7.2 离散型随机变量的分布列（六个重难点突破）-2024-2025学年高二下学期数学重难点突破及易错点分析（人教A版）

7.2 离散型随机变量的分布列 一、随机变量 四、由随机变量分布列求概率 二、分布列及其性质的应用 五、两个相关随机变量的分布列 三、求离散型随机变量的分布列 六、两点分布 知识点1随机变量 1.随机变量：随着试验结果变化而变化的变量称为随机变量，常用字母，…表示． 离散型随机变量：所有取值可以一一列出的随机变量，称为离散型随机变量 2.离散型随机变量分布列的概念及性质 ①离散型随机变量的分布列的概念 设离散型随机变量X可能取的不同值为，，…，，X取每一个值 ()的概率，则下表称为随机变量X的概率分布，简称为X的分布列. X … … P … … 有时也用等式表示X的分布列． ②离散型随机变量的分布列的性质 （1）(i＝1，2，…，n)；（2）． 重难点一、随机变量 【例1】（多选）下列变量中，不是离散型随机变量的是（    ） A．一条河流每日最大流量 B．一只刚出生的大熊猫，一年以后的身高 C．某人在车站等出租车的时间 D．某人投篮10次，可能投中的次数 【答案】ABC 【详解】离散型随机变量的取值是可以一一列举的，结合选项可知只有ABC符合题意. 故选：ABC. 【例2】下列变量中，哪些是随机变量，哪些是离散型随机变量？并说明理由． (1)某机场一年中每天运送乘客的数量； (2)某单位办公室一天中接到电话的次数； (3)明年5月1日到10月1日期间所查酒驾的人数； (4)一瓶果汁的容量为. 【答案】(1)是随机变量，也是离散型随机变量，理由见解析 (2)是随机变量，也是离散型随机变量，理由见解析 (3)是随机变量，也是离散型随机变量，理由见解析 (4)是随机变量，但不是离散型随机变量，理由见解析 【详解】（1）某机场一年中每天运送乘客的数量可能为0，1，2，3，…，是随机变化的，因此是随机变量，也是离散型随机变量． （2）某单位办公室一天中接到电话的次数可能为0，1，2，3，…，是随机变化的，因此是随机变量，也是离散型随机变量． （3）明年5月1日到10月1日期间，所查酒驾的人数可能为0，1，2，3，…，是随机变化的，因此是随机变量，也是离散型随机变量． （4）由于果汁的容量在498mL~502mL之间波动，是随机变量，但不是离散型随机变量,是连续性随机变量. 【变式1-1】(多选题)下列变量： ①某机场候机室中一天的旅客数量为； ②某寻呼台一天内收到的寻呼次数为； ③某水电站观察到一天中长江的水位为； ④某立交桥一天内经过的车辆数为. 其中是离散型随机变量的是（    ） A．①中的 B．②中的 C．③中的 D．④中的 【答案】ABD 【详解】因为所有取值可以一一列出的随机变量为离散型随机变量， 而①②④中的随机变量的可能取值，我们都可以按一定的次序一一列出， 因此它们都是离散型随机变量； 而③中的可以取某一区间内的一切值，无法按一定次序一一列出， 因此它不是离散型随机变量. 故选：ABD. 【变式1-2】已知下列四个变量：①某高铁候车室中一天的旅客数量；②某次学术讲座中学员向主讲教授提问的次数；③某一天中长江的水位；④某次大型车展中销售汽车的数量．其中，所有离散型随机变量的序号为 ． 【答案】①②④ 【详解】①②④中的随机变量可能的取值可以按照一定次序一一列出， 因此，它们都是离散型随机变量； ③中的可以取某一区间内的一切值，无法按一定次序一一列出， 故其不是离散型随机变量. 故答案为：①②④. 【变式1-3】下列变量中，哪些是随机变量，哪些是离散型随机变量？并说明理由． (1)某机场一年中每天运送乘客的数量； (2)某单位办公室一天中接到电话的次数； (3)一瓶果汁的容量为500±2 mL. 【答案】(1)是随机变量，也是离散型随机变量，理由见解析 (2)是随机变量，也是离散型随机变量，理由见解析 (3)是随机变量，不是离散型随机变量，理由见解析 【详解】（1）某机场一年中每天运送乘客的数量可能为0，1，2，3，…，是随机变化的，可以一一列出，因此是随机变量，也是离散型随机变量． （2）某单位办公室一天中接到电话的次数可能为0，1，2，3，…，是随机变化的，可以一一列出，因此是随机变量，也是离散型随机变量． （3）由于果汁的容量在498 mL～502 mL之间波动，是随机变量，但不是离散型随机变量． 