7.3.2 第1课时 正弦型函数的性质与图象(一)-【优化探究】2025-2026学年新教材高中数学必修第三册同步导学案配套PPT课件（人教B版）

7.3　三角函数的性质与图象 7.3.2　正弦型函数的性质与图象 第1课时　正弦型函数的性质与图象(一) 第七章　三角函数 [学习目标]　1.理解y=Asin(ωx+φ)中ω,φ,A对图象的影响.掌握y=sin x与y=Asin(ωx+φ)图象间的变换关系.　2.理解用五点法作图作y=Asin(ωx+φ)的图象.　3.了解y=Asin(ωx+φ)图象的物理意义,能指出振幅、周期、频率、初相. 知识点1　正弦型函数 内容索引 知识点2　用“五点法”画y=Asin(ωx+φ)的图象 课时作业 巩固提升 课堂达标·素养提升 3 知识点1　正弦型函数 1.正弦型函数 (1)一般地,形如y=Asin(ωx+φ)(其中A,ω,φ都是常数,且A≠0,ω≠0)的函数,通常称为正弦型函数. (2)函数y=Asin(ωx+φ)的周期T=,频率f=,初相为　　　　,值域为 　 　　　,　　　也称为振幅,|A|的大小反映了y=Asin(ωx+φ)的波动幅度的大小.  φ [-|A|,|A|] |A| 2.A,ω,φ对函数y=Asin(ωx+φ)图象的影响 (1)φ对函数y=sin(x+φ)图象的影响 (2)ω对函数y=sin(ωx+φ)图象的影响 (3)A对函数y=Asin(ωx+φ)图象的影响 3.正弦型函数y=Asin(ωx+φ)中,A,ω,φ的物理意义 (1)振幅:当函数y=Asin(ωx+φ)表示一个物体做简谐运动的位移时,|A|表示物体能偏离平衡位置的最大距离. (2)初相:　　在决定x=0时物体的位置(即Asin φ)中起关键作用.  (3)周期:T=表示物体完成一次运动所需要的时间. (4)频率:f==表示单位时间内能够完成的运动次数. φ 角度1　平移变换:φ对函数y=sin(x+φ)图象的影响 [例1]　(1)将函数y=2sin的图象向右平移个周期后,所得图象对应的函数为(　　) A.y=2sin B.y=2sin C.y=2sin D.y=2sin D (2)要得到y=cos的图象,只要将y=sin 2x的图象(　　) A.向左平移个单位 B.向右平移个单位 C.向左平移个单位 D.向右平移个单位 A [解析]　(1)函数y=2sin的周期为T==π,向右平移个周期,即向右平移后,得到图象对应的函数为y=2sin=2sin. (2)y=cos=sin =sin=sin 2, 所以将y=sin 2x的图象向左平移个单位得到y=cos的图象. 对平移变换应先观察函数名是否相同,若函数名不同则先化为同名函数.再观察x前系数,当x前系数不为1时,应提取系数确定平移的单位和方向,方向遵循左加右减,且从ωx→ωx+φ的平移量为个单位. 思维提升 1.将函数y=sin的图象向左平移个单位,则所得图象的解析式为　　　 　.  解析:将函数y=sin的图象向左平移个单位,所得图象对应的函数为y=sin=sin(2x+π)=-sin 2x. 跟踪训练 y=-sin 2x 角度2　伸缩变换:A和ω(A>0,ω>0)对函数y=Asin(ωx+φ)图象的影响 [例2]　函数y=2sin图象上所有点的横坐标保持不变,将纵坐标 　　　　(填“伸长”或“缩短”)为原来的　　　　倍,将会得到函数 y=3sin的图象.  伸长 [解析]　A=3>2,故函数y=2sin图象上所有点的横坐标保持不变,将纵坐标伸长为原来的倍,即可得到函数y=3sin的图象. 由函数y=sin x的图象经变换得到y=Asin(ωx+φ)的图象的两种不同路径: 思维提升 注意先平移后伸缩和先伸缩后平移,平移的量是不同的,应用时要区分清楚,以免混乱而导致错误. 2.将函数y=sin x的图象上所有的点向右平移个单位,再把各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),所得图象的函数解析式是(　　) A.y=sin B.y=sin C.y=sin D.y=sin 跟踪训练 C 解析:将y=sin x的图象向右平移个单位得到y=sin的图象,再将图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)得到y=sin的图象. 3.(多选)以下四种变换方式,能将函数y=sin x的图象变换成函数y=sin的图象的是(　　) A.向左平移个单位,再将每个点的横坐标缩短为原来的 B.向右平移个单位,再将每个点的横坐标缩短为原来的 C.将每个点的横坐标缩短为原来的,再向右平移个单位 D.将每个点的横坐标缩短为原来的,再向左平移个单位 AD 解析:A,D中的变换方式满足要求;B中的变换得到y=sin的图象;C中的变换得到y=sin的图象. 知识点2　用“五点法”画y=Asin(ωx+φ)的图象 [例3]　利用五点法作出函数y=3sin在一个周期内的草图. [解]　依次令x-=0,,π,,2π,列出表格. x- 0 π 2π x y=3sin 0 3 0 -3 0 描点作图,如图所示. 1.用“五点法”作图时,五点的确定,应先令ωx+φ分别为0,,π,,2π,解出x,从而确定这五点. 2.作给定区间上y=Asin(ωx+φ)的图象时,若x∈[m,n],则应先求出ωx+φ的相应范围,再求出的范围内确定关键点,再确定x,y的值,描点(有时会六个点)、连线并作出函数的图象. 思维提升 4.已知y=1+sin,画出y在x∈上的图象. 跟踪训练 解:∵x∈,∴2x-∈. 列表如表所示. 