第3章 章末检测(一) 排列、组合与二项式定理-【优化探究】2025-2026学年新教材高中数学选择性必修第二册同步导学案配套PPT课件（人教B版）

第三章　排列、组合与二项式定理 章末检测(一)　排列、组合与二项式定理 (时间:120分钟,满分:150分) 一、单项选择题(本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的) 1.在的展开式中,第四项为(　　) A.240　　　　　　　 B.-240 C.160x3 D.-160x3 D 由题意知,展开式的通项公式为Tr+1=(x2)6-r= (-2)rx12-3r, 令r=3,得T3+1=(-2)3x12-3×3=-160x3, 即第四项为-160x3. 2.一列轻轨在某段时间内从中山北至广州南往返一次,其中站点有:广州南、北滘、顺德、容桂、小榄、东升、中山北,则高铁部门应为这七个站间准备不同的轻轨票种数为(　　) A.21 B.30 C.36 D.42 七个站间准备不同的轻轨票种数为=7×6=42. D 3.将1,2,3填入3×3的方格中,要求每行、每列都没有重复数字,如图是一种填法,则不同的填写方法共有(　　) A.6种 B.12种 C.24种 D.48种 假设第一行为1,2,3,则第二行第一列可为2或3,此时其他剩余的空格都只有一种填法,又第一行有3×2×1=6(种)填法.故不同的填写方法共有6×2=12(种). 1 2 3 3 1 2 2 3 1 B 4.从7名男生和5名女生中选4人参加夏令营,规定男、女同学至少各有1人参加,则选法总数应为(　　) A. B. C.-- D.(++) 任选4人的方法数为,减去其中全部为男生或全部为女生的方法数+,故选法总数应为--. C 5.中国古代文化博大精深,其中很多发明至今还影响着我们,例如中国象棋.中国象棋中的“马”在棋盘上是行走“日”字(可纵走如由A到C,也可横走如由A到D),在如图所示的棋盘上,按中国象棋中“马”的走法,由A点到B点的最短走法有(　　) A.4种 B.5种 C.6种 D.7种 C 如图,若到B,则先到M和N处,最少4步,包含如下路线, D到N处有2种路线,D到M处有2种路线,C到M有2种路线,C到N处没有路线, 综上可知, A到B的最短走4步,有6种. 6.(2-)8的展开式中不含x4项的系数的和为(　　) A.-1 B.0 C.1 D.2 B (2-)8的展开式的通项公式为Tk+1=28-k·(-)k=(-1)k28-k, ∴x4项的系数为(-1)820=1, 又(2-)8的展开式的系数和为(2-)8=1. ∴不含x4项的系数和为1-1=0. 7.设a∈Z,且0≤a<15,若492 026+a能被15整除,则a=(　　) A.0 B.1 C.13 D.14 D 由492 026=(45+4)2 026=·452 026·40+·452 025·41+…+·45· 42 025+·450·42 026=·452 026·40+·452 025·41+…+·45· 42 025+42 026, 又由42 026=161 013=(15+1)1 013=·151 013+· 151 012+…+15+150, 所以492 026被15除的余数为1,而a∈Z,且0≤a<15, 若492 022+a能被15整除,则1+a=15,可得a=14. 8.有两个同心圆,在外圆周上有相异6个点,内圆周上有相异3个点,由这9个点决定的直线至少有(　　) A.36条 B.30条 C.21条 D.18条 C 在小圆上确定3个点,两两连接三个点,并延长交外圆于6个点, 下面确定这9个点确定的直线条数, 从9个元素中任取两个共有=36种结果, 其中有3组四个点在同一条直线上,所以要减去3=18, 这样多减了3条线, 所以共有-3+3=21条. 二、多项选择题(本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多个选项符合题目要求,全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分) 9.下列结论正确的是(　　) A.= B.=n(m,n为正整数且n>m>1) C.+= D.