7.3.2 第2课时 函数y＝Asin(ωx＋φ)的性质与图象及其应用-【金版教程】2024-2025学年高中数学必修第三册创新导学案word（人教B版2019）

第2课时　函数y＝Asin(ωx＋φ)的性质与图象及其应用 (教师独具内容) 课程标准：1.能根据y＝Asin(ωx＋φ)的部分图象求其解析式.2.能利用y＝Asin(ωx＋φ)的性质与图象解决有关综合问题． 教学重点：函数y＝Asin(ωx＋φ)的性质与图象的应用． 教学难点：应用函数y＝Asin(ωx＋φ)的性质与图象解决问题． 核心素养：通过函数与性质的应用培养数形结合思想和辩证思想：从特殊到一般，再用一般规律指导解决问题，从而培养直观想象素养和逻辑推理素养． 知识点一　正弦型函数y＝Asin(ωx＋φ)(A≠0，ω≠0)的性质 一般地，正弦型函数y＝Asin(ωx＋φ)(A≠0，ω≠0)的定义域为R，值域为[－|A|，|A|]，周期是，而且函数的图象可通过对正弦曲线进行平移、伸缩得到． 知识点二　　　由y＝sinx的图象得到y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的图象的过程 (1)途径1先平移后伸缩： y＝sinx的图象y＝sin(x＋φ)的图象y＝sin(ωx＋φ)的图象y＝Asin(ωx＋φ)的图象． (2)途径2先伸缩后平移： y＝sinx的图象y＝sinωx的图象y＝sin(ωx＋φ)的图象y＝Asin(ωx＋φ)的图象． 知识点三　正弦型函数的物理意义 当函数y＝Asin(ωx＋φ)表示一个物体做简谐运动时的位移时， (1)|A|表示物体能偏离平衡位置的最大距离，称为振幅． (2)φ在决定x＝0时物体的位置(即Asinφ)中起关键作用，称为初相． (3)周期T＝表示物体完成一次运动所需要的时间．此时，f＝＝表示单位时间内能够完成的运动次数，称为频率． 1．(正弦型函数的物理意义)(教材P51练习A T5改编)函数y＝2sin的周期、振幅依次是______，________． 答案：6π　2 2．(图象变换)(2024·上海高一期中)要得到函数y＝sin的图象，只需将函数y＝sin4x的图象向__________平移__________个单位． 答案：右　 3．(正弦型函数的单调区间)函数f(x)＝sin的单调递增区间为________． 答案：(k∈Z) 题型一　三角函数的图象变换 例1　指出将y＝2sinx，x∈R的图象变换成y＝2sin，x∈R的图象的两种方法． [解]　解法一：y＝2sinx的图象 y＝2sin的图象y＝2sin＝2sin的图象． 解法二：y＝2sinx的图象 y＝2sin的图象 y＝2sin的图象． 【感悟提升】　三角函数的图象变换问题的分类及解题策略 (1)已知两个函数解析式判断其图象间的平移或伸缩关系时，首先将解析式化简为y＝Asin(ωx＋φ)的形式，即确定A，ω，φ的值，然后确定平移的方向和单位或伸缩的量． (2)确定函数y＝sinx的图象经过变换后图象对应的函数解析式，关键是明确左右平移的方向和横纵坐标伸缩的量，确定出A，ω，φ的值． 【跟踪训练】 1．将函数y＝f(x)图象上的每一点的纵坐标伸长到原来的4倍，横坐标伸长到原来的2倍，若把所得的图象沿x轴向左平移个单位后得到的曲线与y＝2sinx的图象相同，则函数y＝f(x)的解析式为________． 答案：y＝sin 解析：y＝2sinx的图象 y＝2sin的图象 y＝2sin的图象 y＝sin的图象． 题型二　由图象求解析式 例2　(1)下列函数中，图象的一部分如图所示的是(　　) A．f(x)＝3sin B．f(x)＝3sin C．f(x)＝3sin D．f(x)＝3sin [解析]　解法一(代值验证法)：把代入选项，可排除A，B，D.故选C. 解法二(逐一定参法)：设f(x)＝Asin(ωx＋φ)．由题图可知，振幅A＝3，又T＝4×＝4π，∴ω＝＝.