6.4.2 向量在物理中的应用举例-【优化探究】2025-2026学年新教材高中数学必修第二册同步导学案配套PPT课件（人教A版）

6．4　平面向量的应用 6．4.2　向量在物理中的应用举例 第六章　平面向量及其应用 学习单元3　平面向量的应用   [学习目标]　1.会用向量方法解决物理中的问题．　2.掌握向量方法解决物理问题的基本方法． 知识点1　向量与力 内容索引 知识点2　向量与速度、加速度、位移 知识点3　向量与功 课堂达标·素养提升 课时作业 巩固提升 3 知识点1　向量与力 力是既有______，又有______的量，实际上力的问题就是向量问题． 大小　 方向 例1 力的合成和分解，实质上是向量的加、减法运算，求解时常用向量求和的平行四边形法则和三角形法则，常常先把力移到共同的作用点，再作出相应图形，建立数学模型． 思维提升 跟踪训练 D 5 知识点2　向量与速度、加速度、位移 　如图所示，一条河的两岸平行，河的宽度d＝500 m，一艘船从A点出发航行到河对岸，船航行速度的大小为|v1|＝10 km/h，水流速度的大小为|v2|＝4 km/h，设v1和v2的夹角为θ(0°<θ<180°). (1)当cos θ多大时，船能垂直到达对岸？ [分析]　(1)船垂直到达对岸，即船的实际速度v＝v1＋v2且与v2垂直． 例2 (2)当船垂直到达对岸时，航行所需时间是否最短，为什么？ [分析]　(2)水速与船速的合速度垂直于河岸时，航程最短，最快到达对岸． 速度、加速度、位移的合成与分解，实质上就是向量的加、减运算．用向量解决速度、加速度、位移等问题，主要借助于向量的线性运算，有时也借助于坐标来运算． 思维提升 跟踪训练 C 知识点3　向量与功 若一个物体在力F的作用下产生位移s，则力F所做的功W＝________． F·s 　已知力F(斜向上)与水平方向的夹角为30°，大小为50 N，一个质量为8 kg的木块受力F的作用在动摩擦因数μ＝0.02的水平面上运动了20 m．问力F和摩擦力f所做的功分别为多少？(g＝10 m/s2) [分析]　先确定摩擦力的大小，再用做功的公式分别确定两个功． 例3 力所做的功是力在物体前进方向上的分力与物体位移的乘积，它的实质是力和位移两个向量的数量积，即W＝F·s＝|F||s|cos θ(θ为F和s的夹角). 思维提升 5．一物体在力F1＝(3，－4)，F2＝(2，－5)，F3＝(3，1)的共同作用下从点A(1，1)移动到点B(0，5).则在这个过程中三个力的合力所做的功为__________ J. 跟踪训练 －40 〈课堂达标·素养提升〉 1．已知平面内作用于点O的三个力f1，f2，f3，且它们的合力为0，则三个力的分布图可能是(　　) D 因为f1＋f2＝－f3，所以f1与f2的合力与f3方向相反，长度相等，则由平行四边形法则可知，只有D项满足． B 30°　 60° 课时作业 巩固提升 [A组　必备知识练] 1．已知三个力f1＝(－2，－1)，f2＝(－3，2)，f3＝(4，－3)同时作用于某物体上一点，为使物体保持平衡，再加上一个力f4，则f4＝(　　) A．(－1，－2)　　　　　 B．(1，－2) C．(－1，2) D．(1，2) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 D 13 f1＋f2＋f3＋f4＝0，又f1＋f2＋f3＝(－1，－2)，所以f4＝(1，2). 2．如果一架飞机先向东飞行200 km，再向南飞行300 km，设飞机飞行的路程为s，位移为a，则(　　) A．s>|a| B. s<|a| C．s＝|a| D．s与|a|不能比较大小 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 A 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3．当两人提起重量为|G|的旅行包时，两人用力方向的夹角为θ，用力大小都为|F|.若|F|＝|G|，则θ的值为(　　) A．30° B．60° C．90° D．120° 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 D 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 4．冰球运动是一种以冰刀和冰球杆为工具在冰上进行的相互对抗的集体性竞技运动，在冰球运动中，冰球运动员脚穿冰鞋，身着防护装备，以球杆击球，球入对方球门，多者为胜．小赵同学在练习冰球的过程中，以力F＝(6，24)作用于冰球，使冰球从点A(－1，－1)移动到点B(1，－1)，则F对冰球所做的功为(　　) A．