7.3.2 第2课时 正弦型函数的性质与图象(二)-【优化探究】2025-2026学年新教材高中数学必修第三册同步导学案配套PPT课件（人教B版）

7.3　三角函数的性质与图象 7.3.2　正弦型函数的性质与图象 第2课时　正弦型函数的性质与图象(二) 第七章　三角函数 [学习目标]　1.能根据y=Asin(ωx+φ)的部分图象求其解析式.　2.会求正弦型函数y=Asin(ωx+φ)的周期、单调性、最值、对称性.　3.能利用y=Asin(ωx+φ)的性质与图象解决有关综合问题. 知识点1　已知图象求函数y=Asin(ωx+φ)的解析式 内容索引 知识点2　函数y=Asin(ωx+φ)的有关性质 课时作业 巩固提升 知识点3　y=Asin(ωx+φ)的性质与图象的综合应用 课堂达标·素养提升 3 知识点1　已知图象求函数y=Asin(ωx+φ)的解析式 [例1]　如图是函数y=Asin(ωx+φ)的图象的一部分,求此函数的解析式. [分析]　解答本题可由最高点、最低点确定A,再由周期确定ω,然后由图象所过的点确定φ. [解]　法一(逐一定参法): 由题图知A=3,T=-=π, ∴ω==2,∴y=3sin(2x+φ). ∵点在函数图象上,∴0=3sin, ∴-×2+φ=kπ,k∈Z,得φ=+kπ,k∈Z. ∵|φ|<,∴φ=,∴y=3sin. 法二(待定系数法): 由题图知A=3. ∵图象过点和, ∴解得 ∴y=3sin. 给出y=Asin(ωx+φ)的图象的一部分,确定A,ω,φ的方法 1.逐一定参法:如果从图象可直接确定A和ω,则选取“五点法”中的“第一零点”的数据代入“ωx+φ=0”(要注意正确判断哪一点是“第一零点”)求得φ或选取最大值点时代入公式ωx+φ=+2kπ,k∈Z,选取最小值点时代入公式ωx+φ=+2kπ,k∈Z. 思维提升 2.待定系数法:将若干特殊点代入函数式,可以求得相关待定系数A,ω,φ.这里需要注意的是,要认清所选择的点属于五个点中的哪一点,并能正确代入列式. 3.图象变换法:运用逆向思维的方法,先确定函数的基本解析式y=Asin ωx,再根据图象平移、伸缩规律确定相关的参数. 1.函数y=sin(ωx+φ)(x∈R,ω>0,0≤φ<2π)的部分图象如图所示,则(　　) A.ω=,φ= B.ω=,φ= C.ω=,φ= D.ω=,φ= 跟踪训练 C 解析:由所给图象可知,=2,∴T=8. 又∵T=,∴ω=. ∵图象在x=1处取得最高点,∴+φ=+2kπ(k∈Z), ∴φ=+2kπ(k∈Z).∵0≤φ<2π,∴φ=. 知识点2　函数y=Asin(ωx+φ)的有关性质 函数y=Asin(ωx+φ),A>0,ω>0的有关性质 性质 内容 定义域 R 值域 [-|A|,|A|] 周期性 T= 对称中心 (k∈Z) 对称轴 x=+(k∈Z) 性质 内容 奇偶性 当φ=kπ(k∈Z)时是奇函数;当φ=+kπ(k∈Z)时是偶函数 单调性 由-+2kπ≤ωx+φ≤+2kπ,k∈Z,解得单调递增区间;由+2kπ≤ωx+φ≤+2kπ,k∈Z,解得单调递减区间 [例2]　已知函数f(x)=sin+. (1)求f(x)的最小正周期及单调递增区间; (2)求f(x)的图象的对称轴方程和对称中心; (3)求f(x)的最小值及取得最小值时x的取值集合. [解]　(1)函数f(x)的最小正周期T==π, 由-+2kπ≤2x+≤+2kπ(k∈Z), 得-+kπ≤x≤+kπ(k∈Z), 所以f(x)的单调递增区间为(k∈Z). (2)令2x+=+kπ(k∈Z), 则x=+(k∈Z), 所以对称轴方程为x=+(k∈Z); 令2x+=kπ(k∈Z),则x=-+(k∈Z), 所以对称中心为(k∈Z). (3)当sin=-1, 即2x+=-+2kπ(k∈Z), 即x=-+kπ(k∈Z)时,f(x)取得最小值为, 此时x的取值集合是. 有关函数y=Asin(ωx+φ)的性质的问题,要充分利用正弦曲线的性质,要特别注意整体代换思想的应用. 思维提升 2.(多选)函数f(x)=3sin的图象为C,则以下结论中正确的是(　　) A.图象C关于直线x=对称 B.图象C关于点对称 C.函数f(x)在区间上单调递增 D.由y=3sin 2x的图象向右平移个单位可以得到图象C 跟踪训练 BC 解析:f=3sin=3sin=-. f=3sin=0,故A错误,B正确; 令-+2kπ≤2x-≤+2kπ,k∈Z, 解得-+kπ≤x≤+kπ,k∈Z,故C正确; 函数y=3sin 2x的图象向右平移个单位,得到函数y=3sin=3sin的图象,故D错误. 