5.3.2 第2课时 函数的最大(小)值-【优化探究】2025-2026学年新教材高中数学选择性必修第二册同步导学案配套PPT课件（人教A版）

5.3　导数在研究函数中的应用 5.3.2　函数的极值与最大(小)值 第2课时　函数的最大(小)值 第五章　一元函数的导数及其应用 学习单元4　导数在研究函数中的应用 知识点1　函数的最值 内容索引 知识点2　求函数的最值 知识点3　利用最值证明不等式 课堂达标·素养提升 课时作业 巩固提升 2 知识点1　函数的最值 1.一般地,如果在区间[a,b]上函数y=f(x)的图象是一条　　　　　的曲线,那么它必有最大值和最小值.  2.一般地,求函数y=f(x)在区间[a,b]上的最大值与最小值的步骤如下: (1)求函数y=f(x)在区间(a,b)上的　 ;  (2)将函数y=f(x)的各极值与端点处的函数值f(a),f(b)　　　　,其中最大的一个是最大值,最小的一个是最小值.  3.特别地,若函数f(x)的定义域是开区间,且只有一个极值点,则该极值点就是最值点. 连续不断 极值 比较 　下列说法正确的是(　　) A.函数在某区间上的极大值不会小于它的极小值 B.函数在某区间上的最大值不会小于它的最小值 C.函数在某区间上的极大值就是它在该区间上的最大值 D.函数在某区间上的最大值就是它在该区间上的极大值 [分析]　根据极值和最值的联系与区别即可判断. 例1 B 如图为函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象: 对于选项A:极大值f(x1)<极小值f(x4),故A错误; 对于选项B:根据最大值的概念可知,函数的最大 值一定大于或等于它的最小值,故B正确; 函数f(x)在区间[a,b]上的极大值f(x3),而不是最大 值,故C错误;同时,最大值f(b)不是极大值,故D错误. 最值与极值的区别与联系 1.极值是对某一点附近(即局部)而言,最值是对函数的定义区间的整体而言. 2.在函数的定义区间内,极大(小)值可能有多个,但最大(小)值只有一个(或者没有). 3.函数f(x)的极值点在定义域内,但不能是区间的端点,而最值点可以是区间的端点. 4.对于可导函数,函数的最大(小)值必在极大(小)值点或区间端点处取得. 思维提升 1.设f(x)是区间[a,b]上的连续函数,且在(a,b)内可导,则下列结论中正确的是(　　) A.f(x)的极值点一定是最值点 B.f(x)的最值点一定是极值点 C.f(x)在区间[a,b]上可能没有极值点 D.f(x)在区间[a,b]上可能没有最值点 跟踪训练 C 根据函数的极值与最值的概念知,f(x)的极值点不一定是最值点,f(x)的最值点不一定是极值点,可能是区间的端点,连续可导函数在闭区间上一定有最值,所以选项A,B,D都不正确;若函数f(x)在区间[a,b]上单调,则函数f(x)在区间[a,b]上没有极值点,所以C正确. 知识点2　求函数的最值 求下列函数在给定区间上的最大值与最小值: (1)f(x)=6+12x-x3,x∈. [分析]　首先利用导数求出函数的极值,再将函数的极值与函数在给定区间端点处的函数值比较,其中最大者为最大值,最小者为最小值. 例2 [解]　(1)因为f'(x)=12-3x2,x∈, 令f'(x)=0,解得x1=-2(舍),x2=2, 所以f'(x),f(x)随x的变化情况如下表: x 2 (2,3) f'(x) + 0 - f(x) 单调递增 22 单调递减 又因为f,f(3)=15, 所以,当x=2时,函数f(x)在上取得最大值22, 当x=-时,函数f(x)在. (2)f(x)=x+sin x,x∈[0,2π]. [分析]　首先利用导数求出函数的极值,再将函数的极值与函数在给定区间端点处的函数值比较,其中最大者为最大值,最小者为最小值. [解] (2)f'(x)=+cos x,令f'(x)=0, 又x∈[0,2π], 解得x=. 因为f(0)=0,f(2π)=π,f, f. 所以当x=0时,f(x)有最小值f(0)=0; 当x=2π时,f(x)有最大值f(2π)=π. 2.求下列函数的最值: (1) f(x)=; 跟踪训练 解:(1)因为函数f(x)=的定义域为R, f'(x)=, 当f'(x)=0时,x=2. 当x变化时,f'(x),f(x)的变化情况如表所示. 所以f(x)在(-∞,2)上单调递增,在(2,+∞)上单调递减, 所以f(x)无最小值,且当x=2时,f(x)max=f(2)=. x (-∞,2) 2 (2,+∞) f'(x) + 0 - f(x) 单调递增 单调递减 (2)f(x)=x2-x-ln x,x∈[1,3]. 解:(2)因为f'(x)=2x-1-, 又因为x∈[1,3],所以f'(x)≥0在[1,3]上恒成立. 