5.3.1 第1课时 等比数列的概念及通项公式-【优化探究】2025-2026学年新教材高中数学选择性必修第三册同步导学案配套PPT课件（人教B版）

5.3　等比数列 5.3.1　等比数列 第1课时　等比数列的概念及通项公式 第五章　数列 [学习目标]　1.通过实例,理解等比数列的概念.　2.掌握等比数列的通项公式并了解其推导过程.　3.能应用等比数列通项公式进行简单运算. 知识点1　等比数列的定义 内容索引 知识点2　等比数列的通项公式 课时作业 巩固提升 知识点3　等比数列的判定与证明 课堂达标·素养提升 3 知识点1　等比数列的定义 一般地,如果数列{an}从第2项起,每一项与它的前一项之比都等于_________常数q,即=q恒成立,则称{an}为等比数列,其中q称为等比数列的 .(q≠0) 同一个 公比 [例1]　判断下列数列是不是等比数列,如果是,写出它的公比. (1)1,,,,,…; (2)10,10,10,10,10,…; (3),,,,…; (4)1,0,1,0,1,0,…; (5)1,-4,16,-64,256,…. [解]　(1)不是等比数列. (2)是等比数列,且公比为1. (3)是等比数列,且公比为. (4)不是等比数列. (5)是等比数列,且公比为-4. 定义法判断一个数列是否为等比数列的方法 如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的比都等于同一个常数,那么这个数列是等比数列,否则,不是等比数列,且等比数列中任意一项不能为0,对于含参的数列需要分类讨论. 思维提升 1.(多选)以下数列中是等比数列的是(　　) A.数列1,3,9,27,… B.数列{an}中,已知=2,=2 C.常数列a,a,a,…,a,… D.数列{an}中,=q(q≠0),其中n∈N+ 跟踪训练 AD 解析:在B中,不一定满足=2; 在C中,若a=0,则不是等比数列; 在A,D中,满足为非零常数,∴A,D是等比数列. 知识点2　等比数列的通项公式 1.若等比数列{an}的首项为a1,公比为q,则an= (n∈N+). 2.等比数列通项公式的推广 an=amqn-m(n,m∈N+). a1qn-1 3.等比数列的通项公式与指数型函数的关系 (1)当q>0且q≠1时,等比数列{an}的第n项an是指数型函数f(x)=·qx(x∈R)当x=n时的函数值,即an=f(n). (2)任意指数型函数f(x)=kax(k,a是常数,k≠0,a>0且a≠1), 则f(1)=ka,f(2)=ka2,…,f(n)=kan,…构成一个等比数列{kan},其首项为ka,公比为a. 角度1　等比数列的相关计算 [例2]　在等比数列{an}中. (1)a2+a5=18,a3+a6=9,an=1,求n; (2)a3=2,a2+a4=,求an; (3)已知等比数列{an}为递增数列,且=a10,2(an+an+2)=5an+1,求an. [解]　(1)∵ 由得q=,从而a1=32, ∴an=32×, 又∵an=1. ∴32×=1,即26-n=20, ∴n=6. (2)设等比数列{an}的公比为q,则q≠0. a2==,a4=a3q=2q, ∴+2q=,解得q=或q=3. 当q=时,a1=18, ∴an=18×=2×33-n. 当q=3时,a1=, ∴an=×3n-1=2×3n-3. 综上,当q=时,an=2×33-n;当q=3时,an=2×3n-3(n∈N+). (3)由2(an+an+2)=5an+1,得2q2-5q+2=0, ∴q=2或,由=a10=a1q9>0⇒a1>0, 又数列{an}递增,∴q=2. =a10>0,∴(a1q4)2=a1q9,∴a1=q=2, ∴数列{an}的通项公式为an=2n(n∈N+). 等比数列的通项公式涉及4个量a1,an,n,q,只要知道其中任意三个就能求出另外一个,在这四个量中,a1和q是等比数列的基本量,只要求出这两个基本量,问题便迎刃而解. 思维提升 2.(1)若等比数列{an}的首项a1=,末项an=,公比q=,求项数n. (2)在等比数列{an}中,已知a5-a1=15,a4-a2=6,求an. 跟踪训练 解:(1)由an=a1·qn-1,得=, 即=,得n=4. (2)∵ 由得q=或q=2. 当q=时,a1=-16;当q=2时,a1=1. ∴an=-16×=-25-n或an=2n-1(n∈N+). 角度2　 等比数列的通项公式与函数的关系的应用 [例3]　已知数列{an}是等比数列,且公比q大于0,则“q>1”是“数列{an}是递增数列”的(　　) A.充要条件 B.必要不充分条件 C.充分不必要条件 D.既不充分也不必要条件 D [解析]　当a1<0,q>1时,数列{an}为递减数列,即充分性不成立; 当“数列{an}是递增数列”时,可能是a1<0,0<q<1,即必要性不成立. 即“q>1”是“数列{an}是递增数列”的既不充分也不必要条件. 