1.1 向量-【金版教程】2024-2025学年高中数学必修第二册创新导学案课件PPT（湘教版2019）

第1章　平面向量及其应用 1.1　向量 (教师独具内容) 课程标准：1．通过对力、速度、位移等的分析，了解平面向量的实际背景，理解平面向量的意义及两个向量相等的含义．2．理解平面向量的几何表示和基本要素． 教学重点：1．结合物理背景认识向量，掌握向量与数量的区别．2．会用有向线段表示向量，了解有向线段与向量的联系与区别，会用字母表示向量．3．理解向量的模、相等向量、相反向量、零向量的概念，会辨识图形中的这些相关概念． 教学难点：对向量概念的理解． 核心素养：1．通过对向量及相关概念的学习培养直观想象和数学抽象素养．2．通过运用向量及相关概念解决问题培养逻辑推理素养． 核心概念掌握 核心素养形成 随堂水平达标 目录 课后课时精练 核心概念掌握 知识点一　有向线段的概念 像这样具有______的线段，称为有向线段． 知识点二　向量的概念 (1)像位移这样既有______又有______的量，在数学中称为向量． (2)向量a的大小，也就是向量a的长度，称为a的_____，记作_____． 方向 大小 方向 模 |a| 核心概念掌握 5 核心概念掌握 6 知识点四　向量的有关概念 (1)相等向量 我们把_____________________的向量称为相等向量． (2)相反向量 我们把_____________________的向量a，b称为相反向量，记作b＝____．如果b＝－a，则同样也有a＝－b． (3)零向量 如果向量a的大小|a|＝0，就称a是零向量，记作____. 零向量的方向是任意的. 我们约定，所有的零向量相等． 方向相同、长度相等 长度相等、方向相反 －a 0 核心概念掌握 7 1．向量与数量的区别 (1)向量被赋予了几何意义，即向量是具有方向的，而数量没有方向； (2)数量可以比较大小，而向量无法比较大小，即使|a|>|b|，也不能说a>b； (3)0与0不同．0表示数量，但0表示零向量，其中|0|＝0． 2．向量与有向线段 区别：从定义上看，向量有大小和方向两要素，而有向线段有起点、方向、长度三要素，因此这是两个不同的量． 联系：向量可以用有向线段表示，但这并不是说向量就是有向线段． 核心概念掌握 8 1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)两个向量能比较大小．(　　) (2)∠AOB的两条边都是向量．(　　) (3)零向量的模都相等．(　　) √ × × 核心概念掌握 9 模相等 核心概念掌握 10 核心素养形成 题型一　向量及相关概念 解析　加速度既有大小又有方向，符合向量的概念，故选B． 例1　(1)下列各量中是向量的是(　　) A．时间 B．加速度 C．面积 D．长度 核心素养形成 12 解析　相反向量和相反数是不同的概念，故①错误；零向量的方向是任意的，故②正确；向量不能比较大小，故③错误． (2)给出下列命题： ①相反向量和相反数是相同的概念； ②零向量的方向是任意的； ③若向量a与b同向，且|a|>|b|，则a>b． 其中真命题的个数为(　　) A．1 B．2 C．3 D．0 核心素养形成 13 向量中相关概念的区别 (1)对向量及相关概念的理解要全面、准确．零向量的长度为零，方向是任意的，解题时一定要注意这一特殊向量． 核心素养形成 14 [跟踪训练1]　(1)汽车以100 km/h的速度向东行驶2 h，而摩托车以50 km/h的速度向南行驶2 h．则下列说法：①汽车的速度大于摩托车的速度；②汽车的位移大于摩托车的位移；③汽车行驶的路程大于摩托车行驶的路程．其中正确的个数是(　　) A．0 B．1 C．2 D．3 解析　速度是既有大小又有方向的向量，不能比较大小，①错误；位移是既有方向又有大小的向量，不能比较大小，②错误；路程只有大小，可比较大小，显然汽车行驶的路程大于摩托车行驶的路程，③正确．故选B． 核心素养形成 15 (2)下列说法中正确的是(　　) ①所有的零向量都相等；②向量的大小与有向线段的起点有关；③若b是a的相反向量，则a也是b的相反向量；④零向量的方向都是相同的． A．②④ B．①②③ C．①④ D．①③ 解析　所有的零向量都相等，①正确；向量的大小可用有向线段的长度表示，与有向线段的起点无关，②错误；若b是a的相反向量，则a也是b的相反向量，③正确；零向量的方向是任意的，④错误． 核心素养形成 16 解　如图所示． 核心素养形成 17 用“四定一标”来表示向量 核心素养形成 18 核心素养形成 19 题型三　相等向量与相反向量 核心素养形成 20 相等向量是指大小相等且方向相同的向量，相反向量是指大小相等但方向相反的向量，弄清两者之间的区别是解决问题的关键． 核心素养形成 21 核心素养形成 22 随堂水平达标 1．有下列物理量： ①质量；②速度；③力；④路程；⑤功． 