4.6 函数的应用(二)-【优化探究】2025-2026学年新教材高中数学必修第二册同步导学案配套PPT课件（人教B版）

4.6　函数的应用(二) 第四章　指数函数、对数函数与幂函数 [学习目标]　1.掌握幂函数、指数函数、对数函数模型的应用.　2.能够选择合适的数学模型分析解决实际问题. 知识点1　指数型函数模型 内容索引 知识点2　对数型函数模型 课时作业 巩固提升 知识点3　幂函数型模型 课堂达标·素养提升 3 知识点1　指数型函数模型 1.表达形式:f(x)=abx+c. 2.条件:a,b,c为常数,a≠0,b>0,b≠1. 某城市现有人口总数为100万人,如果年自然增长率为1.2%,试解答下列问题: (1)写出该城市人口总数y(万人)与年份x(年)的函数关系式; [分析]　具体列出一年后、二年后、三年后的人口总数,利用归纳的方法,确定函数关系. 例1 [解]　(1)1年后该城市人口总数为y=100+100×1.2%=100(1+1.2%); 2年后该城市人口总数为 y=100×(1+1.2%)+100×1.2%(1+1.2%)=100(1+1.2%)2; 3年后该城市人口总数为 y=100×(1+1.2%)2+100×(1+1.2%)2·1.2%=100(1+1.2%)3; x年后该城市人口总数为y=100×(1+1.2%)x. (2)计算10年后该城市人口总数(精确到0.1万人); [分析]　具体列出一年后、二年后、三年后的人口总数,利用归纳的方法,确定函数关系. [解]　(2)10年后该城市人口数为100×(1+1.2%)10=112.7(万人). (3)计算大约多少年后该城市人口将达到120万人(精确到1年).(取1.01210=1.127,log1.0121.20=15). [分析]　具体列出一年后、二年后、三年后的人口总数,利用归纳的方法,确定函数关系. [解]　(3)设x年后该城市人口将达到120万人,即100×(1+1.2%)x=120, ∴1.012x=1.20. ∴x=log1.0121.20=15(年). ∴大约15年后该城市人口将达到120万人. 在实际问题中,有关人口增长、银行复利、细胞分裂等增长率问题常用指数型函数模型表示,通常可以表示为y=N(1+p)x(其中N为基础数,p为增长率,x为时间)的形式. 思维提升 1.某食品的保鲜时间y(单位:小时)与储藏温度x(单位:℃)满足函数关系y=ekx+b(e为自然对数的底数,k,b为常数).若该食品在0 ℃的保鲜时间是192小时,在22 ℃的保鲜时间是48小时,则该食品在33 ℃的保鲜时间是 　　　　小时.  跟踪训练 24 由题意得解得所以当x=33时,y=e33k+b=(e11k)3eb=×192=24. 知识点2　对数型函数模型 1.表达形式:f(x)=mlogax+n. 2.条件:m,n,a为常数,m≠0,a>0,a≠1. 候鸟每年都要随季节的变化而进行大规模地迁徙,研究某种鸟类的专家发现,该种鸟类的飞行速度v(单位:m/s)与其耗氧量Q之间的关系为v=a+blog3(其中a,b是实数).据统计,该种鸟类在静止的时候其耗氧量为30个单位,而其耗氧量为90个单位时,其飞行速度为1 m/s. (1)求出a,b的值; [分析]　(1)根据已知列出方程组,解方程组求a,b的值; 例2 [解]　(1)由题意可知,当这种鸟类静止时,它的速度为0 m/s,此时耗氧量为30个单位,故有a+blog3=0,即a+b=0　①;当耗氧量为90个单位时,速度为1 m/s,故a+blog3=1,整理得a+2b=1　②. 解方程组得 (2)若这种鸟类为赶路程,飞行的速度不能低于2 m/s,则其耗氧量至少要多少个单位? [分析]　(2)由(1)列出不等式,解不等式求Q的最小值. [解]　(2)由(1)知,v=a+blog3=-1+log3.所以要使飞行速度不低于2 m/s,则有v≥2, 即-1+log3≥2, 即log3≥3,解得≥27,即Q≥270. 所以若这种鸟类为赶路程,飞行的速度不能低于2 m/s,则其耗氧量至少要270个单位. 对数函数y=logax(x>0,a>1)经复合可以得到对数型函数,其函数值变化比较缓慢.直接以对数型函数作为模型的应用问题不是很多,但我们知道,对数运算实际上是求指数的运算,因此在指数函数模型中,也常用对数计算. 思维提升 2.某公司为激励创新,计划逐年加大研发资金投入.若该公司2016年全年投入研发资金130万元,在此基础上,每年投入的研发资金比上一年增长12%,则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是(　　) (参考数据:lg 1.12=0.05,lg 1.3=0.11,lg 2=0.30) A.2018年　　　　　　　　 B.2019年 C.2020年 D.2021年 跟踪训练 C 设经过n年该公司全年投入的研发资金开始超过200万元,由题意,得130(1+12%)n>200, ∴1.12n>=,两边取对数,得n>log1.12====3.8, ∵n∈N+,∴n的最小值为4. 