重难点二、分布列及其性质的应用 【例3】若随机变量的分布列如下表，表中数列为等差数列，则的取值是（   ） 3 4 5 6 7 A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由分布列的性质可知，，再根据数列为等差数列， 则，即，则. 故选：D 【例4】已知随机变量X的分布规律为（），则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为随机变量X的分布规律为（）， 所以，解得， 所以. 故选：A. 【变式2-1】（多选）下列表格中，不是某个随机变量的分布列的是（    ） A． 0 1 2 0.7 0.15 0.15 B． -2 0 2 4 0.5 0.2 0.3 0.1 C． 1 2 3 D． 1 2 3 【答案】BC 【详解】对于A，满足，且概率和，故A是某个随机变量的分布列； 对于B，满足，但概率和，故B不是某个随机变量的分布列； 对于C，不满足，故C不是某个随机变量的分布列； 对于D，满足，且概率和，故D是某个随机变量的分布列. 故选：BC. 【变式2-2】设是一个离散型随机变量，其分布列为如下，则 ． 【答案】/ 【详解】因为随机变量取遍所有可能值时相应的概率之和等于， 所以， 解得或， 又因为随机变量的概率非负不大于， 所以，， 解得， 综上， 故答案为：##． 【变式2-3】已知，随机变量的分布列为 的最小值为 【答案】 【详解】由题意得，，则， ∵， ∴， 当且仅当，即时，等号成立， ∴的最小值为． 故答案为：. 重难点三、求离散型随机变量的分布列 【例5】一个袋中装有2个红球和4个白球，这些球除了颜色以外完全相同.每次从袋中随机取出一个球，取出的球不放回. (1)求第二次取出的是红球的概率； (2)若第三次取球时发现取出的是红球，求此时袋中没有红球的概率； (3)设2个红球都被取出时，已经取出的白球个数为，求的分布列. 【答案】(1) (2) (3)答案见解析 【详解】（1）第二次取出的是红球是两个互斥事件的和事件， 分别为第一次取出红球，第二次取出红球；第一次取出白球，第二次取出红球； 所以概率. （2）记第三次取球时发现取出的是红球为事件A，第三次取球后袋中无红球为事件B, 则, ， 所以. （3）由题意，的可能取值为， 则， ， ， ， , 所以分布列为： 0 1 2 3 4 【例6】在一次购物抽奖活动中，假设某10张奖券中有一等奖奖券1张，可获价值50元的奖品；有二等奖奖券3张，每张可获价值10元的奖品；其余6张没有奖.某顾客从此10张奖券中任抽2张，求： (1)该顾客中奖的概率； (2)该顾客获得的奖品总价值的分布列，并求出的值. 【答案】(1)； (2)分布列见解析，. 【详解】（1）该顾客中奖的概率. （2）的可能取值为0，10，20，50，60. ，，， ，. 故随机变量的分布列为 0 10 20 50 60 所以. 【变式3-1】袋中装有黑球和白球共7个，从中任取2个球都是白球的概率为，现在甲､乙两人从袋中轮流摸取1球，甲先取，乙后取，然后甲再取……取后不放回，直到两人中有一人取到白球时即止，每个球在每一次被取出的机会是等可能的，用表示取球终止时所需要的取球次数.求： (1)求袋中原有白球的个数； (2)求随机变量的概率分布. 【答案】(1)3 (2)见解析 【详解】（1）设袋中原有个白球，由题意知：，所以， 解得（舍去），即袋中原有3个白球. （2）由题意，的可能取值为. ； ； ； ； ； 所以，取球次数的分布列为： 1 2 3 4 5 【变式3-2】现有甲、乙两个抽题箱，两抽题箱内放有大小、质量、颜色均相同的小球，且小球内放有题目.已知甲箱内有4个A类题目的小球，5个B类题目的小球，3个C类题目的小球；乙箱内有2个A类题目的小球，2个B类题目的小球，6个C类题目的小球.从甲箱、乙箱内各随机抽取一个小球，记表示抽取的小球内放有B类题目的个数，求的分布列和数学期望. 【答案】分布列见解析， 【详解】从甲箱内抽取一个小球，且小球内放有B类题目的概率为， 小球内没有B类题目的概率为； 从乙箱内抽取一个小球，且小球内放有B类题目的概率为， 小球内没有B类题目的概率为， 的可能取值为， 则， ， ， 所以的分布列为 0 1 2 . 