知识点3　y=Asin(ωx+φ)的性质与图象的综合应用 [例3]　已知函数y=Asin(ωx+φ)的图象过点P,图象上离P点最近的一个最高点的坐标为. (1)求函数解析式; (2)指出函数的单调递增区间; (3)求使y≤0的x的取值范围. [解]　(1)∵图象最高点的坐标为, ∴A=5. ∵=-=,∴T=π,∴ω==2, ∴y=5sin(2x+φ). 代入点,得sin=1, ∴+φ=+2kπ(k∈Z), ∴φ=-+2kπ(k∈Z), 又|φ|<,∴φ=-,∴y=5sin. (2)∵函数的单调递增区间满足-+2kπ≤2x-≤+2kπ(k∈Z), ∴-+2kπ≤2x≤+2kπ(k∈Z), ∴-+kπ≤x≤+kπ(k∈Z), ∴函数的单调递增区间为(k∈Z). (3)∵5sin≤0, ∴-π+2kπ≤2x-≤2kπ(k∈Z), ∴-+kπ≤x≤+kπ(k∈Z). 故所求x的取值范围是(k∈Z). 形如y=Asin(ωx+φ)性质的综合问题,一般用公式T=确定周期,将ωx+φ看作一个整体,类比y=sin x的有关性质求y=Asin(ωx+φ)的有关性质. 思维提升 3.已知方程2sin-1=a,x∈有两解,求a的取值范围. 跟踪训练 解:由题意sin=. 令y1=sin,y2=,t=2x+, ∵x∈, ∴t∈, 作出y1=sin t,t∈的图象如图, 依题意要使y1=sin t,t∈与y2=的图象有两个不同交点. 则由图可知-1<<0或=1. 解得-3<a<-1或a=1. ∴a的取值范围是(-3,-1)∪{1}. 〈课堂达标·素养提升〉 1.函数y=Asin(ωx+φ)+k的图象如图所示,则它的振幅A与最小正周期T分别是(　　) A.A=3,T= B.A=3,T= C.A=,T= D.A=,T= 解析:由题图可知A=(3-0)=,设周期为T,则T=-=,得T=. D 2.(多选)已知函数f(x)=2sin(ωx+φ)图象的一条对称轴方程为x=,与其相邻对称中心的距离为,则(　　) A.f(x)的最小正周期为π B.f(x)的最小正周期为2π C.φ= D.φ= AC 解析:因为f(x)图象相邻的对称中心与对称轴的距离为,所以最小正周期T=π,故A正确,B不正确; 因为ω==2,且2×+φ=+kπ,k∈Z,|φ|<,所以φ=,故C正确,D不正确. 3.已知f(x)=3sin(ωx+φ)对任意x都有f=f,则f等于　　　　　.  解析:由f=f知x=是f(x)的一条对称轴,故f=±3. ±3 课时作业 巩固提升 [A组　必备知识练] 1.若x1=,x2=是函数f(x)=sin ωx(ω>0)两个相邻的最值点,则ω等于(　　) A.2 B. C.1 D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 A 解析:由题意知=x2-x1=-=,所以T=π,ω=2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 2.已知函数y=sin(ωx+φ)的部分图象如图所示,则(　　) A.ω=1,φ= B.ω=1,φ=- C.ω=2,φ= D.ω=2,φ=- 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 D 解析:依题意得T==4×=π,所以ω=2. 又sin=sin=1, 所以+φ=+2kπ,k∈Z,所以φ=-+2kπ,k∈Z, 由|φ|<,得φ=-. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3.(多选)若函数f(x)=sin是奇函数,则φ的一个可能取值为(　　) A.2 024π B.- C.-π D.- 解析:f(x)=±sinx是奇函数,则φ=kπ,k∈Z时,f(x)=sin=±sinx. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 AC 4.(多选)若将函数f(x)=sin的图象向右平移个单位得到g(x)的图象,则下列判断正确的是(　 　) A.函数g(x)的最小正周期是π B.g(x)的图象关于直线x=对称 C.函数g(x)在区间上单调递减 D.g(x)的图象关于点对称 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 ABD 解析:由题意,得 g(x)=sin=sin.