1.7.1 正切函数的定义 1.7.2 正切函数的诱导公式-【金版教程】2024-2025学年高中数学必修第二册创新导学案课件PPT（北师大版2019）

第一章　三角函数 §7　正切函数 7.1　正切函数的定义 7.2　正切函数的诱导公式 (教师独具内容) 核心概念掌握 核心素养形成 随堂水平达标 目录 课后课时精练 核心概念掌握 tanx 核心概念掌握 5 知识点二　正切函数值的符号 符号正负：一三正，二四负． 核心概念掌握 6 tanx －tanx tanx －tanx 核心概念掌握 7 核心概念掌握 8 核心概念掌握 9 1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)正切函数的定义域是R.(　　) (2)若x是第二象限角，则tanx>0.(　　) (3)诱导公式中的x是锐角．(　　) × × × 核心概念掌握 10 核心概念掌握 11 核心素养形成 题型一　正切函数定义的应用 核心素养形成 13 核心素养形成 14 【跟踪训练】 1．已知角α的终边过点(a，2a)(a≠0)，求角α的正弦、余弦和正切值． 核心素养形成 15 题型二　给角求值问题 求下列各三角函数值： 核心素养形成 16 【感悟提升】　根据各个角的特征，选用适当的诱导公式进行求解，求解时，函数名可能没有改变，但一定要注意函数的符号有没有改变． 核心素养形成 17 核心素养形成 18 题型三　给值求值问题 核心素养形成 19 【感悟提升】　本例属于给值求值型的问题，对于待求式子一般来说较为复杂，因此有必要利用诱导公式进行化简，在化简以后再根据目标的函数表示式，来确定相关的值． 核心素养形成 20 核心素养形成 21 题型四　化简问题 核心素养形成 22 核心素养形成 23 【感悟提升】　对于三角函数式的化简求值问题，一般遵循诱导公式先行的原则，即先用诱导公式化简变式，达到角的统一，再进行计算，代入求值． 核心素养形成 24 核心素养形成 25 题型五　证明问题 核心素养形成 26 【感悟提升】　证明题遵循“化繁为简”的原则，最常用的方法是左⇒右或右⇒左． 核心素养形成 27 核心素养形成 28 随堂水平达标 随堂水平达标 1 2 3 4 5 30 随堂水平达标 1 2 3 4 5 31 随堂水平达标 1 2 3 4 5 32 4．已知点P(tanα，cosα)在第二象限，则α的终边在第______象限． 四 随堂水平达标 1 2 3 4 5 33 随堂水平达标 1 2 3 4 5 34 课后课时精练 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 36 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 37 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 38 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 39 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 40 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 41 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 42 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 43 4 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 44 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 45 10．求sin(－1200°)cos1290°＋cos(－1020°)·sin(－1050°)＋tan585°的值． 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 46 11．已知sin(α＋β)＝1，求证：tan(2α＋β)＋tanβ＝0. 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 47 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 48 　　　　　　　　　　　　　 R 课程标准：1.理解正切函数的定义.2.利用定义推导出诱导公式eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－x，\f(π,2)±x，π±x的正切)). 教学重点：1.正切函数的定义.2.利用诱导公式求三角函数值.3.利用诱导公式化简三角函数式． 教学难点：利用诱导公式解决问题． 知识点一　正切函数的定义 根据函数的定义，比值______是x的函数，称为x的正切函数，记作y＝_____，其中定义域为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x∈R|x≠_______，k∈Z)). eq \f(sinx,cosx) eq \f(π,2)＋kπ 知识点三　正切函数的诱导公式 1．tan(x＋kπ)＝______ (k∈Z)． 2．tan(－x)＝_______． 3．tan(x＋π)＝_______． 4．tan(π－x)＝________． 