8.1 第2课时 圆柱、圆锥、圆台、球和简单组合体的结构特征-【金版教程】2024-2025学年高中数学必修第二册创新导学案word（人教A版2019）

第2课时　圆柱、圆锥、圆台、球和简单组合体的结构特征 (教师独具内容) 课程标准：利用实物、计算机软件等观察空间图形，认识圆柱、圆锥、圆台、球及简单组合体的结构特征，能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构． 教学重点：1.让学生感受大量的空间实物及模型，概括出圆柱、圆锥、圆台、球的结构特征.2.在理解掌握简单几何体的结构特征的基础上，认识简单组合体的形成及简单组合体的结构特征． 教学难点：圆柱、圆锥、圆台、球及简单组合体的结构特征． 核心素养：1.通过圆柱、圆锥、圆台、球的概念及结构特征培养直观想象素养和数学抽象素养.2.通过圆柱、圆锥、圆台、球的相关计算培养数学运算素养． 知识点一　圆柱、圆锥和圆台的结构特征 1．圆柱的定义、图形及表示 定义 图形 表示 圆柱 以矩形的一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转一周形成的面所围成的旋转体叫做圆柱.旋转轴叫做圆柱的轴；垂直于轴的边旋转而成的圆面叫做圆柱的底面；平行于轴的边旋转而成的曲面叫做圆柱的侧面；无论旋转到什么位置，平行于轴的边都叫做圆柱侧面的母线.棱柱和圆柱统称为柱体 圆柱O′O 2.圆锥的定义、图形及表示 定义 图形 表示 圆锥 以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转一周形成的面所围成的旋转体叫做圆锥，棱锥与圆锥统称为锥体 圆锥SO 3.圆台的定义、图形及表示 定义 图形 表示 圆台 用平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面与截面之间的部分叫做圆台，棱台与圆台统称为台体 圆台O′O 知识点二　球的结构特征 定义 图形 表示 球 半圆以它的直径所在直线为旋转轴，旋转一周形成的曲面叫做球面，球面所围成的旋转体叫做球体，简称球.半圆的圆心叫做球的球心；连接球心和球面上任意一点的线段叫做球的半径；连接球面上两点并且经过球心的线段叫做球的直径 球O 知识点三　简单组合体 1．概念：由简单几何体组合而成的几何体叫做简单组合体．常见的简单组合体大多是由具有柱体、锥体、台体、球等结构特征的物体组合而成． 2．基本形式：一种是由简单几何体拼接而成的简单组合体；另一种是由简单几何体截去或挖去一部分而成的简单组合体． 1．(圆锥的结构特征)圆锥的母线有(　　) A．1条 B．2条 C．3条 D．无数条 答案：D 2．(球的结构特征)图①中的几何体叫做________，O叫做它的________，OA叫做它的________，AB叫做它的________． 答案：球　球心　半径　直径 3．(简单组合体的结构特征)图②的组合体由________和________构成． 答案：圆柱　圆锥 4．(旋转体的结构特征)给出下列说法： ①到定点的距离等于定长的点的集合是球； ②用平面去截圆锥、圆柱和圆台，得到的截面都是圆； ③用平面截球，无论怎么截，截面都是圆面． 其中说法正确的是________(填序号)． 答案：③ 题型一　旋转体的概念 例1　给出下列命题： ①以直角三角形的一边所在直线为轴旋转一周所得的旋转体是圆锥； ②以直角梯形的一腰所在直线为轴旋转一周所得的旋转体是圆台； ③圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆； ④用一个平面截圆锥，得到一个圆锥和一个圆台． 其中正确命题的个数为(　　) A．0 B．1 C．2 D．3 [解析]　①以直角三角形的一条直角边所在直线为轴旋转一周才可以得到圆锥；②以直角梯形垂直于底边的一腰所在直线为轴旋转一周才可以得到圆台；③圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆面；④用平行于圆锥底面的平面截圆锥，才可得到一个圆锥和一个圆台．