对于A,函数g(x)的最小正周期T==π,正确; 对于B,g=sin=1为函数g(x)的最大值,即g(x)的图象关于直线x=对称,正确; 对于C,当x∈时,2x-∈[-π,0],则函数g(x)在区间上不单调,错误; 对于D,g=0,即g(x)的图象关于点对称,正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 5.已知函数y=sin(ωx+φ)(ω>0,-π≤φ<π)的图象如图所示,则φ=　　　　.  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 解析:由题图知函数y=sin(ωx+φ)的周期为2=,∴=,∴ω=. ∵当x=时,y有最小值-1, ∴×+φ=2kπ- ,k∈Z, ∴φ=-+2kπ,k∈Z. ∵-π≤φ<π,∴φ=. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 6.已知函数f(x)=sin,x∈,则函数f(x)的单调递增区间为 　 　　　.  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 解析:由-+2kπ≤3x-≤+2kπ,k∈Z,得-+2kπ≤3x≤+2kπ,k∈Z, ∴-+≤x≤+,k∈Z. 又x∈, ∴令k=1得≤x≤π, ∴单调递增区间为. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 7.函数y=Asin(ωx+φ)在x∈(0,7π)内只取到一个最大值和一个最小值,且当x=π时,ymax=3;当x=6π时,ymin=-3. (1)求此函数的解析式; (2)求此函数的单调递增区间. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 解:(1)由题意得A=3,T=5π,所以T=10π,所以ω==,则y=3sin. 因为点(π,3)在此函数图象上,则3sin=3. 又0≤φ ≤,有φ=-=, 所以y=3sin. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 (2)当-+2kπ≤x+≤+2kπ,k∈Z, 即-4π+10kπ≤x≤π+10kπ,k∈Z时, 函数y=3sin单调递增, 所以此函数的单调递增区间为[-4π+10kπ,π+10kπ](k∈Z). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 8.已知函数f(x)=2sin,x∈R. (1)写出函数f(x)的对称轴方程、对称中心的坐标及单调区间; (2)求函数f(x)在区间上的最大值和最小值. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 解:(1)由2x-=kπ+,k∈Z,解得f(x)的对称轴方程是x=+π,k∈Z;由2x-=kπ,k∈Z,解得对称中心是,k∈Z;由2kπ-≤2x-≤2kπ+,k∈Z,解得单调递增区间是,k∈Z;由2kπ+≤2x-≤2kπ+π,k∈Z,解得单调递减区间是,k∈Z. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 (2)∵0≤x≤, ∴-≤2x-≤π, ∴当2x-=-,即x=0时,f(x)取最小值为-1; 当2x-=,即x=时,f(x)取最大值为2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 [B组　关键能力练] 9.函数f(x)=Asin(ωx+φ)的部分图象如图所示,为了得到g(x)=sin 3x的图象,则只要将f(x)的图象(　　) A.向右平移个单位长度 B.向右平移个单位长度 C.向左平移个单位长度 D.向左平移个单位长度 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 B 解析:由图象知,函数f(x)的周期T=4×==,所以ω=3.因为函数f(x)的图象过图中最小值点,所以A=1且sin=-1.又因为|φ|<,所以φ=,所以f(x)=sin.因为g(x)=sin 3x,所以g(x)=f,为了得到g(x)=sin 3x的图象,只需将f(x)的图象向右平移个单位长度. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 10.