1.7.1 正切函数的定义 1.7.2 正切函数的诱导公式-【金版教程】2024-2025学年高中数学必修第二册创新导学案word（北师大版2019）

7.1　正切函数的定义 7.2　正切函数的诱导公式 (教师独具内容) 课程标准：1.理解正切函数的定义.2.利用定义推导出诱导公式. 教学重点：1.正切函数的定义.2.利用诱导公式求三角函数值.3.利用诱导公式化简三角函数式． 教学难点：利用诱导公式解决问题． 知识点一　正切函数的定义 　根据函数的定义，比值是x的函数，称为x的正切函数，记作y＝tanx，其中定义域为. 知识点二　正切函数值的符号 符号正负：一三正，二四负． 知识点三　正切函数的诱导公式 1．tan(x＋kπ)＝tanx(k∈Z)． 2．tan(－x)＝－tanx． 3．tan(x＋π)＝tanx． 4．tan(π－x)＝－tanx． 5．tan＝－． 6．tan＝． [注意]　(1)其中的x是使等式两边都有意义的任意实数． (2)利用诱导公式，可以把任意实数x的正切函数值问题转化为上的正切函数值问题．当x表示角的大小时，可将任意角的正切函数值问题转化为锐角的正切函数值问题． 诱导公式的记忆口诀是：奇变偶不变，符号看象限．“奇变”指的是的奇数倍，正切变倒数；“偶不变”指的是的偶数倍，函数名不变；“符号看象限”指的是无论x为何角，都可以把它当成锐角，进一步确定±x，π±x，－x，±x，2π±x所在的象限，从而确定函数值的符号． 1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)正切函数的定义域是R.(　　) (2)若x是第二象限角，则tanx>0.(　　) (3)诱导公式中的x是锐角．(　　) 答案：(1)×　(2)×　(3)× 2．做一做 (1)若角α的终边过点P(1，－2)，则tanα的值为(　　) A．－ B. C．－2 D．2 (2)tan的值为________． 答案：(1)C　(2) 题型一　正切函数定义的应用 　已知角α的终边为射线y＝－x(x≥0)，求角α的正切值． [解]　由得x2＋x2＝1， 即25x2＝16，即x＝或x＝－. ∵x≥0，∴x＝，从而y＝－. ∴角α的终边与单位圆的交点坐标为. ∴sinα＝y＝－，cosα＝x＝， 由正切函数的定义知，tanα＝＝＝－. 【感悟提升】　利用三角函数的定义求一个角的三角函数值有以下几种情况： (1)若已知角α的大小，只需确定出角α的终边与以坐标原点为圆心的单位圆的交点坐标，即可求出角α的各三角函数值． (2)若已知角α终边上一点P(x，y)(x≠0)是以坐标原点为圆心的单位圆上的点，则sinα＝y，cosα＝x，tanα＝. (3)若已知角α终边上一点P(x，y)(x≠0)不是以坐标原点为圆心的单位圆上的点，应先求r＝，然后根据三角函数定义求角α的三角函数值，即sinα＝，cosα＝，tanα＝. (4)若角α终边上点的坐标含参数，则需进行分类讨论． 【跟踪训练】 1．已知角α的终边过点(a，2a)(a≠0)，求角α的正弦、余弦和正切值． 解：因为角α的终边过点(a，2a)(a≠0)， 所以r＝|a|，x＝a，y＝2a. 当a>0时，sinα＝＝＝，cosα＝＝＝，tanα＝＝＝2； 当a<0时，sinα＝＝＝－，cosα＝＝＝－，tanα＝＝＝2. 题型二　给角求值问题 　求下列各三角函数值： (1)tan945°；(2)tan. [解]　(1)tan945°＝tan(2×360°＋225°)＝tan225°＝tan(180°＋45°)＝tan45°＝1. (2)tan＝tan＝tan＝. 【感悟提升】　根据各个角的特征，选用适当的诱导公式进行求解，求解时，函数名可能没有改变，但一定要注意函数的符号有没有改变． 【跟踪训练】 2．求tan＋tan＋tan＋tan＋tan＋tan＋tanπ的值． 解：原式＝tan＋tan＋tan＋tan＋tan＋tan＋0＝tan＋tan＋tan－tan－tan－tan＝0. 题型三　给值求值问题 　已知cosα＝，且－<α<0，求的值． [解]　原式＝＝－＝－cosα＝－. 【感悟提升】　本例属于给值求值型的问题，对于待求式子一般来说较为复杂，因此有必要利用诱导公式进行化简，在化简以后再根据目标的函数表示式，来确定相关的值． 【跟踪训练】 3．已知角α终边上的一点A(，－1)， 求的值． 解：∵x＝，y＝－1， ∴r＝＝＝2，∴sinα＝＝－. ∴原式＝ ＝－＝－＝－sinα＝. 题型四　化简问题 　f(α)＝. (1)化简f(α)； (2)若sin＝，求f(α)的值． [解]　(1)由题知f(α)＝ ＝ ＝＝－cosα. (2)若sin＝，则cosα＝， 由(1)得f(α)＝－cosα＝－. 【感悟提升】　对于三角函数式的化简求值问题，一般遵循诱导公式先行的原则，即先用诱导公式化简变式，达到角的统一，再进行计算，代入求值． 【跟踪训练】 4．化简. 解：原式＝＝＝cosαtanα＝sinα. 题型五　证明问题 　求证：＝－tanα. [证明]　左边＝ ＝＝－tanα＝右边． ∴原式成立． 【感悟提升】　证明题遵循“化繁为简”的原则，最常用的方法是左⇒右或右⇒左． 【跟踪训练】 5．求证：＝. 证明：左边＝ ＝＝＝右边． 