判断等比数列的单调性的方法 1.当q>1,a1>0或0<q<1,a1<0时,{an}是递增数列. 2.当q>1,a1<0或0<q<1,a1>0时,{an}是递减数列. 3.当q=1时,{an}是常数列;当q<0时,{an}是摆动数列. 思维提升 3.(1)若{an}为等比数列,则“a1<a3<a5”是“数列{an}是递增数列”的(　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 跟踪训练 B (2)等比数列{an}为递减数列,若a4·a17=6,a4+a17=5,则等于(　　) A.　　　　　　　　　 B. C. D.6 A 解析:(1)若等比数列{an}是递增数列,可得a1<a3<a5一定成立; 反之,例如数列,此时满足a1<a3<a5,但数列{an}不是递增数列, ∴“a1<a3<a5”是“数列{an}是递增数列”的必要不充分条件. (2)∵a4·a17=6,a4+a17=5, ∴a4与a17为方程x2-5x+6=0的两个根, 解得a4=2,a17=3或a4=3,a17=2, ∵an>an+1, ∴a4=3,a17=2, 联立 ∴q13==, 则===. 知识点3　等比数列的判定与证明 [例4]　数列{an}满足a1=-1,且an=3-2n+3(n=2,3,…). (1)求a2,a3,并证明数列{an-n}是等比数列; (2)求an. [解]　(1)a2=3a1-2×2+3=-4,a3=3a2-2×3+3=-15. 下面证明{an-n}是等比数列:===3(n=1,2,3,…). 又a1-1=-2,∴{an-n}是以-2为首项,以3为公比的等比数列. (2)由(1)知an-n=-2·, ∴an=n-2·(n∈N+). 判断一个数列是不是等比数列的常用方法 1.定义法:=q(q为常数且不为零)⇔{an}为等比数列. 2.通项公式法:an=a1(a1≠0且q≠0)⇔{an}为等比数列. 思维提升 4.(多选)已知数列{an}是等比数列,那么下列数列一定是等比数列的是(　 　) A.　　　　　　 B.{log2an} C.{an·an+1} D.{an+an+1+an+2} 跟踪训练 ACD 解析:设an=a1qn-1, A中,==·,此时为首项为,公比为的等比数列; B中,因为log2an=log2(a1qn-1)=log2a1+(n-1)log2q(a1>0,q>0), 此时{log2an}是首项为log2a1,公差为log2q的等差数列; C中,因为an·an+1=(a1qn-1)·(a1qn)=q2n-1=(q)·(q2)n-1,所以{anan+1}是首项为q,公比为q2的等比数列; D中,因为an+an+1+an+2=an+anq+anq2=(q2+q+1)an=[a1(q2+q+1)]·qn-1, 所以{an+an+1+an+2}是首项为a1(q2+q+1),公比为q的等比数列. 5.已知数列{an}的前n项和Sn=2an+1,求证{an}是等比数列,并求出通项公式. 证明:∵Sn=2an+1, ∴=2+1, ∴=-Sn=(2+1)-(2an+1)=2-2an,∴=2an. 又∵S1=2a1+1=a1, ∴a1=-1≠0. 又由=2an知an≠0, ∴=2,∴{an}是等比数列. ∴an=-1×=-. 〈课堂达标·素养提升〉 1.已知数列a,a(1-a),a(1-a)2,…是等比数列,则实数a满足(　　) A.a≠1　　　　　　　　 B.a≠0或a≠1 C.a≠0 D.a≠0且a≠1 解析:由于a,a(1-a),a(1-a)2,…是等比数列,则a需满足a≠0,a(1-a)≠0,a(1-a)2≠0,所以a≠0且a≠1. D 2.已知{an}是首项为2,公比为3的等比数列,则这个数列的通项公式为(　　) A.an=2· B.an=3· C.an=2· D.an=3· 解析:由已知可得a1=2,q=3,则数列{an}的通项公式为an=a1·qn-1=2·3n-1. C 3.已知{an}是等比数列,a2=2,a5=,则公比q=　　　　.  解析:∵a2=a1q=2,① a5=a1q4=,② ∴得q3=,∴q=. 4.在等比数列{an}中,已知a2=3,a5=24,则a8=　　　　.  解析:由 得 所以a8=×27=192. 192 课时作业 巩固提升 [A组　必备知识练] 1.(多选)下列说法正确的有(　　) A.等比数列中的项不能为0 B.等比数列的公比的取值范围是R C.若一个常数列是等比数列,则公比为1 D.22,42,62,82,…成等比数列 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 AC 14 解析:A显然正确;等比数列的公比不能为0,故B错误;C显然正确;由于≠,故不是等比数列,D错误. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2.