1.3 向量的数乘-【金版教程】2024-2025学年高中数学必修第二册创新导学案word（湘教版2019）

(教师独具内容) 课程标准：通过实例分析，掌握平面向量的数乘运算及运算规则，理解其几何意义． 教学重点：向量的数乘的定义及其几何意义，数乘运算律． 教学难点：向量的数乘的应用． 核心素养：1．通过学习向量的数乘的定义、几何意义及运算律培养数学抽象和直观想象素养．2．通过应用向量的数乘解决问题培养逻辑推理和数学运算素养． 知识点一　向量数乘的定义和几何意义 (1)定义：一般地，实数λ与向量a的乘积是一个向量，记作λa，称为a的λ倍，它的长度|λa|＝|λ||a|． 当λ≠0且a≠0时，λa的方向 当λ＝0或a＝0时，λa＝0a＝0或λa＝λ0＝0． 求向量的实数倍的运算称为向量的数乘． 我们把向量的加法、减法、数乘运算统称为向量的线性运算． (2)几何意义：向量数乘的几何意义就是把向量a沿着a的方向或a的反方向放大或缩小． 知识点二　共线向量 (1)当非零向量a，b方向相同或相反时，我们既称a，b共线，也称a，b平行，并且用符号“∥”来表示它们共线(或平行)，记作a∥b． (2)两个向量平行⇔其中一个向量是另一个向量的实数倍．即a∥b⇔存在实数λ，使得b＝λa或a＝λb． 知识点三　向量的夹角 如图，设a，b是两个非零向量，任选一点O，作＝a，＝b，则射线OA，OB所夹的最小非负角∠AOB＝θ称为向量a，b的夹角，记作〈a，b〉，取值范围规定为[0，π]，在这个规定下，两个向量的夹角被唯一确定了，并有〈a，b〉＝〈b，a〉． (1)当θ＝0时，a，b方向相同；当θ＝π时，a，b方向相反．这两种情形下a，b所在直线重合，即a，b共线．当0<θ<π时，a，b所在直线相交于点O，即a，b不共线． (2)当θ＝时，a与b垂直，记作a⊥b． (3)可以规定零向量0与a的夹角为0，零向量与任一向量平行，也可以规定0与a的夹角为，零向量与任一向量垂直． 知识点四　单位向量 (1)我们把长度为1的向量称为单位向量，它的长度等于单位长度． (2)对于任一非零向量a，都可得到与它方向相同的唯一单位向量e＝a． 知识点五　数乘运算律 一般地，设a，b是任意向量，x，y是任意实数，则如下运算律成立： (1)对实数加法的分配律：(x＋y)a＝xa＋ya． (2)对实数乘法的结合律：x(ya)＝(xy)a． (3)对向量加法的分配律：x(a＋b)＝xa＋xb． 从两个角度看数乘向量 (1)代数角度 ①λ是实数，a是向量，它们的积仍然是向量； ②λa＝0的条件是λ＝0或a＝0． (2)几何角度 ①当|λ|>1时，有|λa|>|a|，这意味着表示向量a的有向线段在原方向(λ>1)或反方向(λ<－1)上伸长到|a|的|λ|倍； ②当0<|λ|<1时，有|λa|<|a|，这意味着表示向量a的有向线段在原方向(0<λ<1)或反方向(－1<λ<0)上缩短到|a|的|λ|倍． 1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)实数与向量可以进行加减运算．(　　) (2)λa的方向与a的方向一致．(　　) (3)4a与－4a的模相等．(　　) (4)若λa＝0，则a＝0．(　　) (5)当〈a，b〉＝0或〈a，b〉＝π时，a，b共线．(　　) 答案　(1)×　(2)×　(3)√　(4)×　(5)√ 2．做一做 (1)下列各式中不表示向量的是(　　) A．0·a B．a＋3b C．|3a| D．e(x，y∈R，且x≠y) (2)下列各式计算正确的有(　　) ①(－7)6a＝－42a；②7(a＋b)－8b＝7a＋15b； ③a－2b＋a＋2b＝2a；④4(2a＋b)＝8a＋4b． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 (3)已知向量a，b不共线，c＝ka＋b(k∈R)，d＝a－b，如果c∥d，那么(　　) A．k＝1且c与d同向 B．k＝1且c与d反向 C．k＝－1且c与d同向 D．k＝－1且c与d反向 (4)已知向量a＝2e，b＝－e，则a与b________(填“共线”或“不共线”)． 答案　(1)C　(2)C　(3)D　(4)共线 题型一　向量的线性运算 例1　化简下列各式： (1)3(6a＋b)－9； (2)－2； (3)2(5a－4b＋c)－3(a－3b＋c)－7a． [解]　(1)原式＝18a＋3b－9a－3b＝9a． (2)原式＝－a－b＝a＋b－a－b＝0． (3)原式＝10a－8b＋2c－3a＋9b－3c－7a＝b－c． 向量数乘运算的方法 (1)向量的数乘运算可类似于代数多项式的运算．例如实数运算中的去括号、移项、合并同类项、提取公因式等变形手段在数与向量的乘积中同样适用，但是在这里的“同类项”“公因式”指向量，实数看作是向量的系数． (2)向量也可以通过列方程来解，把所求向量当作未知数，利用代数方程的方法求解，同时在运算过程中要多注意观察，恰当运用运算律，简化运算． [跟踪训练1]　(1)设向量a＝3i＋2j，b＝2i－j，求－＋(2b－a)． 解　原式＝a－b－a＋b＋2b－a ＝a＋b ＝－a＋b＝－(3i＋2j)＋(2i－j) ＝i＋j＝－i－5j． (2)已知向量为a，b，未知向量为x，y，向量a，b，x，y满足关系式3x－2y＝a，－4x＋3y＝b，求向量x，y． 解　 ①×3＋②×2，得x＝3a＋2b， 再代入①，得y＝4a＋3b． 题型二　证明三点共线问题 例2　已知非零向量e1和e2不共线，如果＝2e1＋3e2，＝6e1＋23e2，＝4e1－8e2，求证：A，B，D三点共线． [证明]　∵＝＋＋＝2e1＋3e2＋6e1＋23e2＋4e1－8e2＝6(2e1＋3e2)＝6， ∴向量与共线． 又向量与有共同的起点A，故A，B，D三点共线． 解决三点共线问题的思路 先将三点共线问题转化为两个向量共线，再利用结论：“如果存在实数λ，使得b＝λa，则b∥a”求解，最后再由两个向量共线且有公共点，得出三点共线． [跟踪训练2]　已知O，A，M，B为平面上四点，且＝λ＋(1－λ)(λ∈R，λ≠0，且λ≠1)． (1)求证：A，B，M三点共线； (2)若点B在线段AM上，求实数λ的取值范围． 解　(1)证明：∵＝λ＋(1－λ)， ∴＝λ＋－λ，－＝λ－λ， ∴＝λ(λ∈R，λ≠0，且λ≠1)． 又AM与AB有公共点A，故A，B，M三点共线． (2)由(1)知＝λ， 若点B在线段AM上，则与同向， 且||>||>0，故λ>1． 题型三　利用向量线性运算表示相关向量 例3　如图所示，已知平面内的两点P与Q关于点A对称，Q与R关于点B对称，且＝a，＝b，用a，b表示． [解]　解法一：分别连接AB，OR，OP， 如图所示，已知P与Q两点关于A点对称， 所以＝(＋)． 所以＝2－＝2a－． 又Q与R两点关于B点对称， 所以＝(＋)． 所以＝2－＝2b－． 所以＝－＝(2b－)－(2a－)． 所以＝2b－2a． 解法二：＝＋＝＋，＝＋＝＋， 所以＝－＝－＋－＝－＋＝－＋－＝2(－)＝2b－2a． 解法三：在△PQR中，因为A与B分别为边PQ和QR的中点，所以＝． 所以＝2＝2(－)＝2b－2a． 用已知向量表示未知向量的求解思路 [跟踪训练3]　如图所示，四边形OADB是平行四边形，且向量＝a，＝b，BM＝BC，CN＝CD，试用a，b表示，，． 