【变式3-3】小明设计了一款虚拟电子射击游戏，游戏规则如下：参与者手持一把弹槽数为5的左轮手枪来射击目标，在任意一个弹槽内装填一颗子弹，然后随机转动左轮使其中一个弹槽对准枪口开枪射击，规定：若该弹槽有子弹则一定能击中目标，若该弹槽为空槽则子弹射击不出去，从而无法击中目标.一次射击结束后，若未能击中目标，则随机在剩余的任意一个空弹槽内装填一颗子弹，并随机转动左轮使其中一个弹槽对准枪口重复射击，直至击中目标为止.已知转动到任意槽位的概率均相等，且在所有弹槽内填满子弹就一定能击中目标，记参与者击中目标共需要射击次. (1)求和的值； (2)求的所有可能取值； (3)求的分布列. 【答案】(1)， (2)1，，，， (3)分布列见解析 【详解】（1）由题意可得，， . （2）由题意可得的所有可能取值为1，，，，. （3）， ， ， 故的分布列为 1 2 3 4 5 重难点四、由随机变量分布列求概率 【例7】（多选）水果篮中有8个水果，其中有2个是石榴，现从水果篮中随机地抽取3个，那么概率是的事件为（    ） A．恰有1个不是石榴 B．3个全不是石榴 C．恰有2个石榴 D．至少2个不是石榴 【答案】AC 【详解】水果篮中随机地抽取3个的总事件数为， 因为其中有2个石榴，所以可能出现的事件有：恰有0个石榴，恰有1个石榴，恰有2个石榴，取法数分别为； 所以恰有1个不是石榴的概率为，3个全不是石榴的概率为，恰有2个石榴的概率为，至少2个不是石榴的概率为， 故选：AC． 【例8】某种儿童游戏每局的规则是：儿童先在标记有1，2，3，4，5的卡片中随机摸取一张，将卡片上的数字作为其资金（单位：元）；随后放回该卡片，再随机摸取两张，将这两张卡片上数字之差的绝对值的1.4倍作为其奖金（单位：元）.若随机变量和分别表示儿童在一局游戏中的资金和奖金，则 ． 【答案】/ 【详解】资金的分布列为 1 2 3 4 5 P 奖金的分布列为 1.4 2.8 4.2 5.6 P 则. 故答案为：. 【变式4-1】（多选）已知随机变量的分布列为，其中是常数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【详解】根据题意，随机变量的分布列为， 则有，解得， 则， ． 故选：ABC. 【变式4-2】（多选）已知随机变量的分布列，若，则实数的值可以是（    ） 0 1 2 3 A．5 B．7 C．9 D．10 【答案】ABC 【详解】由随机变量的分布列，知： 的可能取值为， 且， ， ， ， 则，. 若，则实数的取值范围是. 故选：ABC. 【变式4-3】设随机变量的分布列为，求： (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由题意知， ，解得， . （2） . 重难点五、两个相关随机变量的分布列 【例9】设离散型随机变量X的分布列为下表，若随机变量，则等于（ ） X 0 1 2 3 P 0.2 0.1 0.1 0.6 A．0.3 B．0.4 C．0.6 D．0.7 【答案】A 【详解】因为，所以. 故选：A. 【例10】已知随机变量的取值范围为，且，若，则 ． 【答案】0.9/ 【详解】令，解得，且， 所以． 故答案为：0.9． 【变式5-1】已知离散型随机变量X的概率分布如表，离散型随机变量Y满足，则（    ） X 0 1 2 3 P a 5a A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意可知：， 所以解得，所以离散型随机变量Y的概率分布列为： Y -1 1 3 5 P 所以. 故选：A. 【变式5-2】已知离散型随机变量X的分布列如下表： X 0 1 2 3 P a 若离散型随机变量，则（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由分布列的性质可知： 解得 ， 由 ， 等价于 ，由表可知 ； 故选：A. 【变式5-3】设离散型随机变量X的分布列为： X 0 1 2 3 4 P 0.2 0.1 0.1 0.3 m 求随机变量的分布列． 