所以原等式成立． 1．tan(－1920°)等于(　　) A. B．－ C. D．－ 答案：A 解析：tan(－1920°)＝tan(360°×6－1920°)＝tan240°＝tan(180°＋60°)＝tan60°＝. 2.的值是(　　) A. B. C．－＋1 D．1＋ 答案：A 解析：　 ＝ ＝＝＝1＋＝. 3．设tan(5π＋α)＝m，则的值为(　　) A. B. C．－1 D．1 答案：A 解析：∵tan(5π＋α)＝m，∴tanα＝m.原式＝ ＝＝ ＝＝.故选A. 4．已知点P(tanα，cosα)在第二象限，则α的终边在第________象限． 答案：四 解析：由题意得解得2kπ－<α<2kπ，所以α的终边在第四象限． 5．已知sin(3π＋α)＝，求 . 解：∵sin(3π＋α)＝sin(π＋α)＝－sinα， ∴sinα＝－. ∴原式＝＝sinα＝－. 课后课时精练 一、选择题 1．tan690°的值为(　　) A．－ B. C．－ D. 答案：A 解析：tan690°＝tan(2×360°－30°)＝tan(－30°)＝－tan30°＝－，故选A. 2．化简tan(27°－α)tan(49°－β)tan(63°＋α)·tan(139°－β)的结果为(　　) A．－1 B．1 C．2 D．－ 答案：A 解析：∵tan(27°－α)＝，tan(139°－β)＝－，∴tan(27°－α)tan(63°＋α)＝1，tan(49°－β)·tan(139°－β)＝－1，故选A. 3．已知cos(α＋β)＝－1，且tanα＝2，则tanβ＝(　　) A．2 B. C．－2 D．－ 答案：C 解析：由cos(α＋β)＝－1，知α＋β＝2kπ＋π(k∈Z)，∴β＝2kπ＋π－α，k∈Z.∴tanβ＝tan(2kπ＋π－α)＝tan(π－α)＝－tanα＝－2. 4．已知tan(π＋α)＋＝2，则tan(π－α)＝(　　) A．2 B．－2 C．1 D．－1 答案：D 解析：tan(π＋α)＋＝tanα＋＝2，即＝0，解得tanα＝1.所以tan(π－α)＝－tanα＝－1. 5．(多选)下列说法中正确的是(　　) A．正角的正弦值是正的，负角的余弦值是负的，零角的正切值是零 B．若tanα≥0，则kπ≤α≤＋kπ(k∈Z) C．tan(－945°)＝－1 D．对任意角α，都有＝|tanα|＋ 答案：CD 解析：正角和负角的正弦值和余弦值都可正、可负，故A错误；若tanα≥0，则kπ≤α<＋kπ(k∈Z)，故B错误；tan(－945°)＝－tan945°＝－tan(225°＋2×360°)＝－tan225°＝－tan(180°＋45°)＝－tan45°＝－1，故C正确；因为tanα，的符号相同，所以＝|tanα|＋，故D正确． 二、填空题 6．化简的结果为________． 答案：－ 解析：原式＝ ＝＝－. 7．已知tan＝，则tan＝__________． 答案：－ 解析：tan＝tan＝－tan＝－. 8．已知tan15°＝2－，则2tan1095°＋tan975°＋tan(－195°)＝________． 答案：4 解析：∵tan1095°＝tan(1080°＋15°)＝tan15°＝2－，tan975°＝tan(720°＋255°)＝tan(180°＋75°)＝tan75°＝＝＝2＋，tan(－195°)＝－tan195°＝－tan15°＝－(2－)，∴原式＝2(2－)＋2＋－(2－)＝4. 三、解答题 9．已知α是第三象限角，且f(α)＝. (1)化简f(α)； (2)若α＝－1950°，求f(α)． 解：(1)f(α)＝ ＝＝＝cosα. (2)f(－1950°)＝cos(－1950°)＝cos(－6×360°＋210°)＝cos210°＝cos(180°＋30°) ＝－cos30°＝－. 10．求sin(－1200°)cos1290°＋cos(－1020°)·sin(－1050°)＋tan585°的值． 解：原式＝－sin(3×360°＋120°)cos(3×360°＋210°)－cos(2×360°＋300°)sin(2×360°＋330°)＋tan(360°＋225°)＝－sin(180°－60°)cos(180°＋30°)－cos(360°－60°)sin(360°－30°)＋tan(180°＋45°)＝sin60°cos30°＋cos60°sin30°＋tan45°＝×＋×＋1＝2. 11．已知sin(α＋β)＝1，求证：tan(2α＋β)＋tanβ＝0. 证明：∵sin(α＋β)＝1，∴α＋β＝2kπ＋，k∈Z，∴α＝2kπ＋－β，k∈Z，∴tan(2α＋β)＋tanβ＝tan＋tanβ＝tan(4kπ＋π－2β＋β)＋tanβ＝tan(－β)＋tanβ＝－tanβ＋tanβ＝0. 12．已知sinα是方程5x2－7x－6＝0的根，α是第三象限角，求·tan2(π－α)的值． 解：方程5x2－7x－6＝0的两根为x1＝－，x2＝2， 由α是第三象限角，得sinα＝－，则cosα＝－， ∴·tan2(π－α) ＝·tan2α＝－tan2α＝－ ＝－. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$