解　＝－＝a－b， ＝＝＝a－b， 所以＝＋＝b＋a－b ＝a＋b． 又因为＝a＋b，＝， 所以＝＝a＋b， 所以＝－ ＝－＝a－b． 1．已知m，n是实数，a，b是向量，则下列命题中正确的为(　　) ①m(a－b)＝ma－mb；②(m－n)a＝ma－na；③若ma＝mb，则a＝b；④若ma＝na，则m＝n． A．①④ B．①② C．①③ D．③④ 答案　B 解析　①②显然正确．③中当m＝0时，对于任意两向量a，b，ma＝mb都成立，但不一定有a＝b，故③错误．④中当a＝0时，不成立．故选B． 2．化简[2(2a＋8b)－4(4a－2b)]的结果为(　　) A．2a－b B．2b－a C．a－b D．b－a 答案　B 解析　原式＝×(2×2－4×4)a＋×(2×8＋4×2)b＝－a＋2b． 3．(多选)下列四个选项中，向量a，b一定共线的是(　　) A．a＝2e，b＝－2e B．a＝e1－e2，b＝－2e1＋2e2 C．a＝4e1－e2，b＝e1－e2 D．a＝e1＋e2，b＝2e1－2e2 答案　ABC 解析　A中b＝－a，则a，b共线；B中b＝－2a，则a，b共线；C中a＝4b，则a，b共线；D中向量a，b不共线．故选ABC． 4．已知数轴上三点A，B，C分别代表－6，－2，3，则，代表的实数分别是________． 答案　4，－9 解析　如图，O为原点，取单位向量， 则＝－6，＝－2，＝3， ∴＝－＝－2－(－6)＝4， ＝－＝－6－3＝－9， ∴，代表的实数分别是4，－9． 5．如图，在四边形ABCD中，E，F，G，H分别为BD，AB，AC和CD的中点，求证：四边形EFGH为平行四边形． 证明　∵F，G分别是AB，AC的中点， ∴＝． 同理，＝． ∴＝． ∴四边形EFGH为平行四边形． 一、选择题 1．下列各式计算正确的个数是(　　) ①(－7)·5a＝－35a；②a－2b＋2(a＋b)＝3a；③a＋b－(a＋b)＝0． A．0 B．1 C．2 D．3 答案　C 解析　根据向量数乘的运算律可验证①②正确；③错误，因为向量的和、差及数乘运算的结果仍为一个向量，而不是实数． 2．如图所示，D是△ABC的边AB上的中点，则向量＝(　　) A．－ B．－＋ C．－－ D．＋ 答案　B 解析　解法一：∵D是AB的中点，∴＝，∴＝＋＝－＋． 解法二：＝(＋)＝[＋(＋)]＝＋＝－＋． 3．设a是任一向量，e是单位向量，且a∥e，则下列表达式中正确的是(　　) A．e＝ B．a＝|a|e C．a＝－|a|e D．a＝±|a|e 答案　D 解析　当a＝0时，没有意义，A错误；当a＝0时，B，C，D都正确；当a≠0时，由a∥e可知，a与e同向或反向，且|a||e|＝|a|，故B，C不全面，选D． 4．设＝(a＋5b)，＝－2a＋8b，＝3(a－b)，则共线的三点是(　　) A．A，B，D B．A，B，C C．B，C，D D．A，C，D 答案　A 解析　∵＝＋＝a＋5b，∴＝，∵，共线且有公共点B，∴A，B，D三点共线．故选A． 5．(多选)在平行四边形ABCD中，AC与BD交于点O，E是线段OD的中点，AE的延长线与CD交于点F．若＝a，＝b，则(　　) A．＝b B．＝b C．＝a＋b D．＝a＋b 答案　BD 解析　如图所示，∵E是OD的中点，∴＝＝b．又△ABE∽△FDE，∴＝＝．∴＝3，∴＝，在△AOE中，＝＋＝a＋b，∴＝＝a＋b．故选BD． 二、填空题 6．设e1，e2是两个不共线的向量，若向量ke1＋2e2与8e1＋ke2方向相反，则k＝________． 答案　－4 解析　∵ke1＋2e2与8e1＋ke2共线，∴ke1＋2e2＝λ(8e1＋ke2)＝8λe1＋λke2．