5．taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,2)))＝_______． 6．taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－x))＝_______． －eq \f(1,tanx) eq \f(1,tanx) [注意]　(1)其中的x是使等式两边都有意义的任意实数． (2)利用诱导公式，可以把任意实数x的正切函数值问题转化为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))上的正切函数值问题．当x表示角的大小时，可将任意角的正切函数值问题转化为锐角的正切函数值问题． 诱导公式的记忆口诀是：奇变偶不变，符号看象限．“奇变”指的是eq \f(π,2)的奇数倍，正切变倒数；“偶不变”指的是eq \f(π,2)的偶数倍，函数名不变；“符号看象限”指的是无论x为何角，都可以把它当成锐角，进一步确定eq \f(π,2)±x，π±x，－x，eq \f(3π,2)±x，2π±x所在的象限，从而确定函数值的符号． 2．做一做 (1)若角α的终边过点P(1，－2)，则tanα的值为(　　) A．－eq \f(1,2) B.eq \f(1,2) C．－2 D．2 (2)taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3π＋\f(π,3)))的值为______． eq \r(3) 已知角α的终边为射线y＝－eq \f(3,4)x(x≥0)，求角α的正切值． 解　由eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝－\f(3,4)x，,x2＋y2＝1，))得x2＋eq \f(9,16)x2＝1，即25x2＝16，即x＝eq \f(4,5)或x＝－eq \f(4,5). ∵x≥0，∴x＝eq \f(4,5)，从而y＝－eq \f(3,5).∴角α的终边与单位圆的交点坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,5)，－\f(3,5))). ∴sinα＝y＝－eq \f(3,5)，cosα＝x＝eq \f(4,5)，由正切函数的定义知，tanα＝eq \f(sinα,cosα)＝eq \f(y,x)＝－eq \f(3,4). 【感悟提升】　利用三角函数的定义求一个角的三角函数值有以下几种情况： (1)若已知角α的大小，只需确定出角α的终边与以坐标原点为圆心的单位圆的交点坐标，即可求出角α的各三角函数值． (2)若已知角α终边上一点P(x，y)(x≠0)是以坐标原点为圆心的单位圆上的点，则sinα＝y，cosα＝x，tanα＝eq \f(y,x). (3)若已知角α终边上一点P(x，y)(x≠0)不是以坐标原点为圆心的单位圆上的点，应先求r＝eq \r(x2＋y2)，然后根据三角函数定义求角α的三角函数值，即sinα＝eq \f(y,r)，cosα＝eq \f(x,r)，tanα＝eq \f(y,x). (4)若角α终边上点的坐标含参数，则需进行分类讨论． 解：因为角α的终边过点(a，2a)(a≠0)， 所以r＝eq \r(5)|a|，x＝a，y＝2a. 当a>0时，sinα＝eq \f(y,r)＝eq \f(2a,\r(5)a)＝eq \f(2\r(5),5)，cosα＝eq \f(x,r)＝eq \f(a,\r(5)a)＝eq \f(\r(5),5)，tanα＝eq \f(y,x)＝eq \f(2a,a)＝2； 当a<0时，sinα＝eq \f(y,r)＝eq \f(2a,－\r(5)a)＝－eq \f(2\r(5),5)，cosα＝eq \f(x,r)＝eq \f(a,－\r(5)a)＝－eq \f(\r(5),5)，tanα＝eq \f(y,x)＝eq \f(2a,a)＝2. (1)tan945°；(2)taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(17π,3))). 解　(1)tan945°＝tan(2×360°＋225°)＝tan225°＝tan(180°＋45°)＝tan45°＝1. (2)taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(17π,3)))＝taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－6π＋\f(π,3)))＝taneq \f(π,3)＝eq \r(3). 2．求taneq \f(π,7)＋taneq \f(2π,7)＋taneq \f(3π,7)＋taneq \f(4π,7)＋taneq \f(5π,7)＋taneq \f(6π,7)＋tanπ的值． 解：原式＝taneq \f(π,7)＋taneq \f(2π,7)＋taneq \f(3π,7)＋taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(π－\f(3π,7)))＋taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(π－\f(2π,7)))＋taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(π－\f(π,7)))＋0＝taneq \f(π,7)＋taneq \f(2π,7)＋taneq \f(3π,7)－taneq \f(3π,7)－taneq \f(2π,7)－taneq \f(π,7)＝0. 