【答案】分布列见解析 【详解】由题可知知，列表为： X 0 1 2 3 4 1 0 1 2 3 P 0.2 0.1 0.1 0.3 0.3 ∴， . 故的分布列为： 0 1 2 3 P 0.1 0.3 0.3 0.3 知识点2两点分布的分布列 若随机变量的分布列为两点分布列,就称服从两点分布或分布,并称为成功概率. 重难点六、两点分布 【例11】已知服从两点分布，若，则（    ） A．0.48 B．0.52 C．0.24 D．0.26 【答案】B 【详解】由服从两点分布，，得. 故选：B 【例12】袋中有除颜色外都相同的红球10个，白球5个，从中摸出2个球，如果只关心摸出两个红球的情形，问如何定义随机变量X，才能使X满足两点分布，并求分布列． 【答案】答案见解析 【详解】 从含有10个红球，5个白球的袋中摸出2个球，其结果是随机的，可能是一红一白、两红、两白三种情况，为此我们定义随机变量如下： 当时，两个球非全红；当时，两个球全红. 则X显然服从两点分布，且，. ∴X的分布列为： X 0 1 P 【变式6-1】已知随机变量服从两点分布，且，设，那么（    ） A．0.2 B．0.3 C．0.4 D．0.6 【答案】D 【详解】由题意可知，当时，即，解得， 又因为随机变量服从两点分布，且， 所以. 故选：D. 【变式6-2】已知离散型随机变量X的分布列服从参数为p的两点分布，且，则 . 【答案】 【详解】因为X的分布列服从参数为p的两点分布，所以，且， 所以即，∴. 故答案为： 【变式6-3】从装有个白球和个红球的口袋中任取个球，用表示“取到的白球个数”，则的取值为或，即，求随机变量的概率分布． 【答案】分布列见解析 【详解】由题意知，， 故随机变量的概率分布列如下表所示： 0 1 一、单选题 1．设随机变量，且，则（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为，若，可得， 则，所以. 故选：A. 2．下表是离散型随机变量的概率分布，则（   ） 1 2 3 4 P A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意可得：，解得， 所以． 故选：B. 3．随机变量的分布列如表：其中，，成等差数列，则（   ） -1 0 1 A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为，，成等差数列，所以， 根据随机变量分布列的性质得，所以， 所以， 故选：D. 4．已知随机变量的分布列如下表： 0 1 P a b c 其中成等差数列，则的值与公差d的取值范围分别是（    ） A．； B．； C．； D．； 【答案】A 【详解】由题意，因为成等差数列，所以， 又由，解得， 则，，， 根据分布列的性质，得，， 所以. 故选：A 5．同时掷两颗质地均匀的骰子，观察朝上一面出现的点数.设两颗骰子出现的点数分别为，，记，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】依题意，随机变量满足的事件是、、的3个互斥事件的和， 而，，， 所以. 故选：B 6．泊松分布是一种离散概率分布由法国数学家西莫恩·德尼·泊松于年发表，适合于描述单位时间内随机事件发生的次数.泊松分布的概率函数为，是自然对数的底数，是泊松分布的均值.用于制造核武器和核反应堆的钚是钚的同位素，一纳克钚每秒平均发生次放射性衰变，假设衰变次数服从泊松分布，则秒内一纳克钚恰好发生次放射性衰变的概率约为（    ）（参考数据：，） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为一纳克钚每秒平均发生次放射性衰变，所以秒内一纳克钚发生放射性衰变的均值为次， 因为衰变次数服从泊松分布，所以， 所以， 故选：B. 【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是能够根据题意得到，并能正确计算. 二、多选题 7．（多选）下列叙述中，是离散型随机变量的是（    ） A．某座大桥一天经过的车辆数 B．某无线电寻呼台一天内收到的寻呼次数 C．一天之内的温度 D．