故2020年开始该公司全年投入的研发资金开始超过200万元. 知识点3　幂函数型模型 1.解析式:y=axα+b(a,b,α为常数,a≠0,α≠1). 2.单调性:其增长情况由xα中的α的取值而定. 某公司研发的A,B两种芯片都已经获得成功.该公司研发芯片已经耗费资金2千万元.现在准备投入资金进行生产.经市场调查与预测,生产A芯片的毛收入y1(千万元)与投入的资金x1(千万元)成正比,已知每投入1千万元,公司获得毛收入0.25千万元;生产B芯片的毛收入y2(千万元)与投入的资金x2(千万元)的函数关系为y2=k(x2>0),其图象如图所示. 例3 (1)试分别求出生产A,B两种芯片的毛收入y(千万元)与投入资金x(千万元)的函数关系式. [解]　(1)由题意可得生产A芯片的毛收入y1与投入资金x1的函数关系式为y1=(x1>0), 将(1,1),(4,2)代入y2=k,得 解得 所以生产B芯片的毛收入y2与投入资金x2的函数关系式为y2=(x2>0). (2)如果公司只生产一种芯片,生产哪种芯片的毛收入更多? [解]　(2)作出y1=(x1>0),y2=(x2>0)的图象如图. 所以当投入资金大于16千万元时,生产A芯片的毛收入更多; 当投入资金等于16千万元时,生产A,B芯片的毛收入相等; 当投入资金小于16千万元时,生产B芯片的毛收入更多. (3)现在公司准备投入4亿元资金同时生产A,B两种芯片,设投入x千万元生产B芯片,用f(x)表示公司所获得的利润,当x为多少时,可以获得最大利润?并求最大利润.(利润=A芯片毛收入+B芯片毛收入-研发耗费资金) [解]　(3)公司投入4亿元资金同时生产A,B两种芯片,投入x千万元生产B芯片,则投入(40-x)千万元资金生产A芯片,则公司所获利润f(x)=+-2=-(-2)2+9,故当=2,即x=4时,公司所获得利润最大,最大利润为9千万元. 幂函数模型的常见题型及解法 常见题型:一是给出含参数的函数关系式;二是根据题意直接列出相应的关系式.幂函数的应用题大多可与指数函数的应用题相互转化,因为在y=(1+a)b中,如果a是已知的,b是待求的,那么此问题是指数函数问题;如果b是已知的,a是待求的,那么此问题是幂函数问题. 思维提升 3.一种新型电子产品计划投产两年后使成本降低36%,那么平均每年应降低成本(　　) A.18%　　　　　　　　 B.20% C.24% D.36% 设平均每年降低成本x,则(1-x)2=1-36%=0.64,解得x=0.2=20%或x=1.8=180%(舍去). 跟踪训练 B 〈课堂达标·素养提升〉 1.已知某工厂12月份的产量是1月份产量的7倍,则该工厂这一年中的月平均增长率是(　　) A.-1　　　　　　　　 B. C.-1 D. A 设月平均增长率为x,1月份产量为a, 则有a(1+x)11=7a,则1+x=, 故x=-1. 2.据统计,第x年到鄱阳湖国家湿地公园越冬的白鹤数量y(只)近似满足y=alog3(x+2),观测发现第1年有越冬白鹤3 000只,估计第7年有越冬白鹤(　　) A.4 000只 B.5 000只 C.6 000只 D.7 000只 C 当x=1时,由3 000=alog3(1+2),得a=3 000, 所以当x=7时,y=3 000×log3(7+2)=6 000. 3.已知气压P(百帕)与海拔高度h(m)的关系式为P=1 000,则海拔6 000 m处的气压为　　　　百帕.   将h=6 000代入关系式,得P=4.9百帕. 4.9 4.为绿化生活环境,某市开展植树活动.今年全年植树6.4万棵,若植树的棵数每年的增长率均为a,则经过x年后植树的棵数y与x之间的解析式是　　 　　,若计划3年后全年植树12.5万棵,则a=　　　　.  y=6.4(1+a)x 25% 经过x年后植树的棵数y与x之间的解析式是y=6.4(1+a)x, 由题意可知6.4(1+a)3=12.5, 所以(1+a)3=, 所以1+a=,故a==25%. 课时作业 巩固提升 [A组　必备知识练] 1.某工厂第三年的产量比第一年的产量增长44%,若每年的平均增长率相同(设为x),则下列结论中正确的是(　　) A.x>22%　　　　　 B.x<22% C.x=22% D.x的大小由第一年产量确定 由题意设第一年产量为a,则第三年产量为a(1+44%)=a(1+x)2,∴x=0.2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 B 13 14 2.