7.2.2 单位圆与三角函数线-【金版教程】2024-2025学年高中数学必修第三册创新导学案word（人教B版2019）

7.2.2　单位圆与三角函数线 (教师独具内容) 课程标准：借助单位圆理解三角函数(正弦、余弦、正切)的定义． 教学重点：1.三角函数线的意义.2.用三角函数线表示一个角的正弦、余弦和正切． 教学难点：应用三角函数线解决问题． 核心素养：通过学习三角函数线的意义及应用三角函数线解决问题提升直观想象素养和数学抽象素养． 知识点一　单位圆 (1)一般地，在平面直角坐标系中，坐标满足x2＋y2＝1的点组成的集合称为单位圆． (2)角α的余弦和正弦分别等于角α终边与单位圆交点的横坐标和纵坐标． [注意]　半径为1的圆是单位圆，这里的1不是1 cm，也不是1 m，而是指1个单位长度，即作图时，规定的1个单位的长度． 知识点二　三角函数线 (1)正弦线与余弦线 如图所示，如果过角α终边与单位圆的交点P作x轴的垂线，垂足为M，则可以直观地表示cosα：的方向与x轴的正方向相同时，表示cosα是正数，且cosα＝||；的方向与x轴的正方向相反时，表示cosα是负数，且cosα＝－||.习惯上，称为角α的余弦线．类似地，图中的可以直观地表示sinα，因此称为角α的正弦线． (2)正切线 如图所示，设角α的终边与直线x＝1交于点T，则可以直观地表示tanα，因此称为角α的正切线．当角的终边在第二、三象限或x轴的负半轴上时，终边与直线x＝1没有交点，但终边的反向延长线与x＝1有交点，而且交点的纵坐标也正好是角的正切值． (3)正弦线、余弦线和正切线都称为三角函数线． (4)三角函数线中应注意的问题 ①方向：正弦线由垂足指向角α的终边与单位圆的交点；余弦线由原点指向垂足；正切线由直线x＝1与x轴的交点指向直线x＝1与α的终边(或其反向延长线)的交点． ②正负：三角函数线中，与x轴或y轴正方向同向的对应的三角函数值为正，与x轴或y轴正方向反向的对应的三角函数值为负． ③书写：书写三角函数线时，始点字母在前，终点字母在后． 1．(三角函数线的意义)如图，在单位圆中，角α的正弦线、正切线完全正确的是(　　) A．正弦线，正切线 B．正弦线，正切线 C．正弦线，正切线 D．正弦线，正切线 答案：C 2．(利用三角函数线比较大小)(教材P22练习A T4改编)如果，分别是角α＝的正弦线和余弦线，则||______||(填“>”“＝”或“<”)． 答案：< 3．(利用三角函数线求角)已知α(0<α<2π)的正弦线和余弦线长度相等，且符号相同，那么α的值为________． 答案：或 题型一　三角函数线的意义 例1　作出－的正弦线、余弦线和正切线，并利用三角函数线求出－的正弦值、余弦值和正切值． [解]　如图，作－的终边与单位圆交于点P，作PM⊥x轴，M为垂足． 直线x＝1过点A(1，0)且与－终边所在直线交于点T， 所以－的正弦线为，余弦线为，正切线为. 依题意∠POM＝， 所以MP＝，OM＝，AT＝， 所以点P的坐标为， 故sin＝－，cos＝－，tan＝. 【感悟提升】　 1．作三角函数线的四个步骤 (1)确定角的始边，单位圆与x轴交点A(1，0)； (2)确定角的终边与单位圆的交点P； (3)过P作x轴的垂线，垂足为M，过A作x轴的垂线，与角的终边(或其反向延长线)交于T(S)； (4)得正弦线，余弦线，正切线(或)． 2．单位圆中求作角的终边的方法 应用三角函数线可以求作满足形如f(α)＝m的三角函数的角的终边，具体作法是先作出直线y＝m或x＝m与单位圆的交点，再将原点与交点连接所得射线即为所求角的终边． 【跟踪训练】 1．在单位圆中画出适合下列条件的角α的终边． (1)sinα＝； (2)cosα＝－； (3)tanα＝2. 解：(1)作直线y＝交单位圆于P，Q两点，则OP与OQ为角α的终边，如图①. (2)作直线x＝－交单位圆于M，N两点，则OM与ON为角α的终边，如图②. (3)在直线x＝1上截取AT＝2，其中点A的坐标为(1，0)．设直线OT与单位圆交于C，D两点，则OC与OD为角α的终边，如图③. 