4.3.1 第3课时 等比数列的综合问题-【优化探究】2025-2026学年新教材高中数学选择性必修第二册同步导学案配套PPT课件（人教A版）

4.3　等比数列 4.3.1　等比数列的概念 第3课时　等比数列的综合问题 第四章　数列 学习单元2　等比数列　数学归纳法　 知识点1　等比数列中对称设项法的应用 内容索引 知识点2　等比数列的实际应用 知识点3　等比数列的综合应用 课堂达标·素养提升 课时作业 巩固提升 2 知识点1　等比数列中对称设项法的应用 　有四个实数,前三个数成等比数列,且它们的乘积为216,后三个数成等差数列,且它们的和为12,求这四个数. [分析]　先利用已知条件表示出数列的各项,再进一步根据条件列出方程求解. 例1 [解]　法一:设前三个数分别为,a,aq,则·a·aq=216, 所以a3=216,所以a=6.因此前三个数为,6,6q.由题意知第4个数为12q-6. 所以6+6q+12q-6=12,解得q=.故所求的四个数为9,6,4,2. 法二:设后三个数分别为m-d,m,m+d,则m-d+m+m+d=12,所以m=4,因此后三个数为4-d,4,4+d,则第一个数为(4-d)2, 由题意知(4-d)2×(4-d)×4=216, 解得4-d=6, 所以d=-2. 故所求的四个数为9,6,4,2. 三个数或四个数成等比数列的设法 1.若三个数成等比数列,可设三个数为,a,aq或a,aq,aq2(q≠0). 2.若四个数成等比数列,可设为,a,aq,aq2或,,aq,aq3(q≠0)(第二种设法中,公比为q2). 思维提升 1.已知三个数成等比数列,若它们的和等于13,积等于27,则这三个数为　　 　　 .  跟踪训练 1,3,9或9,3,1 设这三个数为,a,aq,则∴这三个数为1,3,9或9,3,1. 2.已知4个数成等比数列,其乘积为1,第2项与第3项之和为-,则这四个数 为　　　 　　.  8,-2,,-,,-2,8 设这四个数为a,aq,aq2,aq3. 则a4q6=1,且aq(1+q)=-①,所以a2q3=±1, 当a2q3=1时,q>0,代入①式化简可得q2-q+1=0,此方程无解; 当a2q3=-1时,q<0,代入①式化简可得q2+q+1=0,解得q=-或q=-4. 当q=-时,a=8;当q=-4时,a=-. 所以这4个数为8,-2,,-或-,,-2,8. 知识点2　等比数列的实际应用 　某人买了一辆价值13.5万元的新车,专家预测这种车每年按10%的速度贬值. (1)用一个式子表示n(n∈N*)年后这辆车的价值. [分析]　根据题目条件列出这种车每年的价值,观察规律,车的价值是一个以13.5为首项,1-10%为公比的等比数列. 例2 [解]　(1)从第一年起,每年车的价值(万元)依次设为a1,a2,a3,…,an, 由题意,得a1=13.5,a2=13.5(1-10%), a3=13.5(1-10%)2,…. 由等比数列的定义,知数列{an}是等比数列, 首项a1=13.5,公比q=1-10%=0.9, ∴an=a1·qn-1=13.5×0.9n-1, ∴n年后车的价值为an+1=13.5×0.9n(万元). (2)如果他打算用满4年时卖掉这辆车,他大概能得到多少钱?(结果精确到0.1) [分析]　根据题目条件列出这种车每年的价值,观察规律,车的价值是一个以13.5为首项,1-10%为公比的等比数列. [解]　(2)由(1)得a5=a1·q4=13.5×0.94≈8.9(万元), ∴用满4年时卖掉这辆车,他大概能得到8.9万元.   等比数列实际应用问题的关键是:建立数学模型,即将实际问题转化成等比数列的问题;解数学模型,即解等比数列问题.注意使用列举法,可以便于观察规律. 思维提升 3.在高层建筑中,为了优化建筑结构,减少风荷载影响,设计师可能会将建筑设计成底面楼层高度比较高,随着楼层往上逐步按照等比数列递减的“金字塔”形状,已知某高层建筑共10层,第2层高度为4m,第n层高度记为an m,的等比数列,若第k层高度小于6 m,则k的最小值为(　　) A.6　　　　　　　　　　 B.5 C.4 D.3 跟踪训练 C 由题意得a2=4,q=,则a1=8,故an=8×, 由题意得8×<6,解得k>3,即k的最小值是4. 4.如图中的三角形称为谢尔宾斯基三角形.每个图都是取前一个图中的每个黑色三角形三边的中点将其分成四个小三角形,并将中间三角形变为白色,白色三角形不变.若第一个三角形的面积为1,第n个图中白色部 分的面积记为an,则an=　 　　　　.  1-(n∈N*) 观察可知每个图形中黑色三角形的面积一致,假设第n个图中黑色三角形的面积为bn,则bn=bn-1(n≥2,n∈N*),b1=1,显然是等比数列,公比为,即bn=, 所以an=1-(n∈N*) .    