已知某抽气机每次可抽出容器内空气的60%,要使容器内的空气少于原来的0.1%,则至少要抽(参考数据:lg 2≈0.301)(　　) A.6次 B.7次 C.8次 D.9次 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 C 13 14 设至少抽x次可使容器内的空气少于原来的0.1%,则(1-60%)x<0.1%,即0.4x<0.001, ∴xlg 0.4<-3,∴x>=≈7.5. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3.衣柜里的樟脑丸随着时间会挥发而体积缩小,刚放进的新丸体积为a,经过t天后体积V与天数t的关系式为V=ae-kt,新丸经过50天后,体积变为a.若一个新丸体积变为a,则需经过的天数为(　　) A.75 B.100 C.125 D.150 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 A 13 14 由题意,得a=ae-50k,解得e-25k=.令ae-kt=a,即e-kt==(e-25k)3=e-75k,则t=75,即需经过的天数为75. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 4.科学家以里氏震级来度量地震的强度,若设I为地震时所散发出来的相对能量程度,则里氏震级r可定义为r=0.6lg I.若6.5级地震释放的相对能量为I1,7.4级地震释放的相对能量为I2,记n=,则n约等于(　　) A.16 B.20 C.32 D.90 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 C 13 14 ∵r=0.6lg I,∴I=1. 当r=6.5时,I1=1,当r=7.4时,I2=1, ∴n==1÷1=1=10×≈32. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 5.某公司为了业务发展制订了一个激励销售人员的奖励方案,在销售额x为8万元时,奖励1万元;销售额x为64万元时,奖励4万元.若公司拟定的奖励模型为y=alog4x+b.某业务员要得到8万元奖励,则他的销售额应为 　　　　万元.  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 024 13 14 依题意得 即解得a=2,b=-2. ∴y=2log4x-2,当y=8时,2log4x-2=8, 解得x=1 024.故他的销售额应为1 024万元. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 6.在不考虑空气阻力的条件下,火箭的最大速度v m/s和燃料的质量 M kg、火箭(除燃料)的质量m kg满足函数关系v=2 000ln.当燃料质量是火箭质量的　　　　倍时,火箭最大速度可达12 km/s. (e6≈403.429,结果保留整数)  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 402 13 14 ∵v=2 000ln,∴火箭的最大速度可达12 km/s,即12 000= 2 000ln,得ln=6,1+=e6,解得=e6-1≈402. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 7.对于5年可成材的树木,在此期间的年生长率为18%,以后的年生长率为10%.树木成材后,即可出售,然后重新栽树木;也可以让其继续生长.问:哪一种方案可获得较大的木材量(注:只需考虑10年的情形)? 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 解:设新树苗的木材量为Q,则10年后有两种结果: 连续生长10年,木材量N=Q(1+18%)5(1+10%)5; 生长5年后重新栽树木,木材量M=2Q(1+18%)5.则=. ∵(1+10%)5≈1.61<2,∴>1,即M>N. 因此,生长5年后重新栽树木可获得较大的木材量. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 8.假设你有一笔资金用于投资,现有三种投资方案供你选择,这三种方案的回报如下: 方案一:每天回报40元; 方案二:第一天回报10元,以后每天比前一天多回报10元; 方案三:第一天回报0.4元,以后每天的回报比前一天翻一番. 请问,你会选择哪种投资方案? 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 解:设第x天所得回报是f(x)元, 则方案一可用函数f1(x)=40(x∈N+)进行描述; 方案二可用函数f2(x)=10x(x∈N+)进行描述; 方案三可用函数f3(x)=0.4·2x-1(x∈N+)进行描述. 作出以上三个函数在[0,+∞)上的图象,如图所示. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 由图象可知,每天所得回报,在第1~3天,方案一最多;在第4天,方案一、二同样多;在第5~8天,方案二最多;第9天开始,方案三最多.我们再看累计回报数,列表如下: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 　天数回报/元   方案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 一 40 80 120 160 200 240 280 320 360 400 440 二 10 30 60 100 150 210 280 360 450 550 660 三 0.4 1.2 2.8 6 12.4 25.2 50.8 102 204.4 409.2 818.8 13 14 从上表可知,投资7天以内(不含7天),应选择第一种投资方案;投资7天,选择第一、二种方案均可;投资8~10天,应选择第二种投资方案;投资11天以上(含11天),应选择第三种投资方案. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 [B组　关键能力练] 9.某工厂生产两种成本不同的产品,由于市场销售发生变化,A产品连续两次提价20%,B产品连续两次降价20%,结果都以23.04元出售,此时厂家同时出售A,B产品各1件,盈亏情况是(　　) A.不亏不赚 B.亏5.92元 C.赚5.92元 D.赚28.96元 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 B 13 14 设A产品的原价为a元,B产品的原价为b元,则a(1+20%)2=23.04,求得a=16; b(1-20%)2=23.04,求得b=36. 则a+b=52元,而23.04×2=46.08(元). 故亏52-46.08=5.92(元). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 10.某种热饮需用开水冲泡,其基本操作流程如下:①先将水加热到 100 ℃,水温y(℃)与时间t(min)近似满足一次函数关系;②用开水将热饮冲泡后在室温下放置,温度y(℃)与时间t(min)近似满足的函数关系式为y=80+b(a,b为常数),通常这种热饮在40 ℃时,口感最佳,某天室温为20 ℃,冲泡热饮的部分数据如图所示,那么按上述流程冲泡一杯热饮,并在口感最佳时饮用,最少需要的时间为(　　) A.35 min B.30 min C.25 min D.20 min 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 C 13 14 由题意,当0≤t≤5时,函数图象是一条线段,当t≥5时,函数的解析式为y=80+b,将点(5,100)和点(15,60)代入解析式,有 解得a=5,b=20, 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 故函数的解析式为y=80+20,t≥5. 令y=40,解得t=25,故最少需要的时间为25 min. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 11.把物体放在冷空气中冷却,如果物体原来的温度是θ1 ℃,空气的温度是θ0 ℃,t min后物体的温度θ ℃可由公式θ=θ0+(θ1-θ0)·e-0.24t求得,且把温度是100 ℃的物体放在10 ℃的空气中冷却t min后,物体的温度是40 ℃,那么t的值约等于　　　　.(结果保留三位有效数字.参考数据:ln 3取1.099,ln 2取0.693)  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 4.58 13 14 由题意可得40=10+(100-10)e-0.24t, 化简可得e-0.24t=,所以-0.24t=ln =-ln 3, 所以0.24t=ln 3≈1.099,所以t≈4.58. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 12.某池塘中野生水葫芦的面积与时间的函数关系图象如图所示.假设其函数关系为指数函数,并给出下列说法: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 ①此指数函数的底数为2; ②在第5个月时,野生水葫芦的面积就会超过30 m2; ③野生水葫芦从4 m2蔓延到12 m2只需1.5个月; ④设野生水葫芦蔓延至2 m2,3 m2,6 m2所需的 时间分别为t1,t2,t3,则有t1+t2=t3; ⑤野生水葫芦在第1到第3个月之间蔓延的平均 速度等于在第2到第4个月之间蔓延的平均速度. 其中,正确的是　　 　　.