题型二　利用三角函数线比较大小 例2　利用三角函数线比较下列各组数的大小： (1)sin与sin； (2)cos与cos； (3)tan与tan. [解]　如图，在单位圆中，的终边为OP1，的终边为OP2，过P1，P2分别作x轴的垂线，垂足分别为M1，M2，延长P1O，P2O交经过A(1，0)的单位圆的切线于T1，T2. (1)sin＝||，sin＝||， ∵||>||，∴sin>sin. (2)cos＝－||，cos＝－||， ∵－||>－||，∴cos>cos. (3)tan＝－||，tan＝－||， ∵－||<－||，∴tan<tan. 【感悟提升】　三角函数线是一个角的三角函数值的体现，从三角函数线的方向可以看出三角函数值的正负，三角函数线的长度是三角函数值的绝对值，因此，对于同名三角函数值的大小比较，利用三角函数线求解比较直观、形象． (1)sinα与sinβ：作出以坐标原点为圆心的单位圆，分别作出角α，β的终边与单位圆的交点P1，P2，然后比较P1，P2两点纵坐标的大小即可得sinα与sinβ的大小． (2)cosα与cosβ：作出以坐标原点为圆心的单位圆，分别作出角α，β的终边与单位圆的交点P1，P2，然后比较P1，P2两点横坐标的大小即可得cosα与cosβ的大小． (3)tanα与tanβ：作出以坐标原点为圆心的单位圆，分别作出角α，β的终边，过点(1，0)作x轴的垂线，设与角α，β的终边所在直线分别交于点T1，T2，然后比较T1，T2两点的纵坐标的大小即可得tanα与tanβ的大小． 【跟踪训练】 2．(1)设a＝sin(－1)，b＝cos(－1)，c＝tan(－1)，则(　　) A．a<b<c B．b<a<c C．c<a<b D．a<c<b 答案：C 解析：如图，作α＝－1的正弦线、余弦线、正切线可知，b＝||>0，a＝－||<0，c＝－||<0，且－||>－||，所以c<a<b.故选C. (2)若θ∈，则下列各式错误的是(　　) A．sinθ＋cosθ<0 B．sinθ－cosθ>0 C．|sinθ|<|cosθ| D．sinθ＋cosθ>0 答案：D 解析：因为θ∈，作出角的正弦线和余弦线如图所示，所以sinθ>0，cosθ<0，且|sinθ|<|cosθ|，所以sinθ＋cosθ<0，sinθ－cosθ>0.故选D. 题型三　利用三角函数线证明三角不等式 例3　已知α为锐角，求证：1<sinα＋cosα<. [证明]　如图，设角α的终边与单位圆交于点P(x，y)， 过点P作PQ⊥Ox，PR⊥Oy，Q，R为垂足，连接PA，PB. ∵y＝sinα，x＝cosα， 在△OPQ中，||＋||>||， ∴sinα＋cosα>1. ∵S△OPA＝||·||＝y＝sinα， S△POB＝||·||＝x＝cosα， S扇形OAB＝×π×12＝， 又四边形OAPB被扇形所覆盖， ∴S△OPA＋S△POB<S扇形OAB， ∴sinα＋cosα<，即sinα＋cosα<. ∴1<sinα＋cosα<. 【感悟提升】　利用三角函数线证明不等式的策略 一般先根据条件作出三角函数线，在进一步证明不等式的过程中往往需要借助于三角形和扇形的面积，按题意适当放大或缩小证明结论． 【跟踪训练】 3．已知α∈，求证：sinα<α<tanα. 证明：在单位圆中，设∠AOP＝α，则的长度为α，角α的正弦线为，正切线为， ∵△OPA的面积<扇形OPA的面积<△OAT的面积， ∴||·||<||·α<||·||，即||<α<||， ∴sinα<α<tanα. 1．关于三角函数线，下列说法正确的是(　　) A．对任意角都能作出正弦线、余弦线和正切线 B．有的角正弦线、余弦线和正切线都不存在 C．任意角的正弦线、正切线总是存在，但余弦线不一定存在 D．任意角的正弦线、余弦线总是存在，但是正切线不一定存在 答案：D 解析：终边在y轴上的角的正切线不存在，而对任意角都能作正弦线、余弦线．故选D. 2．(2024·河南新乡高一期末)已知角α的正弦线是单位长度的有向线段，那么角α的终边(　　) A．在x轴上 B．在y轴上 C．在直线y＝x上 D．在直线y＝x或y＝－x上 答案：B 解析：根据题意，角α的正弦线是单位长度的有向线段，故sinα＝±1.只有当角α的终边落在y轴上时满足条件，所以角α的终边在y轴上．故选B. 3．(多选)下列不等式成立的是(　　) A．sin1<sin2 B．