满足方程=的x值可能为x=1或x=5或x=-7或x=3 BC 对于A,=,故A错误; 对于B,因为=n(n-1)(n-1)…(n-m+1), =(n-1)(n-2)…=(n-1)(n-2)…(n-m+1), 所以=n(m,n为正整数且n>m>1),故B正确; 对于C,+=+=35,==35, 所以+=,故C正确; 对于D,因为=, 所以x2-x=5x-5或x2-x+5x-5=16, 解得x=1或x=5或x=3或x=-7, 当x=1时x2-x=5x-5=0符合题意; 当x=5时x2-x=5x-5=20>16,不符合题意,故舍去; 当x=3时x2-x=6,5x-5=10,符合题意; 当x=-7时x2-x=56>16,5x-5=-40<0,不符合题意,故舍去; 综上可得x=1或x=3,故D错误. 10.下列人员的坐法种数为24的是(　　) A.4把椅子排成一排,4人随机就座 B.6把椅子排成一排,3人随机就座,任何两人不相邻 C.4把椅子上写了4人的名字,4人均不坐在写着自己名字的座位上 D.4把椅子排成一排,甲、乙、丙、丁四人中甲、乙必须相邻 AB A项中,4把椅子排成一排,4人随机就座的坐法种数为=24,故A正确; B项中,利用“插空法”,先排3个空位,形成4个空隙供3人选择就座,因此任何两人不相邻的坐法种数为=4×3×2=24,故B正确; C项中,第一个人有3种选择,然后第一个人坐的座位名字对应的人也有3种选择,剩余两人只有1种选择,所以共有9种坐法,故C错误; D项中,4把椅子排成一排,甲、乙、丙、丁四人中甲、乙必须相邻的坐法种数为=12,故D错误. 11.(x+2y+z)n展开式为多项式,设其展开式经过合并同类项后的项数记为p(n),其通项的形式为amxiyjzn-i-j(am为项的系数),则下列说法正确的是(　　) A.当n=8时,含x3y2z3项的系数为2 240 B.当n=8时,含x3y2z3项的系数为6 272 C.p(11)=78 D.p(13)=78 AC (x+2y+z)n展开式为多项式,对应的项数可看为将n+3个相同的小球分为3组, 共有种方法,故p(n)==, 对选项A,n=8时,考虑8个(x+2y+z)相乘,其中3个选择x,2个选择y, 剩余的选择z,则系数为××22=2 240,正确; 对选项B,当n=8时,x3y2z3前的系数为2 240,错误; 对选项C,当n=11时,p(11)==78,正确; 对选项D,当n=13时,p(13)==105,错误. 三、填空题(本题共3小题,每小题5分,共15分) 12.小王准备从下周的周一至周日这7天中选择2天出差,则这2天不相邻的选择方法种数为　　　.  从7天中选择2天出差,共有==21种方法, 其中7天中选择2天相邻出差有周一、周二,周二、周三,周三、周四,周四、周五,周五、周六,周六、周天,共6种方法, 所以这2天不相邻的选择方法种数为21-6=15种. 15 13.在二项式(x+1)的展开式中,常数项为　　　.  -160 (x+1)=x+. 因为的通项公式为Tk+1=(2x)6-k·=(-1)k26-kx6-2k(0≤k≤6,k∈N+), 所以在x中,当6-2k=-1时,k=不满足; 在中,当6-2k=0时,k=3,则常数项为T4=(-1)323=-160. 14.为庆祝70周年校庆,学校开设A,B,C三门校史课程培训,现有甲、乙、丙、丁、戊、己六位同学报名参加学习,每位同学仅报一门,每门课至少有一位同学报名,则不同报名方法有　　　　　种.  540 将甲、乙、丙、丁、戊、己六位同学分为三组, 每组人数分别为4,1,1或3,2,1或2,2,2, 然后将这三组同学分配给A,B,C三门校史课程培训, 由分步计数原理可知,不同的报名方法种数为=540. 四、解答题(本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15.(13分)已知A={x|1<log2x<3,x∈N+},B={x||x-6|<3,x∈N+}.试问: (1)从集合A和B中各取一个元素作为直角坐标系中点的坐标,共可得到多少个不同的点? (2)从A∪B中取出三个不同的元素组成三位数,从左到右的数字要逐渐增大,这样的三位数有多少个? 