7.2.2 单位圆与三角函数线-【优化探究】2025-2026学年新教材高中数学必修第三册同步导学案配套PPT课件（人教B版）

7.2　任意角的三角函数 7.2.2　单位圆与三角函数线 第七章　三角函数 [学习目标]　1.了解三角函数线的意义,能用三角函数线表示一个角的正弦、余弦和正切.　2.能利用三角函数线解决一些简单的三角函数问题. 知识点1　单位圆与三角函数线 内容索引 知识点2　利用单位圆解三角不等式 课时作业 巩固提升 知识点3　三角函数线的综合应用 课堂达标·素养提升 3 知识点1　单位圆与三角函数线 1.在平面直角坐标系中,坐标满足　　　　　　的点组成的集合称为单位圆.  2.角α的终边与单位圆的交点为P,则P的坐标为(cos α,sin α),这就是说,角α的余弦和正弦分别等于角α终边与单位圆交点的　　　和　　　　.  x2+y2=1 横坐标 纵坐标 3.如果过角α的终边与单位圆的交点P作x轴的垂线,垂足为M,点A(1,0),角α的终边所在直线与直线x=1交于点T,如图. 习惯上,称为角α的余弦线,为角α的正弦线,为角α的正切线. 4.正弦线、余弦线和正切线都称为　　　　　　.  三角函数线 [例1]　分别作出π和-π的正弦线、余弦线和正切线. [解]　①在平面直角坐标系中作单位圆,如图甲,以Ox轴为始边作π角,角的终边与单位圆交于点P,作PM⊥Ox轴,垂足为M,过单位圆与Ox轴正方向的交点A作Ox轴的垂线,与OP的反向延长线交于点T,则sinπ=||,cosπ=-||,tanπ=-||,即π的正弦线为,余弦线为,正切线为. ②同理可作出-π的正弦线、余弦线和正切线,如图乙. sin=M1P1,cos=O1M1,tan=A1T1, 即-π的正弦线为,余弦线为,正切线为. 1.作正弦线、余弦线时,首先找到角的终边与单位圆的交点,然后过此交点作x轴的垂线,得到垂足,从而得到正弦线和余弦线. 2.作正切线时,应从A(1,0)点引单位圆的切线交角的终边于一点T,即可得到正切线,要特别注意,当角的终边在第二或第三象限时,应将角的终边反向延长,再按上述作法来作正切线. 思维提升 1.下列四个命题中: ①α一定时,单位圆中的正弦线一定; ②单位圆中,有相同正弦线的角相等; ③α和α+π有相同的正切线; ④具有相同正切线的两个角终边在同一条直线上. 不正确命题的个数是(　　) A.0　　　　　　　　　 B.1 C.2 D.3 跟踪训练 C 解析:由三角函数线的定义知①④正确,②③不正确.②中有相同正弦线的角可能不等,如与;③中当α=时,α与α+π都没有正切线. 知识点2　利用单位圆解三角不等式 [例2]　在单位圆中画出适合下列条件的角α终边的范围,并由此写出角α的集合. (1)sin α≥;(2)cos α≤-. [分析]　作出满足sin α=,cos α=-的角的终边,然后根据已知条件确定角α终边的范围. [解]　(1)作直线y=,交单位圆于A,B两点,连接OA,OB,则OA与OB围成的区域(图①中阴影部分)即为角α的终边的范围. 故满足条件的角α的集合为. (2)作直线x=-,交单位圆于C,D两点, 连接OC与OD,则OC与OD围成的区域 (图②中的阴影部分)即为角α的终边的范围. 故满足条件的角α的集合为. 1.用三角函数线来解基本的三角不等式的步骤 (1)作出取等号的角的终边; (2)利用三角函数线的直观性,在单位圆中确定满足不等式的角的范围; (3)将图中的范围用不等式表示出来. 2.求与三角函数有关的定义域时,先转化为三角不等式(组),然后借助三角函数线解此不等式(组)即可得函数的定义域. 思维提升 2.求y=lg(1-cos x)的定义域. 跟踪训练 解:如图所示, ∵1-cos x>0,∴cos x<, ∴2kπ+<x<2kπ+(k∈Z), ∴函数定义域为(k∈Z). 知识点3　三角函数线的综合应用 [例3]　已知α∈,试比较sin α,α,tan α的大小. [分析]　本题可以利用正弦线,所对的弧长及正切线来表示sin α,α,tan α,并借助它们所在的扇形及三角形的面积大小来解决. [解]　如图所示,设角α的终边与单位圆交于点P,单位圆交x轴正半轴于点A,作PM⊥x轴,PN⊥y轴,作AT⊥x轴,交α的终边于点T,由三角函数线的定义, 得sin α=ON=MP,tan α=AT, 又α=的长, ∴S△AOP=·OA·MP=sin α, S扇形AOP=·的长·OA =·的长=α, S△AOT=·OA·AT=tan α. 又∵S△AOP<S扇形AOP<S△AOT, ∴sin α<α<tan α. 1.本题的实质是数形结合思想,即要求找到与所研究问题相应的几何解释,再由图形相关性质解决问题. 2.三角函数线是单位圆中的有向线段,比较三角函数值大小时,一般把三角函数值转化为单位圆中的某些线段,进而用几何方法解决问题. 思维提升 3.用三角函数线证明:|sin α|+|cos α|≥1. 证明:如图,在△OMP中,OP=1,OM=|cos α|,MP=|sin α|,因为三角形两边之和大于第三边,所以|sin α|+|cos α|>1. 当点P在坐标轴上时,|sin α|+|cos α|=1. 综上可知,|sin α|+|cos α|≥1. 跟踪训练 〈课堂达标·素养提升〉 1.已知α(0<α<2π)的正弦线和余弦线长度相等,且符号相同,那么α的值为(　　) A.或 B.或 C.或 D.或 C 解析:由题意α的终边为一、三象限的平分线,且0<α<2π,故得α=或. 2.在[0,2π]上满足sin x≥的x的取值范围是(　　) A. B. C. D. B 解析:画出单位圆(图略),结合正弦线得出sin x≥的取值范围是. 3.不等式sin x≤的解集为　　　　　　 　　　　　　.  解析:如图,作出满足sin x=的角的正弦线和,∠M2OP2=,∠M2OP1=. 当角的终边位于图中阴影部分时满足sin x≤, 因此不等式sin x≤的解集为. 课时作业 巩固提升 [A组　必备知识练] 1.如果<α<,那么下列不等式成立的是(　　) A.cos α<sin α<tan α B.tan α<sin α<cos α C.sin α<cos α<tan α D.cos α<tan α<sin α 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 A 解析:法一:(特值法)令α=,则cos α=,tan α=,sin α=,故cos α<sin α<tan α. 