由点，令－×＋φ＝0，得φ＝. ∴f(x)＝3sin.故选C. 解法三(五点对应法)：设f(x)＝Asin(ωx＋φ)，由题图可知，A＝3.又图象过点，，根据五点法原理(这两点可理解为“五点法”中的第一点和第二点)，所以有解得故选C. [答案]　C (2)(2023·新课标Ⅱ卷)已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)，如图，A，B是直线y＝与曲线y＝f(x)的两个交点，若|AB|＝，则f(π)＝________． [解析]　设A，B，由|AB|＝可得x2－x1＝，由sinx＝可知，x＝＋2kπ或x＝＋2kπ，k∈Z，由图可知，ωx2＋φ－(ωx1＋φ)＝－＝，即ω(x2－x1)＝，则ω＝4.因为f＝sin＝0，所以＋φ＝kπ，k∈Z，即φ＝－＋kπ，k∈Z，所以f(x)＝sin＝sin(k∈Z)，所以f(x)＝sin或f(x)＝－sin，又因为f(0)<0，所以f(x)＝sin，则f(π)＝sin＝－. [答案]　－ 【感悟提升】　确定函数y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的解析式的策略 (1)一般可由函数图象上的最大值、最小值来确定A. (2)因为T＝，所以往往通过求周期T来确定ω. (3)可以把图象上的一个已知点代入(此时A，ω已知)或代入图象与x轴的交点确定φ(此时要注意交点在上升区间上还是在下降区间上)．也可以从寻找“五点法”中的第一个“零点”ωx＋φ＝0作为突破口，要从图象的升降情况找准第一个“零点”的位置来确定φ.“五点”的ωx＋φ的值具体如下：“第一点”(即图象上升时与x轴的交点)为ωx＋φ＝0；“第二点”(即图象的“峰点”)为ωx＋φ＝；“第三点”(即图象下降时与x轴的交点)为ωx＋φ＝π；“第四点”(即图象的“谷点”)为ωx＋φ＝；“第五点”为ωx＋φ＝2π. 【跟踪训练】 2．(1)已知函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)在一个周期内的函数图象如图所示，则函数的一个解析式可以为(　　) A．y＝sin B．y＝sin C．y＝sin D．y＝sin 答案：D 解析：解法一：由图象可知函数的最大值为，最小值为－，∵A>0，∴A＝.由图象知＝－＝，∴T＝π＝，∴ω＝2.又×＝，∴图象上的最高点的坐标为，∴＝sin，即sin＝1，可取φ＝－，故函数的一个解析式为y＝sin.故选D. 解法二：由图象可知A＝，又图象过点，，根据五点法作图原理，以上两点可判断为五点法作图中的“第一点”与“第三点”，则有解得故函数的一个解析式为y＝sin.故选D. (2)(多选)函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的部分图象如图所示，下列结论正确的是(　　) A．ω＝2 B．f(0)＝1 C．在区间上单调递增 D．将函数f(x)的图象向左平移个单位，所得到的图象对应的函数是偶函数 答案：AC 解析：对于A，由函数f(x)的图象，得A＝2，T＝－＝，所以T＝π＝，又ω>0，所以ω＝2，故A正确；对于B，因为函数f(x)的图象过点，所以2sin＝－2，即sin＝－1，所以＋φ＝2kπ＋，k∈Z，即φ＝2kπ＋，k∈Z，又|φ|<，所以φ＝，所以f(x)＝2sin，所以f(0)＝2sin＝，故B错误；对于C，因为当x∈时，2x＋∈⊆，所以函数f(x)在区间上单调递增，故C正确；对于D，将函数f(x)的图象向左平移个单位，所得到的图象对应的函数是y＝2sin＝2sin，该函数是非奇非偶函数，故D错误．故选AC. 