一位射击手对目标进行射击，击中目标得1分，未击中目标得0分，用表示该射击手在一次射击中的得分 【答案】ABD 【详解】A，B，D中的可以取的值可以一一列举出来，可以作为离散型随机变量， 而C中的可以取某一区间内的一切值，属于连续型，不能作为离散型随机变量. 故选：ABD. 8．某学校举行文艺比赛，比赛现场有5名专家教师评委给每位参赛选手评分，每位选手的最终得分由专家教师评分和观看学生评分确定.某选手参与比赛后，现场专家教师评分情况如下表.观看学生全部参与评分，所有评分均在7～10之间，将评分按照，，分组，绘成频率分布直方图如图，则下列说法正确的是（    ） 现场专家教师评分表 专家教师 A B C D E 评分 9.6 9.5 9.6 8.9 9.7 A． B．用频率估计概率，估计观看学生评分不小于9分的概率为 C．从5名专家教师中随机选取3人，X表示评分不小于9分的人数，则 D．从5名专家教师中随机选取3人，X表示评分不小于9分的人数，则 【答案】ABD 【详解】由频率分布直方图知，，得，所以选项A正确； 由频率分布直方图知，观看学生评分不小于9分的频率为， 所以估计观看学生评分不小于9分的概率为，所以选项B正确； X的可能取值为2，3，，，所以选项C错误，D正确. 故选：ABD. 三、填空题 9．已知离散型随机变量的分布列为 0 1 2 则 . 【答案】/0.9 【详解】由分布列的性质得，，且，解得， . 故答案为：. 10．已知离散型随机变量X的分布列服从两点分布，且，则 . 【答案】 【详解】因为X的分布列服从两点分布，所以， 因为， 所以 ∴，∴. 故答案为： 11．若随机变量的分布列为 0 1 2 3 0.1 0.2 0.2 0.3 0.1 0.1 则当时，实数的取值范围是 . 【答案】 【详解】由分布列知，， ，而， 所以. 故答案为： 四、解答题 12．北京奥运会吉祥物由5个“中国福娃”组成，分别叫贝贝、晶晶、欢欢、迎迎、妮妮.现有8个相同的盒子，每个盒子中放一只福娃，每种福娃的数量如下表： 福娃名称 贝贝 晶晶 欢欢 迎迎 妮妮 数量/只 1 2 3 1 1 从中随机地选取5只. (1)求选取的5只恰好组成完整的“奥运会吉祥物”的概率； (2)若选取完整的奥运会吉祥物记100分；若选出的5只中仅差一种记80分；差两种记60分；以此类推，设表示所得的分数，求的分布列. 【答案】(1)； (2)分布列见解析. 【详解】（1）选取的5只恰好组成完整的“奥运会吉祥物”的概率. （2）的取值为100，80，60，40， ， ， ， . 所以的分布列为 100 80 60 40 13．第24届冬季奥林匹克运动会于2022年2月4日至20日在北京和张家口举行，而北京也成为全球唯一主办过夏季奥运会和冬季奥运会的双奥之城.某学校为了庆祝北京冬奥会的召开，特举行奥运知识竞赛.参加的学生从夏奥知识题中抽取2题，冬奥知识题中抽取1题回答，已知学生（含甲）答对每道夏奥知识题的概率为，答对每道冬奥知识题的概率为，每题答对与否不影响后续答题. (1)学生甲恰好答对两题的概率是多少？ (2)求学生甲答对的题数X的分布列. 【答案】(1) (2)分布列见解析 【详解】（1）学生甲恰好答对两题的概率. （2）随机变量X的可能取值为0，1，2，3. 且， ， ， ， 所以X的分布列为 0 1 2 3 14．门卫室有5把钥匙，其中只有一把能打开办公室的门，由于借钥匙开门的员工不知哪把是开门的钥匙，他只好逐一尝试．若不能开门，则标记后换一把钥匙继续尝试开门，记打开门时，试开门的次数为X． (1)试求X的分布； (2)该员工至多试开3次的概率． 【答案】(1)分布列见解析 (2) 【详解】（1）X的可能取值为1，2，3，4，5． ，，， ，． 因此X的分布为： X 1 2 3 4 5 P （2） 15．某中学举办“数学知识竞赛”，初赛采用“两轮制”方式进行，要求每个班级派出两个小组，且每个小组都要参加两轮比赛，两轮比赛都通过的小组才具备参与决赛的资格.高三（6）班派出甲､乙两个小组参赛，在初赛中，若甲､乙两组通过第一轮比赛的概率分别是，通过第二轮比赛的概率分别是，且各个小组所有轮次比赛的结果互不影响. (1)若高三（6）班获得决赛资格的小组个数为，求的分布列； (2)已知甲､乙两个小组在决赛中相遇，决赛以三道抢答题形式进行，抢到并答对一题得100分，答错一题扣100分，得分高的获胜.