第4章 阶段练3(范围4.3—4.6)-【优化探究】2025-2026学年新教材高中数学必修第二册同步导学案配套PPT课件（人教B版）

阶段练3(范围4.3—4.6) 第四章　指数函数、对数函数与幂函数 1.已知f=(k2+2k+2)x2k+1+m-3是幂函数,则f=(　　) A.3　　　　　　　　　　　　 B. C.6 D. 由题知k2+2k+2=1,解得k=-1,且m-3=0,解得m=3,∴f=x-1 =,∴f=f=. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 D 13 2.已知a=1.70.3,b=0.90.3,c=0.93.1,则a,b,c的大小关系为(　　) A.c<b<a B.a<c<b C.b<a<c D.c<a<b 因为y=x0.3在定义域上是增函数,所以1.70.3>0.90.3, 因为y=0.9x在定义域上是减函数,所以0.90.3>0.93.1, 所以1.70.3>0.90.3>0.93.1, 即c<b<a. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 A 13 3.幂函数y=x2,y=x-1,y=,y=在第一象限内的图象依次是如图中的曲线(　　) A.C1,C2,C3,C4 B.C1,C4,C3,C2 C.C3,C2,C1,C4 D.C1,C4,C2,C3 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 D 13 根据幂函数y=xn的性质可知,在第一象限内的图象,当n>0时,图象递增, 且n越大,图象递增速度越快,由此可判断C1是曲线y=x2,C2是曲线y=; 当n<0时,图象递减,且越大,图象越陡,由此可判断C3是曲线y=, C4是曲线y=x-1;综上所述幂函数y=x2,y=x-1,y=,y=, 在第一象限内的图象依次是如图中的曲线C1,C4,C2,C3. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 4.在一次数学实验中,运用图形计算器采集到如下一组数据: 则x,y的函数关系式与下列哪类函数最接近?(其中a为待定系数)(　　) A.y=ax B.y=ax2+1 C.y=loga(x+1) D.y= 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 x -2.0 -1.0 0 1.00 2.00 3.00 y 0.24 0.51 1 2.02 3.98 8.02 A 13 将对应得在坐标系中点出,得: 根据图形形状可得,其与指数函数图象最为接近. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 5.已知a=π-e,b=,c=,则a,b,c 的大小关系是(　　) A.b<c<a B.b<a<c C.a<b<c D.a<c<b 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 D 13 由题意:a=<1,作对数函数y=ln x的图象如图: F,G,H是x轴上对应x=4,5,6的点,过F,G,H作x轴的垂线,与函数y=ln x的图象交于A,B,C点, 则AF=ln 4,BG=ln 5,CH=ln 6, 过A,B点作平行于x轴的直线分别与BG,CH交于D, E点,由于函数y=ln x的增长速度是随x的增大而变慢的, ∴∠BAD>∠CBE,即CE<BD,===1+,===1+, ∵CE<BD,BG>AF,∴>,>>1.故a<c<b. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 6.(多选)下列函数中是奇函数且在上单调递增的是(　　) A.y=x3 B.y= C.y=ex D.y= 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 AB 13 A选项,y=x3为奇函数且在R上单调递增,满足要求,A正确; B选项,g=的定义域为R,且g==-=-g,故g=为奇函数, 又因为>0,故g=在单调递增,B正确; C选项,y=ex为指数函数,结合图象可知其不是奇函数,C错误; D选项,y==故当0<x<1时,y=-ln x单调递减,D错误. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 7.(多选)函数f=,g=x,h=,在区间上(　 　) A.f递减速度越来越慢 B.g递减速度越来越慢 C.h递减速度越来越慢 D.g的递减速度慢于h递减速度 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 ABC 13 根据指数函数、对数函数及幂函数的性质结合图象可知在区间上, f=递减速度越来越慢,故A正确; g=x递减速度越来越慢,故B正确; h=递减速度越来越慢,故C正确; h的递减速度慢于g递减速度,故D错误. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 8.函数y=,-1≤x≤0的值域为　　　　　.  由幂函数性质可知y=在上单调递增, 又易知y=,x∈R为偶函数, 所以当-1≤x≤0时,可知y=在上单调递减,可得0≤y≤1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 9.写出一个同时具有下列性质①②③的函数f:　　 　　　.  ①f=ff;②当x∈时,f为增函数;③f为R上偶函数. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 f=x2(答案不唯一) 13 由性质①可联想到幂函数, 由性质②可知该幂函数的指数大于0, 由性质③可考虑将该幂数函数的自变量加上绝对值,或指数为偶数,或指数为分式形式且分子为偶数, 综上,可考虑f=或f=xa(a为正偶数)或f=, 不妨取a=2,得f=x2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 10.对于任意正整数n,2n+2　　　　(填“>”“<”或“=”)(n+1)2.  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 > 13 当n=1时,2n+2=8>=4, 当n=2时,2n+2=16>=9, 当n=3时,2n+2=32>=16, 当n=4时,2n+2=64>=25, …… 在上随自变量的增大,y=ax的增长速度会超过并远远大于y=xn的增长速度. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 11.甲、乙、丙、丁四个物体同时从某一点出发向同一个方向运动,其路程fi(x)(i=1,2,3,4)关于时间x(x≥0)的函数关系式分别为f1(x)=2x-1,f2(x)=x2,f3(x)=x,f4(x)=log2(x+1),有以下结论: ①当x>1时,甲走在最前面; ②当x>1时,乙走在最前面; ③当0<x<1时,丁走在最前面,当x>1时,丁走在最后面; ④丙不可能走在最前面,也不可能走在最后面; ⑤如果它们一直运动下去,最终走在最前面的是甲. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 其中,正确结论的序号为　　　　 (把正确结论的序号都填上,多填或少填均不得分).  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 ③④⑤ 13 f1(x)=2x-1,f2(x)=x2,f3(x)=x,f4(x)=log2(x+1),它们相应的函数模型分别是指数型函数、二次函数、一次函数和对数型函数模型,函数图象如图: 当x=2时,f1(2)=3,f2(2)=4,∴命题①不正确; 当x=5时,f1(5)=31,f2(5)=25,∴命题②不正确; 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 对数型函数的变化是先快后慢,当x=1时,甲、乙、丙、丁四个物体重合,从而可知当0<x<1时,丁走在最前面,当x>1时,丁走在最后面,命题③正确; 结合对数型和指数型函数的图象变化情况,可知丙不可能走在最前面,也不可能走在最后面,命题④正确. 指数型函数变化是先慢后快,当运动的时间足够长时, 最前面的物体一定是按照指数型函数运动的物体, 即一定是甲物体,∴命题⑤正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 12.已知幂函数f(x)=·x2m-4在(-∞,0)上单调递减. (1)求函数f的解析式; 解:(1)由幂函数f=·x2m-4在上单调递减, 可得解得m=3, 所以f=x2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 (2)若f<f,求x的取值范围; 解: (2)由函数f=x2图象关于y轴对称,且在[0,+∞)上单调递增, 则f<f可化为<,平方得4x2-4x+1<x2+4x+4, 化简得3x2-8x-3<0,解得-<x<3,所以x的取值范围是. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 (3)若对任意x∈,都存在a∈,使得f(x)≤at2-t+a+1成立,求实数t的取值范围. 解: (3)由(1)知f=x2,因为对∀x∈, 使得f≤at2-t+a+1都成立, 所以f≤at2+t+2a+9,其中x∈, 由(1)可得函数f=x2在x∈上的最大值为4,所以at2-t+a+1≥4, 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 因为存在a∈,使得at2-t+a+1≥4成立,可得≥0, 又因为t2+1>0,所以y=a-t-3是关于a的单调递增函数, 所以=2-t-3≥0, 即2t2-t-1>0,解得t≤-或t≥1, 所以实数t的取值范围为∪. 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13.某公园池塘里浮萍的面积y(单位:m2)与时间t(单位:月)的关系如下表所示: 现有以下三种函数模型可供选择:①y=kt+b,②y=p·at+q,③y=m·logat+n,其中k,b,p,q,m,n,a均为常数,a>0且a≠1. 时间t/月 1 2 3 4 浮萍的面积y/m2 3 5 9 17 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 (1)直接选出你认为最符合题意的函数模型,并求出y关于t的函数解析式; 解:(1)应选择函数模型②y=p·at+q. 依题意,得解得 所以y关于t的函数解析式为y=2t+1. 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 (2)若该公园池塘里浮萍的面积蔓延到15 m2,31 m2,211 m2所经过的时间分别为t1,t2,t3,写出一种t1,t2,t3满足的等量关系式,并说明理由. 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解: (2)t1+t2=t3+1. 理由:依题意,得+1=15,+1=31,+1=211, 所以=14,=30,=210, 所以·=420, 所以·==420=2×=, 所以t1+t2=t3+1. 13 $$