精品解析： 福建省龙岩市初级中学2024-2025学年下学期 第一次月考八年级数学试题

2024-2025学年第二学期八年级数学练习（一） 时间：120分钟 分值：150分 命题人：许凡 审题人：黄建梅 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分） 1. 要使二次根式有意义，则的值可以取（ ） A. B. C. D. 2. 下列计算，正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列根式是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，有一块长方形花圃，有少数人为了避开拐角走“捷径”，在花圃内走出了一条“路”，他们仅仅少走了（ ）m的路，却踩伤了花草． A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 5. 下列命题中，其逆命题为真命题的是（ ） A. 若，则 B. 对顶角相等 C. 全等三角形的对应角相等 D. 同旁内角互补，两直线平行 6. 如图，平行四边形中，若，则的度数为（　　） A. B. C. D. 7. 四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，下列条件不能判定这个四边形是平行四边形的是（ ） A. AB//DC，AD//BC B. AB=DC，AD=BC C AO=CO，BO=DO D. AB//DC，AD=BC 8. 如图，在数轴上为原点，数轴上的点表示的数是2，过点作，使，以为圆心，的长为半径作弧，交数轴正半轴于点，那么点表示的数是（　　） A. B. C. D. 9. 如图，有一块Rt△ABC纸片，∠ABC=900,AB＝6，BC＝8，将△ABC沿AD折叠，使点B落在AC上的E处，则BD的长为( ) A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 10. 如图，在中，，，，点为边上任意一点，连接、将沿方向平移至，连接、，则当取得最小值时，的长为（　　） A. B. C. D. 2 二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分） 11. 化简：=__________ 12. 与最简二次根式是同类二次根式，则______． 13. 已知，则___________． 14. 如图，先在湖边地面上确定点，再用卷尺分别确定的中点，最后用卷尺量出，则之间的距离是____． 15. 如图，在中，，，，则的长度为____． 16. 如图，在平面直角坐标系中，点、点，点P是x轴正半轴上—动点，给出4个结论： ①线段AB的长为； ②在，若，则的面积是5； ③当时，点P坐标为； ④设点P的坐标为，则的最小值为． 其中正确的结论有______． 三、解答题（本大题共9题，共86分） 17 （1） （2） 18. 已知，求下列各式的值： （1） （2） 19. 先化简，再求值：，其中 20. 一架方梯长25米，如图，斜靠在一面墙上，梯子底端离墙7米， （1）这个梯子的顶端距地面有多高？ （2）如果梯子的顶端下滑了4米，那么梯子的底端在水平方向滑动了几米？ 21. 如图，正方形网格中的每个小正方形边长都是1，每个小正方形的顶点称为格点．回答下列问题： （1）如图1，CD的长为_______；四边形ABCD的面积为_______； （2）请利用图2的正方形网格的格点画一个三角形，满足三边的长分别为4，，．（请在答题纸上作图） 22. 【问题情境】某数学兴趣小组想测量学校旗杆的高度． 【实践发现】数学兴趣小组实地勘查发现：系在旗杆顶端的绳子垂到了地面，并多出了一段，但这条绳子的长度未知． 【实践探究】设计测量方案：第一步：先测量比旗杆多出的部分绳子的长度，测得多出部分绳子的长度是1米；第二步：把绳子向外拉直，绳子的底端恰好接触地面的点C，再测量绳子底端C与旗杆根部B点之间的距离为5米； 【问题解决】设旗杆的高度为x米，通过计算即可求得旗杆的高度． （1）依题知 米，用含有x的式子表示为 米； （2）请你求出旗杆的高度． 23. 如图，四边形中，，F为上一点，与交于点E，． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）若，，，求的长． 24. 我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式，此公式与古希腊几何学家海伦提出的公式如出一辙，即三角形的三边长分别为a，b，c，记，则其三角形的面积公式为： ①（海伦公式）， ②（秦九韶公式）． 已知在中，，且a，b，c满足． （1）直接写出a，b，c的值； （2）请从①、②中选择一个合适的公式，求出的面积； （3）如图，若于点D，平分线交于点E，求的长． 25. 如图，点的坐标为，点的坐标为，点在轴负半轴上，交轴于点，点在轴正半轴上，且． （1）判断的形状，并说明理由． （2）探究线段之间的数量关系并证明． （3）如图，点在轴负半轴上，，探究，，之间的数量关系并证明． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年第二学期八年级数学练习（一） 时间：120分钟 分值：150分 命题人：许凡 审题人：黄建梅 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分） 1. 