已知cosα＝eq \f(1,3)，且－eq \f(π,2)<α<0，求eq \f(cos(－α－π)sin(2π＋α),cos(－α)tanα)的值． 解　原式＝eq \f(－cosαsinα,cosαtanα)＝－eq \f(sinα,tanα)＝－cosα＝－eq \f(1,3). 【跟踪训练】 3．已知角α终边上的一点A(eq \r(3)，－1)，求eq \f(sin(2π－α)tan(π＋α)tan\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋α))sin(－α),cos(π－α)tan(3π－α))的值． 解：∵x＝eq \r(3)，y＝－1，∴r＝eq \r(x2＋y2)＝eq \r(3＋1)＝2，∴sinα＝eq \f(y,r)＝－eq \f(1,2). ∴原式＝eq \f(sin(－α)tanα\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,tanα)))(－sinα),－cosαtan(－α))＝－eq \f(sin2αtanα·\f(1,tanα),cosαtanα)＝－eq \f(sin2α,sinα)＝－sinα＝eq \f(1,2). f(α)＝eq \f(sin(π－α)cos(2π－α)tan\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－α＋\f(3π,2)))tan(－α－π),sin(－π－α)). (1)化简f(α)；(2)若sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(3π,2)))＝eq \f(1,5)，求f(α)的值． 解　(1)由题知f(α)＝eq \f(sin(π－α)cos(2π－α)tan\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(π＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－α))))tan(－α－π),sin(－π－α)) ＝eq \f(sinαcosαtan\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－α))[－tan(π＋α)],－sin(π＋α))＝eq \f(sinαcosα·\f(1,tanα)·(－tanα),sinα)＝－cosα. (2)若sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(3π,2)))＝eq \f(1,5)，则cosα＝eq \f(1,5)， 由(1)得f(α)＝－cosα＝－eq \f(1,5). 【跟踪训练】 4．化简eq \f(sin(π＋α)cos(π－α)tan(α－π),sin(2π＋α)tan(8π－α)tan\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)＋α))). 解：原式＝eq \f((－sinα)(－cosα)tanα,sinαtan(－α)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,tanα))))＝eq \f(sinαcosαtanα,sinαtanα\f(1,tanα))＝cosαtanα＝sinα. 求证：eq \f(tan(2π－α)sin(－2π－α)cos(6π－α),cos(α－π)sin(5π－α))＝－tanα. 证明　左边＝eq \f(tan(－α)sin(－α)cos(－α),cos(π－α)sin(π－α))＝eq \f(－tanα(－sinα)cosα,(－cosα)sinα)＝－tanα＝右边． ∴原式成立． 【跟踪训练】 5．求证：eq \f(sin22x－2sin2xcos2x＋cos22x,cos22x－sin22x)＝eq \f(1－tan2x,1＋tan2x). 证明：左边＝eq \f((sin2x－cos2x)2,(cos2x＋sin2x)(cos2x－sin2x)) ＝eq \f(cos2x－sin2x,cos2x＋sin2x)＝eq \f(1－tan2x,1＋tan2x)＝右边． 所以原等式成立． 1．tan(－1920°)等于(　　) A.eq \r(3) B．－eq \r(3) C.eq \f(\r(3),3) D．－eq \f(\r(3),3) 解析：tan(－1920°)＝tan(360°×6－1920°)＝tan240°＝tan(180°＋60°)＝tan60°＝eq \r(3). 2.eq \r(1－2tan\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(37π,6)))＋tan2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(43π,6))))的值是(　　) A.eq \f(3＋\r(3),3) B.eq \f(3－\r(3),3) C．－eq \r(3)＋1 D．