题型三　正弦型函数的性质及应用 例3　已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，|φ|<π)图象的最高点为，距离该最高点最近的一个对称中心为. (1)求f(x)的解析式及单调递减区间； (2)若函数g(x)＝f(a>0)，g(x)的图象关于直线x＝对称，且g(x)在上单调递增，求实数a的值． [解]　(1)由题意分析知A＝1，＝－＝， ∴T＝π，ω＝＝2，∴f(x)＝sin(2x＋φ)． 将点代入f(x)＝sin(2x＋φ)， 得sin＝1， 则＋φ＝＋2kπ，k∈Z， 即φ＝＋2kπ，k∈Z， 又|φ|<π，∴φ＝， ∴f(x)＝sin. 由＋2kπ≤2x＋≤＋2kπ，k∈Z， 可得＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z， 即f(x)的单调递减区间为(k∈Z)． (2)由(1)可得g(x)＝sin(a>0)， 由g(x)的图象关于直线x＝对称，且g(x)在上单调递增，得＋＝＋kπ，k∈Z，即a＝＋k，k∈Z， 当x∈时，ax＋∈， 则＋≤，即a≤5. 又a>0，且a＝＋k，k∈Z， ∴a＝或a＝5. 【感悟提升】　函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的有关性质 名称 性质 定义域 R 值域 [－A，A] 对称性 图象的对称中心(x1，0)由ωx1＋φ＝kπ(k∈Z)求得，图象的对称轴直线x＝x2由ωx2＋φ＝kπ＋(k∈Z)求得 奇偶性 当φ＝kπ(k∈Z)时为奇函数，当φ＝kπ＋(k∈Z)时为偶函数，当φ≠(k∈Z)时为非奇非偶函数 单调性 通过整体代换可求出其单调区间 【跟踪训练】 3．(1)若函数f(x)＝2sin是奇函数，则φ的值可以是(　　) A． B． C．－ D．－ 答案：C 解析：若函数f(x)＝2sin是奇函数，则－＋φ＝kπ，k∈Z，得φ＝＋kπ，k∈Z，结合选项知C正确．故选C. (2)(2023·全国乙卷)已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)在区间单调递增，直线x＝和x＝为函数y＝f(x)的图象的两条对称轴，则f＝(　　) A．－ B．－ C． D． 答案：D 解析：由题意，＝－＝，不妨设ω>0，则T＝π，ω＝＝2，当x＝时，f(x)取得最小值，则2·＋φ＝2kπ－，k∈Z，则φ＝2kπ－，k∈Z，不妨取k＝0，则f(x)＝sin，则f＝sin＝.故选D. (3)设f(x)＝sin(ωx＋φ) 的图象关于直线x＝对称，且周期为π，试求函数f(x)图象的对称中心及函数f(x)的单调递增区间． 解：由题意，得 ∴ω＝2，φ＝，∴f(x)＝sin. 由2x＋＝kπ(k∈Z)，得x＝－＋(k∈Z)． ∴函数f(x)图象的对称中心为(k∈Z)． 又由－＋2kπ≤2x＋≤＋2kπ(k∈Z)， 得－＋kπ≤x≤＋kπ(k∈Z)， ∴函数f(x)的单调递增区间为(k∈Z)． 题型四　三角函数图象的实际应用 例4　如图，某市某天从6时到14时的温度变化曲线近似满足函数y＝Asin(ωx＋φ)＋b(A>0，ω>0，0<φ<π)． (1)求这一天最大的温差； (2)求这段曲线的函数解析式． [解]　(1)由图象得这一天的最高温度是－2 ℃，最低温度是－12 ℃， 所以这一天最大的温差是－2－(－12)＝10(℃)． (2)由(1)得解得 由图象得函数的周期T＝2×(14－6)＝16， 则＝16，解得ω＝， 所以y＝5sin－7. 由图象知点(6，－12)在函数的图象上， 则－12＝5sin－7， 整理得sin＝－1， 又0<φ<π， 所以φ＝. 则这段曲线的函数解析式是y＝5sin－7(6≤x≤14)． 【感悟提升】　确定函数y＝Asin(ωx＋φ)＋k的方法 (1)|A|＝. (2)k＝. (3)利用周期确定ω. (4)利用特殊点确定φ. 【跟踪训练】 4．电流I与时间t的函数关系式为I＝Asin(ωt＋φ). (1)若I＝Asin(ωt＋φ)的部分图象如图所示，求I＝Asin(ωt＋φ)的解析式，并写出电流I的振幅、周期、初相； (2)若在任意 s时间内电流I能取得最大值和最小值，那么正整数ω的最小值为多少？ 