已知等比数列{an}满足a1+a2=3,a2+a3=6,则a7等于(　　) A.64　　　　　　　　　 B.81 C.128 D.243 解析:∵{an}为等比数列,∴=q=2. 又a1+a2=3,∴a1=1,故a7=1×26=64. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 A 14 3.(多选)已知正项等比数列{an}满足a1=2,a4=2a2+a3,若设其公比为q,则( 　　) A.q=2 B.an=2n C.18是数列中的项 D.an+an+1<an+2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 ABD 14 解析:由题意2q3=4q+2q2,得q2-q-2=0,解得q=2(负值舍去),选项A正确; an=2×2n-1=2n,选项B正确,C错误; an+an+1=3an,而an+2=4an>3an,选项D正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 4.等比数列{an}的公比q=-,a1=,则数列{an}是(　　) A.递增数列 B.递减数列 C.常数列 D.摆动数列 解析:由公比q<0可知,该等比数列是摆动数列. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 D 14 5.若数列{an}满足a9=1,an+1=2an(n∈N+),则a5=　　　　.  解析:由an+1=2an可知数列{an}是公比为2的等比数列,又a9=1,∴an= a9qn-9=2n-9,∴a5=2-4=. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 6.已知等比数列{an}为递增数列,若a1>0,且2(an+)=5,则数列{an}的公比q=　　　　.  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 2 14 解析:a1>0,由2(an+)=5, 得2a1+2a1=5a1qn, ∵q≠0,a1>0, ∴2q2-5q+2=0,解得q=2或q=, 又数列{an}为递增数列,∴q=2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 7.在等比数列{an}中,a3=32,a5=8. (1)求数列{an}的通项公式an; (2)若an=,求n. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 解:(1)因为a5=a3q2,所以q2==,所以q=±. 当q=时,an=a3qn-3=32×=28-n; 当q=-时,an=a3qn-3=32×. 所以an=28-n或an=32×(n∈N+). (2)当an=时,28-n=或32×=,解得n=9. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 8.已知各项都为正数的数列{an}满足a1=1,-(2-1)an-2=0. (1)求a2,a3; (2)求{an}的通项公式. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 解:(1)由题意可得 解得 (2)由-(2-1)an-2=0,得2(an+1)=an(an+1). 因为{an}的各项都为正数,所以=. 故{an}是首项为1,公比为的等比数列, 因此an=. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 [B组　关键能力练] 9.数列{an}满足an=4an-1+3(n≥2)且a1=0,则此数列第5项是(　　) A.15 B.255 C.16 D.63 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 B 14 解析:∵an=4an-1+3(n≥2), ∴an+1=4(an-1+1), 即=4, ∴{an+1}是以1为首项,4为公比的等比数列, 则an+1=4n-1(n∈N+). ∴an=4n-1-1(n∈N+), ∴a5=44-1=255. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 10.如图所示,给出了一个“三角形数阵”.已知每一列数成等差数列,从第三行起,每一行数成等比数列,而且每一行的公比都相等, , ,, … 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 记第i行第j列的数为aij(i,j∈N+),则a53的值为(　　) A. B. C. D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 C 14 , ,, … 解析:第一列构成首项为,公差为的等差数列,所以a51=+(5-1)×=.