4.1.1 条件概率-【优化探究】2025-2026学年新教材高中数学选择性必修第二册同步导学案配套PPT课件（人教B版）

4.1　条件概率与事件的独立性 4.1.1　条件概率 第四章　概率与统计 [学习目标]　1.理解条件概率的定义.　2.掌握条件概率的两种计算方法.　3.利用条件概率公式解决一些简单的实际问题. 知识点1　利用定义求条件概率 内容索引 知识点2　利用基本事件个数求条件概率 课时作业 巩固提升 知识点3　条件概率的性质及应用 课堂达标·素养提升 3 知识点1　利用定义求条件概率 1.条件概率 一般地,当事件B发生的概率大于0时(即P(B)>0),已知事件B发生的条件下事件A发生的概率,称为条件概率,记作　　　　.  2.条件概率的计算公式 P(A|B) =,P(B)>0. P(A|B) 一个袋中有2个黑球和3个白球,如果不放回地抽取两个球,记事件“第一次抽到黑球”为A;事件“第二次抽到黑球”为B. (1)分别求事件A,B,A∩B发生的概率; (2)求P(B|A). 例1 [解]　由古典概型的概率公式可知 (1)P(A)=, P(B)===, P(A∩B)==. (2)P(B|A)===. 1.用定义法求条件概率P(B|A)的步骤 (1)分析题意,弄清概率模型; (2)计算P(A),P(A∩B); (3)代入公式求P(B|A)=. 2.结合古典概型分别求出事件A,B的概率,从而求出P(B|A),揭示出P(A),P(B)和P(B|A)三者之间的关系. 思维提升 1.甲、乙两市都位于长江下游,根据一百多年来的气象记录,知道一年中下雨天的比例甲市占20%,乙市占18%,两地同时下雨占12%,记P(A)=0.2, P(B)=0.18,P(A∩B)=0.12,则P(A|B)=　　　　,P(B|A)=　　　　.  由公式P(A|B)==,P(B|A)==. 跟踪训练 知识点2　利用基本事件个数求条件概率 现有6个节目准备参加比赛,其中4个舞蹈节目,2个语言类节目,如果不放回地依次抽取2个节目,求: (1)第1次抽到舞蹈节目的概率; (2)第1次和第2次都抽到舞蹈节目的概率; (3)在第1次抽到舞蹈节目的条件下,第2次抽到舞蹈节目的概率. [分析]　第(1),(2)问属于古典概型问题,可直接代入公式;第(3)问为条件概率,可以借用前两问的结论,也可以直接利用基本事件个数求解. 例2 [解]　设第1次抽到舞蹈节目为事件A,第2次抽到舞蹈节目为事件B,则第1次和第2次都抽到舞蹈节目为事件A∩B. (1)从6个节目中不放回地依次抽取2个的事件数为n(Ω)==30, 根据分步乘法计数原理n(A)==20,于是P(A)===. (2)因为n(A∩B)==12,于是P(A∩B)===. (3)法一:由(1)(2)可得,在第1次抽到舞蹈节目的条件下,第2次抽到舞蹈节目的概率 P(B|A)===. 法二:因为n(A∩B)=12,n(A)=20,所以P(B|A)===. [变设问]　本例条件不变,试求在第1次抽到舞蹈节目的条件下,第2次抽到语言类节目的概率. 解:设第1次抽到舞蹈节目为事件A,第2次抽到语言类节目为事件C,则第1次抽到舞蹈节目、第2次抽到语言类节目为事件A∩C. n(A)=×=20, n(A∩C)=×=8, ∴P(C|A)===. 缩小样本空间求条件概率的方法 将原来的基本事件全体Ω缩小为已知的条件事件A,原来的事件B缩小为AB.而A中仅包含有限个基本事件,每个基本事件发生的概率相等,从而可以在缩小的概率空间上利用古典概型公式计算条件概率,即P(B|A)=,这里n(A)和n(AB)的计数是基于缩小的基本事件范围的. 思维提升 2.假定生男孩和生女孩是等可能的,现考虑有两个小孩的家庭,随机选择一个家庭,那么 (1)该家庭中两个小孩都是女孩的概率是多大? (2)如果已经知道这个家庭有女孩,那么两个小孩都是女孩的概率又是多大? 跟踪训练 解:用A表示事件“选择的家庭中有女孩”,B表示事件“选择的家庭中两个小孩都是女孩”. (1)根据古典概型知识可知,该家庭中两个小孩都是女孩的概率 P(B)==. (2)“在选择的家庭有女孩的条件下,两个小孩都是女孩”的概率就是“在事件A发生的条件下,事件B发生”的概率,记为P(B|A).此时A成为样本空间,事件B就是积事件AB.根据古典概型知识可知, P(B|A)==. 知识点3　条件概率的性质及应用 假设A,B,C都是事件,且P(A)>0,则: 1.0≤P(B|A)≤1; 2.P(A|A)=　　　　;  3.若B与C互斥,则P((B∪C)|A)=P(B|A)+P(C|A). 1 在一个袋子中装有除颜色外其他都相同的10个球,其中有1个红球、2个黄球、3个黑球、4个白球,从中依次不放回地摸2个球,求在摸出的第一个球是红球的条件下,第二个球是黄球或黑球的概率. 例3 [解]　设“摸出的第一个球为红球”为事件A,“摸出的第二个球为黄球”为事件B,“摸出的第二个球为黑球”为事件C. 