解：(1)由图象可知A＝300，“第一个”零点为－，“第二个”零点为， ∴解得 ∴I＝300sin， 故振幅为300，周期为，初相为. (2)依题意得T≤，即≤， ∴ω≥200π，故正整数ω的最小值为629. 1．函数y＝2sin的最小正周期、振幅分别是(　　) A．2π，－2 B．π，－2 C．2π，2 D．π，2 答案：D 解析：函数的解析式为y＝2sin，所以有振幅A＝2，最小正周期T＝＝＝π.故选D. 2．(多选)有下列四种变换方式，其中能将正弦函数y＝sinx的图象变为y＝sin的图象的是(　　) A．横坐标变为原来的，再向左平移个单位 B．横坐标变为原来的，再向左平移个单位 C．向左平移个单位，再将横坐标变为原来的 D．向左平移个单位，再将横坐标变为原来的 答案：BC 解析：将y＝sinx图象上所有点的横坐标变为原来的，再向左平移个单位，得y＝sin＝sin的图象，故A不正确；将y＝sinx图象上所有点的横坐标变为原来的，再向左平移个单位，得y＝sin＝sin的图象，故B正确；将y＝sinx的图象向左平移个单位，再将横坐标变为原来的，得y＝sin的图象，故C正确；将y＝sinx的图象向左平移个单位，再将横坐标变为原来的，得y＝sin的图象，故D不正确．故选BC. 3．(多选)已知函数f(x)＝Asin(2x＋φ)，若x＝是f(x)图象的一条对称轴方程，则下列说法正确的是(　　) A．f(x)图象的一个对称中心为 B．f(x)在上单调递减 C．f(x)的图象过点 D．f(x)的最大值是A 答案：AC 解析：∵x＝是f(x)图象的一条对称轴方程，∴2×＋φ＝＋kπ(k∈Z)，又|φ|<，∴φ＝，∴f(x)＝Asin.令2x＋＝kπ(k∈Z)，得x＝－(k∈Z)，故f(x)图象的对称中心为(k∈Z)，故A正确；∵A的正负未知，∴不能判断f(x)的单调性和最值，故B，D错误；f(0)＝，故C正确．故选AC. 4．如图是f(x)＝Asin(ωx＋φ)的部分图象，则函数f(x)的解析式为________． 答案：f(x)＝2sin 解析：由题图可知，T＝－＝，∴T＝π，即＝π，∴ω＝2.又A＝2，故f(x)＝2sin(2x＋φ)．由2×＋φ＝＋2kπ(k∈Z)，得φ＝＋2kπ(k∈Z)．又|φ|<，故φ＝，∴f(x)＝2sin. 5．已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(x∈R)的图象与x轴的交点中，相邻两个交点之间的距离为，且图象上一个最低点为M. (1)求f(x)的最小正周期； (2)当x∈时，求f(x)的单调递减区间． 解：(1)∵f(x)的图象与x轴的交点中，相邻两个交点之间的距离为，∴＝，∴T＝π. (2)∵T＝π＝，∴ω＝2， ∵一个最低点为M，∴A＝2， ∵f＝2sin＝－2， ∴φ＋＝＋2kπ，k∈Z， 即φ＝＋2kπ，k∈Z， ∵0<φ<，∴φ＝， ∴f(x)＝2sin. 令＋2kπ≤2x＋≤＋2kπ，k∈Z， 解得＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z， 则f(x)在(k∈Z)上单调递减， ∵x∈， ∴f(x)的单调递减区间为. 课后课时精练 基础题(占比60%)　中档题(占比30%)　拔高题(占比10%) 题号 1 2 3 4 5 6 7 难度 ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ 主考点 三角函数图象的实际应用 三角函数的图象 三角函数的图象变换 正弦型函数的性质 由图象求解析式 三角函数的图象变换 正弦型函数的性质及应用 关联点 求最值 零点 左右平移变换 零点、最值、周期性、对称性 图象变换 求解析式 求ω的取值范围 题号 8 9 10 11 12 13 14 难度 ★ ★★ ★★ ★★ ★★ ★★★ ★★★ 主考点 正弦型函数的性质及应用 由图象求解析式 正弦型函数的性质及应用 三角函数图象的实际应用 正弦型函数的性质及应用 由图象求解析式 正弦型函数的性质及应用 关联点 单调递减区间 图象变换、最值 单调性 “五点法”作图 图象变换、求参数的最值或取值范围 图象变换、不等式恒成立 求解析式、值域、根的个数 一、选择题 1．