6.2.2 向量的减法运算-【金版教程】2024-2025学年高中数学必修第二册创新导学案word（人教A版2019）

6.2.2　向量的减法运算 (教师独具内容) 课程标准：借助实例和平面向量的几何表示，掌握平面向量减法运算及运算规则，理解其几何意义． 教学重点：1.相反向量的含义.2.向量的减法运算及其几何意义． 教学难点：向量的加法、减法的综合运算． 核心素养：1.通过向量的加法运算抽象出向量减法运算的过程培养数学抽象素养.2.通过向量减法的几何意义培养直观想象素养． 知识点一　相反向量 定义 与向量a长度相等，方向相反的向量，叫做a的相反向量，记作－a. 规定：零向量的相反向量仍是零向量 结论 －(－a)＝a，a＋(－a)＝(－a)＋a＝0 如果a，b互为相反向量，那么a＝－b，b＝－a，a＋b＝0 知识点二　向量的减法 定义 向量a加上b的相反向量，叫做a与b的差，即a－b＝a＋(－b)．求两个向量差的运算叫做向量的减法 作法 已知向量a，b，在平面内任取一点O，作＝a，＝b，则＝a－b，如图所示 几何意义 如果把两个向量a，b的起点放在一起，则a－b可以表示为从向量b的终点指向向量a的终点的向量 [注意]　对任意两个向量，总有向量不等式成立：||a|－|b||≤|a－b|≤|a|＋|b|. 1．(向量的减法与相反向量)下列说法中正确的是(　　) ①两个向量的差仍是一个向量；②向量的减法实质上是向量的加法的逆运算；③向量a与向量b的差和向量b与向量a的差互为相反向量；④相反向量是共线向量． A．①② B．③④ C．①②③ D．①②③④ 答案：D 2．(相反向量)非零向量m与n是相反向量，下列结论不正确的是(　　) A．m＝n B．m＝－n C．|m|＝|n| D．m与n方向相反 答案：A 3．(向量的加减混合运算)－＋＝________． 答案：0 4．(向量的减法运算)四边形ABCD是边长为1的正方形，则|－|＝________． 答案： 题型一　向量减法的几何意义 例1　如图，已知向量a，b，c，求作a－b－c. [解]　如图，以A为起点分别作向量和，使＝a，＝b. 连接CB，则＝－＝a－b，再以C为起点作向量，使＝c. 连接DB，则＝－＝a－b－c，所以向量即为所求作的向量a－b－c. 【感悟提升】　作两向量的差的思路 (1)作两向量的差的步骤 (2)求两个向量的减法可以转化为向量的加法来进行，如a－b，可以先作－b，然后用加法a＋(－b)即可． 【跟踪训练】 1．如图所示，O是四边形ABCD内任一点，试根据图中给出的向量，确定a，b，c，d的方向(用箭头表示)，使a＋b＝，c－d＝，并画出b－c和a＋d. 解：因为a＋b＝，c－d＝， 所以a＝，b＝，c＝，d＝. 如图所示，作平行四边形OBEC，平行四边形ODFA. 根据平行四边形法则可得b－c＝－＝－＝，a＋d＝＋＝. 题型二　向量的减法运算 例2　化简：(1)(－)－(－)； (2)(＋＋)－(－－)． [解]　(1)解法一(变为加法)： 原式＝－－＋＝＋＋＋＝(＋)＋(＋)＝＋＝0. 解法二(利用公式－＝)： 原式＝－－＋＝(－)－＋＝－＋＝＋＝0. 解法三(利用公式＝－，其中O是平面内任一点)： 原式＝－－＋＝(－)－(－)－(－)＋(－)＝－－＋－＋＋－＝0. (2)(＋＋)－(－－)＝(＋)－(－)＝－＝0. 【感悟提升】　 (1)向量减法运算的常用方法 (2)向量加减法化简的两种形式 ①首尾相连且为和； ②首首相连且为差． 