－18 B．18 C．－12 D．12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 D 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 5．一艘船从河岸边出发向河对岸航行．已知船的速度v1＝(m，8)，水流速度v2＝(6，0)，那么当航程最短时船实际航行的速度大小为____________． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 10 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 6．如图，1 kg的重物在两根细绳的支持下处于平衡状态，已知两根细绳与水平线分别成30°与60°角，则两根细绳受到的拉力分别为__________．(取g＝10 m/s2) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 7．一辆汽车在公路上向西行驶，车上装有风速计和风向标，测得风向为东偏南30°，风速为4 m/s，这时气象台报告的实际风速为2 m/s，试求风的实际方向和汽车速度是多少？ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 8．两个力F1＝i＋j，F2＝4i－5j作用于同一质点，使该质点从点A(20，15)移动到点B(7，0)(其中i，j分别是x轴正方向、y轴正方向上的单位向量，力的单位：N，位移的单位：m).求： (1)F1，F2分别对该质点做的功； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 (2)F1，F2的合力F对该质点做的功． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 BC 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 10.(多选)如图所示，小船被绳索拉向岸边，船在水中运动时设水的阻力大小不变，那么小船匀速靠岸过程中，下列说法中正确的是(　　) A．绳子的拉力不断增大 B．绳子的拉力不断变小 C．船所受的浮力不断变小 D．船所受的浮力保持不变 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 AC 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 ①②③ 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 　如图，用两根分别长5 m和10 m的绳子，将100 N的物体吊在水平屋顶AB上．平衡后，G点距屋顶距离恰好为5 m，求A处所受力的大小(绳子的重量忽略不计). [分析]　A处和B处所受力的合力就是物体的重力． [解]　如图，由已知条件可知AG与铅垂方向成45°角， BG与铅垂方向成60°角． 设A处所受力为Fa，B处所受力为Fb，物体的重力为G. 因为∠EGC＝60°，∠EGD＝45°， 则有|Fa|cos 45°＋|Fb|cos 60°＝|G|＝100，① 且|Fa|sin 45°＝|Fb|sin 60°，② 由①②得|Fa|＝150－50， 所以A处所受力的大小为(150－50)N. 1．一物体在大小为10 N的力F的作用下产生的位移s的大小为50 m，且力F所做的功W＝250 N·m，则F与s的夹角为(　　) A．135°　　　　　　　　　 B．90° C．60° D．45° 由题意可知：W＝F·scos θ，即250＝10×50cos θ， 解得：cos θ＝，θ＝45°. 2．已知两个力F1，F2的夹角是直角，且已知它们的合力F与F2的夹角为，|F|＝10 N，则F2的大小为__________N． 设＝F1，＝F2， 以AD，AB为邻边作平行四边形ABCD，则＝F. 因为合力F与F2的夹角为，|F|＝10 N， 即∠BAC＝，||＝10. 又因为F1，F2的夹角是直角， 所以AB⊥AD， 即∠BAD＝∠ABC＝. 所以在Rt△ABC中，|F2|＝||＝||cos ＝ |F|cos ＝5(N). [解]　(1)船垂直到达对岸，即船的实际速度v＝v1＋v2且与v2垂直，即(v1＋v2)·v2＝0. 所以v1·v2＋v＝0，即|v1||v2|cos θ＋|v2|2＝0， 所以40cos θ＋16＝0，解得cos θ＝－. [解]　(2)设船航行到对岸所需的时间为t h， 则t＝＝＝(h). 