4.3.1 第2课时 等比数列的判定与性质-【优化探究】2025-2026学年新教材高中数学选择性必修第二册同步导学案配套PPT课件（人教A版）

4.3　等比数列 4.3.1　等比数列的概念 第2课时　等比数列的判定与性质 第四章　数列 学习单元2　等比数列　数学归纳法　 知识点1　等比数列的判定与证明 内容索引 知识点2　等比数列中的常用性质 知识点3　由等比数列构造新等比数列 课堂达标·素养提升 课时作业 巩固提升 2 知识点1　等比数列的判定与证明 判定与证明等比数列的方法 1.定义法:=　　　　(n∈N*且n≥2,q为不为0的常数).  2.等比中项法:=　　　　　　　　(n∈N*且n≥2).  3.通项公式法:an=　　　　　　　　=·qn=a·qn(a≠0).  q an-1an+1 a1qn-1 　已知数列{an}满足a1=1,an+1=2an+1. 证明:数列{an+1}是等比数列. [分析]　确定相邻两项的商为非零常数. 例1 [证明]　因为an+1=2an+1,所以an+1+1=2(an+1). 由a1=1,知a1+1≠0,从而an+1≠0,所以=2(n∈N*), 所以数列{an+1}是以a1+1=2为首项,2为公比的等比数列. 判断一个数列{an}是等比数列的方法 1.定义法:若数列{an}满足=q(q为常数且不为零)或=q(n≥2,q为常数且不为零),则数列{an}是等比数列; 2.等比中项法:对于数列{an},若=an·an+2且an≠0,则数列{an}是等比数列; 3.通项公式法:若数列{an}的通项公式为an=a1qn-1(a1≠0,q≠0),则数列{an}是等比数列. 注意:证明只能使用前两个方法,判断可以使用上述三个方法. 思维提升 1.数列{an}的前n项和记为Sn,已知a1=1,an+1=Sn(n=1,2,3,…).证明:数列是等比数列. 跟踪训练 证明:由a1=1,an+1=Sn,得an>0,Sn>0. 由an+1=Sn,an+1=Sn+1-Sn,得(n+2)Sn=n(Sn+1-Sn),整理,得nSn+1=2(n+1)Sn,所以=2·,则=2.因为=1,所以数列是以1为首项,2为公比的等比数列. 知识点2　等比数列中的常用性质 1.等比数列通项公式的推广和变形an=　　　　　.  2.设数列{an}为等比数列,则: (1)若k+l=m+n(k,l,m,n∈N*),则　　　　　　　　.  (2)若m,p,n成等差数列,则　　　　　　　成等比数列.  amqn-m ak·al=am·an am,ap,an 微提醒: (1)性质的推广:若m+n+p=x+y+z,有amanap=axayaz. (2)该性质要求下标的和相等,且左右两侧项数相同. (3)在有穷等比数列中,与首末两项等距离的两项之积都相等,即a1·an=a2·an-1=…. 　在等比数列{an}中: (1)已知a3+a6=36,a4+a7=18,an=,求n; [分析]　利用等比数列中任意两项之间的关系. 例2 [解]　设等比数列{an}的公比为q. (1)由. 再由a3+a6=a3·(1+q3)=36得a3=32, 则an=a3·qn-3=32×, 所以n-8=1,所以n=9. (2)已知a5=8,a7=2,an>0,求an. [分析]　利用等比数列中任意两项之间的关系. [解]　(2)由a5=8,a7=a5·q2=2,得q2=. 因为an>0,所以q=, 所以an=a5·qn-5=8×. 　已知{an}为等比数列. (1)若{an}满足a2a4=,求a1··a5; 例3 [解]　(1)在等比数列{an}中,∵a2a4=,∴,∴a1. (2)若an>0,a5a7+2a6a8+a6a10=49,求a6+a8; [解]　(2)由等比中项,化简条件得=49,即(a6+a8)2=49, ∵an>0,∴a6+a8=7. (3)若an>0,a5a6=9,求log3a1+log3a2+…+log3a10的值. [解]　(3)由等比数列的性质知a5a6=a1a10=a2a9=a3a8=a4a7=9, ∴log3a1+log3a2+…+log3a10=log3(a1a2·…·a10)=log3[(a1a10)(a2a9)(a3a8)(a4a7)(a5a6)] =log395=10. 利用等比数列的性质解题 1.充分发挥项的“下标”的指导作用,分析等比数列项与项之间的关系,选择恰当的性质解题. 2.当性质不能应用时,可以通过基本量法求解. 思维提升 2.(多选)已知等比数列满足1+a4a8=2a7,则(　　) A.a1>0　　　　　　　　 B.q≥1 C.a3≤a5 D.a2a4≤a3a5 跟踪训练 ACD 设公比为q. 对于A,因为1+a4a8=2a7,所以1+=2a1q6>0,所以a1>0,A正确. 对于B,因为1+a4a8=2a7,所以-2qa6+1=0,要使得a6存在,则Δ=4q2-4≥0,即q2≥1,所以q≥1或q≤-1,B错误. 对于C,因为a3-a5=(1-q2)a3,又因为a3=a1·q2>0,所以a3≤a5,C正确. 