做题时要注意观察是否有这两种形式，同时要注意逆向应用． 【跟踪训练】 2．化简下列各式： (1)－－； (2)＋－； (3)－－. 解：(1)－－＝＋＝. (2)＋－＝－＝. (3)－－＝＋＋＝＋＋＝. 题型三　运用向量的减法运算表示向量 例3　如图，在五边形ABCDE中，若四边形ACDE是平行四边形，且＝a，＝b，＝c，试用a，b，c表示向量，，，及. [解]　∵四边形ACDE为平行四边形， ∴＝＝c，＝－＝b－a，＝－＝c－a，＝－＝c－b， ∴＝＋＝b－a＋c. [结论探究]　若本例条件不变，试用a，b，c表示向量. 解：解法一(应用三角形法则)： ＝－＝－－＝－c－b. 解法二(应用平行四边形法则)： ＝－＝－(＋)＝－c－b. 【感悟提升】　 1．用已知向量表示未知向量的一般步骤 (1)观察待表示的向量位置； (2)寻找相应的平行四边形或三角形； (3)运用法则找关系，化简得结果． 2．用已知向量表示未知向量的注意点 (1)表示向量时要考虑以下问题：它是否是某个平行四边形的对角线；是否可以找到由起点到终点的恰当途径；它的起点和终点是否是两个有共同起点的向量的终点． (2)必要时可以直接用向量求和的多边形法则． 【跟踪训练】 3．(1)已知一点O到平行四边形ABCD的三个顶点A，B，C的向量分别是a，b，c，则向量等于(　　) A．a＋b＋c B．a－b＋c C．a＋b－c D．a－b－c 答案：B 解析：如图，点O到平行四边形的三个顶点A，B，C的向量分别为a，b，c，结合图形有＝＋＝＋＝＋－＝a＋c－b. (2)已知O是平行四边形ABCD的对角线AC与BD的交点，若＝a，＝b，＝c，证明：a－b＋c＝. 证明：如图，a＋c＝＋＝＋＝，＋b＝＋＝，所以a＋c＝＋b，即a－b＋c＝. 题型四　向量加减运算几何意义的应用 例4　(2024·福建泉州一中高一下阶段考试)已知非零向量a，b满足|a|＝＋1，|b|＝－1，且|a－b|＝4，求|a＋b|的值． [解]　如图所示，设＝a，＝b， 则＝a－b. 以OA，OB为邻边作▱OACB， 则＝a＋b. 由于(＋1)2＋(－1)2＝42， 故||2＋||2＝||2. 所以△OAB是以∠AOB为直角的直角三角形，从而OA⊥OB， 所以▱OACB为矩形． 根据矩形的对角线相等，有||＝||＝4，即|a＋b|＝4. 【感悟提升】　平行四边形中有关向量的两个结论 结论1：对角线的平方和等于四边的平方和，即|a＋b|2＋|a－b|2＝2(|a|2＋|b|2)． 结论2：若|a＋b|＝|a－b|，则以a，b为邻边的平行四边形为矩形． 【跟踪训练】 4．(2024·河北唐山一中高一下月考)在平行四边形ABCD中，＝a，＝b，用a，b表示向量和，并回答：当a，b分别满足什么条件时，四边形ABCD是矩形、菱形、正方形？ 解：根据向量加减法的平行四边形法则， 得＝a＋b，＝－＝a－b. 当a，b满足|a＋b|＝|a－b|时，平行四边形的两条对角线相等，四边形ABCD为矩形； 当a，b满足|a|＝|b|时，平行四边形的两条邻边相等，四边形ABCD为菱形； 当a，b满足|a＋b|＝|a－b|且|a|＝|b|时，四边形ABCD为正方形． 1．在菱形ABCD中，下列等式不成立的是(　　) A．－＝ B．－＝ C．－＝ D．－＝ 答案：C 解析：由向量减法法则知C错误． 2．如图所示，D，E，F分别是△ABC的边AB，BC，CA的中点，则－＝(　　) A． B． C． D． 答案：D 解析：由题图易知＝，∴－＝－＝. 3．