7.4.2 第1课时 超几何分布-【优化探究】2025-2026学年新教材高中数学选择性必修第三册同步导学案配套PPT课件（人教A版）

7.4　二项分布与超几何分布 7.4.2　超几何分布 第1课时　超几何分布 第七章　随机变量及其分布 学习单元4 [学习目标]　1.理解超几何分布,能够判定随机变量是否服从超几何分布.　2.能够利用超几何分布解决简单的实际问题,会求服从超几何分布的随机变量的均值. 知识点1　超几何分布 内容索引 知识点2　超几何分布的概率 课时作业 巩固提升 知识点3　超几何分布的均值 课堂达标·素养提升 3 知识点1　超几何分布 一般地,假设一批产品共有N件,其中有M件次品.从N件产品中随机抽取n件(不放回),用X表示抽取的n件产品中的次品数,则X的分布列为 P(X=k)=　　　　　,k=m,m+1,m+2,…,r.  其中n,N,M∈N*,M≤N,n≤N,m=max{0,n-N+M},r=min{n,M},则称随机变量X服从超几何分布. 微提醒: 1.在超几何分布的模型中,“任取n件”应理解为“不放回地一次取一件,连续取n件”. 2.超几何分布的特点:①不放回抽样;②考察对象分两类;③实质是古典概型. [例1]　下列问题中,哪些属于超几何分布问题,说明理由. (1)抛掷三枚骰子,所得向上的数是6的骰子的个数记为X,求X的分布列; (2)有一批种子的发芽率为70%,任取10颗种子做发芽实验,把实验中发芽的种子的个数记为X,求X的分布列; (3)盒子中有红球3只,黄球4只,蓝球5只,任取3只球,把不是红色的球的个数记为X,求X的分布列; (4)某班级有男生25人,女生20人.选派4名学生参加学校组织的活动,其中女生人数记为X,求X的分布列; (5)将一枚硬币连抛3次,正面向上的次数X; (6)某射手射击的命中率为0.8,现对目标射击3次,记命中目标的次数为X. [解] 　(1)(2)中样本没有分类,不是超几何分布问题,是重复试验问题. (3)(4)符合超几何分布的特征,样本部分为两类,随机变量X表示抽取n件样本某类样本被抽取的件数,是超几何分布. (5)(6)中属于二项分布. 判断一个随机变量是否服从超几何分布,应看三点: 1.总体是否可分为两类明确的对象; 2.是否为不放回抽样; 3.随机变量是否为样本中其中一类个体的个数. 思维提升 1.(多选)在一个袋中装有质地大小一样的6个黑球,4个白球,现从中任取4个小球,设取的4个小球中白球的个数为X,则下列结论正确的是(　　) A.P(X=1)= B.P(X=2)= C.随机变量X服从超几何分布 D.随机变量X服从二项分布 跟踪训练 BC 解析:由题意知随机变量X服从超几何分布, X的取值分别为0,1,2,3,4, 则P(X=0)==,P(X=1)==, P(X=2)==,P(X=3)==,P(X=4)==. 知识点2　超几何分布的概率 [例2]　现有来自甲、乙两班学生共7名,从中任选2名都是甲班的概率为. (1)求7名学生中甲班的学生数; (2)设所选2名学生中甲班的学生数为X,求X≥1的概率. [解]　(1)设甲班的学生人数为M,则==,M2-M-6=0, 解得M=3或M=-2(舍去). ∴7名学生中甲班的学生共有3人. (2)由题意可知,X服从超几何分布, ∴P(X≥1)=P(X=1)+P(X=2)=+=+=. 关于超几何分布的概率求法:首先明确随机变量是否服从超几何分布,把握等可能、不放回两个特点;其次是明确公式中的参数,即N,M,n的值各是什么;最后代入公式计算概率. 思维提升 2.一袋中装有大小、质地均相同的5个白球,3个黄球和2个黑球,从中任取3个球,则至少含有一个黑球的概率是(　　) A.　　　　　　　　 B. C. D. 解析:根据题意,至少含有一个黑球的概率是=. 跟踪训练 B 3.课桌上有12本书,其中理科书籍有4本,现从中任意拿走6本书,用随机变量X表示这6本书中理科书籍的本数,则概率为+的是(　　) A.P(X≤1) B.P(X=1) C.P(X>1) D.P(X>2) A 解析:由题意,随机变量X表示这6本书中理科书籍的本数,且服从超几何分布, 所以+=P(X=0)+P(X=1)=P(X≤1). 知识点3　超几何分布的均值 设随机变量X服从超几何分布,则X可以解释为从包含M件次品的N件产 品中,不放回地随机抽取n件产品中的次品数.令p=,则E(X)==np. [例3]　为推动乒乓球运动的发展,某乒乓球比赛允许不同协会的运动员组队参加.现有来自甲协会的运动员3名,其中种子选手2名;乙协会的运动员5名,其中种子选手3名,从这8名运动员中随机选择4人参加比赛.设X为选出的4人中种子选手的人数,求随机变量X的分布列及数学期望. [分析]　先确定X的取值,X服从服从超几何分布,其中N=8,n=4,M=5,再按照超几何分布概率公式分别计算概率,列出分布列,再代入超几何分布的数学期望公式. [解]　随机变量X的所有可能取值为1,2,3,4. P(X=k)=(k=1,2,3,4). 故P(X=1)==,P(X=2)==, P(X=3)==,P(X=4)==, ∴随机变量X的分布列为 ∴随机变量X的数学期望为E(X)===. X 1 2 3 4 P 1.求超几何分布的分布列:先确定随机变量的取值,再分别利用公式计算相应的概率,最后列出分布列. 2.求超几何分布的均值与方差的方法 列出随机变量X的分布列,利用均值与方差的计算公式直接求解,或者利用公式E(X)=求解. 思维提升 4.袋中有3个红球,7个白球,这些球除颜色不同外其余完全相同,从中无放回地任取5个,取出几个红球就得几分,则得分的均值为　　　　.  解析:用X表示所得分数,则X也是取得的红球数,X服从超几何分布,且N=10,M=3,n=5,于是E(X)=n·=5×=1.5. 跟踪训练 1.5 〈课堂达标·素养提升〉 1.