cos1<cos2 C．tan1<tan2 D．sin>sin 答案：AD 解析：如图，由单位圆中的三角函数线可知，sin1<sin2，cos1>cos2，tan1>tan2，故A正确，B，C错误；又sin＝1>sin，故D正确．故选AD. 4．点P(sin3－cos3，sin3＋cos3)所在的象限是第________象限． 答案：四 解析：作出单位圆如图所示.3弧度的正弦线、余弦线分别为，，因为<3<π，所以sin3>0，cos3<0.所以sin3－cos3>0.因为||<||，所以sin3＋cos3＝||－||<0.故点P(sin3－cos3，sin3＋cos3)在第四象限． 5．作出的正弦线、余弦线和正切线． 解：的终边与单位圆交于点P，的终边与过A(1，0)且平行于y轴的直线交于点T，过P作PM⊥x轴，交x轴于点M，如图，则是正弦线，是余弦线，是正切线． 课后课时精练 基础题(占比60%)　中档题(占比30%)　拔高题(占比10%) 题号 1 2 3 4 5 6 7 难度 ★ ★ ★ ★ ★★ ★ ★ 主考点 三角函数线的意义 三角函数线的意义 三角函数线及其应用 三角函数线及其应用 三角函数线及其应用 三角函数线的意义 三角函数线及其应用 关联点 解三角不等式 比较三角函数值的大小 比较三角函数值的大小 比较向量模的大小 题号 8 9 10 11 12 13 14 难度 ★ ★ ★★ ★★ ★★★ ★★ ★★★ 主考点 三角函数线及其应用 三角函数线及其应用 三角函数线的意义及应用 三角函数线及其应用 三角函数线及其应用 三角函数线及其应用 三角函数线及其应用 关联点 比较三角函数值的大小 比较三角函数值的大小 作三角函数线并求值 判断单位圆上的点所在的位置 比较角和正弦值的大小再判断不等关系 证明不等式 证明不等式 一、选择题 1．如图，已知点A是单位圆与x轴的交点，角α的终边与单位圆的交点为P，PM⊥x轴于M，过点A作单位圆的切线交角α的终边于T，则角α的正弦线、余弦线、正切线分别是(　　) A．，， B．，， C．，， D．，， 答案：D 解析：由题图，知角α的正弦线、余弦线、正切线分别是，，.故选D. 2．有三个命题： ①与的正弦线相等；②与的正切线相等；③与的余弦线相等． 其中真命题的个数为(　　) A．1 B．2 C．3 D．0 答案：B 解析：①②为真命题，③为假命题．故选B. 3．使sinx≤cosx成立的x的一个区间是(　　) A． B． C． D．[0，π] 答案：A 解析：如图，画出三角函数线．由图可得－≤x≤.故选A. 4．依据三角函数线，作出如下四个判断： ①sin＝sin；②cos＝cos； ③tan>tan；④sin>sin. 其中正确判断的个数是(　　) A．0 B．1 C．2 D．3 答案：C 解析：利用单位圆中的三角函数线，可知sin＝－sin，cos＝cos，tan<tan，sin>sin.故②④正确．故选C. 5．(多选)已知sinα>sinβ，那么下列命题成立的是(　　) A．若α，β是第一象限角，则cosα<cosβ B．若α，β是第二象限角，则tanα>tanβ C．若α，β是第三象限角，则cosα<cosβ D．若α，β是第四象限角，则tanα>tanβ 答案：ACD 解析：对于A，若α，β是第一象限角，由图1可知cosα<cosβ；对于B，若α，β是第二象限角，由图2可知tanα<tanβ；对于C，若α，β是第三象限角，由图3可知cosα<cosβ；对于D，若α，β是第四象限角，由图4可知tanα>tanβ.故选ACD. 二、填空题 6．给出下列结论： ①α一定时，单位圆中的正弦线一定； ②单位圆中，有相同正弦线的角相等； ③α和α＋π有相同的正切线； ④具有相同正切线的两个角终边在同一条直线上． 其中正确结论的序号是________． 答案：①④ 解析：由三角函数线定义，显然①④正确，若正弦线相同，则两角可相差2π的整数倍，和都不存在正切线，故②③不正确． 7．已知α∈，在单位圆中角α的正弦线、余弦线分别是，，则它们的模从大到小的顺序为________． 答案：||>|| 解析：由图可知，当α∈时，||>||. 8．