故当θ＝90°时，船的航行时间最短，为 h. 而当船垂直到达对岸时，由(1)知sin θ＝， 所需时间t＝＝＝(h)，>， 故当船垂直到达对岸时，航行所需时间不是最短． 3．一只鹰正以与水平方向成30°角的方向向下飞行，直扑猎物．太阳光从头上直照下来，鹰在地面上的影子的速度大小是40 m/s，则鹰的飞行速度的大小为(　　) A． m/s　　　　　　 B． m/s C． m/s D． m/s 如图，设鹰在地面上的影子的速度＝v1，鹰的飞行速度＝v2，由题可知||＝|v1|＝40，且∠CAB＝30°，则||＝|v2|＝＝ m/s. 4．一条宽为 km的河，水流速度为2 km/h，在河两岸有两个码头A，B，已知AB＝ km，船在水中的最大航速为4 km/h，问该船怎样安排航行速度可使它从A码头最快到达彼岸B码头，用时多少？ 解：如图所示，设为水流速度，为航行速度，以AC和AD为邻边作▱ACED，且当AE与AB重合时能最快到达彼岸．根据题意知AC⊥AE，在Rt△ADE和▱ACED中，||＝||＝2，||＝4，∠AED＝90°，∴||＝＝2.又AB＝，∴用时0.5 h．易知sin ∠EAD＝， ∴∠EAD＝30°，即∠DAC＝120°，∴该船航行速度大小为4 km/h，与水流方向成120°角时能最快到达B码头，用时0.5 h. [解]　如图所示，设木块的位移为s， 则WF＝F·s＝|F||s|·cos 30°＝50×20×＝500 (J). 将力F分解，它在铅垂方向上的分力F1的大小为|F1|＝|F|sin 30°＝50×＝25(N)， 所以摩擦力f的大小为|f|＝|μ(G－F1)|＝(80－25)×0.02＝1.1(N)， 因此Wf＝f·s＝|f||s|cos 180°＝1.1×20×(－1)＝－22(J). 即F和f所做的功分别为500 J和－22 J． ∵F1＝(3，－4)，F2＝(2，－5)，F3＝(3，1)， ∴合力F＝F1＋F2＋F3＝(8，－8).又∵＝(－1，4)， ∴F·＝8×(－1)＋(－8)×4＝－40(J)，即三个力的合力做的功为 －40 J． 2．已知两个力F1，F2的夹角为90°，它们的合力大小为10 N，合力与F1的夹角为60°，那么F1的大小为(　　) A．5 N　　　　　　　 B．5 N C．10 N D．5 N 如图，＝F1，＝F2，∠AOC＝60°，∠OAC＝90°，||＝10. 在Rt△OAC中，有||＝||cos ∠AOC＝5，所以，F1的大小为5 N． 3．一条东西方向的河流两岸平行，河宽250 m，河水的速度为向东2 km/h.一艘小货船准备从河的这一边的码头A处出发，航行到位于对岸B(AB与河岸的方向垂直)的正西方向并且与B相距250 m的码头C处卸货．若水流的速度与小货船的速度(自身动力产生的速度)的合速度的大小为6 km/h，则当小货船的航程最短时，航行的合速度方向与正西方向的夹角为________，小货船的速度大小为________ km/h. 2 如图，AB＝250 m＝ km，BC＝250 m＝ km，tan ∠CAB＝＝＝， ∴∠CAB＝60°，∴∠CAD＝90°＋60°＝150°， ∴合速度的方向与水流的方向成150°的角，与正西方向的夹角为30°， 设小货船的速度为v1，水流速度为v2，合速度为v，则v1＝v－v2， ∴|v1|＝＝ ＝2 km/h， ∴小船航行速度的大小为2 km/h. 4．一个重30 N的物体从倾斜角为θ，斜面长为2 m的光滑斜面顶端下滑到底端．若重力做的功是30 J，则θ＝__________． ∵W＝G·s＝|G|·|s|·cos (90°－θ)＝30×2×cos (90°－θ)＝30， ∴cos (90°－θ)＝. ∵0°＜90°－θ＜90°， ∴θ＝60°. 物理量中的路程是数量，位移是向量，如图，s＝||＋||>||＝|a|，故s>|a|. 作＝F1，＝F2，＝F，＝G，且|F1|＝|F2|＝|F|＝|G|.由向量加法法则，知＝＋，△AOC与△BOC都是正三角形，所以∠AOB＝θ＝120°. 因为A(－1，－1)，B(1，－1)，所以＝(2，0)，又F＝(6，24)，设F与的夹角为θ， 故力F对冰球所做的功为W＝|F|||cos θ＝F·＝12. 如图所示：A1是河对岸一点，且AA1与河岸垂直，那么当这艘船实际沿AA1方向行驶时，航程最短， 此时，|v|＝|AA1|＝8，|v2|＝|AC|＝6，|v1|＝|AB|＝＝10，所以当航程最短时船实际航行的速度大小为10. 