所以f(x)在[1,3]上单调递增, 所以当x=1时,f(x)min=f(1)=0; 当x=3时,f(x)max=f(3)=6-ln 3. 知识点3　利用最值证明不等式 　已知函数f(x)=ex-e(ln x+1),求证:f(x)≥0恒成立. 例3 [证明]　由题意知f'(x)=ex-, 设F(x)=xex-e(x>0),则F(x)在(0,+∞)上单调递增,且F(1)=0. 当x∈(0,1)时,F(x)<0, ∴f'(x)=<0,f(x)单调递减, 当x∈(1,+∞)时,F(x)>0, ∴f'(x)=>0,f(x)单调递增. f(x)的最小值为f(x)min=f(1)=0, ∴f(x)≥0恒成立.   证不等式恒成立,用导数的方法求出函数的最值,进而可求出结果;有时也可根据不等式直接构成函数,利用导数的方法,通过分类讨论研究函数的最值,即可得到结果. 思维提升 3.已知函数f(x)=x2+ln x. (1)求y=f(x)在[1,e]上的最大值和最小值; 跟踪训练 (1)解:因为f(x)=x2+ln x,所以f'(x)=x+, 当x∈[1,e]时,f'(x)>0,所以y=f(x)在上为增函数, f(x)min=f(1)=,f(x)max=f(e)=e2+1. (2)求证:当x∈(1,+∞)时,函数y=f(x)的图象在函数g(x)=x3图象下方. (2)证明:设h(x)=x3, 则h'(x)=x+, 当x∈(1,+∞)时,h'(x)<0,则h(x)单调递减,且h(1)=-<0, 故x∈(1,+∞)时,h(x)<0,即x3, 所以当x∈(1,+∞)时,函数y=f(x)的图象在函数g(x)=x3图象下方. 〈课堂达标·素养提升〉 1.函数y=x-sin x,x∈的最大值是(　　) A.π-1　　　　　　　　　 B.-1 C.π D.π+1 C y'=1-cos x,当x∈时,y'>0, 则函数在区间上单调递增, 所以y的最大值为ymax=π-sin π=π. 2.定义在R上的函数f(x)=x3-上的最大值为M,则M的值为(　　) A.7 B. C.9 D. A 依题意,f(x)=x3-x2-2x+5,f'(x)=3x2-x-2=(x-1)(3x+2), 所以f(x)在区间,(1,2)上f'(x)>0,f(x)单调递增; 在区间上f'(x)<0,f(x)单调递减. f(-2)=(-2)3-×(-2)2-2×(-2)+5=-1, f(2)=23-×22-2×2+5=7, f,f(1)=13-, 所以f(x)在区间上的最大值为7. 3.函数f(x)=x3-3x(|x|<1)(　　) A.有最值,但无极值 B.有最值,也有极值 C.既无最值,也无极值 D.无最值,但有极值 C f'(x)=3x2-3=3(x+1)(x-1),当x∈(-1,1)时,f'(x)<0, 所以f(x)在(-1,1)上单调递减,无最大值和最小值,也无极值. 4.函数f(x)=(x+1)ex的最小值是　　　　　.  - f'(x)=(x+2)ex, 当x>-2时,f'(x)>0,f(x)单调递增, 当x<-2时,f'(x)<0,f(x)单调递减, 因此当x=-2时,函数有最小值,最小值为f(-2)=(-2+1)e-2=-. 课时作业 巩固提升 [A组　必备知识练] 1.函数f(x)=x2ex,x∈[-2,1]的最大值为(　　) A.4e-2　　　　　　　　 B.0 C.e2 D.e 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 D 13 因为f'(x)=(x2+2x)·ex=x(x+2)·ex,令f'(x)=0,则x=0或x=-2,所以f(x)在(-2,0)上单调递减,在(0,1)上单调递增.又f(-2)=<1,f(1)=e>1,所以f(x)max=e. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 2.函数f(x)=x+2cos x在区间上的最小值是(　　) A.- B.2 C.+1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 A 13 f'(x)=1-2sin x, 因为x∈, 所以sin x∈[-1,0],所以-2sin x∈[0,2]. 所以f'(x)=1-2sin x>0在上恒成立. 所以f(x)在上单调递增. 所以f(x)min=-. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3.若函数f(x)=x3-mx2+2x(m∈R)在x=1处有极值,则f(x)在区间[0,2]上的最大值为(　　) A. B.2 C.1 D.3 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 B 13 由已知得f'(x)=3x2-2mx+2,所以f'(1)=3-2m+2=0,所以m=,经检验满足题意,所以f(x)=x3-x2+2x,即f'(x)=3x2-5x+2.