法一:P(A)=,P(A∩B)==, P(A∩C)==, ∴P(B|A)===, P(C|A)===, ∴P((B∪C)|A)=P(B|A)+P(C|A)=+=. 故所求的概率为. 法二:∵n(A)==9,n[(B∪C)∩A]=+=5, ∴P((B∪C)|A)=. 故所求的概率为. 一张储蓄卡的密码共有6位数字,每位数字都可从0~9中任选一个.某人在银行自动提款机上取钱时,忘了密码的最后一位数字.求: (1)任意按最后一位数字,不超过2次就按对的概率; (2)如果他记得密码的最后一位是偶数,不超过2次就按对的概率. [分析]　(1)不超过2次,即第1次按对或第1次未按对第2次按对; (2)条件概率,利用互斥事件的条件概率公式求解. 例4 [解]　设第i次按对密码为事件Ai(i=1,2),则A=A1∪(A2)表示不超过2次按对密码. (1)因为事件A1与事件A2互斥, 由概率的加法公式得P(A)=P(A1)+P(A2)=+×=. (2)用B表示最后一位按偶数的事件,则P(A|B)=P(A1|B)+P((A2)|B)=+×=. 条件概率的性质及应用 1.利用公式P((B∪C)|A)=P(B|A)+P(C|A)可使条件概率的计算较为简单,但应注意这个性质的使用前提是“B与C互斥”. 2.为了求复杂事件的概率,往往需要把该事件分为两个或多个互斥事件,求出简单事件的概率后,相加即可得到复杂事件的概率. 思维提升 3.在某次考试中,要从20道题中随机地抽出6道题,若考生至少能答对其中的4道题即可通过;若至少能答对其中5道题就获得优秀,已知某考生能答对20道题中的10道题,并且知道他在这次考试中已经通过,求他获得优秀的概率. 跟踪训练 解:设事件A为“该考生6道题全答对”,事件B为“该考生答对了其中5道题,另一道答错”,事件C为“该考生答对了其中4道题,而另2道题答错”,事件D为“该考生在这次考试中通过”,事件E为“该考生在考试中获得优秀”,则A,B,C两两互斥,且D=A∪B∪C,E=A∪B,由古典概型计算概率的公式及概率的加法公式可知: P(D)=P(A∪B∪C)=P(A)+P(B)+P(C)=++=, P(AD)=P(A),P(BD)=P(B), P(E|D)=P(A∪B|D)=P(A|D)+P(B|D)=+=+=. 故所求的概率为. 〈课堂达标·素养提升〉 1.某班学生考试成绩中,数学不及格的占15%,语文不及格的占5%,两门都不及格的占3%.已知一学生数学不及格,则他语文也不及格的概率是(　　) A.0.2　　　　　　　　 B.0.33 C.0.5 D.0.6 A 记“数学不及格”为事件A,“语文不及格”为事件B,P(B|A)===0.2,所以数学不及格时,该学生语文也不及格的概率为0.2. 2.抛掷红、黄两枚质地均匀的骰子,当红色骰子的点数为4或6时,两枚骰子的点数之积大于20的概率是(　　) A. B. C. D. B 抛掷红、黄两枚骰子共有6×6=36个基本事件,其中红色骰子的点数为4或6的有12个基本事件,此时两枚骰子点数之积大于20包含4×6,6×4,6×5,6×6,共4个基本事件,所求概率为. 3.把一枚硬币投掷两次,事件A={第一次出现正面},B={第二次出现正 面},则P(B|A)=　　　　.  ∵P(A∩B)=,P(A)=,∴P(B|A)=. 4.某种元件用满6 000小时未坏的概率是,用满10 000小时未坏的概率 是,现有一个此种元件,已经用过6 000小时未坏,则它能用到10 000小时 的概率为　　　　.  设“用满6 000小时未坏”为事件A,“用满10 000小时未坏”为事件B,则 P(A)=,P(A∩B)=P(B)=, 所以P(B|A)===. 课时作业 巩固提升 [A组　必备知识练] 1.从1,2,3,4,5中任取2个不同的数,事件A=“取到的2个数之和为偶数”,事件B=“取到的2个数均为偶数”,则P(B|A)=(　　) A.　　　　　　　　 B. C. D. B ∵P(A)===,P(A∩B)==, ∴P(B|A)==. 2.下列说法正确的是(　　) A.P(B|A)<P(A∩B) B.P(B|A)=是可能的 C.0<P(B|A)<1 D.P(A|A)=0 B 由条件概率公式P(B|A)=及0≤P(A)≤1知P(B|A)≥P(A∩B),故A选项错误;当事件A包含事件B时,有P(A∩B)=P(B),此时P(B|A)=,故B选项正确;由于0≤P(B|A)≤1,P(A|A)=1,故C,D选项错误. 3.设A,B为两个事件,且P(A)>0,若P(A∩B)=,P(A)=,则P(B|A)等于(　　) A. B. C. D. 由题意,P(A∩B)=,P(A)=,根据条件概率的计算公式,可得P(B|A)===. D 4.