对于D,因为a2a4-a3a5=(1-q2)≤0,所以a2a4≤a3a5,D正确. 知识点3　由等比数列构造新等比数列 1.在等比数列{an}中,每隔k项(k∈N*)取出一项,按原来的顺序排列,所得的新数列仍为等比数列. 2.若{an}是等比数列,公比为q,则数列{λan}(λ≠0),,{}都是等比数列,且公比分别是q,,q2. 3.若{an},{bn}是项数相同的等比数列,公比分别是p和q,那么{anbn}与也都是等比数列,公比分别为　　　和.  pq 微提醒: 在构造新的等比数列时,要注意新数列中是否有为0的项,比如公比q=-1时,连续相邻偶数项的和都是0,故不能构成等比数列. 　已知数列{an}的首项a1=3. (1)若{an}为等差数列,公差d=2,证明数列{}为等比数列; [分析]　根据题意,需要从等差数列、等比数列的定义出发,利用指数、对数的知识进行证明. 例4 [证明]　(1)由a1=3,d=2,得{an}的通项公式为an=2n+1. 设bn=,则=9.又因为b1=33=27, 所以,{}是以27为首项,9为公比的等比数列. (2)若{an}为等比数列,公比q=,证明数列{log3an}为等差数列. [分析]　根据题意,需要从等差数列、等比数列的定义出发,利用指数、对数的知识进行证明. [证明]　(2)由a1=3,q=,得an=3×=33-2n. 两边取以3为底的对数,得log3an=log333-2n=3-2n. 所以log3an+1-log3an=[3-2(n+1)]-(3-2n)=-2.又因为log3a1=log33=1, 所以{log3an}是首项为1,公差为-2的等差数列. 由等比数列构造新的等比数列,一定要检验新的数列中是否有为0的项,主要是针对q<0的情况. 思维提升 3.(多选)已知数列是等比数列,那么下列数列一定是等比数列的是(　　) A. C. 跟踪训练 AB 由题意知为等比数列,设其公比为q(q≠0); 对于A,·,∴数列为首项,为公比的等比数列,故A正确; 对于B,=q2,∴数列是以a1a2为首项,q2为公比的等比数列,故B正确; 对于C,当an=1时,lg()=0,数列不是等比数列,故C错误; 对于D,当q=-1时,an+an+1=0,数列不是等比数列,故D错误. 4.设{an}是各项为正数的无穷数列,Ai是边长为ai,ai+1的矩形面积(i=1,2,…),则{An}为等比数列的充要条件为(　　) A.{an}是等比数列 B.a1,a3,…,a2n-1,…或a2,a4,…,a2n,…是等比数列 C.a1,a3,…,a2n-1,…和a2,a4,…,a2n,…均是等比数列 D.a1,a3,…,a2n-1,…和a2,a4,…,a2n,…均是等比数列,且公比相同 D ∵Ai=aiai+1,若{An}为等比数列,则为常数,即,,…,∴a1,a3,a5,…,a2n-1,…和a2,a4,…,a2n,…均是等比数列,且公比相等.反之,若奇数项和偶数项分别成等比数列,且公比相等,设为q,则=q,从而{An}为等比数列.故D正确. 〈课堂达标·素养提升〉 1.在等比数列中,若a2=1,a4=2,则a8=(　　) A.3　　　　　　　　　　　 B.4 C.6 D.8 D 设的公比为q,则a4=a2q2,所以q2=2,所以a8=a4q4=2×22=8. 2.已知是等比数列,若a2a4=a3,a4a5=8,则a1=(　　) A. C.2 D.4 A 因是等比数列,设公比为q,则由a2a4=a3⇒=a3,因为a3≠0,则a3=1,又由于a4a5=8⇒q3=8,代入解得q=2,故a1=. 3.(多选)已知数列是等比数列,则下列说法正确的是(　　) A.若a5=4,a9=64,则a7=±16 B.数列是等比数列 C.数列是等比数列 D.若a1<a2<a3,则数列是递增数列 BD 设的公比为q,所以a9=a5q4=4q4=64,所以q4=16,q2=4, 所以a7=a5q2=16,故A错误; 因为数列是等比数列,所以an≠0,所以anan+1≠0, 又=q2,所以数列是等比数列,故B正确; 当q=1时,an-an+1=an-an=0,此时不是等比数列,故C错误; 因为a1<a2<a3,故a1<a1q<a1q2,化简得故q>0,a1(q-1)>0, 所以an+1-an=a1qn-a1qn-1=a1qn-1(q-1)>0,故an+1>an(n∈N*), 所以数列是递增数列,故D正确. 4.等差数列前13项和为91,正项等比数列满足b7=a7,则log7b1+log7b2+…+log7b13=　　　.  13 由题知,S13==13a7=91,解得a7=7,所以b7=7, 所以log7b1+log7b2+…+log7b13=log7(b1b2…b13)=log7=log7713=13. 课时作业 巩固提升 [A组　必备知识练] 1.在等比数列{an}中,如果a6=6,a9=9,那么a3=(　　) A.4　　　　　　　　　　B. C. D.2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 A 13 14 由等比数列的性质可得=a9a3,得a3=4. 