6.2.1 向量的加法运算-【金版教程】2024-2025学年高中数学必修第二册创新导学案word（人教A版2019）

6.2.1　向量的加法运算 (教师独具内容) 课程标准：借助实例和平面向量的几何表示，掌握平面向量加法运算及运算规则，理解其几何意义． 教学重点：向量加法的三角形法则、平行四边形法则及其应用． 教学难点：运用向量的加法运算解决实际问题． 核心素养：1.通过从教材实例中抽象出向量加法概念的过程培养数学抽象素养.2.通过运用向量加法的三角形法则、平行四边形法则进行向量的加法运算提升数学运算素养． 知识点一　向量的加法 (1)向量加法的定义 求两个向量和的运算，叫做向量的加法． (2)向量加法的运算法则 向量求和的法则 三角形法则 已知非零向量a，b，在平面内取任意一点A，作＝a，＝b，则向量叫做a与b的和，记作a＋b，即a＋b＝＋＝. 这种求向量和的方法，称为向量加法的三角形法则 平行四边形法则 以同一点O为起点的两个已知向量a，b，以OA，OB为邻边作▱OACB，则以O为起点的向量就是向量a与b的和. 我们把这种作两个向量和的方法叫做向量加法的平行四边形法则 位移的合成可以看作向量加法三角形法则的物理模型，力的合成可以看作向量加法平行四边形法则的物理模型． 对于零向量与任意向量a，规定a＋0＝0＋a＝a． [注意]　(1)三角形法则适用于任意两个非零向量求和，平行四边形法则只适用于两个不共线的向量求和． (2)在使用三角形法则时，应注意“首尾连接”，这个方法可推广得到向量求和的多边形法则：＋＋＋…＋An－1An＝.特别地，当An和A1重合时，＋＋＋…＋An－1A1＝0. 知识点二　|a＋b|与|a|，|b|之间的关系 一般地，我们有|a＋b|≤|a|＋|b|，当且仅当a，b中有一个是零向量或a，b是方向相同的非零向量时等号成立． [提示]　若|a＋b|＝||a|－|b||，则a，b中有一个是零向量或a，b是方向相反的非零向量． 知识点三　向量加法的运算律 (1)交换律：a＋b＝b＋a. (2)结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)． 1．(向量加法的运算律)(多选)对任意四边形ABCD，下列式子中等于的是(　　) A．＋ B．＋＋ C．＋＋ D．＋＋ 答案：ABD 2．(向量加法的性质)如图所示，在正六边形ABCDEF中，若AB＝1，则|＋＋|＝(　　) A．1 B．2 C． D． 答案：B 3．(向量加法的三角形法则和平行四边形法则)如图所示，已知向量a，b，c不共线，求作向量a＋b＋c. 解：a，b，c不共线中隐含着a，b，c均为非零向量，因为零向量与任一向量都是共线的． 利用三角形法则或平行四边形法则作图． 解法一(三角形法则)：如图①所示，作＝a，＝b，则＝a＋b，再作＝c，则＝＋＝(a＋b)＋c，即＝a＋b＋c. 解法二(平行四边形法则)：因为a，b，c不共线，如图②所示． 在平面内任取一点O，作＝a，＝b， 以OA，OB为邻边作▱OADB，连接OD， 则＝a＋b， 再作＝c，以OC，OD为邻边作▱OCED，连接OE，则＝a＋b＋c. 题型一　向量加法的三角形法则和平行四边形法则 例1　如图，已知向量a，b. (1)用三角形法则作出向量a＋b； (2)用平行四边形法则作出向量a＋b. [解]　(1)如图①，在平面内任取一点O′，作＝a，＝b，连接O′E，则＝a＋b. ① 　② (2)如图②，在平面内任取一点O，作＝a，＝b，以OA，OB为邻边作▱OACB，连接OC，则＝＋＝a＋b. 【感悟提升】　 (1)应用向量加法的三角形法则求两个向量和的基本步骤 (2)应用向量加法的平行四边形法则求两个向量和的基本步骤 【跟踪训练】 1．