解:A={3,4,5,6,7},B={4,5,6,7,8}. (1)A中元素作为横坐标,B中元素作为纵坐标,有5×5=25(个);B中元素作为横坐标,A中元素作为纵坐标,有5×5=25(个).又两集合中有4个相同元素,故有4×4=16个重复了一次,所以共有25+25-16=34个不同的点. (2)A∪B={3,4,5,6,7,8},则这样的三位数共有=20(个). 16.(15分)解下列方程: (1)x+=4; (2)3=4. 解:(1)由已知得x·x+x(x-1)(x-2)=4×,x≥3, 化简得x2-6x+8=0,解得x=4. (2)由3=4,得3×8×7×…×(11-x)×(10-x)×(9-x)=4×9×8×…×(11-x), 即3×(10-x)(9-x)=4×9,即x2-19x+78=0, 解得x=6或x=13, 又因为x≤8且x-1≤9,故x=6, 故3=4的解为x=6. 17.(15分)已知关于x的二项式的二项系数之和为32,其中m>0. (1)若m=1,求展开式中系数最大的项; (2)若展开式中含x2项系数为40,求展开式中所有有理项的系数之和. 解:(1)因为x的二项式的二项式系数之和为32,所以2n=32,解得n=5, 则二项式的展开式的通项公式为Tr+1=x5-r=mr, 当m=1时,Tr+1=mr=,所以当r=2或3时,展开式的系数最大, 故系数最大项为T3=x2=10x2和T4==10. (2)由(1)可得二项式的展开式的通项公式为Tr+1=mr, 令5-r=2,解得:r=2, 因为展开式中含x2项系数为40,所以m2=40,由m>0,得m=2, 所以二项式的展开式的通项公式为Tr+1=2r, 当5-r为整数,r可取0,2,4, 所以展开式中所有有理项为T1=20x5=x5,T3=22x2=40x2,T5=24x-1 =80x-1, 故展开式中所有有理项的系数之和为1+40+80=121. 18.(17分)我国古代数学史上一位著述丰富的数学家,他提出的杨辉三角是我国古代数学重大成就之一.如图为杨辉三角的部分内容.设杨辉三角中第n行的第r个数为,观察题图可知,相邻两行中三角形的两个腰都是由数字1组成的,其余的数都等于它肩上的两个数相加. (1)用公式表示出题目中叙述的规律,并加以证明. (2)在杨辉三角中是否存在某一行,使该行中三个相邻的数之比为3∶8∶14?若存在,试求出这三个数;若不存在,请说明理由. 解:(1)观察得到=+. 利用组合相关公式证明如下:+=+=·==, 故原式得证. (2)存在,理由如下: 设在第n行存在连续三项,,,其中n∈N+且n≥2,k∈N+且k≥2, 有=且=,化简得=且=, 即解得k=3,n=10, 故三个数依次是45,120,210. 19.(17分)如图,某心形花坛中有A,B,C,D,E,5个区域, 每个区域只种植一种颜色的花. (1)要把5种不同颜色的花种植到这5个区域中,每种 颜色的花都必须种植,共有多少种不同的种植方案? (2)要把4种不同颜色的花种植到这5个区域中,每种颜色的花都必须种植,共有多少种不同的种植方案? (3)要把红、黄、蓝、白4种不同颜色的花种植到这5个区域中,每种颜色的花都必须种植,要求相同颜色的花不能相邻种植,且有两个相邻的区域种植红、黄2种不同颜色的花,共有多少种不同的种植方案? 解:(1)由全排列可得,共有=120种不同的种植方案. (2)第一步,先将5个区域选出2个区域种植一种相同颜色的花,共有=40种方案; 第二步,再将剩余的3种颜色的花种植到剩下的3个区域,共有=6种方案. 所以共有40×6=240种不同的种植方案. (3)要把4种不同颜色的花分别种植到这5个区域中,则必然有2个区域种植相同颜色的花. 第一类,E区域种植红色的花,A,B,C,D,4个区域中有2个区域种植其他相同颜色的花, 则相同颜色的花必然种植在A,D或B,C区域,共有 1×=12种方案. 第二类,E区域种植黄色的花,同理可得,共有 1×=12种方案. 第三类,E区域种植蓝色的花,若有2个区域种植白色的花, 则没有两个相邻的区域种植红、黄2种不同颜色的花,所以不可能有2个区域种植白色的花, 故2个区域种植的相同颜色的花是红色或黄色的花,共有1×=8种方案. 第四类,E区域种植白色的花,同理可得,共有 1×=8种方案. 综上,共有12×2+8×2=40种不同的种植方案. $$