＝8，则c＝(　　) A.7 B.6 C.5 D.8 知识应用 A 解析　因为C＝60°，a＝5，b＝8， 所以c2＝a2＋b2－2abcos C＝52＋82－2×5×8×＝49， 解得c＝7(负值舍去). 余弦定理可以解决已知三角形的两边及一角的解三角形问题. 1.当该角为已知两边的夹角时，可以直接用余弦定理求第三边. 2.当该角为已知两边的其中一边的对角时，可根据余弦定理列出方程求解第三边，要注意根据边长为正及大边对大角等因素来取舍方程 的根. 1.(多选)设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a＝2，c＝2，cos A＝，则b＝(　　) A.2 B.3 C.4 D.2 跟踪训练 AC 解析：由余弦定理，得a2＝b2＋c2－2bccos A， ∴4＝b2＋12－6b，即b2－6b＋8＝0， ∴b＝2或b＝4. 探究活动2　已知三边解三角形 1.余弦定理的变形 cos A＝____________； cos B＝____________； cos C＝____________. 知识生成 2.解三角形 我们把三角形的________和________叫作三角形的_____.已知三角形的几个元素求__________的过程叫作__________. 三个角 三条边 元素 其他元素 解三角形 [例2]　(1)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a＝ 7，b＝4，c＝，则C＝　　. 知识应用 解析　cos C＝＝＝，又C∈(0，π)，所以C＝. (2)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a∶b∶c＝ 3∶5∶7，则此三角形中的最大角的大小为　　　. 解析　已知在△ABC中，a∶b∶c＝3∶5∶7， 设a＝3k，b＝5k，c＝7k(k＞0)，易知C为最大角， 由余弦定理的推论可得cos C＝＝＝－. 因为C为三角形的内角，所以此三角形中的最大角C＝. 先利用余弦定理的变形公式求出一个角的余弦，从而求出第一个角；再利用余弦定理的变形公式求出第二个角；最后利用三角形的内角和定理求出第三个角. 2.已知△ABC的三边长分别为a＝2，b＝2，c＝＋，解此三角形. 跟踪训练 解：由余弦定理的推论得 cos A＝＝＝， 所以A＝60°. cos B＝＝＝， 所以B＝45°，所以C＝180°－A－B＝75°. 探究活动3　余弦定理的应用 [例3]　(1)在△ABC中，已知B＝60°，b2＝ac，则△ABC为(　　) A.等边三角形 B.钝角三角形 C.直角三角形 D.等腰直角三角形 知识应用 A 解析　由余弦定理，得cos B＝，因为B＝60°，b2＝ac，所以cos 60°＝＝，化为(a－c)2＝0，得a＝c，所以△ABC为等边三角形. (2)已知A船在灯塔C北偏东80°处，且A到C的距离为2 km，B船在灯塔C北偏西40°处，且A，B两船的距离为3 km，则B到C的距离为 　　　　km. －1 解析　由题作图，如图所示， 则∠BCA＝120°，AC＝2，AB＝3， 所以根据余弦定理可得 cos∠BCA＝＝＝－， 解得BC＝－1或BC＝－－1(舍去)， 故答案为－1. 1.利用三角形的边角关系判断三角形的形状时，需要从“统一”入手，即使用转化思想解决问题，一般有两条思考路线： (1)先化边为角，再进行三角恒等变换，求出三角之间的数量关系； (2)先化角为边，再进行代数恒等变换，求出三边之间的数量关系. 2.判断三角形的形状时，经常用到以下结论： (1)△ABC为直角三角形⇔a2＝b2＋c2或c2＝a2＋b2或b2＝a2＋c2； (2)△ABC为锐角三角形⇔a2＋b2＞c2，且b2＋c2＞a2，且c2＋a2＞b2； (3)△ABC为钝角三角形⇔a2＋b2＜c2或b2＋c2＜a2或c2＋a2＜b2； (4)若sin 2A＝sin 2B，则A＝B或A＋B＝. 3.解决实际问题其实只比解三角形多一步，即把实际问题中涉及的量纳入到图形中.这一过程中要特别注意准确理解和翻译相关术语. 3.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且c2＝bccos A＋accos B＋abcos C，则此三角形必是(　　) A.等边三角形 B.直角三角形 C.等腰三角形 D.钝角三角形 跟踪训练 B 解析：由c2＝bccos A＋accos B＋abcos C， 得c2＝bc×＋ac×＋ab×， 即c2＝，整理可得a2＋b2＝c2， 所以△ABC必为直角三角形. 4.某观察站C与两灯塔A，B的距离分别为300 m和500 m，测得灯塔A在观察站C的北偏东30°方向上，灯塔B在观察站C的正西方向，则两灯塔A，B间的距离为(　　) A.500 m B.600 m C.700 m D.800 m C 解析：根据题意画出图形如图. 在△ABC中，BC＝500 m，AC＝300 m， ∠ACB＝120°， 由余弦定理得 AB2＝AC2＋BC2－2AC·BCcos 120° ＝3002＋5002－2×300×500×＝490 000， 所以AB＝700 m. 1.牢记1个知识点——余弦定理的两种形式 2.掌握2种方法——转化与化归、数形结合 3.注意1个易错点 易忽略三角形中的隐含条件. 备选题库 教师独具 1.在△ABC中，已知a＝5，b＝7，c＝8，则A＋C＝(　　) A.90° B.120° C.135° D.150° B 解析：cos B＝＝＝.