故四个命题均不正确． [答案]　A [条件探究]　若本例中②改为“以直角梯形的各边所在直线为轴旋转”，得到的几何体是由哪些简单几何体组成的？ 解：以垂直于底边的腰所在直线为轴旋转得到圆台；以较长的底边所在直线为轴旋转得到的几何体为一圆柱加上一个圆锥；以较短的底边所在直线为轴旋转得到的几何体为一圆柱挖去一个同底圆锥；以斜腰所在直线为轴旋转得到的几何体为圆锥加上一个圆台挖去一个小圆锥． 【感悟提升】　判断旋转体形状的解题策略 圆柱、圆锥、圆台和球都是由平面图形绕着某条轴旋转而成的，平面图形不同，得到的旋转体也不同，即使是同一平面图形，所选轴不同，得到的旋转体也不一样． 判断旋转体，要抓住定义，分清哪条线是轴，什么图形，怎样旋转，旋转后形成什么样的几何体． 【跟踪训练】 1．一个有30°角的直角三角尺绕其各条边所在直线旋转一周所得几何体是圆锥吗？如果以斜边上的高所在的直线为轴旋转180°得到什么几何体？旋转360°又得到什么几何体？ 解：如图(1)和(2)所示，绕其直角边所在直线旋转一周围成的几何体是圆锥；如图(3)所示，绕其斜边所在直线旋转一周围成的几何体是两个同底相对的圆锥；如图(4)所示，绕其斜边上的高所在直线旋转180°围成的几何体是两个半圆锥，旋转360°围成的几何体是两个同轴、等高、底面半径不同的圆锥． 题型二　旋转体的结构特征 例2　(1)(多选)下列说法正确的是(　　) A．圆柱的母线与它的轴可以不平行 B．圆锥的顶点、底面圆的圆心与圆锥底面圆周上任意一点这三点的连线都可以构成直角三角形 C．在圆台的上、下两底面圆周上各取一点，则这两点的连线是圆台的母线 D．圆柱的任意两条母线所在的直线是互相平行的 [解析]　由圆柱、圆锥、圆台的定义及母线的性质可知B，D正确，A，C错误． [答案]　BD (2)(多选)下列说法中正确的是(　　) A．以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆旋转一周形成曲面所围成的旋转体叫做球体，半圆的直径叫做球的直径 B．用不过球心的截面截球，球心和截面圆心的连线垂直于截面 C．球面上任意三点可能在一条直线上 D．球的半径是连接球面上任意一点和球心的线段 [解析]　由球的概念可知A正确；由球的形成过程可知B正确；球面上任意三点不可能在一条直线上，C错误；由球的半径的概念可知D正确．故选ABD. [答案]　ABD 【感悟提升】　 1．简单旋转体判断问题的解题策略 准确掌握圆柱、圆锥、圆台和球的形成过程及其特征性质是解决此类概念问题的关键． 2．与简单旋转体的截面有关的结论 (1)圆柱、圆锥、圆台平行于底面的截面都是圆面． (2)圆柱、圆锥、圆台、球的轴截面(即过旋转轴的截面)分别是矩形、等腰三角形、等腰梯形、圆面． 【跟踪训练】 2．给出下列说法：①圆柱的底面是圆面；②经过圆柱任意两条母线的截面是一个矩形面；③夹在圆柱的两个截面间的几何体还是一个旋转体；④过球面上任意两点只能作一个以球心为圆心的圆．其中说法正确的是________(填序号)． 答案：①② 解析：①正确，圆柱的底面是圆面；②正确，经过圆柱任意两条母线的截面是一个矩形面；③不正确，夹在圆柱的两个平行于底面的截面间的几何体才是旋转体；④不正确，当这两点是球的直径的两端点时，可以作无数个以球心为圆心的圆． 题型三　简单组合体的结构特征 例3　描述下图几何体的结构特征． [解]　图(1)中的几何体是由一个四棱柱和一个四棱锥拼接而成的简单组合体． 图(2)中的几何体是在一个圆台中挖去一个圆锥后得到的简单组合体． 图(3)中的几何体是在一个圆柱中挖去一个三棱柱后得到的简单组合体． 图(4)中的几何体是由两个同底的四棱锥拼接而成的简单组合体． 【感悟提升】　判断组合体构成的方法 (1)判定实物图是由哪些简单几何体组成的问题时，首先要熟练掌握简单几何体的结构特征；其次要善于将复杂的组合体“分割”为几个简单的几何体． (2)组合体是由简单几何体拼接或截去一部分构成的．