(1)如下图中①，②所示，试作出向量a与b的和． 解：如下图中①，②所示， 首先作＝a，然后作＝b，则＝a＋b. (2)如图所示，已知向量a，b，c，试作出向量a＋b＋c. 解：作法一：如图1所示，首先在平面内任取一点O，作向量＝a，接着作向量＝b，则得向量＝a＋b.然后作向量＝c，则向量＝(a＋b)＋c＝a＋b＋c即为所求． 　 作法二：如图2所示，首先在平面内任取一点O，作向量＝a，＝b，＝c，以OA，OB为邻边作▱OADB，连接OD，则＝＋＝a＋b.再以OD，OC为邻边作▱ODEC，连接OE，则＝＋＝a＋b＋c即为所求． 题型二　向量加法的性质和运算律的应用 例2　(1)设|a|＝8，|b|＝12，则|a＋b|的最大值与最小值分别为________，________． [解析]　当a，b共线同向时，|a＋b|＝|a|＋|b|＝8＋12＝20；当a，b共线反向时，|a＋b|＝||a|－|b||＝4；当a，b不共线时，||a|－|b||<|a＋b|<|a|＋|b|，即4<|a＋b|<20.综上知，4≤|a＋b|≤20，所以|a＋b|的最大值为20，最小值为4. [答案]　20　4 (2)如图，在△ABC中，O为重心，D，E，F分别是BC，AC，AB的中点，化简下列三式： ①＋＋； ②＋＋； ③＋＋. [解]　①＋＋＝＋＝. ②＋＋＝(＋)＋＝＋＝. ③＋＋＝＋＋＝＋＝. 【感悟提升】　解决向量加法运算时应关注的两点 (1)可以利用向量的几何表示，画出图形进行化简或计算． (2)要灵活应用向量加法运算律，注意各向量的起点、终点及向量起点、终点字母的排列顺序，特别注意勿将0写成0. 【跟踪训练】 2．(1)已知正方形ABCD的边长等于1，则|＋＋＋|＝________． 答案：2 解析：|＋＋＋|＝|＋＋(＋)|＝|＋|＝||＋||＝2||＝2. (2)化简或计算： ①＋＋； ②＋＋＋＋. 解：①＋＋＝(＋)＋＝＋＝. ②＋＋＋＋＝(＋)＋(＋)＋＝＋＋＝＋＝0. 题型三　向量加法的实际应用 例3　在水流速度为向东10 km/h的河中，如果要使船实际航行的速度的大小为10 km/h，方向垂直于对岸渡河，求船行驶速度的大小与方向． [解]　如图所示，表示水速，表示船实际航行的速度，表示船速，由＝＋，易知||＝||＝10，又∠OBC＝90°，||＝10，所以||＝20， 所以∠BOC＝30°， 所以∠AOC＝120°，即船行驶的速度的大小为20 km/h，方向与水流方向的夹角为120°. 【感悟提升】　应用向量解决问题的基本步骤 【跟踪训练】 3．在某地抗震救灾中，一救护车从A地按北偏东35°的方向行驶800 km到达B地接到受伤人员，然后又从B地按南偏东55°的方向行驶800 km送往C地医院，求这辆救护车行驶的路程及两次位移的合成． 解：如图所示，设表示救护车从A地按北偏东35°方向行驶800 km，表示救护车从B地按南偏东55°的方向行驶800 km. 则救护车行驶的路程指的是||＋||； 两次行驶的位移的合成指的是＋＝. 依题意，有||＋||＝800＋800＝1600(km)． 因为α＝35°，β＝55°， 所以∠ABC＝35°＋55°＝90°. 所以||＝＝＝800(km)． 其中∠BAC＝45°，所以方向为北偏东35°＋45°＝80°. 从而救护车行驶的路程是1600 km，两次位移的合成是向北偏东80°方向行驶800 km. 1．下列等式错误的是(　　) A．a＋0＝0＋a＝a B．＋＋＝0 C．＋＝0 D．