2.已知等比数列{an}满足a5+a8=2,a6·a7=-8,则q3=(　　) A.- B.-2 C.-或-2 D.2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 C 13 14 由等比数列的性质可知,a5·a8=a6·a7=-8.又因为a5+a8=2,所以a5=4, a8=-2,或a5=-2,a8=4,所以q3=或-2. 3.(多选)数列的前n项和为Sn,已知Sn=2n+1,则(　　) A.an=2n-1 B.是等比数列 C.an+2=2an+1 D.数列中的最小项是第2项 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 CD 13 14 由题设a1=S1=21+1=3,且an=Sn-Sn-1=(2n+1)-(2n-1+1)=2n-1, 所以an=A,B错,C对; 由n≥2,数列递增,又因为a1>a2=2,故数列中的最小项是第2项,D对. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 4.已知数列是等差数列,数列是等比数列,a7+a9=,且b2b6b10=8,则=(　　) A. C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 B 13 14 数列是等差数列,a7+a9=,可得2a8=,即a8=, 数列是等比数列,b2b6b10=8,可得=8,可得b6=2, 则. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 5.在等比数列中,a2,a10是方程x2-7x+4=0的两根,则=　　　　　.  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 2 13 14 由于a2,a10是方程x2-7x+4=0的两根,所以a2+a10=7>0,a2·a10=4⇒=4,由于a6=a2q4,a10=a6q4,所以a6为正数, 所以a6=2.所以=a6=2. 6.已知各项均为正数的等比数列满足an+2=3an+1+4an,则的公比为　　　　　.  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 4 13 14 设等比数列的公比为q,对任意的n∈N*,an>0,则q>0, 因为an+2=3an+1+4an,则anq2=3anq+4an,可得q2-3q-4=0, 因为q>0,解得q=4,因此,数列的公比为4. 7.已知数列{an}是等比数列,a3+a7=20,a1a9=64,求a11的值. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 解:∵{an}为等比数列,∴a1·a9=a3·a7=64. 又∵a3+a7=20, ∴解得a3=4,a7=16或a3=16,a7=4. ①当a3=4,a7=16时,=q4=4, 此时a11=a3q8=4×42=64; ②当a3=16,a7=4时,, 此时a11=a3q8=16×=1. 8.已知数列满足a1=1,2nan+1=(n+1)an,设bn=. (1)判断数列是否为等比数列,并说明理由; 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 解:(1)由数列满足a1=1,且2nan+1=(n+1)an,可得, 又因为bn=,可得bn+1=bn,因为b1==1, 所以数列是以1为首项,以为公比的等比数列. (2)求的通项公式. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 解: (2)由(1)得bn=1×,因为bn=,可得an=nbn=, 所以. [B组　关键能力练] 9.(多选)设等比数列的公比为q,前n项积为Tn,并且满足条件a1<1,a6a7>1,<0,则下列结论正确的是( 　　) A.q>1 B.a6a8>1 C.Tn的最大值为T6 D.T13>1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 ABD 13 14 对A选项:a6a7=q11>1,又因为a1<1,故q11>1,即q>1,故A正确; 对B选项:a6a8=qa6a7,由a6a7>1,q>1,故a6a8>1,故B正确; 对C选项:由a1<1,q>1,故数列为递增数列,又<0,故a6-1<0,a7-1>0,即a6<1,a7>1,即T7=a7T6>T6,故C错误; 对D选项:T13=a1a2…a13=>1,故D正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 10.(多选)已知数列,的项数均为k(k为确定的正整数,k≥2),若a1+a2+…+ak=2k-1,b1+b2+…+bk=3k-1,则(　　) A.a1=1 B.中可以有k-1项为1 C.