1＋eq \r(3) 解析：eq \r(1－2tan\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(37π,6)))＋tan2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(43π,6)))) ＝eq \r(1－2tan\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－6π－\f(π,6)))＋tan2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－7π－\f(π,6)))) ＝eq \r(1＋2tan\f(π,6)＋tan2\f(π,6))＝eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(1＋tan\f(π,6)))＝1＋eq \f(\r(3),3)＝eq \f(3＋\r(3),3). 3．设tan(5π＋α)＝m，则eq \f(sin(α－3π)＋cos(π－α),sin(－α)－cos(π＋α))的值为(　　) A.eq \f(m＋1,m－1) B.eq \f(m－1,m＋1) C．－1 D．1 解析：∵tan(5π＋α)＝m，∴tanα＝m.原式＝ eq \f(sin(π＋α)＋cos(π－α),sin(－α)－cos(π＋α))＝eq \f(－sinα－cosα,－sinα＋cosα)＝ eq \f(sinα＋cosα,sinα－cosα)＝eq \f(tanα＋1,tanα－1)＝eq \f(m＋1,m－1).故选A. 解析：由题意得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(tanα<0，,cosα>0，))解得2kπ－eq \f(π,2)<α<2kπ，所以α的终边在第四象限． 5．已知sin(3π＋α)＝eq \f(1,3)，求eq \f(sin(180°＋α)cos(720°＋α)tan(540°＋α)tan(－α－180°),sin(－180°－α)tan(900°＋α)). 解：∵sin(3π＋α)＝sin(π＋α)＝－sinα，∴sinα＝－eq \f(1,3). ∴原式＝eq \f(sinαcosαtan2α,sinαtanα)＝sinα＝－eq \f(1,3). 一、选择题 1．tan690°的值为(　　) A．－eq \f(\r(3),3) B.eq \f(\r(3),3) C．－eq \r(3) D.eq \r(3) 解析：tan690°＝tan(2×360°－30°)＝tan(－30°)＝－tan30°＝－eq \f(\r(3),3)，故选A. 2．化简tan(27°－α)tan(49°－β)tan(63°＋α)·tan(139°－β)的结果为(　　) A．－1 B．1 C．2 D．－eq \f(1,2) 解析：∵tan(27°－α)＝eq \f(1,tan(63°＋α))，tan(139°－β)＝－eq \f(1,tan(49°－β))，∴tan(27°－α)tan(63°＋α)＝1，tan(49°－β)·tan(139°－β)＝－1，故选A. 3．已知cos(α＋β)＝－1，且tanα＝2，则tanβ＝(　　) A．2 B.eq \f(1,2) C．－2 D．－eq \f(1,2) 解析：由cos(α＋β)＝－1，知α＋β＝2kπ＋π(k∈Z)，∴β＝2kπ＋π－α，k∈Z.∴tanβ＝tan(2kπ＋π－α)＝tan(π－α)＝－tanα＝－2. 4．已知tan(π＋α)＋eq \f(1,tan(3π＋α))＝2，则tan(π－α)＝(　　) A．2 B．－2 C．1 D．－1 解析：tan(π＋α)＋eq \f(1,tan(3π＋α))＝tanα＋eq \f(1,tanα)＝2，即eq \f(tan2α－2tanα＋1,tanα)＝0，解得tanα＝1.所以tan(π－α)＝－tanα＝－1. 5．(多选)下列说法中正确的是(　　) A．正角的正弦值是正的，负角的余弦值是负的，零角的正切值是零 B．若tanα≥0，则kπ≤α≤eq \f(π,2)＋kπ(k∈Z) C．tan(－945°)＝－1 D．对任意角αeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α≠\f(kπ,2)，k∈Z))，都有eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(tanα＋\f(1,tanα)))＝|tanα|＋eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(1,tanα))) 解析：正角和负角的正弦值和余弦值都可正、可负，故A错误；若tanα≥0，则kπ≤α<eq \f(π,2)＋kπ(k∈Z)，故B错误；tan(－945°)＝－tan945°＝－tan(225°＋2×360°)＝－tan225°＝－tan(180°＋45°)＝－tan45°＝－1，故C正确；因为tanα，eq \f(1,tanα)的符号相同，所以eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(tanα＋\f(1,tanα)))＝|tanα|＋eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(1,tanα)))，故D正确． 二、填空题 6．化简eq \f(tan(4π－α)tan(3π＋α),tan(－π＋α)tan(5π－α)tan(－α－π))的结果为________． 