＋＝＋＋ 答案：B 解析：对于A，根据0加任何向量都等于原向量，且向量加法满足交换律，所以A正确；对于B，根据向量加法的三角形法则可得＋＝，故原式＝＋≠0，故B错误；对于C，可知与大小相等且方向相反，所以＋＝0，所以C正确；对于D，可知＋＋＝＋＝0，又＋＝0，可知D正确．故选B. 2．(多选)在▱ABCD中，设＝a，＝b，＝c，＝d，则下列等式中成立的是(　　) A．a＋b＝c B．a＋d＝b C．b＋d＝a D．|a＋b|＝|c| 答案：ABD 解析：由向量加法的平行四边形法则，知a＋b＝c成立，故|a＋b|＝|c|也成立；由向量加法的三角形法则，知a＋d＝b成立，b＋d＝a不成立． 3．若a等于“向东走8 km”，b等于“向北走8 km”，则|a＋b|＝________，a＋b的方向是________． 答案：8 km　北偏东45° 解析：如图所示，设＝a，＝b，则＝a＋b，且△ABC为等腰直角三角形．则||＝8 km，∠BAC＝45°. 4．在菱形ABCD中，∠DAB＝60°，||＝1，则|＋|＝________． 答案：1 解析：在菱形ABCD中，连接BD.∵∠DAB＝60°，∴△ABD为等边三角形，∴|＋|＝||＝||＝1. 5．(2024·广西南宁高一阶段练习)如图，请在图中直接标出： (1)＋； (2)＋＋＋. 解：(1)＋＝，如图所示． (2)＋＋＋＝，如图所示． 课后课时精练 基础题(占比50%)　中档题(占比40%)　拔高题(占比10%) 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 难度 ★ ★ ★ ★ ★★ ★ ★ ★★ 对点 向量加法的运算律 向量加法的性质 向量加法的平行四边形法则 向量加法的性质 向量加法的性质 向量加法的性质 向量加法的性质 向量加法的平行四边形法则 题号 9 10 11 12 13 14 15 难度 ★ ★★ ★★ ★★ ★★ ★★★ ★★★ 对点 向量加法的平行四边形法则 向量加法的实际应用 向量加法的三角形法则 向量加法的三角形法则 向量加法的平行四边形法则 向量加法的性质 向量加法的性质 一、选择题 1．关于平行四边形ABCD，给出下列式子： ①＝＋；②＝＋；③＋＝；④＝＋＋；⑤＝＋. 其中不正确的个数是(　　) A．1 B．2 C．4 D．5 答案：A 解析：＋＝，故⑤不正确；其他各项都正确．故选A. 2．设a＝(＋)＋(＋)，b是任一非零向量，则下列结论中正确的是(　　) ①a∥b；②a＋b＝a；③a＋b＝b；④|a＋b|<|a|＋|b|；⑤|a＋b|＝|a|＋|b|. A．①② B．①③ C．①③⑤ D．②④⑤ 答案：C 解析：a＝(＋)＋(＋)＝＋＋＋＝0，易知①③⑤正确．故选C. 3．如图所示的方格纸中有定点O，P，Q，E，F，G，H，则＋＝(　　) A． B． C． D． 答案：C 解析：如图，设a＝＋，利用平行四边形法则作出向量＋，再平移即发现a＝. 4．在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝2，E为BC的中点，则|＋|＝(　　) A. B. C. D. 答案：C 解析：在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝2，E为BC的中点，所以＝，AC＝＝＝，则|＋|＝|＋|＝||＝.故选C. 5．(多选)已知D，E，F分别是△ABC的边AB，BC，CA的中点，则下列等式中正确的是(　　) A．＋＝ B．＋＋＝0 C．＋＝ D．＋＝ 答案：ABC 解析：易知A，B正确；由向量加法的平行四边形法则可知＋＝，又＝，所以＋＝，C正确；由向量加法的交换律可知，＋＝≠，D错误．故选ABC. 二、填空题 6．