∴(k－8λ)e1＝(λk－2)e2．∵e1与e2不共线，∴解得或∵ke1＋2e2与8e1＋ke2反向，∴λ＝－，k＝－4． 7．设e1，e2是两个不共线的向量，若a＝－e1＋3e2，b＝4e1＋2e2，c＝－3e1＋12e2，则向量a写为λ1b＋λ2c的形式是________． 答案　－b＋c 解析　若a＝λ1b＋λ2c，则－e1＋3e2＝λ1(4e1＋2e2)＋λ2(－3e1＋12e2)，∴－e1＋3e2＝(4λ1－3λ2)e1＋(2λ1＋12λ2)e2．∴(－1－4λ1＋3λ2)e1＝(2λ1＋12λ2－3)e2．∵e1与e2不共线， ∴解得 8．如图，在△ABC中，点O是BC的中点，过点O的直线分别交直线AB，AC于不同的两点M，N，若＝m，＝n，则m＋n的值为________． 答案　2 解析　因为＝m，＝n，所以＝，＝，则＝－＝－．连接AO，因为点O为BC的中点，所以＝＋，则＝－＝＋－＝＋，因为M，O，N三点共线，所以可设＝λ，即＋＝－，则＋＝0，由于，不共线，所以消去λ得－＋＝0，变形整理可得m＋n＝2． 三、解答题 9．已知在四边形ABCD中，＝a＋2b，＝－4a－b，＝－5a－3b，求证：这个四边形为梯形． 证明　如图所示， ∵＝＋＋ ＝(a＋2b)＋(－4a－b)＋(－5a－3b) ＝－8a－2b＝2(－4a－b)， ∴＝2，∴与共线， 且||＝2||，又这两个向量所在的直线不重合，∴AD∥BC，且AD＝2BC． ∴四边形ABCD是以AD，BC为两条底边的梯形． 10．设e1，e2是两个不共线的向量，如果＝2e1－e2，＝3e1＋e2，＝7e1－6e2． (1)求证：A，B，D三点共线； (2)试确定λ的值，使2λe1＋e2和e1＋λe2共线； (3)若e1＋λe2与λe1＋e2不共线，试求λ的取值范围． 解　(1)证明：因为＝＋＝3e1＋e2＋7e1－6e2＝10e1－5e2＝5(2e1－e2)＝5， 所以与共线． 因为与有公共点B，所以A，B，D三点共线． (2)因为2λe1＋e2与e1＋λe2共线， 所以存在实数μ，使2λe1＋e2＝μ(e1＋λe2)． 所以(2λ－μ)e1＝(μλ－1)e2． 因为e1，e2不共线，所以 所以λ＝±． (3)假设e1＋λe2与λe1＋e2共线， 则存在实数α，使e1＋λe2＝α(λe1＋e2)． 所以(1－λα)e1＝(α－λ)e2． 因为e1，e2不共线，所以 所以λ＝±1． 所以当λ≠±1时，e1＋λe2与λe1＋e2不共线． 1．设O为△ABC内任一点，且满足＋2＋3＝0． (1)若D，E分别是BC，CA的中点，求证：D，E，O三点共线； (2)求△ABC与△AOC的面积之比． 解　(1)证明：如图，＋＝2，＋＝2， ∵＋2＋3＝(＋)＋2(＋)＝2(＋2)＝0，即＋2＝0， ∴与共线． 又与有公共点O，∴D，E，O三点共线． (2)由(1)知2||＝||， ∴S△AOC＝2S△COE＝2×S△CDE＝2××S△ABC＝S△ABC，∴＝3． 2．如图所示，在△ABC中，D，F分别是BC，AC的中点，＝，＝a，＝b． (1)用a，b表示，，，，； (2)求证：B，E，F三点共线． 解　(1)如图，延长AD到点G，使＝2，连接BG，CG，得到平行四边形ABGC． 则＝a＋b，＝＝(a＋b)，＝＝(a＋b)，＝＝b，＝－＝(a＋b)－a＝(b－2a)，＝－＝b－a． (2)证明：由(1)，知＝， ∴，共线． 又，有公共点B，∴B，E，F三点共线． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$