知识点3　等比数列的综合应用 　已知数列,且满足an+1=.证明: (1)数列 为等比数列; [分析]　(1)根据已知有,由等比数列定义判断即可; 例3 [证明]　(1)由an+1=,得,可得, 由a1=≠0,故-1≠0, 故,所以数列,公比为的等比数列. (2)数列中的任意三项均不能构成等差数列. [分析]　 (2)设数列的通项为bn,假设br,bs,bt(r<s<t)为数列中的任意三项能构成等差数列,应用等差中项列方程,根据两侧奇偶性得到矛盾,即可证. [证明] (2)设数列的通项为bn,则bn=·, 设br,bs,bt(r<s<t)为数列中的任意三项,易得br>bs>bt, 若这三项能构成等差数列,只能是2bs=br+bt, 所以2⇒2×3t-s·2s-r=3t-r+2t-r,此式的左边为偶数,右边为奇数, 所以数列中的任意三项均不能构成等差数列. 解决等差、等比数列的综合问题 应注意的两个方面 1.注重问题的转化,利用非等差数列、非等比数列构造出新的等差数列或等比数列,以便利用公式和性质解题. 2. 当题中出现多个数列时,既要纵向考查单一数列的项与项之间的关系,又要横向考查各数列之间的内在联系. 思维提升 5.已知{an}为等差数列,且a1+a3=8,a2+a4=12. (1)求{an}的通项公式; 跟踪训练 解:(1)设数列{an}的公差为d,由题意知 所以an=a1+(n-1)d=2+2(n-1)=2n. (2)记{an}的前n项和为Sn,若a1,ak,Sk+2成等比数列,求正整数k的值. 解:(2)由(1)可得Sn==n(1+n). 因为a1,ak,Sk+2成等比数列, 所以=a1Sk+2, 从而(2k)2=2(k+2)(k+3), 即k2-5k-6=0,解得k=6或k=-1(舍去),因此k=6. 〈课堂达标·素养提升〉 1.一个各项都为正数的等比数列,任一项都等于它后面的两项之和,则其公比为(　　) A. C. A 设等比数列,公比q,由题意知,an=an+1+an+2,则有an=anq+anq2 由an≠0,则q2+q-1=0,解得q=,由等比数列各项都为正数,则q>0,则q=. 2.已知等差数列满足:a1=-8,a2=-6.若将a1,a4,a5都加上同一个数,所得的三个数依次成等比数列,则所加的这个数为(　　) A.-1 B.0 C.1 D.无法确定 A 因为a1=-8,a2=-6,所以d=a2-a1=2,则an=2n-10,所以a4=-2,a5=0,设a1,a4,a5都加上同一个数x,得到的三个新数依次为x-8,x-2,x,则(x-8)x=(x-2)2,解得x=-1. 3.已知各项均为正数的等比数列中,a1a2a3=5,a4a5a6=5,则a10a11a12=(　　) A.25 B.20 C.10 D.10 C 设公比为q(q>0),因为数列为正项等比数列,所以a1a2a3==5,a4a5a6=,所以,所以q9=, 所以a10a11a12=. 4.已知三个数成等比数列,其积为512,如果第一个数与第三个数各减去2,则此时的三个数成等差数列,则原来的三个数的和等于　　　　　.  28 依题意,设原来的三个数依次为,a,aq. 因为·a·aq=512,所以a=8. 又因为第一个数与第三个数各减去2后的三个数成等差数列, 所以+(aq-2)=2a, 所以2q2-5q+2=0,所以q=2或q=, 所以原来的三个数为4,8,16或16,8,4.因为4+8+16=16+8+4=28, 所以原来的三个数的和等于28. 课时作业 巩固提升 [A组　必备知识练] 1.数列{an}是公差不为0的等差数列,且a1,a3,a7为等比数列{bn}的连续三项,则数列{bn}的公比为(　　) A.　　　　　　　　　 B.4 C.2 D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 C 13 因为a1,a3,a7为等比数列{bn}中的连续三项,所以=a1a7, 设数列{an}的公差为d,则d≠0,所以(a1+2d)2=a1(a1+6d),所以a1=2d, 所以公比q==2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 2.设是等比数列,且a1+a3=3,a3+a5=6,则a9+a11=(　　) A.24 B.36 C.48 D.64 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 C 13 在等比数列中, 设公比为q,∵a1+a3=3,a3+a5=6, ∴=q2=2,∴a9+a11=(a1+a3)q8=3×24=48. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3.“巴赫十二平均律”是世界上通用的音乐律制,它与五度相生律、纯律并称三大律制.“十二平均律”将一个纯八度音程分成十二份,依次得到十三个单音,从第二个单音起,每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于.而早在16世纪,明代朱载最早用精湛的数学方法近似计算出这个比例,为这个理论的发展做出了重要贡献.若第一个单音的频率为f,则第四个单音的频率为(　　) A.5f B.f C.4f D.f 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 B 13 由题设可得:依次得到的十三个单音构成首项为f,公比为,第四个单音的频率为a4=f×f. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 4.(多选)若a,b是函数f(x)=x2-px+q(p>0,q>0)的两个不同的零点,且a,b,-6这三个数在适当排序后成等差数列,也在适当排序后成等比数列,则(　　) A.a+b=16 B.ab=36 C.pq=540 D.p-q=21 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 BC 13 由题意,根据根与系数的关系,得不妨设a<b,则-6,a,b成等差数列,a,-6,b成等比数列,所以 故a+b=15,ab=36,pq=540,q-p=21. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 5.在各项均为正数的等比数列中,a1=2,且a2,a5的等差中项为a4+2,则a6=　　　　　　.  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 64 13 设等比数列的公比为q>0,因为a2,a5的等差中项为a4+2,则2(a4+2)=a2+a5,即2(2q3+2)=2q+2q4,则4(q3+1)=2q(q3+1), 且q>0,可知q3+1>0,解得q=2,所以a6=2×25=64. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 6.画一个边长为2的正方形,再以这个正方形的一条对角线为边画第2个正方形,以第2个正方形的一条对角线为边画第3个正方形,……,这样共画了10个正方形,则第10个正方形的面积等于　　　　　.  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 2 048 13 依题意,得这10个正方形的边长构成以2为首项,为公比的等比数列{an},所以an=2×()n-1,所以第10个正方形的面积S==[2×()9]2=4×29=2 048. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 7.某公司的销售额下跌严重,从2023年的7月销售收入128万元,到9月跌至32万元,你能求出该公司7月到9月之间平均每月下降的百分比吗?若按此计算,到什么时候每月销售收入跌至8万元? 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 解:设每月平均下降的百分比为x, 则每月的销售收入构成了等比数列{an}, a1=128,则a2=a1(1-x), a3=a1(1-x)2=128(1-x)2=32, 解得x=50%. 设an=8,an=128(1-50%)n-1=8,解得n=5, 所以从2023年的7月算起第5个月,即2023年的11月该公司的销售收入跌至8万元. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 8.已知数列满足a1=1,点(n∈N*)在直线2x-y+1=0上. (1)求证:数列是等比数列,并求出的通项公式; 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 (1)证明:由已知得+1,∴=2,且+1=2≠0, 所以数列是等比数列,且公比为2, ∴+1=2n,则an=. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 (2)求满足的n的取值构成的集合. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 (2)解:因为,所以,5≤2n-1≤63,∴6≤2n≤64, 得log26≤n≤6,又因为n∈N*,所以n的取值构成的集合是. [B组　关键能力练] 9.对于正数a1,a2,a3,…,an,它的几何平均数定义为:,它的前11项的几何平均数为25,从这11项中抽去一项后所剩10项的几何平均数仍是25,那么抽去的一项是(　　) A.第6项 B.第7项 C.第9项 D.第11项 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 A 13 由题意=25,又因为是等比数列,所以b1b11=b2b10=…=b5b7=, 所以=25,即b6=25, 设抽去的是bi,则=25,即b1b2bi-1bi+1…bn=,但b1b2…bn=, 所以bi=b6. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 10.已知数列是一个等比数列,且a1=2,a3=-1,则a5=　　　　.  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 - 13 由题意知a1+2=4,a3+2=1,又因为数列是等比数列, 所以=(a1+2)(a5+2),即1=4(a5+2),解得a5=-. 11.已知递增等比数列的第三项、第五项、第七项的积为512,且这三项分别减去1,3,9后成等差数列.则的公比为　　　　　.  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 依题意,设公比为q,则q>1,因为等比数列的第三项、第五项、第七项的积为512,所以a3a5a7=512,所以=512,所以a5=8, 又数列的第三项、第五项、第七项分别减去1,3,9后成等差数列, 则a3-1+a7-9=2(a5-3),所以a3+a7=20, 即+a5q2=20,即+8q2=20,解得q2=2或q2=, 因为q>1,所以q2=2,q=. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 12.已知正项数列满足a1=1,a2=2,a4=64,且anan+2=k(n∈N*). (1)求k的值; 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 解:(1)当n=1时,a1a3=k⇒a3=4k, 当n=2时,a2a4=k⇒128=k·(4k)2⇒k=2. (2)求数列的通项公式. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 解: (2)因为k=2,所以anan+2=2,则=2·, 令bn=,所以bn+1=2bn,则是等比数列, 因为b1==2,q=2,所以bn=b1qn-1=2n,所以=2n, 则an=×…××a1 =2n-1×2n-2×…×22×21×1=. [C组　素养培优练] 13.已知数列满足a1=1,a2=5,an+2=5an+1-6an. (1)证明:是等比数列; 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 证明:(1)由已知,an+2=5an+1-6an,∴an+2-2an+1=5an+1-6an-2an+1, ∴an+2-2an+1=3an+1-6an=3(an+1-2an), 显然an+1-2an=0与a1=1,a2=5矛盾,∴an+1-2an≠0, ∴=3, ∴数列是首项为a2-2a1=5-2=3,公比为3的等比数列. 13 (2)证明:存在两个等比数列,,使得an=bn+cn成立. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 证明: (2)∵an+2=5an+1-6an,∴an+2-3an+1=5an+1-6an-3an+1, ∴an+2-3an+1=2an+1-6an=2(an+1-3an), 显然an+1-3an=0与a1=1,a2=5矛盾,∴an+1-3an≠0, ∴=2, 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 ∴数列是首项为a2-3a1=5-3=2,公比为2的等比数列, ∴an+1-3an=2n,① 又∵由第(1)问,an+1-2an=3n,② ∴②-①得,an=3n-2n, ∴存在bn=3n,cn=-2n,两个等比数列,, 使得an=bn+cn成立. 13 $$