根据图示填空． (1)＋＝________； (2)＋＋＝________； (3)＋＋＝________． 答案：(1)　(2)　(3) 解析：由三角形法则知， (1)＋＝＋＝. (2)＋＋＝＋＝. (3)＋＋＝＋＝. 7．已知＝a，＝b，＝c，＝d，＝e，则a＋b＋c＋d＝________． 答案：e 解析：a＋b＋c＋d＝＋＋＋＝＝e. 8．已知D为△ABC的边BC的中点，△ABC所在平面内有一点P，满足＝＋，则的值为________． 答案：1 解析：由题意，以PB，PC为邻边作平行四边形，如图，由＝＋，知PA必为该平行四边形的对角线，又D为边BC的中点，∴D为PA的中点，∴＝1. 三、解答题 9．已知||＝|a|＝3，||＝|b|＝3，∠AOB＝60°，求|a＋b|. 解：如图，以OA，OB为邻边作▱OACB. 因为||＝||＝3， 所以▱OACB为菱形， 连接OC，AB，则OC⊥AB， 设垂足为D. 因为∠AOB＝60°，所以∠AOD＝30°， 所以在Rt△AOD中，OD＝OAcos30°＝， 所以|a＋b|＝||＝2OD＝×2＝3. 10．已知船在静水中的速度大小为20 m/min，水流的速度大小为10 m/min，如果船从岸边出发沿垂直于水流的航线到达对岸，求船行进的方向． 解：作＝v水，＝v船，以AB，AD为邻边作▱ABCD，则＝v实际，如图． 由题意可知∠CAB＝90°， 在Rt△ABC中，||＝|v水|＝10，||＝||＝|v船|＝20， ∴cos∠ABC＝＝＝， ∴∠ABC＝60°，从而船与水流方向成120°角． 故船行进的方向与水流的方向成120°角． 11．在△ABC中，＝a，＝b，若|a|＝|b|＝1，且|a＋b|＝，则△ABC的形状是(　　) A．正三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．等腰直角三角形 答案：D 解析：如图，a＋b＝＋＝，∴||＝||＝1，||＝，∴||2＋||2＝||2＝2，∴△ABC为等腰直角三角形．故选D. 12．(2024·浙江绍兴高一月考)已知等腰直角三角形ABC的直角边长为1，E为斜边BC上一动点，则|＋|的最小值为(　　) A． B． C．1 D. 答案：A 解析：|＋|＝||，显然当E为斜边BC的中点时，AE⊥BC，此时AE最小，为＝，即|＋|的最小值为.故选A. 13．(2024·河南南阳五校高一下期中)若P为△ABC的外心，且＋＝，则∠ACB＝________． 答案：120° 解析：如图，因为＋＝，所以四边形APBC是平行四边形．又P为△ABC的外心，所以||＝||＝||，所以△APC和△BPC均为等边三角形．因此∠ACB＝2∠ACP＝120°. 14．在四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，且||＝||＝1，＝，＝，cos∠DAB＝.求|＋|与|＋|. 解：∵＝，＝， ∴四边形ABCD为平行四边形． 又||＝||＝1， ∴四边形ABCD为菱形． ∵cos∠DAB＝，∠DAB∈(0，π)， ∴∠DAB＝，∴△ABD为正三角形． ∴|＋|＝|＋|＝||＝2||＝， |＋|＝||＝||＝1. 15．如图，已知D，E，F分别是△ABC三边AB，BC，CA的中点，求证：＋＋＝0. 证明：如图，连接DE，EF，FD， 因为D，E，F分别是△ABC三边的中点，所以四边形ADEF为平行四边形． 由向量加法的平行四边形法则，得 ＋＝，① 同理，＋＝，② ＋＝，③ 将①②③式相加，得＋＋＝＋＋＋＋＋＝(＋)＋(＋)＋(＋)＝0，原式得证． 16 学科网（北京）股份有限公司 $$