已知函数f(x)=Asin(ωx+φ) 的部分图象如图所示,则f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2 024)等于(　　) A. B.0 C.+2 D.-2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 B 解析:由f(x)=Asin(ωx+φ) 的图象可知,A=2,T=8,故ω==. 又f(0)=0且|φ|<,则可得出φ=0, 故f(x)=2sinx. 又根据函数的对称性可知f(1)=f(3)=-f(5) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 =-f(7)=,f(2)=-f(6)=2,f(4)=f(8)=0, 所以f(1)+f(2)+f(3)+…+f(8)=0, 所以f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2 023)+f(2 024) =253×[f(1)+f(2)+f(3)+…+f(8)] =0. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 11.已知函数f(x)=sin(ω>0),f=f,且f(x)在区间上有最 小值,无最大值,则ω=　　　　.  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 解析:∵f(x)=sin(ω>0),f=f,且f(x)在区间上有最小值,无最大值, ∴f(x)的图象关于直线x=对称, 即关于直线x=对称,且-<T=, ∴·ω+=+2kπ,k∈Z, 则ω=8k+,k∈Z. 又0<ω<12,∴取k=0,得ω=. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 12.已知定义在区间上的函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,0<φ≤π)的图象关于直线x=-对称,当x∈时,f(x)的图象如图所示. (1)求f(x)在上的解析式; (2)求方程f(x)=的解. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解:(1)由题图知:A=1, T=4=2π,则ω==1, 在x∈时, 将代入f(x)得, f=sin=1. 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 因为0<φ ≤π,所以φ=, 所以在x∈时,f(x)=sin. 同理在x∈时,f(x)=-sin x. 综上,f(x)= 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 (2)由f(x)=在区间内可得x1=,x2=-. 因为y=f(x)关于x=-对称, 有x3=-,x4=-. 则f(x)=的解为x=-或-或或-. 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 [C组　素养培优练] 13.如图为函数f(x)=Asin(ωx+φ)的部分图象. (1)求函数f(x)的解析式; (2)求函数f(x)的单调递增区间; (3)将函数y=f(x)的图象向右平移个单位,得到函数y=g(x)的图象,若方程g(x)=m在上有两个不相等的实数根,求实数m的取值范围. 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解:(1)由题中的图象知,A=2,=-=, 所以T=π,ω==2.因为图象过点, 所以2×+φ=+2kπ,k∈Z, 解得φ=+2kπ,k∈Z. 因为|φ|<,所以φ=,故函数解析式为f(x)=2sin. 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 (2)令-+2kπ≤2x+≤+2kπ,k∈Z, 解得-+kπ≤x≤+kπ,k∈Z, 所以f(x)的单调递增区间为,k∈Z. 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 (3)由题意得g(x)=2sin在上的图象如图所示, 由函数的图象可知,当m∈[,2)时,方程g(x)=m在上有两个不相等的实数根, 故实数m的取值范围是[,2). 13 $$