如图，某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y＝3sin＋k.据此函数可知，这段时间水深(单位：m)的最大值为(　　) A．5 B．6 C．8 D．10 答案：C 解析：由题图可知－3＋k＝2，k＝5，y＝3sin＋5，故ymax＝3＋5＝8.故选C. 2．函数y＝－sin的图象与x轴各个交点中离原点最近的一点是(　　) A． B． C． D． 答案：A 解析：令y＝－sin＝0，得4x＋＝kπ，k∈Z，即x＝－＋，k∈Z.当k＝0时，x＝－；当k＝1时，x＝，因为<，所以函数的图象与x轴各个交点中离原点最近的一点是.故选A. 3．设ω>0，函数y＝sin＋2的图象向右平移个单位后与原图象重合，则ω的最小值是(　　) A． B． C． D．3 答案：C 解析：y＝sin＋2的图象y1＝sin＋2的图象，即y1＝sin＋2，又y与y1的图象重合，则－ω＝2kπ(k∈Z)，∴ω＝－k，又ω>0，k∈Z，∴k＝－1时，ω取得最小值.故选C. 4．(多选)(2024·新课标Ⅱ卷)对于函数f(x)＝sin2x和g(x)＝sin，下列说法正确的有(　　) A．f(x)与g(x)有相同的零点 B．f(x)与g(x)有相同的最大值 C．f(x)与g(x)有相同的最小正周期 D．f(x)与g(x)的图象有相同的对称轴 答案：BC 解析：对于A，令f(x)＝sin2x＝0，解得x＝，k∈Z，即为f(x)的零点，令g(x)＝sin＝0，解得x＝＋，k∈Z，即为g(x)的零点，显然f(x)与g(x)的零点不同，A错误；对于B，显然f(x)max＝g(x)max＝1，B正确；对于C，根据周期公式，可知f(x)，g(x)的最小正周期均为＝π，C正确；对于D，由2x＝kπ＋，k∈Z，得x＝＋，k∈Z，所以f(x)图象的对称轴为直线x＝＋，k∈Z，由2x－＝kπ＋，k∈Z，得x＝＋，所以g(x)图象的对称轴为直线x＝＋，所以f(x)与g(x)的图象没有相同的对称轴，D错误．故选BC. 5．(多选)已知函数f(x)＝Asin(ωx＋4φ)的部分图象如图所示，若将函数f(x)图象上所有点的纵坐标不变，横坐标缩短到原来的，再向右平移个单位，得到函数g(x)的图象，则下列命题正确的是(　　) A．函数f(x)的解析式为f(x)＝2sin B．函数g(x)的解析式为g(x)＝2sin C．函数f(x)图象的一条对称轴是直线x＝－ D．函数g(x)在区间上单调递增 答案：ABD 解析：由图可知，A＝2，＝π，∴T＝4π＝，得ω＝，∴f(x)＝2sin，将(0，1)代入得sin4φ＝，结合0<φ<，∴4φ＝.∴f(x)＝2sin，故A正确；将函数f(x)图象上所有点的纵坐标不变，横坐标缩短到原来的，再向右平移个单位，可得g(x)＝2sin的图象，故B正确；∵f＝2sin＝0，不是最值，∴直线x＝－不是f(x)图象的对称轴，故C错误；由x∈，得2x－∈，同y＝sinx在区间上的单调性，根据复合函数的单调性可知，函数g(x)在区间上单调递增，D正确．故选ABD. 二、填空题 6．将函数f(x)＝sin(3x＋φ)(0<φ<π)的图象向左平移个单位后得到函数g(x)的图象，若直线x＝是g(x)图象的一条对称轴，则g(x)＝________． 答案：－sin3x 解析：g(x)＝sin，因为直线x＝是g(x)图象的一条对称轴，所以＋φ＋＝＋kπ，k∈Z，解得φ＝－＋kπ，k∈Z.