(多选)下列四个式子中一定能化简为的是(　　) A．(＋)＋ B．(＋)＋(＋) C．(＋)－ D．(－)＋ 答案：ABD 解析：对于A，(＋)＋＝＋＋＝＋＝；对于B，(＋)＋(＋)＝＋(＋＋)＝＋0＝；对于C，(＋)－＝＋＋，不一定等于；对于D，(－)＋＝＋＝.故选ABD. 4．(2024·福建厦门市湖滨中学高一校考阶段练习)如图，已知网格小正方形的边长为1，点P是阴影区域内的一个动点(包括边界)，O，A在格点上，则|－|的最小值是________，最大值是________． 答案：　2 解析：因为|－|＝||，所以本题即求点A到阴影区域中的点距离的最值，如图可得，最小值为||＝，最大值为||＝2. 5．如图所示，已知向量＝a，＝b，＝c，＝d，＝e，解答下列各题： (1)用b，c表示； (2)用a，d，e表示； (3)用c，d表示； (4)用a，b，e表示. 解：(1)解法一：＝－＝－(b＋c)＝－b－c. 解法二：＝－＝－b－c. (2)＝＋＋＝d＋e＋a. (3)解法一：＝－＝－(＋)＝－c－d. 解法二：＝－＝－c－d. (4)＝＋＋＝e＋a＋b. 课后课时精练 基础题(占比50%)　中档题(占比40%)　拔高题(占比10%) 题号 1 2 3 4 5 6 7 难度 ★ ★ ★ ★ ★★ ★ ★ 对点 向量的减法运算 向量减法运算几何意义的应用 运用向量的减法运算表示向量 向量的减法运算 向量的加减混合运算 相反向量的加减运算 向量的加减混合运算 题号 8 9 10 11 12 13 14 15 难度 ★★ ★ ★★ ★★ ★★ ★★ ★★★ ★★★ 对点 向量的减法运算 运用向量的减法运算表示向量 向量加减运算几何意义的应用 向量加减运算几何意义的应用 向量加减运算几何意义的应用 向量加减运算几何意义的应用 向量加减运算几何意义的应用 向量加减运算几何意义的应用 一、选择题 1．(2024·内蒙古呼伦贝尔满洲里远方中学高一下期末)化简－－＝(　　) A． B． C． D． 答案：B 解析：－－＝＋＋＝.故选B. 2．(2024·河北承德高新区第一中学高一下4月月考)已知在四边形ABCD中，－＝－，则四边形ABCD一定是(　　) A．平行四边形 B．菱形 C．矩形 D．正方形 答案：A 解析：由－＝－，可得＝，所以四边形ABCD一定是平行四边形． 3．如图，已知ABCDEF是一正六边形，O是它的中心，其中＝a，＝b，＝c，则＝(　　) A．a＋b B．b－a C．c－b D．b－c 答案：D 解析：＝＝－＝b－c.故选D. 4．(2024·浙江丽水高一校考期中)如图所示，单位圆上有动点A，B，当|－|取得最大值时，|－|＝(　　) A．0 B．－1 C．1 D．2 答案：D 解析：因为|－|＝||，A，B是单位圆上的动点，所以|－|的最大值为2，此时与反向．故选D. 5．(多选)下列各式化简后的结果为0的是(　　) A．－(－) B．－＋－ C．－＋ D．＋＋－ 答案：ABD 解析：对于A，－(－)＝＋＋＝＋＝0；对于B，－＋－＝(＋)－(＋)＝－＝0；对于C，－＋＝＋＋＝＋＝；对于D，＋＋－＝＋＝0.故选ABD. 二、填空题 6．若a，b为相反向量，且|a|＝1，|b|＝1，则|a＋b|＝________，|a－b|＝________． 答案：0　2 解析：如果a，b为相反向量，那么a＋b＝0，∴|a＋b|＝0，又a＝－b，∴|a－b|＝|a|＋|b|＝2. 7．如图所示，在梯形ABCD中，AD∥BC，AC与BD交于点O，则－－＋＋＝________． 