因为B∈(0°，180°)， 所以B＝60°，所以A＋C＝120°. 2.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a2－b2＋c2＝ac，则B的大小为(　　) A. B. C.或 D.或 A 解析：∵a2－b2＋c2＝ac， ∴cos B＝＝＝. 又B为△ABC的内角，∴B＝. 3.在△ABC中，A＝60°，a2＝bc，则△ABC一定是(　　) A.锐角三角形 B.钝角三角形 C.直角三角形 D.等边三角形 D 解析：在△ABC中，因为A＝60°，a2＝bc， 所以由余弦定理可得， a2＝b2＋c2－2bccos A＝b2＋c2－bc， 所以bc＝b2＋c2－bc，即(b－c)2＝0， 所以b＝c，结合A＝60°， 可得△ABC一定是等边三角形. 4.轮船甲和轮船乙在上午11时同时离开海港C，两船航行方向的夹角为135°，两船的航行速度分别为25 n mile/h，20 n mile/h，则当天下午1时两船之间的距离为(　　) A.10 n mile B.10 n mile C.100 n mile D.10 n mile B 解析：设轮船甲、乙在下午1时所处的位置分别为A和B，由题可知CA＝50，CB＝40，∠ACB＝135°，则AB2＝CA2＋CB2－2CA·CB·cos∠ACB＝502＋(40)2－2×50×40×＝9 700，故AB＝10 n mile. 课时作业 巩固提升 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 [A组] 1.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c.已知a＝4，b＝3，C＝，则c＝(　　) A. B.13 C. D.37 A 解析：由余弦定理可得c2＝a2＋b2－2abcos C＝42＋32－2×4×3×＝13，解得c＝(负值舍去). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 2.在△ABC中，AB＝，AC＝1，∠ACB＝，则BC＝(　　) A. B. C.1 D.2 D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解析：在△ABC中，由余弦定理得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC·cos∠ACB， 又AB＝，AC＝1，∠ACB＝， 所以3＝1＋BC2－2×1×BC×cos ，解得BC＝2或BC＝－1(舍去)，所以BC＝2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 3.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c.若(a2＋c2－b2)tan A＝2acsin B，则△ABC的形状一定是(　　) A.等腰三角形 B.直角三角形 C.等腰直角三角形 D.锐角三角形 A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解析：由余弦定理的推论cos B＝可得a2＋c2－b2＝2accos B. 因为(a2＋c2－b2)tan A＝2acsin B， 所以2accos Btan A＝2acsin B， 即cos Btan A＝sin B，即tan A＝tan B， 又A，B∈(0，π)， 所以A＝B，无法判断C的大小， 即△ABC一定是等腰三角形. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 4.(多选)在△ABC中，∠ABC＝，AB＝AC＋1＝8，则边BC的长可能为(　　) A.2 B.3 C.4 D.5 BD 解析：∵AB＝AC＋1＝8，∴AC＝7， 由余弦定理得AB2＋BC2－2AB·BCcos B＝AC2， 即64＋BC2－8BC＝49，解得BC＝3或BC＝5.经检验，均满足题意. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 5.如图，在高速公路建设中需要确定隧道的长度，工程技术人员已测得隧道两端的两点A，B到点C的距离AC＝BC＝1 km，且C＝120°，则A，B两点间的距离为　　　km. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解析：在△ABC中，AC＝BC＝1 km，C＝120°. 由余弦定理，得AB2＝AC2＋BC2－2×AC×BC×cos C ＝12＋12－2×1×1×cos 120°＝3， ∴AB＝ km. 即A，B两点间的距离为 km. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 6.若△ABC的内角A，B，C所对的边a，b，c满足(a＋b)2－c2＝4，且C ＝60°，则ab＝　　. 解析：因为C＝60°，所以c2＝a2＋b2－2abcos 60°， 即c2＝a2＋b2－ab.　① 又因为(a＋b)2－c2＝4， 所以c2＝a2＋b2＋2ab－4.　② 由①②知－ab＝2ab－4，所以ab＝. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 7.已知A，B，C为△ABC的三个内角，其所对的边分别为a，b，c，且2cos2＋cos A＝0. (1)求A； 解：因为cos A＝2cos2－1，2cos2＋cos A＝0， 所以2cos A＋1＝0，所以cos A＝－，又0°＜A＜180°，所以A＝120°. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 (2)若a＝2，b＝2，求c的值. 解：由余弦定理，知a2＝b2＋c2－2bccos A. 又a＝2，b＝2，cos A＝－， 所以(2)2＝22＋c2－2×2×c×， 化简，得c2＋2c－8＝0，解得c＝2或c＝－4(舍去). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 8.已知△ABC同时满足下列四个条件中的三个： ①A＝；②cos B＝－；③a＝7；④b＝3. (1)请指出这三个条件，并说明理由； 解：△ABC同时满足①③④.理由如下： 若△ABC同时满足①②. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 因为cos B＝－＜－，且B∈(0，π)，所以B＞π，所以A＋B＞π， 矛盾， 所以△ABC只能同时满足③④. 因为a＞b，所以A＞B，故△ABC不满足②. 故△ABC满足①③④. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 (2)求c. 解：因为a2＝b2＋c2－2bccos A， 所以72＝32＋c2－2×3×c×， 解得c＝8或c＝－5(舍)， 所以c＝8. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 [B组] 9.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a2＝b2＋c2，则的值为(　　) A. B. C. D. B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解析：由题意，结合余弦定理的推论， 得＝＝， 又a2＝b2＋c2，∴a2－b2＝c2， ∴＝＝＝. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 10.(多选)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，则由下列条件能得到△ABC为钝角三角形的是(　 　) A.a＝9，b＝10，c＝14 B.a＝6，b＝8，C＝30° C.cos C＝，4a＝3c D.cos A＝，B＝2C ABD 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解析：对于A：由题意可得角C为最大值，则cos C＝＝＝－＜0，可得角C为钝角，∴A正确； 对于B：由题意及余弦定理可得c＝＝＝＜b， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 ∴角B为最大角，且cos B＝＝＝＜0， 即角B为钝角，∴B正确； 对于C：cos C＝，在△ABC中，可得sin C＝， ∵4a＝3c，∴sin A＝sin C＝， ∵a＝c＜c，∴角A为锐角，∴cos A＝， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 ∴cos B＝－cos(A＋C)＝－(cos Acos C－sin Asin C)＝－＝0， ∴B＝，即该三角形为直角三角形，∴C错误； 对于D：∵cos A＝－cos(B＋C)＝－cos＝，即cos ＝－＜－， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 ∴＜＜π， 在△ABC，可得＜B＜π，即角B为钝角，即该三角形为钝角三角形，∴D正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 11.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知A＝，a ＝7，b＝5，点D在BC上，且满足BD＝2DC，则c＝　 ，AD＝　 　. 8 解析：如图所示， 在△ABC中，由余弦定理，得72＝52＋c2－2×5×c×cos ，解得c＝8或c＝－3(舍去). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 又BD＝2DC，所以BD＝a＝， 所以cos B＝ ＝＝. 在△ABD中，由余弦定理，得AD2＝＋64－2××8×＝，解得AD＝(负值舍去). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 12.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知cos C＋(cos A－sin A)cos B＝0. (1)求B； 解：由已知得－cos(A＋B)＋cos Acos B－sin Acos B＝0，即有sin Asin B－sin Acos B＝0. 因为sin A≠0，所以sin B－cos B＝0. 又cos B≠0，所以tan B＝.又0＜B＜π，所以B＝. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 (2)若a＋c＝1，求b的取值范围. 解：因为a＋c＝1，cos B＝， 由余弦定理b2＝a2＋c2－2accos B，得b2＝3＋. 又0＜a＜1，所以≤b2＜1，即有≤b＜1. $$