要仔细观察组合体的构成，结合柱、锥、台、球的结构特征，先分割，后验证． 【跟踪训练】 3．观察如图几何体，并分析它们是由哪些基本几何体组成的． 解：图(1)中的几何体是由一个圆柱挖去一个圆台形成的．图(2)中的几何体是由一个球、一个四棱柱和一个四棱台组合而成的． 题型四　旋转体的计算问题 例4　一个圆台的母线长为12 cm，两底面面积分别为4π cm2和25π cm2.求： (1)圆台的高； (2)截得此圆台的圆锥的母线长． [解]　(1)如图，圆台的轴截面是等腰梯形ABCD，由已知可得圆台的上底面半径O1A＝2 cm， 下底面半径OB＝5 cm， 又母线长AB＝12 cm， 所以圆台的高为AM＝＝3(cm)． (2)设截得此圆台的圆锥的母线长为l， 则由△SAO1∽△SBO，可得＝， 解得l＝20(cm)． 故截得此圆台的圆锥的母线长为20 cm. 【感悟提升】　旋转体中的计算问题及截面性质 (1)圆柱、圆锥和圆台中的计算问题，一要结合它们的形成过程，分辨清轴、母线及底面半径与旋转前平面图形相关量的关系；二要切实体现轴截面的作用．解题时，可把轴截面从旋转体中分离出来，用平面图形的计算解决立体问题． (2)球中的计算应注意一个重要的直角三角形，设球的半径为R，截面圆的半径为r，球心到截面的距离为d，则R2＝d2＋r2. (3)用平行于底面的平面去截柱体、锥体、台体等几何体，注意抓住截面的性质(与底面全等或相似)，同时结合旋转体中经过旋转轴的截面(轴截面)的性质，利用相似三角形中的相似比，构设相关几何变量的方程组求解． 【跟踪训练】 4．已知OA为球O的半径，过OA的中点M且垂直于OA的平面截球面得到圆M. (1)若OA＝1，求圆M的面积； (2)若圆M的面积为3π，求OA. 解：(1)若OA＝1，则OM＝， 故圆M的半径 r＝＝＝， 所以圆M的面积S＝πr2＝. (2)因为圆M的面积为3π， 所以圆M的半径R＝， 则OA2＝＋3，所以OA2＝3， 解得OA2＝4，所以OA＝2. 题型五　圆柱、圆锥、圆台侧面展开图的应用 例5　如图所示，已知圆柱的高为80 cm，底面半径为10 cm，轴截面上有P，Q两点，且PA＝40 cm，B1Q＝30 cm，若一只蚂蚁沿着侧面从点P爬到点Q，问：蚂蚁爬过的最短路径长是多少？ [解]　将圆柱侧面沿母线AA1展开，得如图所示矩形． 在矩形AA′A′1A1中， A1B1＝·2πr＝πr＝10π(cm)． 过点Q作QS⊥AA1于点S， 在Rt△PQS中，PS＝80－40－30＝10(cm)， QS＝A1B1＝10π cm. ∴PQ＝＝10(cm)． 即蚂蚁爬过的最短路径长是10 cm. 【感悟提升】　求圆柱、圆锥、圆台侧面上两点间最短距离都要转化到侧面展开图中，“化曲为直”是求几何体表面上两点间最短距离的好方法． 【跟踪训练】 5．国庆节期间，要在一圆锥形建筑物上挂一宣传标语，经测量得圆锥的母线长为3米，高为2米，如图所示．为了美观需要，在底面圆周上找一点M拴系彩绸的一端，沿圆锥的侧面绕一周挂彩绸，彩绸的另一端仍回到原处M，则彩绸最短要多少米？ 解：把圆锥的侧面沿过点M的母线剪开，并铺平得扇形MOM1，如图所示． 易知彩绸的最短长度即为线段MM1的长度，由母线长为3米，高为2米，得底面半径为1米，所以＝2π×1＝2π，扇形的圆心角为＝，所以MM1＝3米，即彩绸最短要3米． 1．下列几何体中不是旋转体的是(　　) 答案：D 解析：由旋转体的概念知A，B，C是旋转体，D不是旋转体． 2．如图所示的平面中阴影部分绕中间轴旋转一周，形成的几何体形状为(　　) A．一个球体 B．一个球体中间挖去一个圆柱 C．一个圆柱 D．一个球体中间挖去一个长方体 答案：B 解析：圆面旋转一周形成球，圆中的矩形旋转一周形成一个圆柱．故选B. 3．(多选)(2024·河北保定第二十八中学高一月考)下列说法错误的是(　　) A．圆锥的底面是圆面 B．用一张扇形的纸片可以卷成一个圆锥 C．一个物体上、下两个面是相同的圆面，那么它一定是一个圆柱 D．