答案： 解析：－－＋＋＝＋＋＋＝. 8．在边长为1的正三角形ABC中，|－|的值为________． 答案： 解析：如图所示，延长CB到点D，使BD＝1，连接AD，则－＝＋＝＋＝.在△ABD中，AB＝BD＝1，∠ABD＝120°，则∠ADB＝30°，∴∠CAD＝90°，在Rt△CAD中，由勾股定理可得AD＝＝＝，∴|－|＝. 三、解答题 9．设O是△ABC内一点，且＝a，＝b，＝c，若以线段OA，OB为邻边作平行四边形，第四个顶点为D，再以OC，OD为邻边作平行四边形，其第四个顶点为H.试用a，b，c表示，，. 解：由题意可知，四边形OADB为平行四边形， ∴＝＋＝a＋b， ∴＝－＝c－(a＋b)＝c－a－b. 又四边形ODHC为平行四边形， ∴＝＋＝c＋a＋b， ∴＝－＝a＋b＋c－b＝a＋c. 10．在平行四边形ABCD中，已知＝a，＝b，＝c，且|a＋b|＝|a－b|，|a|＝6，|b|＝2.求|a－b－c|. 解：由题意，得a＋b＝，a－b＝，|a＋b|＝|a－b|， 故||＝||， 故平行四边形ABCD是矩形， 又|a|＝6，|b|＝2， 所以||＝||＝＝4， 因为a－b－c＝－－＝－＋＝＋， 所以|a－b－c|＝|＋|＝||＋||＝8. 11．已知向量a，b满足|a|＝|b|＝|a－b|，则a与a＋b的夹角为(　　) A． B． C． D． 答案：A 解析：设＝a，＝b，以OA，OB为邻边作平行四边形OACB，如图所示，则＝a－b，＝a＋b，由|a|＝|b|＝|a－b|，则四边形OACB为菱形，∠BOA＝，则a与a＋b的夹角为∠COA＝.故选A. 12．(多选)八卦是中国文化的基本哲学概念，如图1是八卦模型图，其平面图形记为图2的正八边形ABCDEFGH，其中OA＝2，则下列结论正确的是(　　) A．＝ B．∥ C．－＝ D．＋＝－ 答案：AC 解析：因为，长度相等，方向相同，所以＝，A正确；因为∥，，不共线，所以，不共线，B错误；因为＝，所以－＝－＝，C正确；因为－＝，显然＋≠，D错误．故选AC. 13．在平行四边形ABCD中，|＋|＝|－|＝4，且∠BAC＝∠CAD，则平行四边形ABCD的面积为________． 答案：8 解析：在平行四边形ABCD中，＋＝，－＝，因为|＋|＝|－|＝4，即||＝||＝4，所以平行四边形ABCD为矩形，又∠BAC＝∠CAD，所以矩形ABCD为正方形，所以平行四边形ABCD的面积为×4×4＝8. 14．已知△ABC是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，M是斜边AB的中点，＝a，＝b.求证： (1)|a－b|＝|a|； (2)|a＋(a－b)|＝|b|. 证明：如图，因为△ABC为等腰直角三角形，所以||＝||. 由M是斜边AB的中点，得||＝||. (1)在△ACM中，＝－＝a－b， 由||＝||，得|a－b|＝|a|. (2)在△MCB中，＝＝a－b， 所以＝－＝a－b＋a＝a＋(a－b)， 从而由||＝||，得|a＋(a－b)|＝|b|. 15．若O是△ABC所在平面内一点，且满足|－|＝|－＋－|，试判断△ABC的形状． 解：因为－＋－＝＋，－＝＝－， 又|－|＝|－＋－|， 所以|＋|＝|－|， 所以以AB，AC为邻边的平行四边形的两条对角线的长度相等，所以该平行四边形为矩形，所以AB⊥AC，所以△ABC是直角三角形． 15 学科网（北京）股份有限公司 $$