因为0<φ<π，所以k＝1，φ＝符合要求，所以g(x)＝sin＝sin(3x＋π)＝－sin3x. 7．已知函数f(x)＝2sin(ω>0)在区间[0，π]上恰有三个零点，则ω的取值范围是________． 答案： 解析：因为x∈[0，π]，则ωx＋∈，又因为函数f(x)在区间[0，π]上恰有三个零点，则3π≤ωπ＋<4π，解得≤ω<，所以ω的取值范围为. 8．已知函数f(x)＝sin(ω>0)，当|f(x1)－f(x2)|＝2时，|x1－x2|的最小值是，则函数f(x)在上的单调递减区间为________． 答案： 解析：∵f(x)＝sin(ω>0)，∴－1≤f(x)≤1，又|f(x1)－f(x2)|＝2，∴f(x1)，f(x2)中一个取最大值1，一个取最小值－1，∵|x1－x2|的最小值是，∴函数的最小正周期为，∴＝，∴ω＝3，∴f(x)＝sin.令2kπ＋≤3x－≤2kπ＋(k∈Z)，解得＋≤x≤＋(k∈Z)．∵x∈，∴x∈，即函数f(x)在上的单调递减区间为. 三、解答题 9．已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的部分图象如图所示． (1)求f(x)的最小正周期及解析式； (2)将函数y＝f(x)的图象向右平移个单位得到函数y＝g(x)的图象，求函数g(x)在区间上的最大值和最小值． 解：(1)由图象可知A＝1，T＝－＝， 所以f(x)的最小正周期为T＝π，ω＝＝2， 所以f(x)＝sin(2x＋φ)，将代入， 可得sin＝－1， 所以＋φ＝＋2kπ，k∈Z， 解得φ＝＋2kπ(k∈Z)， 又|φ|<，所以φ＝， 所以f(x)＝sin. (2)g(x)＝sin＝sin. 因为x∈，所以2x－∈. 当2x－＝－，即x＝0时，g(x)min＝－1； 当2x－＝，即x＝时，g(x)max＝1. 10．(2024·北京怀柔高一下期中)已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的振幅为2，最小正周期为π，且其恰好满足条件①②③中的两个条件：①初相为；②图象的一个最高点为；③图象与y轴的交点为(0，)． (1)求函数f(x)的单调递减区间； (2)若f(x)在[0，m](m>0)上单调递增，求m的取值范围． 解：(1)由题意知，A＝2，T＝＝π，即ω＝2， 所以f(x)＝2sin(2x＋φ)， 若满足条件①，则φ＝； 若满足条件②，则f＝2， 即2sin＝2， 所以＋φ＝＋2kπ，k∈Z， 因为|φ|<，所以φ＝－； 若满足条件③，则f(0)＝， 即2sinφ＝，所以sinφ＝， 因为|φ|<，所以φ＝， 因为f(x)恰好满足条件①②③中的两个条件，所以这两个条件是①③， 故f(x)＝2sin. 令2kπ＋≤2x＋≤2kπ＋，k∈Z， 解得kπ＋≤x≤kπ＋，k∈Z， 故函数f(x)的单调递减区间为(k∈Z)． (2)令t＝2x＋∈， 因为f(x)在[0，m](m>0)上单调递增， 所以<2m＋≤，解得0<m≤. 故m的取值范围为. 11．心脏跳动时，血压在增加或减少，血压的最大值、最小值分别称为收缩压和舒张压，血压计上的读数就是收缩压和舒张压，读数120/80 mmHg称为标准值． 设某人的血压满足函数式p(t)＝125＋25sin170πt，其中p(t)为血压(单位：mmHg)，t为时间(单位：min)，试解答下列问题： (1)求函数p(t)的周期； (2)求此人每分钟心跳的次数； (3)用“五点法”在给定的坐标系中作出p(t)在一个周期上的简图； (4)写出此人的血压在血压计上的读数． 解：(1)函数p(t)的周期T＝＝. (2)此人每分钟心跳的次数为85. (3)列表： t 0 170πt 0 π 2π p(t) 125 150 125 100 125 描点作图： (4)此人的血压在血压计上的读数为150/100 mmHg. 12．