(2024·河北保定高一下期中)设a＝sin，b＝cos，c＝tan，则a，b，c的大小顺序为________(按从小到大的顺序排列)． 答案：b<a<c 解析：如图，在单位圆O中分别作出角的正弦线，角的正弦线、余弦线、正切线.由＝π－知||＝||，又<<，易知||>||>||，故cos<sin<tan，即b<a<c. 三、解答题 9．比较下列各组数的大小： (1)sin1与sin；(2)cos与cos； (3)tan与tan；(4)sin与tan. 解：(1)sin1<sin. 如图1所示，sin1＝||<||＝sin. (2)cos>cos. 如图2所示，cos＝－||>－||＝cos. (3)tan<tan. 如图3所示，tan＝||<||＝tan. (4)sin<tan. 如图4所示，sin＝||<||＝tan. 10．分别作出下列各角的正弦线、余弦线和正切线，并利用它们求出各角的正弦值、余弦值和正切值． (1)；(2)－；(3)－. 解：(1)作的终边与单位圆交于点P，过P作x轴的垂线，垂足为M，延长线段OP，与直线x＝1交于点T，如图1所示， 则的正弦线是，余弦线是，正切线是. 根据直角三角形的知识可知，MP＝，OM＝，AT＝，所以sin＝，cos＝，tan＝. (2)作－的终边与单位圆交于点P，过P作x轴的垂线，垂足为M，延长线段PO，与直线x＝1交于点T，如图2所示， 则－的正弦线是，余弦线是，正切线是. 根据直角三角形的知识可知，MP＝，OM＝，AT＝，所以sin＝，cos＝－，tan＝－. (3)作－的终边与单位圆交于点P，过P作x轴的垂线，垂足为M，延长线段OP，与直线x＝1交于点T，如图3所示， 则－的正弦线是，余弦线是， 正切线是. 根据直角三角形的知识可知，MP＝，OM＝，AT＝1，所以sin＝－，cos＝，tan＝－1. 11．在平面直角坐标系中，，，，是单位圆上的四段弧(如图)，点P在其中一段上，角α以Ox为始边，OP为终边．若tanα<cosα<sinα，则点P所在的圆弧是(　　) A． B． C． D． 答案：C 解析：对于A，若点P在上，由图1可知，||<||，即sinα<cosα，故A不符合题意；对于B，若点P在上，由图2可知，||<||<||，即cosα<sinα<tanα，故B不符合题意；对于C，若点P在上，由图3可知，cosα＝－||<0，sinα＝||>0，tanα＝－||<0，且||<||，所以－||<－||<||，即tanα<cosα<sinα，故C符合题意；对于D，若点P在上，由图4可知，tanα＝||>0，cosα＝－||<0，sinα＝－||<0，故D不符合题意．故选C. 12．sinsinsin…sin________(填“>”“<”或“＝”)． 答案：< 解析：因为，，，…，均为小于的正数，又利用三角函数线可知，当0<x<时，sinx<x，所以sin<，sin<，sin<，…，sin<.因为当0<x<时，sinx>0，所以sinsinsin…sin<×××…×＝，即sinsinsin·…·sin<. 13．利用三角函数线证明：若0<α<β<，则β－α>sinβ－sinα. 证明：如图，单位圆O与x轴正半轴交于点A，与角α，β的终边分别交于点Q，P，过P，Q分别作OA的垂线，设垂足分别为点M，N， 则由三角函数线定义可知，sinα＝||，sinβ＝||，过点Q作QH⊥MP于点H，于是||＝||， 则||＝||－||＝sinβ－sinα. 由图可知||<＝－＝β－α， 即β－α>sinβ－sinα. 14．已知θ为锐角，求证： (1)|sinθ|＋|cosθ|>1； (2)sin3θ＋cos3θ<1. 证明：(1)∵角θ为锐角， ∴角θ的终边落在第一象限，如图，利用三角形的两边之和大于第三边，有|sinθ|＋|cosθ|＝||＋||>||＝1，∴|sinθ|＋|cosθ|>1. (2)∵θ为锐角， ∴0<cosθ<1，0<sinθ<1， 函数y＝ax(0<a<1)在R上是减函数， ∴cos3θ<cos2θ，sin3θ<sin2θ， ∴cos3θ＋sin3θ<cos2θ＋sin2θ. ∵sin2θ＋cos2θ＝||2＋||2＝||2＝1， ∴sin3θ＋cos3θ<1. 17 学科网（北京）股份有限公司 $$