假设这两组在决赛中对每个问题回答正确的概率恰好是各自获得决赛资格的概率，且甲､乙两个小组抢到该题的可能性分别是，假设每道题抢与答的结果均互不影响，求乙已在第一道题中得100分的情况下甲获胜的概率. 【答案】(1)答案见解析 (2) 【详解】（1）设甲､乙通过两轮制的初赛分别为事件， 则， 由题意可得，X的取值有， ， ， ， 分布列如下： 0 1 2 （2）依题意甲､乙抢到并答对一题的概率分别为，， 乙已得100分，甲若想获胜情况有： 甲得200分：其概率为； ②甲得100分，乙再得分，其概率为； ③甲得0分，乙再得分，其概率为； 故乙先得100分后甲获胜的概率为. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 7.2 离散型随机变量的分布列 一、随机变量 四、由随机变量分布列求概率 二、分布列及其性质的应用 五、两个相关随机变量的分布列 三、求离散型随机变量的分布列 六、两点分布 知识点1随机变量 1.随机变量：随着试验结果变化而变化的变量称为随机变量，常用字母，…表示． 离散型随机变量：所有取值可以一一列出的随机变量，称为离散型随机变量 2.离散型随机变量分布列的概念及性质 ①离散型随机变量的分布列的概念 设离散型随机变量X可能取的不同值为，，…，，X取每一个值 ()的概率，则下表称为随机变量X的概率分布，简称为X的分布列. X … … P … … 有时也用等式表示X的分布列． ②离散型随机变量的分布列的性质 （1）(i＝1，2，…，n)；（2）． 重难点一、随机变量 【例1】（多选）下列变量中，不是离散型随机变量的是（    ） A．一条河流每日最大流量 B．一只刚出生的大熊猫，一年以后的身高 C．某人在车站等出租车的时间 D．某人投篮10次，可能投中的次数 【例2】下列变量中，哪些是随机变量，哪些是离散型随机变量？并说明理由． (1)某机场一年中每天运送乘客的数量； (2)某单位办公室一天中接到电话的次数； (3)明年5月1日到10月1日期间所查酒驾的人数； (4)一瓶果汁的容量为. 【变式1-1】(多选题)下列变量： ①某机场候机室中一天的旅客数量为； ②某寻呼台一天内收到的寻呼次数为； ③某水电站观察到一天中长江的水位为； ④某立交桥一天内经过的车辆数为. 其中是离散型随机变量的是（    ） A．①中的 B．②中的 C．③中的 D．④中的 【变式1-2】已知下列四个变量：①某高铁候车室中一天的旅客数量；②某次学术讲座中学员向主讲教授提问的次数；③某一天中长江的水位；④某次大型车展中销售汽车的数量．其中，所有离散型随机变量的序号为 ． 【变式1-3】下列变量中，哪些是随机变量，哪些是离散型随机变量？并说明理由． (1)某机场一年中每天运送乘客的数量； (2)某单位办公室一天中接到电话的次数； (3)一瓶果汁的容量为500±2 mL. 重难点二、分布列及其性质的应用 【例3】若随机变量的分布列如下表，表中数列为等差数列，则的取值是（   ） 3 4 5 6 7 A． B． C． D． 【例4】已知随机变量X的分布规律为（），则（   ） A． B． C． D． 【变式2-1】（多选）下列表格中，不是某个随机变量的分布列的是（    ） A． 0 1 2 0.7 0.15 0.15 B． -2 0 2 4 0.5 0.2 0.3 0.1 C． 1 2 3 D． 1 2 3 【变式2-2】设是一个离散型随机变量，其分布列为如下，则 ． 【变式2-3】已知，随机变量的分布列为 的最小值为 重难点三、求离散型随机变量的分布列 【例5】一个袋中装有2个红球和4个白球，这些球除了颜色以外完全相同.每次从袋中随机取出一个球，取出的球不放回. (1)求第二次取出的是红球的概率； (2)若第三次取球时发现取出的是红球，求此时袋中没有红球的概率； (3)设2个红球都被取出时，已经取出的白球个数为，求的分布列. 【例6】在一次购物抽奖活动中，假设某10张奖券中有一等奖奖券1张，可获价值50元的奖品；有二等奖奖券3张，每张可获价值10元的奖品；其余6张没有奖.某顾客从此10张奖券中任抽2张，求： (1)该顾客中奖的概率； (2)该顾客获得的奖品总价值的分布列，并求出的值. 