已知函数f(x)＝2sinωx，其中常数ω>0. (1)若y＝f(x)在上单调递增，求ω的取值范围； (2)令ω＝2，将函数y＝f(x)的图象向左平移个单位，再向上平移1个单位，得到函数y＝g(x)的图象，区间[a，b](a，b∈R且a<b)满足：y＝g(x)在[a，b]上至少有30个零点，在所有满足上述条件的[a，b]中，求b－a的最小值． 解：(1)因为ω>0，根据题意有 解得0<ω≤.所以ω的取值范围为. (2)由题意知f(x)＝2sin2x， g(x)＝2sin＋1＝2sin＋1， 由g(x)＝0，得sin＝－， 解得x＝kπ－或x＝kπ－，k∈Z， 即g(x)的相邻两个零点的间隔依次为和， 若y＝g(x)在[a，b]上至少有30个零点， 则b－a的最小值为14×＋15×＝. 13．已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的部分图象如图所示，最高点的坐标为(1，1)． (1)求函数f(x)的解析式； (2)将f(x)的图象向左平移4个单位，横坐标扩大为原来的倍，得到g(x)的图象，求函数g(x)在[－π，2π]上的单调递增区间； (3)若存在x∈，对任意a∈[－1，1]，不等式f(x)－m2＋2am＋≤0恒成立，求m的取值范围． 解：(1)由题图可知，A＝1，T＝4×(3－1)＝8， ∴＝8，即ω＝， 将(1，1)代入f(x)＝sin， 得sin＝1，∴φ＝＋2kπ，k∈Z， 又0<φ<，∴φ＝， ∴f(x)＝sin. (2)根据题意可得g(x)＝sin＝－sin， 令t＝x＋， ∵x∈[－π，2π]，则t∈， 令≤t≤，即≤x＋≤， 解得≤x≤2π， ∴函数g(x)在[－π，2π]上的单调递增区间为. (3)∵f(x)－m2＋2am＋≤0， ∴f(x)≤m2－2am－， ∵x∈，∴x＋∈， ∴f(x)∈， 由题意可知－≤m2－2am－对任意a∈[－1，1]恒成立，即2ma－m2＋3≤0对任意a∈[－1，1]恒成立， 即以a为自变量的不等式M(a)≤0，对任意a∈[－1，1]恒成立， ∴解得m≥3或m≤－3， ∴m的取值范围为(－∞，－3]∪[3，＋∞)． 14．已知函数f(x)＝2sin(ω>0，0<φ<π)为奇函数，且f(x)的图象相邻两对称轴间的距离为. (1)求f(x)的解析式； (2)将函数f(x)的图象向右平移个单位，再将横坐标变为原来的(纵坐标不变)，得到函数g(x)的图象，当x∈时，求函数g(x)的值域； (3)记方程g(x)＝在上的根从小到大依次为x1，x2，…，xn，试确定n的值，并求x1＋2x2＋2x3＋…＋2xn－1＋xn的值． 解：(1)因为函数f(x)的图象相邻两对称轴间的距离为，所以＝，即T＝π，可得ω＝2， 由函数f(x)为奇函数，可得f(0)＝2sin＝0， 所以φ－＝kπ，k∈Z， 又0<φ<π，所以φ＝， 所以f(x)＝2sin2x. (2)将函数f(x)的图象向右平移个单位，可得y＝2sin＝2sin的图象，再将横坐标变为原来的，得到函数g(x)＝2sin的图象，当x∈时，4x－∈，当4x－＝－时，函数g(x)取得最小值，为－2，当4x－＝时，函数g(x)取得最大值，为， 故函数g(x)的值域为[－2，]． (3)方程g(x)＝2sin＝， 即sin＝. 当x∈时，4x－∈. 设θ＝4x－，其中θ∈，则sinθ＝， 如图，结合正弦函数y＝sinθ的图象，可得方程sinθ＝在区间上有5个解， 所以n＝5，其中θ1＋θ2＝3π，θ2＋θ3＝5π，θ3＋θ4＝7π，θ4＋θ5＝9π， 即4x1－＋4x2－＝3π，4x2－＋4x3－＝5π，4x3－＋4x4－＝7π，4x4－＋4x5－＝9π， 得x1＋x2＝，x2＋x3＝，x3＋x4＝，x4＋x5＝， 所以x1＋2x2＋2x3＋2x4＋x5＝(x1＋x2)＋(x2＋x3)＋(x3＋x4)＋(x4＋x5)＝. 22 学科网（北京）股份有限公司 $$