圆台的任意两条母线的延长线可能相交也可能不相交 答案：BCD 解析：圆锥的底面为圆面，A正确；一张扇形的纸片只能卷出圆锥的侧面，不包含底面，B错误；若两个相同的圆面不平行，则该几何体不是圆柱，C错误；圆台是由平行于圆锥底面的平面 截圆锥所得，则任意两条母线的延长线必然相交于一点，D错误． 4．指出如图(1)(2)所示的图形是由哪些简单几何体构成的． 解：图(1)是由一个三棱柱和一个四棱柱拼接而成的简单组合体． 图(2)是由一个圆锥和一个四棱柱拼接而成的简单组合体． 5．圆台的两底面圆的半径分别为2 cm，5 cm，母线长是3 cm，求其轴截面的面积． 解：如图，在轴截面内过点A作AB⊥O1A1，垂足为B. 由已知，得OA＝2 cm，O1A1＝5 cm，AA1＝3 cm， ∴A1B＝3 cm. ∴AB＝＝＝9(cm)． ∴S轴截面＝(2OA＋2O1A1)·AB ＝×(4＋10)×9＝63(cm2)． 故圆台轴截面的面积为63 cm2. 课后课时精练 基础题(占比50%)　中档题(占比40%)　拔高题(占比10%) 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 难度 ★ ★ ★ ★ ★★ ★ ★ ★★ 对点 简单组合体的结构特征 简单组合体的结构特征 圆锥的计算问题 圆柱的结构特征 球的计算问题 圆锥的轴截面面积 球的截面面积 简单组合体的截面问题 题号 9 10 11 12 13 14 15 难度 ★ ★★ ★★ ★★ ★★ ★★★ ★★★ 对点 圆锥侧面展开图的应用 圆锥、圆台的计算问题 简单组合体的结构特征 圆柱侧面展开图的应用 圆锥的截面问题 圆台的计算问题 圆锥的计算问题 一、选择题 1．下列几何体是简单组合体的是(　　) 答案：D 解析：A项中的几何体是圆锥；B项中的几何体是圆柱；C项中的几何体是球；D项中的几何体是一个圆台中挖去一个圆锥，是简单组合体． 2．(2024·江苏南京一中高一下月考)如图所示的几何体是由下面哪一个平面图形旋转而形成的(　　) 答案：A 解析：该几何体的上部分是圆锥，中间是两个同底的圆台，下部分是圆柱，圆锥的轴截面是直角三角形，圆台的轴截面是直角梯形，圆柱的轴截面是矩形，所以这个几何图形是由一个直角三角形和两个直角梯形以及一个矩形围绕直角边所在的直线为轴旋转一周得到． 3．(2024·福建厦门双十中学高一期中)已知圆锥的底面周长为2π，其侧面展开图的圆心角为，则该圆锥的高为(　　) A．3 B．2 C．1 D. 答案：B 解析：设底面半径为r，则2πr＝2π，解得r＝1，母线长l＝＝3，所以该圆锥的高h＝＝2.故选B. 4．(多选)下列关于圆柱的说法中，正确的是(　　) A．分别以矩形(非正方形)的长和宽所在的直线为旋转轴，其余各边旋转一周形成的面所围成的两个圆柱是两个不同的圆柱 B．用平行于圆柱底面的平面截圆柱，截面是与底面全等的圆面 C．用一个不平行于圆柱底面的平面截圆柱，截面是一个圆面 D．以矩形的一组对边中点的连线所在的直线为旋转轴，其余各边旋转180°而形成的面所围成的几何体是圆柱 答案：ABD 解析：用一个不平行于圆柱底面的平面截圆柱，截面不是圆面，如用垂直于圆柱底面的平面截圆柱，截面是矩形，故C错误，显然A，B，D正确． 5．(多选)两平行平面截半径为5的球，若截面的面积分别为9π和16π，则这两个平面间的距离可能是(　　) A．1 B．3 C．4 D．7 答案：AD 解析：如图(1)所示，若两个平行平面在球心同侧，则CD＝－＝1.如图(2)所示，若两个平行平面在球心两侧，则CD＝＋＝7.故选AD. 二、填空题 6．轴截面是直角三角形的圆锥的底面半径为r，则其轴截面面积为________． 答案：r2 解析：由圆锥的结构特征可知，轴截面为等腰直角三角形，其高为r，所以S＝×2r2＝r2. 7．过球的一条半径的中点，作垂直于该半径的截面，则该截面的面积与过球心的截面的面积之比为________． 答案：3∶4 解析：令球的半径为2r，则截面的半径为＝r，截面的面积为3πr2，过球心的截面的面积为4πr2，所以它们的面积之比为3∶4. 8．一个正方体内接于一个球，过球心作一截面，则截面的图形可能是________． 