答案：5 N　5 N 如图，设左右两根绳子的拉力大小分别为F1，F2，由受力平衡可知：OM′＝10 N， 所以F1＝OM′sin 30°＝5 N，F2＝OM′cos 30°＝5 N． 解：设车对地的速度为v1 m/s，风对车的速度为v2 m/s，风对地的速度为v3 m/s，则v3＝v1＋v2，如图所示． 由向量的加法法则，知AD为▱ABDC的对角线．因为||＝4，∠ACD＝30°，||＝2，所以∠ADC＝90°. 在Rt△ADC中，||＝||cos 30°＝2，所以风的实际方向是正南方向，汽车速度是2 m/s. 解：(1)根据题意，F1＝i＋j＝(1，1)，F2＝4i－5j＝(4，－5)，＝(－13，－15)， 故F1对该质点做的功W1＝F1·＝－13－15＝－28(N·m)； F2对该质点做的功W2＝F2·＝－13×4－15×(－5)＝23(N·m). 解：(2)根据题意，F1，F2的合力F＝F1＋F2＝(5，－4)， 故F1，F2的合力F对该质点做的功W＝F·＝5×(－13)－4×(－15)＝－5(N·m). [B组　关键能力练] 9．(多选)三名学生拉同一个可移动物体，当处于平衡状态时，所用的力分别用F1，F2，F3表示．若|F1|＝30 N，|F2|＝10 N，F1，F2的夹角是，则下列说法正确的是(　　) A．|F3|＝5 N B．|F3|＝10 N C．F1，F3夹角的余弦值为－ D．F1，F3夹角的余弦值为－ 由已知可得：－F3＝F1＋F2， 所以|F3|＝＝＝10 N．B正确． 设F1，F3的夹角为θ，由－F2＝F1＋F3，得|F2|＝ ， 所以300＝900＋2×30×10×cos θ＋2 100， 得解cos θ＝－.C正确． 设水的阻力为f，绳的拉力F与水平方向夹角为θ， 则|F|cos θ＝|f|， ∴|F|＝.∵θ增大，∴cos θ减小，sin θ增大， ∴|F|增大，即绳子的拉力不断增大，∴|F|sin θ增大．∵|F|sin θ加上船所受的浮力的大小等于船的重力的大小， ∴船所受的浮力不断变小． 11.如图，作用于同一点O的三个力F1，F2，F3处于平衡状态，已知|F1|＝1，|F2|＝2，F1与F2的夹角为，则F3的大小为__________． 因为F1，F2，F3三个力处于平衡状态，所以F1＋F2＋F3＝0，则F3＝－(F1＋F2)， 所以|F3|＝|F1＋F2|＝＝＝＝. 12.在体育课上，同学们经常要在单杠上做引体向上运动(如图)，假设某同学所受重力为G，两臂拉力分别为F1，F2，若|F1|＝|F2|，F1与F2的夹角为θ，则以下四个结论中：①|F1|的最小值为|G|；②当θ＝时，|F1|＝；③当θ＝时，|F1|＝|G|；④在单杠上做引体向上运动时，两臂夹角越大越省力．在以上四个结论中，正确的序号为__________． 对于①：由受力分析得F1＋F2＝－G，所以|F1＋F2|＝| －G|，所以|F1＋F2|2＝|－G|2，所以F＋F＋2|F1||F2|cos θ＝G2，又因为|F1|＝|F2|，所以2|F1|2(1＋cos θ)＝G2，所以|F1|2＝， 又θ∈[0，π)，所以cos θ∈(－1，1]，故当cos θ＝1时， |F1|取得最小值为|G|，故①正确； 对于②：|F1|2＝，当θ＝时，|F1|2＝＝＝＝， ∴|F1|＝，故②正确； 对于③：|F1|2＝＝＝＝G2，∴|F1|＝|G|，故③正确； 对于④：|F1|2＝， ∵θ∈[0，π)，cos θ∈(－1，1]，∴2(1＋cos θ)∈(0，4]， 所以cos θ越大，|F1|越小，越省力．又y＝cos θ在[0，π)单调递减，所以两臂夹角越小越省力，故④错误． [C组　素养培优练] 13．如图，设Ox，Oy是平面内相交成60°角的两条数轴，e1，e2分别是与x轴、y轴正方向同向的单位向量，若向量＝x e1＋y e2，则把有序数对(x，y)叫做向量在坐标系Oxy中的坐标，设＝2e1＋e2. (1)计算||的大小． 解：(1)因为e1·e2＝1×1×cos 60°＝， 所以 ||＝＝＝. (2)甲在Ox上距O点3千米的点A处，乙在Oy上距O点1千米的点B处，现在甲沿的方向，乙沿的方向同时以4千米/小时的速度行走； ①若过半小时后甲到达C点，乙到达D点，请用e1与e2来表示； ②若t时刻，甲到达G点，乙到达H点，求||的最小值． 解：(2)①因为OC＝3－2＝1，OD＝1＋2＝3， 所以＝e1，＝3e2，所以＝－＝3e2－e1. ②两人在t时刻相距＝(1＋4t)e2－(3－4t)e1， 所以||2＝(1＋4t)2＋(3－4t)2－2(1＋4t)(3－4t)e1·e2 ＝48t2－24t＋7＝48＋4. 当t＝时，||min＝2，即小时后，他们两人相距最短． $$