(多选)下列随机变量中,服从超几何分布的有(　 　) A.在10件产品中有3件次品,一件一件地不放回地任意取出4件,记取到的次品数为X B.从3台甲型电脑和2台乙型电脑中任取2台,记X表示所取的2台电脑中甲型电脑的台数 C.一名学生骑自行车上学,途中有6个红绿灯,记此学生遇到红灯的个数为X D.从10名男生,5名女生中选3人参加植树活动,其中男生人数记为X ABD 解析:依据超几何分布模型定义可知,A,B,D中随机变量X服从超几何分布.而C中显然不能看作一个不放回抽样问题,故C中随机变量X不服从超几何分布. 2.从一批含有6件正品,2件次品的产品中一次性抽取3件,设抽取出的3件产品中次品数为X,则P(X=1)=(　　) A.　　　　　　　　　　　 B. C. D. C 解析:由题意知X服从超几何分布,则P(X=1)===. 3.(多选)某企业生产的12个产品中有10个一等品、2个二等品,现从这批产品中任意抽取4个,则其中恰好有1个二等品的概率为(　　) A.1- B. C.1- D. AD 解析:从12个产品中任意抽取4个,基本事件总数为个,其中恰好有1个二等品的基本事件有个,∴恰好有1个二等品的概率P=;也可由对立事件计算可得P=1-. 课时作业 巩固提升 [A组　必备知识练] 1.盒中有4个白球,5个红球,从中任取3个球,则取出1个白球和2个红球的概率是(　　) A.　　　　　　　　　　　 B. C. D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 C 解析:根据题意,得P==. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 2.一个盒子里装有大小相同的10个黑球,12个红球,4个白球,从中任取2个,其中白球的个数记为X,则下列概率等于的是(　　) A.P(0<X≤2) B.P(X≤1) C.P(X=1) D.P(X=2) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 B 解析:本题相当于求至多取出1个白球的概率,即取到1个白球或没有取到白球的概率. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3.在10个排球中有6个正品,4个次品,从中抽取4个,则正品数比次品数少的概率为(　　) A. B. C. D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 A 解析:正品数比次品数少,有两种情况:0个正品4个次品,1个正品3个次品,由超几何分布的概率公式可知,当0个正品4个次品时,P==,当1个正品3个次品时,P===,所以正品数比次品数少的概率为+=. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 4.莫高窟坐落在甘肃的敦煌,它是世界上现存规模最大、内容最丰富的佛教艺术圣地,每年都会吸引来自世界各地的游客参观旅游.已知购买莫高窟正常参观套票可以参观8个开放洞窟,在这8个洞窟中莫高窟九层楼96号窟、莫高窟三层楼16号窟、藏经洞17号窟被誉为最值得参观的洞窟.某游客需从套票包含的开放洞窟中随机选择4个进行参观,所有选 择中至少包含2个最值得参观洞窟的概率是　　　　.  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 解析:已知8个开放洞窟中有3个最值得参观,随机选择4个进行参观,至少包含2个最值得参观洞窟包括2个或3个两种情况.所求概率为P==. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 5.有10件产品,其中3件是次品,从中任取两件,若X表示取得次品的个数, 则P(X<2)=　　　　,随机变量X的均值E(X)=　　　　.  解析:X表示取得次品的个数,则X服从超几何分布, 所以P(X<2)=P(X=0)+P(X=1)=+=+=,E(X)==0.6. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 0.6 6.小明从4双鞋中,随机一次取出2只, (1)求取出的2只鞋都不来自同一双的概率; (2)若这4双鞋中,恰有一双是小明的,记取出的2只鞋中含有小明的鞋的个数为X,求X的分布列及数学期望E(X). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 解:(1)由题可得取出2只都不来自同一双的概率为=. (2)由题可知X的取值为0,1,2, P(X=0)==,P(X=1)==,P(X=2)==, 故X的分布列为 E(X)=0×+1×+2×=,故E(X)=. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 X 0 1 2 P 7.某单位组织“学习强国”知识竞赛,竞赛共有10道题目,随机抽取3道让参赛者回答.已知小明只能答对其中的6道,试求: (1)抽到他能答对题目数X的分布列; (2)求X的期望和方差. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 解:(1)由题意知:X所有可能的取值为0,1,2,3, P(X=0)===;P(X=1)===;P(X=2)===;P(X=3)===; ∴X的分布列为 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 X 0 1 2 3 P (2)期望E(X)=0×+1×+2×+3×=; 又E(X2)=0×+1×+4×+9×=, ∴方差D(X)=E(X2)-(E(X))2=-=. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 [B组　关键能力练] 8.(多选)已知随机变量X的概率为P(X=k)=,k=0,1,2,3,4,则下列说法正确的是(　 　) A.P(X=2)= B.E(X)= C.甲每次射击命中的概率为0.6,甲连续射击10次的命中次数X满足此分布列 D.一批产品共有10件,其中6件正品,4件次品,从10件产品中无放回地随机抽取4件,抽到的正品的件数X满足此分布列 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 ABD 解析:由题意,随机变量X服从参数为10,6,4的超几何分布 对于A:P(X=2)==,正确; 对于B: E(X)==,正确; 对于C:由每次射击相互独立,选项满足二项分布,而题干中X为超几何分布,错误; 对于D:由超几何分布的定义可知,正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 9.(多选)一个袋子中装有除颜色外完全相同的10个球,其中有6个黑球,4个白球,现从中任取4个球,记随机变量X为取出白球的个数,随机变量Y为取出黑球的个数,若取出一个白球得2分,取出一个黑球得1分,随机变量Z为取出4个球的总得分,则下列结论中正确的是(　　) A.X不服从超几何分布 B.P(X=0)= C.E(X)>E(Y) D.P(Z=5)= 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 BD 解析:对于A:由题意知,随机变量X服从超几何分布,错误; 对于B:X的取值可能为0,1,2,3,4,所以P(X=0)==,正确; 对于C:因为E(X)==,由题意得X+Y=4,所以Y=4-X, 所以E(Y)=4-E(X)=4-=,所以E(X)<E(Y),错误; 对于D:P(X=1)=P(Y=3)=, 若Z=5,则P(Z=5)=P(X=1)=P(Y=3)=,正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 10.有10件产品,其中4件是次品,从中任取3件,若X表示取得次品的个数, 则E(2X+1)=　　　　.  解析:由题意可得:X服从超几何分布,E(X)==,所以E(2X+1)=2E(X)+1=. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 11.一个袋中共有10个大小相同的黑球、白球和红球,已知从袋中任意摸出2个球,至少得到1个白球的概率是,则白球的个数为　　　　.  解析:设有白球x个,因为从袋中任意摸出2个球,至少得到1个白球的概率是,所以==1-,解得x=5或x=14(舍去). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 5 12.临近春节,某水果店购入A,B,C三种水果,数量分别是36箱,27箱,18箱.现采用分层随机抽样的方法抽取9箱,进行质量检查. (1)应从A,B,C三种水果各抽多少箱? (2)若抽出的9箱水果中,有5箱质量上乘,4箱质量一般,现从这9箱水果中随机抽出4箱送有关部门检测. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 ①用X表示抽取的4箱中质量一般的箱数,求随机变量X的分布列和数学期望; ②设A为事件“抽取的4箱水果中,既有质量上乘的,也有质量一般的水果”,求事件A发生的概率. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解:(1)由题意知:×9=4,×9=3,×9=2, 所以应从A,B,C三种水果各抽4,3,2箱. (2)①由题意可知:X的可能取值为0,1,2,3,4,则有: P(X=0)==,P(X=1)===, P(X=2)===,P(X=3)===,P(X=4)==, 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 所以随机变量X的分布列为 所以随机变量X的期望为E(X)=0×+1×+2×+3×+4×=. 13 X 0 1 2 3 4 P 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 ②由题意可知:为事件“抽取的4箱水果中,都是质量上乘的,或都是质量一般的水果”,所以P(A)=1-P()=1-P(X=0)-P(X=4)=1--=. 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 [C组　素养培优练] 13.盒中有2个白球,3个黑球,从中任取3个球,用X表示取到白球的个数,Y表示取到黑球的个数.给出下列结论: ①E(X)=,E(Y)=;②E(X2)=E(Y);③E(Y2)=E(X);④D(X)=D(Y)=. 其中正确的是　　 　.(填上所有正确结论的序号)  13 ①②④ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解析:由题意可知X服从超几何分布,Y也服从超几何分布. ∴E(X)==,E(Y)==. 又X的分布列 ∴E(X2)=02×+12×+22×=,D(X)=E(X2)-(E(X))2=-=. 13 X 0 1 2 P 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 Y的分布列为 ∴E(Y2)=12×+22×+32×=,D(Y)=E(Y2)-(E(Y))2=-=, ∴E(X2)=E(Y),D(X)=D(Y),∴①②④正确. 13 Y 1 2 3 P $$