法二:如图所示,在单位圆中分别作出α的正弦线、余弦线、正切线,则cos α<sin α<tan α. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 2.设a<0,角α的终边与单位圆的交点为P(-3a,4a),那么sin α+2cos α的值等于(　　) A. B.- C. D.- 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 A 解析:因为点P在单位圆上,则|OP|=1.即=1,解得a=±. 因为a<0,所以a=-,所以点P的坐标为, 所以sin α=-,cos α=,所以sin α+2cos α=-+2×=. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 3.设a=sin(-1),b=cos(-1),c=tan(-1),则有(　　) A.a<b<c B.b<a<c C.c<a<b D.a<c<b 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 C 解析:如图,作α=-1的正弦线,余弦线,正切线. 因为-<-1<-, 所以b=cos(-1)>0, a=sin(-1)<0,c=tan(-1)<0. 又正切线的长度大于正弦线的长度,所以a>c,即c<a<b. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 4.若单位圆中角α的余弦线长度为0,则它的正弦线的长度为　　　　.  解析:角α的终边在y轴上,其正弦线的长度为1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 5.比较大小:sin 1　　　　sin (填“>”或“<”).  解析:0<1<<,结合单位圆中的三角函数线知sin 1<sin. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 < 6.在单位圆中画出适合下列条件的角α的终边. (1)sin α=;(2)cos α=-. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解:(1)作直线y=交单位圆于P,Q两点,则OP与OQ为角α的终边,如图甲. (2)作直线x=-交单位圆于M,N两点,则OM与ON为角α的终边,如图乙. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 [B组　关键能力练] 7.(多选)下列说法正确的是(　 　) A.当角α的终边在x轴上时,角α的正切线是一个点 B.当角α的终边在y轴上时,角α的正切线不存在 C.正弦线的始点随角的终边位置的变化而变化 D.余弦线和正切线的始点都是原点 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 ABC 解析:根据三角函数线的概念,A,B,C是正确的,只有D不正确.因为余弦线的始点在原点而正切线的始点在单位圆与x轴正半轴的交点上. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 8.点P(sin 3-cos 3,sin 3+cos 3)所在的象限为(　　) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 D 解析:因为π<3<π,作出单位圆如图所示.设||,||分别为a,b.sin 3=a>0,cos 3=-b<0,所以sin 3-cos 3>0. 因为||<||,即a<b,所以sin 3+cos 3=a+b<0. 故点P(sin 3-cos 3,sin 3+cos 3)在第四象限. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 9.若0<α<2π,且sin α<,cos α>.利用三角函数线,得到α的取值范围是 　　 　　.  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 ∪ 解析:利用三角函数线得α的终边落在如图所示∠AOB区域内, 所以α的取值范围是∪. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 10.sin,cos,tan从小到大的顺序是　　　 　.  解析:由图可知:cos<0,tan>0,sin>0. 因为||<||,所以sin<tan. 故cos<sin<tan. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 cos <sin<tan 11.已知α∈,求证:1<sin α+cos α<. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 证明:如图所示,设角α的终边与单位圆交于点P(x,y),过P作PM⊥Ox,PN⊥Oy,M,N分别为垂足. ∴|MP|=y=sin α,|OM|=x=cos α, 在△OMP中,|OM|+|MP|>|OP|, ∴sin α+cos α>1. ∵S△OAP=|OA|·|MP|=y=sin α, S△OBP=|OB|·|NP|=x=cos α, 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 S扇形OAB=π×12=, 又∵S△OAP+S△OBP<S扇形OAB, ∴sin α+cos α<, 即sin α+cos α<, ∴1<sin α+cos α<. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 [C组　素养培优练] 12.设θ是第二象限角,试比较sin,cos,tan的大小. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解:θ是第二象限角,即2kπ+<θ<2kπ+π(k∈Z), 故kπ+<<kπ+(k∈Z). 作出所在范围如图所示. 当2kπ+<<2kπ+(k∈Z)时,cos<sin<tan. 当2kπ+<<2kπ+π(k∈Z)时, sin<cos<tan. $$