其中不是向量的个数是(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 解析　速度、力这两个物理量是向量，它们都有大小和方向，其余的不是向量． 随堂水平达标 1 2 3 4 5 24 解析　由图可知，三向量起点不都相同、方向不同、长度相等． 随堂水平达标 1 2 3 4 5 25 3．(多选)下列说法中正确的是(　　) A．模相等的向量都相等 B．一个向量方向是任意的当且仅当模为0 C．若非零向量a与b为相反向量，则|a|＝|b| D．两个有共同起点的相等向量，其终点可能不同 解析　向量的模相等，但方向并不一定相同，A错误；由零向量和相反向量的概念知B，C正确；相等向量起点相同时，终点必相同，D错误．故选BC． 随堂水平达标 1 2 3 4 5 26 随堂水平达标 1 2 3 4 5 27 随堂水平达标 1 2 3 4 5 28 课后课时精练 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Ａ级 Ｂ级 1 2 30 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Ａ级 Ｂ级 1 2 31 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Ａ级 Ｂ级 1 2 32 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Ａ级 Ｂ级 1 2 33 4．下列结论中正确的是(　　) ①若a＝b，b＝c，则a＝c； ②若a与b方向相同且|a|＝|b|，则a＝b； ③若a≠b，则a与b方向相反且|a|≠|b|． A．①③ 　　　　B．②③ C．③ 　　　　D．①② 解析　∵a＝b，∴a，b的长度相等且方向相同．又b＝c，∴b，c的长度相等且方向相同，∴a，c的长度相等且方向相同，故a＝c，①正确；根据相等向量的定义，可知②正确；两向量不相等，可能是不同向或者长度不相等或者不同向且长度不相等，③错误． 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Ａ级 Ｂ级 1 2 34 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Ａ级 Ｂ级 1 2 35 二、填空题 6．把同一平面内所有模不小于1，不大于2的向量的起点，移到同一点O，则这些向量的终点构成的图形的面积等于______． 解析　这些向量的终点构成的图形是一个圆环，其面积为π·22－π·12＝3π． 3π 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Ａ级 Ｂ级 1 2 36 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Ａ级 Ｂ级 1 2 37 4 4 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Ａ级 Ｂ级 1 2 38 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Ａ级 Ｂ级 1 2 39 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Ａ级 Ｂ级 1 2 40 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Ａ级 Ｂ级 1 2 41 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Ａ级 Ｂ级 1 2 42 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Ａ级 Ｂ级 1 2 43 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Ａ级 Ｂ级 1 2 44 　　　　　　　　　　　　　 R 知识点三　向量的表示 (1)字母表示 向量用粗体字母(印刷)或在字母上方标箭头(书写)来表示，如向量a，b，F， ． ， (2)几何表示 每个向量a都可以用有向线段eq \o(PQ,\s\up12(→))来表示．如图，从任一 点P出发画射线PM，其方向与a的方向相同，在PM上截取线段PQ，使|PQ|＝|a|，则eq \o(PQ,\s\up12(→))的方向和长度分别代表了向量a的方向和大小，因而可以记为eq \o(PQ,\s\up12(→))＝a． eq \o(DC,\s\up12(→))，eq \o(CD,\s\up12(→))，eq \o(BA,\s\up12(→))，eq \o(BE,\s\up12(→))，eq \o(EB,\s\up12(→))，eq \o(DA,\s\up12(→))，eq \o(AD,\s\up12(→))，eq \o(CB,\s\up12(→))，eq \o(BC,\s\up12(→)) eq \o(BD,\s\up12(→)) 2．