(填序号)  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 ①②④ 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 ∵关系为指数函数, ∴可设y=ax(a>0且a≠1).由图可知2=a1. ∴a=2,即底数为2,∴说法①正确; ∵25=32>30,∴说法②正确; ∵4对应的t=2,经过1.5月后面积是23.5<12, ∴说法③不正确; t1=1,t2=log23,t3=log26,∴t1+t2=t3.∴说法④正确; ∵指数函数增加速度越来越快, ∴说法⑤不正确.故正确的有①②④. 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13.某跨国饮料公司在对全世界所有人均GDP(即人均纯收入)在0.5~8千美元的地区销售该公司A饮料的情况调查时发现:该饮料在人均GDP处于中等的地区销售量最多,然后向两边递减. (1)下列几个模拟函数中:①y=ax2+bx;②y=kx+b;③y=logax+b;④y=ax+b(x表示人均GDP,单位:千美元,y表示年人均A饮料的销售量,单位:L).用哪个模拟函数来描述人均A饮料销售量与地区的人均GDP关系更合适?说明理由. 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解:(1)用①来模拟比较合适,因为该饮料在人均GDP处于中等的地区销售量最多,然后向两边递减,而②,③,④表示的函数在区间上是单调函数,所以②,③,④都不合适,故用①来模拟比较合适. 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 (2)若人均GDP为1千美元时,年人均A饮料的销售量为2 L,人均GDP为4千美元时,年人均A饮料的销售量为5 L,把(1)中你所选的模拟函数求出来,并求出各个地区中,年人均A饮料的销售量最多是多少? 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解: (2)因为人均GDP为1千美元时,年人均A饮料的销量为2升;人均GDP为4千美元时,年人均A饮料的销量为5升,把x=1,y=2;x=4,y=5代入到y=ax2+bx,得解得所以函数解析式为y=-x2+x(x∈[0.5,8]). 因为y=-x2+x=-+, 所以当x=时,年人均A饮料的销售量最多是 L. 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 [C组　素养培优练] 14.某医药公司针对某种疾病开发了一种新型药物.患者单次服用指定规格的该药物后,其体内的药物浓度c(mg/L)随时间t(h)的变化情况(如图所示):当0≤t≤1时,c与t的函数关系式为c=m(2t-1)(m为常数);当t≥1时,c与t的函数关系式为c=k·(k为常数).服药2 h后,患者体内的药物浓度为10 mg/L.这种药物在患者体内的药物浓度不低于最低有效浓度,才有疗效;而超过最低中毒浓度,患者就会有危险. 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 (1)首次服药后,药物有疗效的时间是多长? (参考数据:lg 2≈0.3,lg 3≈0.477) 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解:(1)当t≥1时,c=k·,函数图象过点(2,10), 所以k·=10,解得k=40. 所以当t=1时,c=40×=20. 所以当0≤t≤1时,c=m(2t-1)的图象过点(1,20), 所以m=20,所以c=20·2t-20. 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 由20·2t-20≥10得2t≥, 所以t≥log2 =≈=0.59, 则首次服药后,药物有疗效的时间为2-0.59=1.41(h). 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 (2)首次服药1 h后,可否立即再次服用同种规格的这种药物? (参考数据:lg 2≈0.3,lg 3≈0.477) 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解: (2)设再次服用同等规格的药物x小时后的药物浓度为y. 当0≤x≤1时,y=20·2x-20+40·=20·(2x+2-x)-20,此函数在[0,1]内单调递增, 所以当x=1时,ymax=30. 当x>1时,y=40·+40·=60·<30. 因为30<32,所以首次服药1 h后,可以立即 再次服用同等规格的这种药物. 13 14 $$