解析：原式＝eq \f(tan(－α)tanα,－tan(π－α)tan(－α)[－tan(π＋α)]) ＝eq \f((－tanα)tanα,tanα(－tanα)(－tanα))＝－eq \f(1,tanα). －eq \f(1,tanα) 7．已知taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,3)－α))＝eq \f(\r(3),3)，则taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4π,3)＋α))＝________． 解析：taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4π,3)＋α))＝taneq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2π－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,3)－α))))＝－taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,3)－α))＝－eq \f(\r(3),3). －eq \f(\r(3),3) 8．已知tan15°＝2－eq \r(3)，则2tan1095°＋tan975°＋tan(－195°)＝______． 解析：∵tan1095°＝tan(1080°＋15°)＝tan15°＝2－eq \r(3)，tan975°＝tan(720°＋255°)＝tan(180°＋75°)＝tan75°＝eq \f(1,tan15°)＝eq \f(1,2－\r(3))＝2＋eq \r(3)，tan(－195°)＝－tan195°＝－tan15°＝－(2－eq \r(3))，∴原式＝2(2－eq \r(3))＋2＋eq \r(3)－(2－eq \r(3))＝4. 三、解答题 9．已知α是第三象限角，且f(α)＝eq \f(sin(π－α)cos(2π－α)tan(2π－α),tan(π－α)sin(3π－α)). (1)化简f(α)；(2)若α＝－1950°，求f(α)． 解：(1)f(α)＝eq \f(sin(π－α)cos(2π－α)tan(2π－α),tan(π－α)sin(3π－α)) ＝eq \f(sinαcosαtan(－α),tan(π－α)sin(π－α))＝eq \f(sinαcosα(－tanα),(－tanα)sinα)＝cosα. (2)f(－1950°)＝cos(－1950°)＝cos(－6×360°＋210°)＝cos210°＝cos(180°＋30°) ＝－cos30°＝－eq \f(\r(3),2). 解：原式＝－sin(3×360°＋120°)cos(3×360°＋210°)－cos(2×360°＋300°)sin(2×360°＋330°)＋tan(360°＋225°)＝－sin(180°－60°)cos(180°＋30°)－cos(360°－60°)sin(360°－30°)＋tan(180°＋45°)＝sin60°cos30°＋cos60°sin30°＋tan45°＝eq \f(\r(3),2)×eq \f(\r(3),2)＋eq \f(1,2)×eq \f(1,2)＋1＝2. 证明：∵sin(α＋β)＝1，∴α＋β＝2kπ＋eq \f(π,2)，k∈Z，∴α＝2kπ＋eq \f(π,2)－β，k∈Z，∴tan(2α＋β)＋tanβ＝taneq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2kπ＋\f(π,2)－β))＋β))＋tanβ＝tan(4kπ＋π－2β＋β)＋tanβ＝tan(－β)＋tanβ＝－tanβ＋tanβ＝0. 12．已知sinα是方程5x2－7x－6＝0的根，α是第三象限角， 求eq \f(sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－α－\f(3π,2)))\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cos\f(3π,2)－α)),cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－α))sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋α)))·tan2(π－α)的值． 解：方程5x2－7x－6＝0的两根为x1＝－eq \f(3,5)，x2＝2， 由α是第三象限角，得sinα＝－eq \f(3,5)，则cosα＝－eq \f(4,5)， ∴eq \f(sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－α－\f(3π,2)))cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)－α)),cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－α))sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋α)))·tan2(π－α)＝eq \f(cosα(－sinα),sinαcosα)·tan2α＝－tan2α＝－eq \f(sin2α,cos2α)＝－eq \f(9,16). $$