做一做 (1)△ABC是等腰三角形，则两腰上的向量eq \o(AB,\s\up12(→))与eq \o(AC,\s\up12(→))的关系是__________． (2)如图所示，四边形ABCD为正方形，△BCE为等腰直角三角形， ①图中eq \o(AB,\s\up12(→))的相反向量有_____________； ②图中与eq \o(AB,\s\up12(→))相等的向量有___________； ③图中与eq \o(AB,\s\up12(→))模相等的向量有__________________________________________； ④图中与eq \o(EC,\s\up12(→))相等的向量有________． eq \o(BA,\s\up12(→))，eq \o(CD,\s\up12(→))，eq \o(EB,\s\up12(→)) eq \o(DC,\s\up12(→))，eq \o(BE,\s\up12(→)) (2)向量与有向线段的关系 如果有向线段eq \o(AB,\s\up12(→))表示一个向量，通常我们就说向量eq \o(AB,\s\up12(→))，但有向线段只是向量的表示，并不是说向量就是有向线段． 例2　在右图所示的坐标纸上(每个小方格的边长为1)，用直尺和圆规画出下列向量． (1)eq \o(OA,\s\up12(→))，使|eq \o(OA,\s\up12(→))|＝4eq \r(2)，点A在O北偏东45°； (2)eq \o(AB,\s\up12(→))，使|eq \o(AB,\s\up12(→))|＝4，点B在点A正东方向； (3)eq \o(BC,\s\up12(→))，使|eq \o(BC,\s\up12(→))|＝6，点C在点B北偏东30°． (1)“四定”即eq \x(定向量的始点)→eq \x(确定向量的方向)→eq \x(确定向量的大小（长度）)→eq \x(按向量大小确定终点)． (2)“一标”即确定向量的方向后用箭头标出． [跟踪训练2]　某人从A点出发向东走了5米到达B点，然后改变方向按东北方向走了10eq \r(2)米到达C点，到达C点后又改变方向向西走了10米到达D点． (1)作出向量eq \o(AB,\s\up12(→))，eq \o(BC,\s\up12(→))，eq \o(CD,\s\up12(→))；(2)求eq \o(AD,\s\up12(→))的模． 解　(1)作出向量eq \o(AB,\s\up12(→))，eq \o(BC,\s\up12(→))，eq \o(CD,\s\up12(→))，如图所示． (2)由题意，得△BCD是直角三角形，其中∠BDC＝90°，BC＝10eq \r(2)米，CD＝10米，所以BD＝10米，△ABD是直角三角形，其中∠ABD＝90°，AB＝5米，BD＝10米，所以AD＝eq \r(52＋102)＝5eq \r(5)(米)，所以|eq \o(AD,\s\up12(→))|＝5eq \r(5)米． 例3　如图所示，O是正六边形ABCDEF的中心，且eq \o(OA,\s\up12(→))＝a，eq \o(OB,\s\up12(→))＝b，eq \o(OC,\s\up12(→))＝c． (1)a的相反向量有哪些？ (2)请一一列出与b，c相等的向量． 解　(1)a的相反向量有eq \o(OD,\s\up12(→))，eq \o(BC,\s\up12(→))，eq \o(AO,\s\up12(→))，eq \o(FE,\s\up12(→))． (2)与b相等的向量有eq \o(DC,\s\up12(→))，eq \o(EO,\s\up12(→))，eq \o(FA,\s\up12(→))．与c相等的向量有eq \o(FO,\s\up12(→))，eq \o(ED,\s\up12(→))，eq \o(AB,\s\up12(→))． [跟踪训练3]　如图所示，在平行四边形ABCD中，E，F分别为边AD，BC的 中点． (1)与eq \o(AE,\s\up12(→))相等的向量有哪些？ (2)eq \o(FD,\s\up12(→))的相反向量有哪些？ 解　(1)与eq \o(AE,\s\up12(→))相等的向量有eq \o(ED,\s\up12(→))，eq \o(BF,\s\up12(→))，eq \o(FC,\s\up12(→))． (2)eq \o(FD,\s\up12(→))的相反向量有eq \o(DF,\s\up12(→))，eq \o(EB,\s\up12(→))． 2．如图，在圆O中，向量eq \o(OB,\s\up12(→))，eq \o(OC,\s\up12(→))，eq \o(AO,\s\up12(→))是(　　) A．有相同起点的向量 B．相反向量 C．模相等的向量 D．相等的向量 4．