为公比的等比数列 D.可能是以2为公比的等比数列 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 AC 13 14 由题意可得a1+a2+…+ak=2k-1　①, a1+a2+…+ak-1=2k-1-1,k≥2　②, ①-②得ak=2k-1,k≥2,同理可得bk=2×3k-1,k≥2, 对于A,a1+a2=22-1=3,a2=2,所以a1=1,故A正确; 对于B,b1+b2=32-1=8,b2=2×3=6,所以b1=2,bn=2×3n-1>2,故B错误; 对于C,D,,所以当k≥2时,为公比的等比数列,故C正确,D错误. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 11.已知数列是等比数列,且an>0,a3a5+2a4a6+a5a7=25,则a4+a6=　　　　.  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 5 13 14 根据等比数列的性质若m+n=p+q,则am·an=ap·aq,有a3a5=,a5a7=,所以a3a5+2a4a6+a5a7=25化为=25,即=25, 又因为an>0,所以a4+a6=5. 12.已知数列的首项为1,anan+1=3n(n∈N*),则a8=　　　　　.  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 81 13 14 由anan+1=3n(n∈N*)得an+1an+2=3n+1(n∈N*),a2==3, 于是=3(n∈N*),即=3(n∈N*). 所以数列中,各个奇数项a1,a3,a5,…,构成首项为1,公比为3的等比数列, 同理,各个偶数项a2,a4,a6,…,也构成首项为3,公比为3的等比数列,即an=a2. 所以a8=34=81. 13.已知数列的首项为3,且满足an+1+an=3·2n. (1)求证:是等比数列; 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 (1)证明:由an+1+an=3·2n,an+1=3·2n-an, 得an+1-2n+1=3·2n-an-2n+1=-(an-2n),又因为a1-2=1≠0, 所以{an-2n}是以1为首项,-1为公比的等比数列. (2)求数列的通项公式,并判断数列是否为等比数列. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 (2)解:由(1)得an-2n=1×(-1)n-1,an=2n+(-1)n-1, 所以a1=3,a2=3,a3=9,≠a1a3, 所以数列不是等比数列. [C组　素养培优练] 14.在①am+n=am·an,②Sn=an+1+1,③Sn=2an+(p是与n无关的参数)这三个条件中任选两个,补充在下面的横线上,并解答问题.已知数列的前n项和为Sn,且满足　　　　　,数列为等差数列,b1=1,b3=4+1.  (1)数列是否为唯一确定的等比数列?若是,请求出其通项公式;若不是,请说明理由; 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 (1)解:若选①②,因为am+n=am·an,令m=n=1,则a2=, 又因为Sn=an+1+1,所以a1=a2+1, 所以a1-1=-a1+1=0无解, 所以选①②数列{an}不是唯一确定的等比数列; 若选①③,因为am+n=am·an,令m=n=1,则a2=, 由Sn=2an+,两式相减得an+1=2an+1-2an, 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 即an+1=2an,所以数列为等比数列,       所以数列是以2为首项,2为公比的等比数列; 若选②③,则无法确定数列的首项,数列不唯一. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 (2)求证:数列中任意三项均不能构成等比数列. 注:如果选择多组条件分别解答,按第一个解答计分. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 (2)证明:因为数列为等差数列,b1=1,b3=4+1, 所以b3-b1=2d=4,所以d=2, 所以bn=1+2(n-1)=2, 假设数列中存在3项bm,bp,bt成等比数列(其中m,p,t互不相等), 则bmbt=,所以(2)(2)=, 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 所以8mt+(2-8)(m+t)=8p2+(4-16)p, 所以=mt,所以(m-t)2=0,所以m=t与假设矛盾, 所以数列中任意三项均不能构成等比数列. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 所以=2, $$