由f'(x)<0,得<x<1;由f'(x)>0,得x<或x>1.所以函数f(x)在,(1,2)上单调递增,在上单调递减, 则f(x)极大值=f,f(2)=2,所以f(x)在区间[0,2]上的最大值为2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 4.(多选)下列关于函数f(x)=(2x-x2)ex的判断正确的是(　 　) A.f(x)>0的解集是{x|0<x<2} B.f(-)是极小值,f()是极大值 C.f(x)没有最小值,也没有最大值 D.f(x)有最大值无最小值 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 ABD 13 由f(x)>0得0<x<2,故A正确. f'(x)=(2-x2)ex,令f'(x)=0,得x=±, 当x<-时,f'(x)<0,当-时,f'(x)>0, ∴当x=-时,f(x)取得极小值,当x=时,f(x)取得极大值,故B正确. 当x→-∞时,f(x)→0,当x→+∞时,f(x)→-∞,且f()>0, 结合函数的单调性可知,函数f(x)有最大值无最小值,故C不正确,D正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 5.函数y=2x3-2x2在区间[-1,2]上的最大值是　　　　.  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 8 13 ∵y'=6x2-4x=6x, ∴x∈[-1,0)时,y'>0,x∈时,y'<0,x∈时,y'>0, ∴当x=0时,y取得极大值0,又f(2)=8, ∴函数y=2x3-2x2在区间[-1,2]上的最大值为8. 6.设0<x<π,则函数y=的最小值是　　　　　.  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 y'=. 因为0<x<π,所以当<x<π时,y'>0;当0<x<时,y'<0. 所以当x=时,ymin=. 7.已知函数f(x)=ax3+bx在x=1处取得极大值2. (1)求f(x)的解析式; 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 解:(1)由f(x)=ax3+bx,得f'(x)=3ax2+b.因为f(x)在x=1上取得极大值2, 所以验证:当时,f(x)=-x3+3x,f'(x)=-3x2+3=-3(x+1)(x-1), 当x<-1时,f'(x)<0,f(x)单调递减;当-1<x<1时,f'(x)>0,f(x)单调递增; 当x>1时,f'(x)<0,f(x)单调递减,故函数f(x)在x=1处取得极大值. 所以f(x)=-x3+3x. (2)求f(x)在上的最值. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 解: (2)由(1)可知,f'(x)=-3x2+3=-3(x-1)(x+1), 当x∈,f'(x)<0,f(x)单调递减;当x∈(-1,1)时,f'(x)>0,f(x)单调递增; 当x∈时, f'(x)<0,f(x)单调递减,所以函数f(x)在x=-1处取得极小值 f(-1)=-2,在x=1处取得极大值f(1)=2.又因为f(-3)=18,f(4)=-52, 所以f(x)在上的最大值为18,最小值为-52. 8.已知函数f(x)=12-x2. (1)求曲线y=f(x)的斜率等于-2的切线方程; 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 解:(1)f(x)=12-x2的导数f'(x)=-2x, 设切点坐标为(m,n),可得切线的斜率为-2m=-2, ∴m=1,∴n=12-1=11, ∴切线的方程为y=-2x+13. (2)设曲线y=f(x)在点(t,f(t))处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为S(t),求S(t)的最小值. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 解: (2)曲线y=f(x)在点(t,f(t))处的切线的斜率为k=-2t, 切线方程为y-(12-t2)=-2t(x-t), 令x=0,可得y=12+t2,令y=0,可得x=, ∴S(t)=··(12+t2), 由S(-t)=S(t),可知S(t)为偶函数, 不妨设t>0,则S(t)=··(12+t2), ∴S'(t)==·, 由S'(t)=0,得t=2. 