如图，已知正方形ABCD的边长为2，O为其中心，则|eq \o(OA,\s\up12(→))|＝______． 解析　因为正方形的对角线长为2eq \r(2)，所以|eq \o(OA,\s\up12(→))|＝eq \r(2)． eq \r(2) 5．如图，O是正方形ABCD的中心． (1)写出与向量eq \o(AB,\s\up12(→))相等的向量； (2)写出与eq \o(OA,\s\up12(→))的模相等的向量； (3)写出eq \o(DA,\s\up12(→))的相反向量． 解　(1)与向量eq \o(AB,\s\up12(→))相等的向量是eq \o(DC,\s\up12(→))． (2)与eq \o(OA,\s\up12(→))的模相等的向量有eq \o(OB,\s\up12(→))，eq \o(OC,\s\up12(→))，eq \o(OD,\s\up12(→))，eq \o(BO,\s\up12(→))，eq \o(CO,\s\up12(→))，eq \o(DO,\s\up12(→))，eq \o(AO,\s\up12(→))． (3)eq \o(DA,\s\up12(→))的相反向量有eq \o(AD,\s\up12(→))，eq \o(BC,\s\up12(→))． 一、选择题 1．数轴上点A，B分别对应－1，2，则向量eq \o(AB,\s\up12(→))的长度是(　　) A．－1 B．2 C．1 D．3 解析　易知|eq \o(AB,\s\up12(→))|＝2－(－1)＝3． 2．如图所示，在菱形ABCD中，∠BAD＝120°，则下列说法中 错误的是(　　) A．图中所标出的向量中与eq \o(AB,\s\up12(→))相等的向量只有1个(不含eq \o(AB,\s\up12(→))本身) B．图中所标出的向量中与eq \o(AB,\s\up12(→))的模相等的向量有4个(不含eq \o(AB,\s\up12(→))本身) C．eq \o(BD,\s\up12(→))的长度恰为eq \o(DA,\s\up12(→))长度的eq \r(3)倍 D．eq \o(CB,\s\up12(→))与eq \o(DA,\s\up12(→))不是相等向量 解析　易知△ABC和△ACD均为正三角形．对于A，向量eq \o(AB,\s\up12(→)) ＝eq \o(DC,\s\up12(→))，故A正确；对于B，|eq \o(AB,\s\up12(→))|＝|eq \o(DC,\s\up12(→))|＝|eq \o(DA,\s\up12(→))|＝|eq \o(CB,\s\up12(→))|＝|eq \o(CA,\s\up12(→))|，故B 正确；对于C，△BAD是顶角为120°的等腰三角形，则|eq \o(BD,\s\up12(→))|＝eq \r(3)|eq \o(DA,\s\up12(→))|，故C正确；对于D，eq \o(CB,\s\up12(→))与eq \o(DA,\s\up12(→))是相等向量，D错误． 3．如图所示，在△ABC中，点D，E分别为边AB，AC的中点， 则向量eq \o(AD,\s\up12(→))，eq \o(AE,\s\up12(→))，eq \o(BD,\s\up12(→))，eq \o(BC,\s\up12(→))，eq \o(ED,\s\up12(→))，eq \o(EC,\s\up12(→))中的相反向量有(　　) A．1对 B．2对 C．3对 D．4对 解析　eq \o(AD,\s\up12(→))与eq \o(BD,\s\up12(→))是相反向量． 5．(多选)如图，在正六边形ABCDEF中，点O为其中心，则下列判断正确的是(　　) A．eq \o(AB,\s\up12(→))＝eq \o(OC,\s\up12(→)) B．eq \o(AB,\s\up12(→))＝－eq \o(DE,\s\up12(→)) C．|eq \o(AD,\s\up12(→))|＝|eq \o(BE,\s\up12(→))| D．eq \o(AD,\s\up12(→))＝eq \o(FC,\s\up12(→)) 解析　由正六边形的性质，可得eq \o(AB,\s\up12(→))＝eq \o(OC,\s\up12(→))，eq \o(AB,\s\up12(→))＝－eq \o(DE,\s\up12(→))，|eq \o(AD,\s\up12(→))|＝|eq \o(BE,\s\up12(→))|，|eq \o(AD,\s\up12(→))|＝ |eq \o(FC,\s\up12(→))|，显然eq \o(AD,\s\up12(→))，eq \o(FC,\s\up12(→))方向不同，故eq \o(AD,\s\up12(→))≠eq \o(FC,\s\up12(→))．故选ABC． 7．如果在一个边长为5的正三角形ABC中，一个向量所对应的有向线段为eq \o(AD,\s\up12(→))(其中D在边BC上运动)，则向量eq \o(AD,\s\up12(→))长度的最小值为________． 