【变式3-1】袋中装有黑球和白球共7个，从中任取2个球都是白球的概率为，现在甲､乙两人从袋中轮流摸取1球，甲先取，乙后取，然后甲再取……取后不放回，直到两人中有一人取到白球时即止，每个球在每一次被取出的机会是等可能的，用表示取球终止时所需要的取球次数.求： (1)求袋中原有白球的个数； (2)求随机变量的概率分布. 【变式3-2】现有甲、乙两个抽题箱，两抽题箱内放有大小、质量、颜色均相同的小球，且小球内放有题目.已知甲箱内有4个A类题目的小球，5个B类题目的小球，3个C类题目的小球；乙箱内有2个A类题目的小球，2个B类题目的小球，6个C类题目的小球.从甲箱、乙箱内各随机抽取一个小球，记表示抽取的小球内放有B类题目的个数，求的分布列和数学期望. 【变式3-3】小明设计了一款虚拟电子射击游戏，游戏规则如下：参与者手持一把弹槽数为5的左轮手枪来射击目标，在任意一个弹槽内装填一颗子弹，然后随机转动左轮使其中一个弹槽对准枪口开枪射击，规定：若该弹槽有子弹则一定能击中目标，若该弹槽为空槽则子弹射击不出去，从而无法击中目标.一次射击结束后，若未能击中目标，则随机在剩余的任意一个空弹槽内装填一颗子弹，并随机转动左轮使其中一个弹槽对准枪口重复射击，直至击中目标为止.已知转动到任意槽位的概率均相等，且在所有弹槽内填满子弹就一定能击中目标，记参与者击中目标共需要射击次. (1)求和的值； (2)求的所有可能取值； (3)求的分布列. 重难点四、由随机变量分布列求概率 【例7】（多选）水果篮中有8个水果，其中有2个是石榴，现从水果篮中随机地抽取3个，那么概率是的事件为（    ） A．恰有1个不是石榴 B．3个全不是石榴 C．恰有2个石榴 D．至少2个不是石榴 【例8】某种儿童游戏每局的规则是：儿童先在标记有1，2，3，4，5的卡片中随机摸取一张，将卡片上的数字作为其资金（单位：元）；随后放回该卡片，再随机摸取两张，将这两张卡片上数字之差的绝对值的1.4倍作为其奖金（单位：元）.若随机变量和分别表示儿童在一局游戏中的资金和奖金，则 ． 【变式4-1】（多选）已知随机变量的分布列为，其中是常数，则（    ） A． B． C． D． 【变式4-2】（多选）已知随机变量的分布列，若，则实数的值可以是（    ） 0 1 2 3 A．5 B．7 C．9 D．10 【变式4-3】设随机变量的分布列为，求： (1)； (2) 重难点五、两个相关随机变量的分布列 【例9】设离散型随机变量X的分布列为下表，若随机变量，则等于（ ） X 0 1 2 3 P 0.2 0.1 0.1 0.6 A．0.3 B．0.4 C．0.6 D．0.7 【例10】已知随机变量的取值范围为，且，若，则 ． 【变式5-1】已知离散型随机变量X的概率分布如表，离散型随机变量Y满足，则（    ） X 0 1 2 3 P a 5a A． B． C． D． 【变式5-2】已知离散型随机变量X的分布列如下表： X 0 1 2 3 P a 若离散型随机变量，则（    ）． A． B． C． D． 【变式5-3】设离散型随机变量X的分布列为： X 0 1 2 3 4 P 0.2 0.1 0.1 0.3 m 求随机变量的分布列． 知识点2两点分布的分布列 若随机变量的分布列为两点分布列,就称服从两点分布或分布,并称为成功概率. 重难点六、两点分布 【例11】已知服从两点分布，若，则（    ） A．0.48 B．0.52 C．0.24 D．0.26 【例12】袋中有除颜色外都相同的红球10个，白球5个，从中摸出2个球，如果只关心摸出两个红球的情形，问如何定义随机变量X，才能使X满足两点分布，并求分布列． 【变式6-1】已知随机变量服从两点分布，且，设，那么（    ） A．0.2 B．0.3 C．0.4 D．0.6 【变式6-2】已知离散型随机变量X的分布列服从参数为p的两点分布，且，则 . 【变式6-3】从装有个白球和个红球的口袋中任取个球，用表示“取到的白球个数”，则的取值为或，即，求随机变量的概率分布． 一、单选题 1．设随机变量，且，则（ ） A． B． C． D． 2．下表是离散型随机变量的概率分布，则（   ） 1 2 3 4 P A． B． C． D． 3．随机变量的分布列如表：其中，，成等差数列，则（   ） -1 0 1 A． B． C． D． 4．