2x- - -π - 0 x - - - y=1+sin 2 1 1- 1 1+ 2 描点作图,如图所示. 〈课堂达标·素养提升〉 1.函数y=3sin的振幅和周期分别为(　　) A.3,4　　　B.3,　　　C.,4　　　D.,3 解析:由于函数y=3sin,∴振幅是3,周期是T==4. A 2.(多选)下列命题中正确的是(　　) A.将y=sin x图象上的所有点向右平移π个单位得到y=-sin x的图象 B.当φ>0时,将y=sin x图象上的所有点向右平移φ个单位得到函数y=sin(x+φ)的图象 C.y=sin的图象可由y=sin的图象上所有点的纵坐标不变,横坐标变为原来的得到 D.y=2sin 3x的图象可由y=sin 3x的图象上所有点横坐标不变,纵坐标变为原来的得到 AC 解析:将y=sin x向右平移π个单位得y=sin(x-π)=-sin x,A正确. 当φ>0时,y=sin x向右平移φ个单位得到y=sin(x-φ),B错误.C正确.y=sin 3x将纵坐标变为原来的2倍得到y=2sin 3x,D错误. 3.利用“五点法”作函数y=2sin的图象时,所取的五个点的坐标 为　　　　　 　　　　　　.  解析:令2x-=0,,π,,2π得x=,,,,,故五个点的坐标为,,,,. ,,,, 4.将函数f(x)=sin的图象向左平移个单位,再将图象上各点的横坐标缩短到原来的(纵坐标不变),则所得图象对应的函数解析式为 　 　　　.  y=sin 解析:将函数f(x)=sin的图象向左平移个单位后,得到函数y=sin=sin的图象,再将图象上各点的横坐标缩短到原来的(纵坐标不变),得到函数y=sin的图象. 课时作业 巩固提升 [A组　必备知识练] 1.将函数y=sin的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),再将所得图象向左平移个单位长度,则所得函数图象对应的解析式为(　　) A.y=sin B.y=sin C.y=sinx D.y=sin 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 D 解析:函数y=sin的图象上所有点的横坐标变为原来的2倍,得y=sin的图象,再将此图象向左平移个单位长度,得y=sin=sin的图象. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 2.将函数f(x)=sin的图象分别向左、向右平移φ(φ>0)个单位长度后,所得的图象都关于y轴对称,则φ的最小值分别为(　　) A., B., C., D., 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 A 解析:函数f(x)的图象向左平移φ个单位长度得到函数g(x)=sin的图象,向右平移φ个单位长度得到函数h(x)=sin的图象,于是,2φ+=+kπ,k∈Z,-2φ+=+kπ,k∈Z,于是φ的最小值分别为,. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3.函数y=sin在区间上的简图是(　　) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 A 解析:法一:用五点法列表、描点、作图. 法二:取特殊点可否定3个选项, 当x=时,y=sin 0=0,C,D错误; 当x=0时,y=sin=-,B错误. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 4.函数f(x)=sin(ωx+φ)的图象上所有的点向左平移个单位,若所得图象与原图象重合,则ω的值不可能为(　　) A.4 B.6 C.8 D.12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 B 解析:y=f(x)的图象向左平移个单位后得到y=sin=sin,其图象与原图象重合,有ω=2kπ,k∈Z, 即ω=4k,k∈Z.故ω的值不可能为6. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 5.将函数y=sin x的图象向左平移φ(0≤φ<2π)个单位后,得到函数 y=sin的图象,则φ=　　　　.  解析:将函数y=sin x的图象向左平移φ个单位后,得y=sin(x+φ)的图象,而y=sin=sin,所以φ=. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 6.将函数f(x)=sin(ωx+φ)的图象上每一点的横坐标缩短为原来的一半,纵坐标不变,再向右平移个单位得到y=sin x的图象,则f=　　　　.  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 解析:把函数y=sin x的图象向左平移个单位得到y=sin的图象,再把函数y=sin图象上每一点的横坐标伸长为原来的2倍,纵坐标不变,得到函数f(x)=sin的图象,所以f=sin=. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 7.已知函数f(x)=3sin+3(x∈R),用五点法画出它在一个周期内的简图. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 解:列表: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 + 0 π 2π x - f(x) 3 6 3 0 3 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 描点画图: 8.函数f(x)=5sin的图象是由y=sin x的图象经过怎样的变换得到的? 解:先把函数y=sin x的图象向右平移个单位,得y=sin的图象; 再把所得函数图象上所有点的横坐标缩短为原来的(纵坐标不变), 得y=sin的图象;然后把所得函数图象上所有点的纵坐标伸长到原来的5倍(横坐标不变)得函数y=5sin的图象(答案不唯一). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 [B组　关键能力练] 9.先将y=f(x)的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,然后将图象向右平移个单位,所得图象恰与y=sin的图象重合,则f(x)=(　　) A.sin B.sin C.sin D.sin 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 A 解析:首先将函数y=sin的图象向左平移个单位长度,得到y=sin=sin的图象,然后把图象上所有点的横坐标缩短为原来的,纵坐标不变,得到y=sin的图象. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 10.设ω>0,函数y=sin+2的图象向右平移个单位后与原图象重合,则ω的值可以为(　　) A. B.2 C.3 D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 C 解析:函数y=sin+2的图象向右平移个单位后,得到函数y=sin+2=sin+2的图象,因为两图象重合, 所以ωx+=ωx-++2kπ,k∈Z, 解得ω=k,k∈Z,又ω>0,所以当k=2时,ω=3. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 11.已知函数f(x)=Asin ωx(A>0,ω>0)的最小正周期为π,将y=f(x)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),所得图象对应的函数为y=g(x).若g=,则f的值为　　　　.  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 解析:∵f(x)的最小正周期为π, ∴=π,∴ω=2,∴f(x)=Asin 2x. 将y=f(x)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变), 所得图象对应的函数为g(x)=Asin x. ∵g=,∴g=Asin=A=, ∴A=2,∴f(x)=2sin 2x, ∴f=2sin=2×=. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 12.某同学作函数f(x)=Asin(ωx+φ)在[0,π]这一周期内的简图时,列表并填入了部分数据,如表: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 ωx+φ   0 π π   x 0     π π f(x)         -3   (1)请将上表数据补充完整,并求出f(x)的解析式; (2)作出f(x)在该周期内的图象; (3)请描述上述函数图象可以由函数y=sin x的图象怎样变换而来. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 解:(1)由表可得,A=3,周期T=π,故ω==2. 再将最低点代入, 得3sin=-3. 又由于|φ|<,故φ=-,故f(x)=3sin. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 补全如表. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 ωx+φ - 0 π π π x 0 π π f(x) - 0 3 0 -3 - (2)对应的图象如图所示. (3)把y=sin x的图象向右平移个单位得y=sin的图象,再将所得图象的横坐标变为原来的倍,纵坐标不变得y=sin,再将所得图象的纵坐标变为原来的3倍,横坐标不变得y=3sin. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 [C组　素养培优练] 13.已知函数f(x)=2sin ωx,其中常数ω>0.令ω=2,将函数y=f(x)的图象向左平移个单位,再向上平移1个单位,得到函数y=g(x)的图象,区间[a,b](a,b∈R且a<b)满足:y=g(x)在[a,b]上至少含有30个零点,在所有满足上述条件的[a,b]中,求b-a的最小值. 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解:由f(x)=2sin 2x可得, g(x)=2sin+1=2sin+1, g(x)=0⇒sin=- ⇒x=kπ-或x=kπ-,k∈Z, 即g(x)的零点相邻间隔依次为和, 故若y=g(x)在[a,b]上至少含有30个零点, 则b-a的最小值为14×+15×=. 13 $$