解析　根据题意，在正三角形ABC中，有向线段AD长度最小时，AD应与边BC垂直，有向线段AD长度的最小值为正三角形ABC的高，为eq \f(5\r(3),2)． eq \f(5\r(3),2) 8．四边形ABCD是边长为3的正方形，把各边三等分后，共有9个小正方形，16个顶点，从中选取两个点作为向量的起点和终点，则与eq \o(AC,\s\up12(→))反向且长度为2eq \r(2)的向量有______个，与向量eq \o(AC,\s\up12(→))同向且长度为2eq \r(2)的向量有______个． 解析　如图所示，满足与eq \o(AC,\s\up12(→))反向且长度为2eq \r(2)的向量有eq \o(FA,\s\up12(→))，eq \o(CE,\s\up12(→))，eq \o(HG,\s\up12(→))，eq \o(JI,\s\up12(→))，共4个，与向量eq \o(AC,\s\up12(→))同向且长度为2eq \r(2)的向量有 4个． 三、解答题 9．如图，在单位圆中，B是OA的中点，PQ过B且PQ∥Ox，MP⊥Ox于M，NQ⊥Ox于N．则在向量eq \o(OM,\s\up12(→))，eq \o(ON,\s\up12(→))，eq \o(MP,\s\up12(→))，eq \o(NQ,\s\up12(→))，eq \o(OP,\s\up12(→))，eq \o(OB,\s\up12(→))，eq \o(OA,\s\up12(→))，eq \o(OQ,\s\up12(→))中： (1)找出相等的向量； (2)找出相反向量； (3)eq \o(OM,\s\up12(→))，eq \o(ON,\s\up12(→))的模各是多少？ 解　(1)相等的向量有eq \o(MP,\s\up12(→))＝eq \o(OB,\s\up12(→))＝eq \o(NQ,\s\up12(→))． (2)eq \o(OM,\s\up12(→))与eq \o(ON,\s\up12(→))互为相反向量． (3)|eq \o(OM,\s\up12(→))|＝|eq \o(ON,\s\up12(→))|＝eq \f(\r(3),2)． 10．设在平面内给定一个四边形ABCD，E，F，G，H分别为AB，BC，CD，DA的中点．求证：eq \o(EF,\s\up12(→))＝eq \o(HG,\s\up12(→))． 证明　如图所示，连接AC． 在△ABC中，由三角形中位线定理知，EF＝eq \f(1,2)AC，EF∥AC， 同理HG＝eq \f(1,2)AC，HG∥AC． 所以|eq \o(EF,\s\up12(→))|＝|eq \o(HG,\s\up12(→))|且eq \o(EF,\s\up12(→))和eq \o(HG,\s\up12(→))同向， 所以eq \o(EF,\s\up12(→))＝eq \o(HG,\s\up12(→))． 1．已知飞机从A地按北偏东30°的方向飞行2000 km到达B地，再从B地按南偏东30°的方向飞行2000 km到达C地，再从C地按西南方向飞行1000eq \r(2) km到达D地． (1)作出向量eq \o(AB,\s\up12(→))，eq \o(BC,\s\up12(→))，eq \o(CD,\s\up12(→))，eq \o(DA,\s\up12(→))； (2)问D地在A地的什么方向？D地距A地多远？ 解　(1)由题意，作出向量eq \o(AB,\s\up12(→))，eq \o(BC,\s\up12(→))，eq \o(CD,\s\up12(→))，eq \o(DA,\s\up12(→))，如图所示． (2)依题意知，△ABC为正三角形，所以AC＝2000 km． 又因为∠ACD＝45°，CD＝1000eq \r(2) km， 所以△ACD为等腰直角三角形，则AD＝1000eq \r(2) km，∠CAD＝45°， 所以D地在A地的东南方向，距A地1000eq \r(2) km． 2．如图的方格纸由若干个边长为1的小正方形并在一起组成，方格纸中有两个定点A，B．点C为小正方形的顶点，且 |eq \o(AC,\s\up12(→))|＝eq \r(5)． (1)画出所有的向量eq \o(AC,\s\up12(→))；(2)求|eq \o(BC,\s\up12(→))|的最大值与最小值． 解　(1)画出所有的向量eq \o(AC,\s\up12(→))，如图所示． (2)由(1)所画的图知， ①当点C位于点C1或C2时，|eq \o(BC,\s\up12(→))|取得最小值eq \r(12＋22)＝eq \r(5)； ②当点C位于点C5或C6时，|eq \o(BC,\s\up12(→))|取得最大值eq \r(42＋52)＝eq \r(41)， ∴|eq \o(BC,\s\up12(→))|的最大值为eq \r(41)，最小值为eq \r(5)． $$