已知随机变量的分布列如下表： 0 1 P a b c 其中成等差数列，则的值与公差d的取值范围分别是（    ） A．； B．； C．； D．； 5．同时掷两颗质地均匀的骰子，观察朝上一面出现的点数.设两颗骰子出现的点数分别为，，记，则（    ） A． B． C． D． 6．泊松分布是一种离散概率分布由法国数学家西莫恩·德尼·泊松于年发表，适合于描述单位时间内随机事件发生的次数.泊松分布的概率函数为，是自然对数的底数，是泊松分布的均值.用于制造核武器和核反应堆的钚是钚的同位素，一纳克钚每秒平均发生次放射性衰变，假设衰变次数服从泊松分布，则秒内一纳克钚恰好发生次放射性衰变的概率约为（    ）（参考数据：，） A． B． C． D． 二、多选题 7．（多选）下列叙述中，是离散型随机变量的是（    ） A．某座大桥一天经过的车辆数 B．某无线电寻呼台一天内收到的寻呼次数 C．一天之内的温度 D．一位射击手对目标进行射击，击中目标得1分，未击中目标得0分，用表示该射击手在一次射击中的得分 8．某学校举行文艺比赛，比赛现场有5名专家教师评委给每位参赛选手评分，每位选手的最终得分由专家教师评分和观看学生评分确定.某选手参与比赛后，现场专家教师评分情况如下表.观看学生全部参与评分，所有评分均在7～10之间，将评分按照，，分组，绘成频率分布直方图如图，则下列说法正确的是（    ） 现场专家教师评分表 专家教师 A B C D E 评分 9.6 9.5 9.6 8.9 9.7 A． B．用频率估计概率，估计观看学生评分不小于9分的概率为 C．从5名专家教师中随机选取3人，X表示评分不小于9分的人数，则 D．从5名专家教师中随机选取3人，X表示评分不小于9分的人数，则 三、填空题 9．已知离散型随机变量的分布列为 0 1 2 则 . 10．已知离散型随机变量X的分布列服从两点分布，且，则 . 11．若随机变量的分布列为 0 1 2 3 0.1 0.2 0.2 0.3 0.1 0.1 则当时，实数的取值范围是 . 四、解答题 12．北京奥运会吉祥物由5个“中国福娃”组成，分别叫贝贝、晶晶、欢欢、迎迎、妮妮.现有8个相同的盒子，每个盒子中放一只福娃，每种福娃的数量如下表： 福娃名称 贝贝 晶晶 欢欢 迎迎 妮妮 数量/只 1 2 3 1 1 从中随机地选取5只. (1)求选取的5只恰好组成完整的“奥运会吉祥物”的概率； (2)若选取完整的奥运会吉祥物记100分；若选出的5只中仅差一种记80分；差两种记60分；以此类推，设表示所得的分数，求的分布列. 13．第24届冬季奥林匹克运动会于2022年2月4日至20日在北京和张家口举行，而北京也成为全球唯一主办过夏季奥运会和冬季奥运会的双奥之城.某学校为了庆祝北京冬奥会的召开，特举行奥运知识竞赛.参加的学生从夏奥知识题中抽取2题，冬奥知识题中抽取1题回答，已知学生（含甲）答对每道夏奥知识题的概率为，答对每道冬奥知识题的概率为，每题答对与否不影响后续答题. (1)学生甲恰好答对两题的概率是多少？ (2)求学生甲答对的题数X的分布列. 14．门卫室有5把钥匙，其中只有一把能打开办公室的门，由于借钥匙开门的员工不知哪把是开门的钥匙，他只好逐一尝试．若不能开门，则标记后换一把钥匙继续尝试开门，记打开门时，试开门的次数为X． (1)试求X的分布； (2)该员工至多试开3次的概率． 15．某中学举办“数学知识竞赛”，初赛采用“两轮制”方式进行，要求每个班级派出两个小组，且每个小组都要参加两轮比赛，两轮比赛都通过的小组才具备参与决赛的资格.高三（6）班派出甲､乙两个小组参赛，在初赛中，若甲､乙两组通过第一轮比赛的概率分别是，通过第二轮比赛的概率分别是，且各个小组所有轮次比赛的结果互不影响. (1)若高三（6）班获得决赛资格的小组个数为，求的分布列； (2)已知甲､乙两个小组在决赛中相遇，决赛以三道抢答题形式进行，抢到并答对一题得100分，答错一题扣100分，得分高的获胜.假设这两组在决赛中对每个问题回答正确的概率恰好是各自获得决赛资格的概率，且甲､乙两个小组抢到该题的可能性分别是，假设每道题抢与答的结果均互不影响，求乙已在第一道题中得100分的情况下甲获胜的概率. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$