(多选)为增进全体党员干部职工对党史知识的了解,某单位组织开展党史知识竞赛活动,以支部为单位参加比赛,某支部在5道党史题中(有3道选择题和2道填空题),不放回地依次随机抽取2道题作答,设事件A为“第1次抽到选择题”,事件B为“第2次抽到选择题”,则下列结论中正确的是(　 　) A.P(A)= B.P(AB)= C.P(B|A)= D.P(B|)= ABC P(A)==,故A正确; P(AB)==,故B正确; P(B|A)===,故C正确; P()=1-P(A)=1-=, P(B)==,P(B|)===,故D错误. 5.高一新生体检中发现:体重超重者占40%,血压异常者占15%,两者都有的占8%,今任选一人进行健康复查,已知此人超重,他血压异常的概率为　　　　.  记事件A表示体重超重,事件B表示血压异常,则P(A)=40%,P(AB)=8%, ∴P(B|A)===0.2. 0.2 6.一个袋子内装有除颜色不同外其余完全相同的3个白球和2个黑球,从中不放回地任取两次,每次取一球,在第一次取到的是白球的条件下,第 二次也取到白球的概率是　　　　.  记事件A:第一次取得白球. 事件B:第二次取得白球. 事件B|A:第一次取到白球的条件下,第二次也取得白球. 则P(B|A)===. 7.集合A={1,2,3,4,5,6},甲、乙两人各从A中任取一个数,若甲先取(不放回),乙后取,在甲抽到奇数的条件下,求乙抽到的数比甲抽到的数大的概率. 解:将甲抽到数字a,乙抽到数字b,记作(a,b),甲抽到奇数的情形有(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(3,1),(3,2),(3,4),(3,5),(3,6),(5,1),(5,2),(5,3), (5,4),(5,6),共15个,在这15个中,乙抽到的数比甲抽到的数大的有(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(3,4),(3,5),(3,6),(5,6),共9个,所以所求概率P==. [B组　关键能力练] 8.一袋中共有10个大小相同的黑球和白球,若从袋中任意摸出2个球,至少有1个白球的概率为,现从中不放回地取球,每次取1球,取2次,若已知第2次取得白球的条件下,则第1次取得黑球的概率为(　　) A. B. C. D. A 设黑球有x个(0<x<10,x∈N+),则白球有(10-x)个.从袋中任意摸出2个球,至少有1个白球的概率为,没有白球的概率为1-=.即==,由于0<x<10,x∈N+,故解得x=4.所以黑球有4个,白球有6个. 设事件A={第2次取得白球},事件B={第1次取得黑球}, P(A)===, P(AB)===. 所以已知第2次取得白球的条件下,则第1次取得黑球的概率为 P(B|A)===. 9.(多选)将3颗骰子各掷一次,记事件A表示“三个点数都不相同”,事件B表示“至少出现一个3点”,则(　　) A.P(B|A)= B.P(A|B)= C.P(A|B)= D.P(B|A)= CD 事件A发生的基本事件个数是n(A)=6×5×4=120,事件B发生的基本事件个数是n(B)=6×6×6-5×5×5=91,事件A,B同时发生的基本事件个数为n(A∩B)=3×5×4=60.所以P(A|B)==,P(B|A)===. 10.某校高三年级要从5名男生和2名女生中任选3名代表参加数学竞赛(每人被选中的机会均等),则在男生甲被选中的情况下,男生乙和女生丙 至少一个被选中的概率是　　　　.  设男生甲被选中为事件A,男生乙和女生丙至少一个被选中为事件B, 则P(A)==,P(AB)==,∴P(B|A)==. 11.某校研究性学习小组共6人,计划同时参观科普展,该科普展共有甲、乙、丙三个展厅,6人各自随机地确定参观顺序,在每个展厅参观一小时后去其他展厅,所有展厅参观结束后集合返回.设事件A:在参观的第1个小时内,甲、乙、丙三个展厅恰好分别有该小组的2个人.事件B:在参观 的第2个小时内,该小组在甲展厅人数恰好为2,则P(B|A)=　　　　.  由于6人各自随机地确定参观顺序,在参观的第1个小时内,总的基本事件有36个;事件A包含的基本事件有个;在事件A发生的条件下,在参观的第2个小时内,该小组在甲展厅人数恰好为2的基本事件为×4个,而总的基本事件为26.故所求概率为P(B|A)==. [C组　素养培优练] 12.如图,三行三列的方阵有9个数aij(i=1,2,3,j=1,2,3),从中任取三个数,已知取到a22的条件下,求至少有两个数位于同行或同列的概率. 解:设事件A=“任取的三个数中有a22”, 事件B=“三个数至少有两个数位于同行或同列”, 则=“三个数互不同行且不同列”, 依题意得n(A)==28,n(A∩)=2, 故P(|A)===, 则P(B|A)=1-P(|A)=1-=. 即已知取到a22的条件下,至少有两个数位于同行或同列的概率为. $$