当t>2时,S'(t)>0,S(t)单调递增;当0<t<2时,S'(t)<0,S(t)单调递减, 则S(t)在t=2处取得极小值,且为最小值32; 同理可得t<0时,S(t)在t=-2处取得极小值,且为最小值32, ∴S(t)的最小值为32. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 [B组　关键能力练] 9.已知函数f(x)=-x,则(　　) A.f(x)的单调递减区间为(0,1) B.f(x)的极小值点为1 C.f(x)的最大值为-1 D.f(x)的最小值为-1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 C 13 f'(x)=,令φ(x)=1-ln x-x2,则φ'(x)=--2x<0,所以φ(x)=1-ln x-x2在(0,+∞)上单调递减.因为φ(1)=0,所以当0<x<1时,φ(x)>0;当x>1时,φ(x)<0,所以f(x)的单调递增区间为(0,1),单调递减区间为(1,+∞),故f(x)的极大值点为1,f(x)极大值=f(1)=-1.唯一极大值点即最大值点. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 10.(多选)已知函数f(x)=xex-2ex+2,则(　 　) A.f(x)恰有2个极值点 B.f(x)在(1,+∞)上单调递增 C.f(-0.1)>f(0.2) D.f(x)的值域为[2-e,+∞) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 BCD 13 f'(x)=(x+1)ex-2ex=(x-1)ex,令f'(x)=0,得x=1, 当x∈(-∞,1)时,f'(x)<0,此时f(x)单调递减, 当x∈(1,+∞)时,f'(x)>0,此时f(x)单调递增, 故f(x)恰有一个极小值点1,无极大值点,故A错误,B正确; 由f(x)在(-∞,1)上单调递减,可知f(-0.1)>f(0.2),故C正确; 由于f(x)min=f(1)=2-e,而当x趋近于+∞时,f(x)趋近于+∞, 故f(x)的值域为[2-e,+∞),故D正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 11.若函数f(x)=的最大值为f(-1),则实数a的取值范围为　　　　　.  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 [0,2e3] 13 x<0时,f(x)≤f(-1)=a-2,x>0时,aln x-x2-2≤a-2,即x2-aln x+a≥0恒成立.令t(x)=x2-a ln x+a,则t'(x)=,a<0时,t'(x)>0,x→0时,t(x)→-∞,不合题意.a=0时,t(x)=x2≥0恒成立.a>0时,t(x)在上单调递减,在上单调递增,所以t(x)min=-a·ln +a≥0,解得0<a≤2e3.综上,a∈[0,2e3]. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 12.已知函数f(x)=-x2-2x+3在区间[a,2]上的最大值为,则a=　　　　　.  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 - 13 f'(x)=-2x-2,令f'(x)=0,得x=-1,∴函数f(x)在(-∞,-1)上单调递增,在(-1,+∞)上单调递减.若a>-1,则最大值为f(a)=-a2-2a+3=,解得a=-;若a≤-1,则最大值为f(-1)=-1+2+3=4≠.综上,a=-. [C组　素养培优练] 13.设函数f(x)=+2ln x. (1)讨论函数f(x)的单调性; 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 解:(1)f(x)=+2ln x的定义域为(0,+∞), f'(x)=-, 当x>时,f'(x)>0,此时f(x)单调递增, 当0<x<时,f'(x)<0,此时f(x)单调递减, 故f(x)在上单调递减,在上单调递增. (2)如果对所有的≤x≤3,都有f(x)≤a,求a的取值范围. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 解: (2)由(1)知,f(x)在上单调递增, 又f=2-2ln 2,f(3)=+2ln 3, 故f(x)∈,则a≥+2ln 3, 故a的取值范围为. $$