答案：①②③ 解析：当截面平行于正方体的一个侧面时得③，当截面过正方体的对角线时得②，当截面不平行于任何侧面也不过对角线时得①，但无论如何都不能截出④. 三、解答题 9．如图所示，已知圆锥的母线长为6 cm，底面直径为3 cm，在母线OA上有一点B，AB＝2 cm，求由点A绕圆锥侧面一周到点B的最短距离． 解：设侧面展开图中扇形的圆心角为n. 由题意知，底面周长为3π cm，则＝3π，解得n＝90°. 如图，在展开扇形中， ∠AOB′＝90°，B′O＝4 cm. 在Rt△AOB′中， AB′＝ ＝ ＝2(cm)． 故由点A绕圆锥侧面一周到点B的最短距离为2 cm. 10．如图所示，用一个平行于圆锥SO底面的平面截这个圆锥，截得圆台上、下底面的面积之比为1∶16，截去的圆锥的母线长是3 cm，求圆台O′O的母线长． 解：设圆台的母线长为l cm，由截得的圆台上、下底面面积之比为1∶16，可设截得的圆台的上、下底面的半径分别为r cm，4r cm.过轴SO作截面，如图所示， 则△SO′A′∽△SOA，SA′＝3 cm. 所以＝， 所以＝＝， 解得l＝9，即圆台O′O的母线长为9 cm. 11．由等腰梯形、矩形、半圆、圆、倒三角形对接形成的轴对称平面图形如图所示，若将它绕轴旋转180°后形成一个组合体，则下列说法不正确的是(　　) A．该组合体可以分割成圆台、圆柱、圆锥和两个球体 B．该组合体仍然关于旋转轴对称 C．该组合体中的圆锥和球只有一个公共点 D．该组合体中的球和半球只有一个公共点 答案：A 解析：等腰梯形旋转形成的是圆台，矩形旋转形成的是圆柱，半圆旋转形成的是半球，圆旋转形成的是球，倒三角形旋转形成的是圆锥． 12．(多选)用一张长为8，宽为4的矩形硬纸卷成圆柱的侧面，则相应圆柱的底面半径可以是(　　) A．2 B．2π C． D． 答案：CD 解析：如图所示，设底面半径为r，若矩形的长8为卷成圆柱底面的周长，则2πr＝8，所以r＝；同理，若矩形的宽4为卷成圆柱底面的周长，则2πr＝4，所以r＝.故选CD. 13．(2024·广东广州六中、二中、广雅、省实、执信五校高一下期末联考)在Rt△ABC中，已知AC＝2，BC＝2，∠C＝90°，以AC为旋转轴将△ABC旋转一周，AB，BC边形成的面所围成的旋转体是一个圆锥，则经过该圆锥任意两条母线的截面三角形的面积的最大值为________． 答案：8 解析：如图，圆锥任意两条母线为AB和AD，则截面为等腰三角形ABD，∴截面面积为S△ABD＝AB·ADsin∠BAD.由图可知，当截面为圆锥轴截面时，∠BAD最大，为120°，∴0°＜∠BAD≤120°，∴sin∠BAD的最大值为1，∵AB＝AD＝＝＝4，为定值，故当sin∠BAD最大时，截面面积最大，为×42×1＝8. 14．圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，轴截面的面积等于392 cm2，母线与轴的夹角是45°，求这个圆台的高、母线长和两底面的半径． 解：圆台的轴截面如图所示，设圆台上、下底面的半径分别为x cm，3x cm，延长AA1交OO1的延长线于S， 在Rt△SOA中，∠ASO＝45°，则∠SAO＝45°， 所以SO＝AO＝3x cm，SO1＝A1O1＝x cm， 所以OO1＝2x cm. 又S轴截面＝(6x＋2x)·2x＝392， 所以x＝7， 所以圆台的高OO1＝14 cm， 母线长l＝OO1＝14(cm)， 两底面的半径分别为7 cm，21 cm. 15．已知一个圆锥的底面半径为r，高为h，在此圆锥内有一个内接正方体，这个内接正方体的顶点在圆锥的底面和侧面上，求此正方体的棱长． 解：作出圆锥的一个轴截面如图所示，其中AB，AC为母线，BC为底面直径，DG，EF是正方体的棱，DE，GF是正方体的上、下底面的对角线． 设正方体的棱长为x， 则DG＝EF＝x，DE＝GF＝x. 依题意，得△ABC∽△ADE， ∴＝，∴x＝， 即此正方体的棱长为. 17 学科网（北京）股份有限公司 $$