又因为从第三行起每一行数成等比数列,而且每一行的公比都相等,所以第5行构成首项为,公比为的等比数列,所以a53=×=. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 , ,, … 11.若首项为3的等比数列的第n项是48,第2n-3项是192,则n=　　　　.  解析:设公比为q,则 ∴∴q2=4, 得q=±2.由(±2)n-1=16,得n=5. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 5 14 12.定义 为数列{xn}的几何平均数.已知数列{an}是等比数列,a1=2-5,它的前11项的几何平均数为25,若在前11项中抽去一项,剩下10项的几何平均数为24,则被抽去的项是第　　　　项.  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 11 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解析:设等比数列{an}的公比为q,由题意,得=25,则a1a2a3…a11=255,根据等比数列的性质,可得a1a2a3…a11=(a6)11=255,解得a6=25.又a1=2-5,所以q5==210,则q=4,所以a11=a1q10=215,又在前11项中抽去一项,剩下10项的几何平均数为24,所以剩下10项的乘积为(24)10=240,而a1a2a3…a10==240,所以被抽去的是第11项. 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13.已知数列{an}满足a1=1,=2an+1. (1)证明:数列{an+1}是等比数列; (2)求数列{an}的通项公式. 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 (1)证明:法一:因为=2an+1, 所以+1=2(an+1). 由a1=1,知a1+1≠0,从而an+1≠0. 所以=2(n∈N+). 所以数列{an+1}是等比数列. 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 法二:由a1=1, 知a1+1≠0,从而an+1≠0. 因为===2(n∈N+), 所以数列{an+1}是等比数列. (2)解:由(1)知{an+1}是以a1+1=2为首项,2为公比的等比数列, 所以an+1=2×=2n,即an=2n-1. 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 [C组　素养培优练] 14.从①S4=20,②S3=2a3,③3a3-a4=b2这三个条件中任选一个,补充到下面问题中并解答下列问题. 已知等差数列{an}的前n项和为Sn,{bn}是各项均为正数的等比数列, a1=b4,　　　　,b2=8,b1-3b3=4,是否存在正整数k,使得数列的前k项和Tk>?若存在,求出k的最小值;若不存在,请说明理由.  13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解:设等比数列{bn}的公比为q(q>0),则b1==,b3=b2q=8q.由b1-3b3=4,得-3×8q=4,即6q2+q-2=0,解得q=或q=-(舍去).a1=b4=b2q2=8×=2. 若选条件①: 设等差数列{an}的公差为d,则S4=4a1+d=20,解得d=2, 所以Sn=2n+×2=n2+n,==-, 所以Tk=++…+=++…+=1-, 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 令1->, 解得k>15(负值舍去), 因为k为正整数,所以k的最小值为16. 若选条件②: 设等差数列{an}的公差为d,由S3=2a3, 得3a1+d=2(a1+2d),解得d=2. 所以Sn=2n+×2=n2+n,==-, 所以Tk=++…+=++…+=1-, 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 令1->,解得k>15(负值舍去), 因为k为正整数,所以k的最小值为16. 若选条件③: 设等差数列{an}的公差为d,由3a3-a4=b2,得3(a1+2d)-(a1+3d)=8,解得d=. 所以Sn=2n+×=, 所以===, 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 所以Tk= = =-, 令Tk>,得+<,解得k>或k<(舍去), 又k为正整数,所以k≥7,所以k的最小值为7. 13 14 $$