要使二次根式有意义，则的值可以取（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题主要考查了二次根式有意义的条件，正确把握二次根式的定义是解题关键．直接利用二次根式有意义的条件进而得出答案． 【详解】解：由题意得：， 解得：， 则的值可以是， 故选：B． 2. 下列计算，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据二次根式的性质和二次根式的加减运算法则逐项判断即可． 【详解】解：A、，原式计算错误； B、，原式计算错误； C、，原式计算错误； D、，正确， 故选：D． 【点睛】本题考查了二次根式的性质和二次根式的加减运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 3. 下列根式是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了对最简二次根式的理解，被开方数不含有能开的尽方的因式或因数，被开方数不含有分数的二次根式叫做最简二次根式，据此求解即可． 【详解】解：A、，不是最简二次根式，不符合题意； B、，是最简二次根式，符合题意； C、，不是最简二次根式，不符合题意； D、，不是最简二次根式，不符合题意； 故选：B． 4. 如图，有一块长方形花圃，有少数人为了避开拐角走“捷径”，在花圃内走出了一条“路”，他们仅仅少走了（ ）m的路，却踩伤了花草． A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】结合题意，根据勾股定理计算得花圃内一条“路”的长度，从而完成求解． 【详解】根据题意，得：长方形花圃的四个角为 ∴花圃内的一条“路”长 ∴仅仅少走了 故选：B． 【点睛】本题考查了勾股定理的知识；解题的关键是熟练掌握勾股定理的性质，从而完成求解． 5. 下列命题中，其逆命题为真命题的是（ ） A. 若，则 B. 对顶角相等 C. 全等三角形的对应角相等 D. 同旁内角互补，两直线平行 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了命题与定理的知识．分别写出各项的逆命题，然后判断真假即可． 【详解】解：A选项的逆命题为“如果，那么”，错误，为假命题，故A选项不符合题意； B选项的逆命题为“相等的角为对顶角”，错误，为假命题，故B选项不符合题意； C选项的逆命题为“对应角相等的三角形全等”，错误，为假命题，故C选项不符合题意； D选项的逆命题为“两直线平行，同旁内角互补”，正确，为真命题，故D选项符合题意； 故选：D． 6. 如图，平行四边形中，若，则的度数为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形的对角相等是解题的关键． 由平行四边形的性质得，即可得出结论． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ， ， ， 故选：A． 7. 四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，下列条件不能判定这个四边形是平行四边形的是（ ） A. AB//DC，AD//BC B. AB=DC，AD=BC C. AO=CO，BO=DO D. AB//DC，AD=BC 【答案】D 【解析】 【详解】解：A、由“AB//DC，AD//BC”可知，四边形ABCD的两组对边互相平行，则该四边形是平行四边形．故本选项不符合题意； B、由“AB=DC，AD=BC”可知，四边形ABCD的两组对边相等，则该四边形是平行四边形．故本选项不符合题意； C、由“AO=CO，BO=DO”可知，四边形ABCD的两条对角线互相平分，则该四边形是平行四边形．故本选项不符合题意； D、由“AB//DC，AD=BC”可知，四边形ABCD的一组对边平行，另一组对边相等，据此不能判定该四边形是平行四边形．故本选项符合题意． 故选D． 8. 如图，在数轴上为原点，数轴上的点表示的数是2，过点作，使，以为圆心，的长为半径作弧，交数轴正半轴于点，那么点表示的数是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了实数与数轴，勾股定理，先利用勾股定理求出，结合数轴即可求解． 【详解】解：∵，，， 由勾股定理得， ∴， ∴点P表示的数为， 故选：B 9. 如图，有一块Rt△ABC纸片，∠ABC=900,AB＝6，BC＝8，将△ABC沿AD折叠，使点B落在AC上的E处，则BD的长为( ) A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】A 【解析】 【分析】由题意可得∠AED=∠ABC =90°，AE=AB=3，由勾股定理即可求得AC的长，则可得EC的长，然后设BD=ED=x，则CD=BC−BD=4−x，由勾股定理CD =EC+ED，即可得方程，解方程即可求得答案． 【详解】∵点E是沿AD折叠，点B的对应点，连接ED， ∴∠AED=∠ABC=90°，AE=AB=6， ∵在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=6，BC=8， ∴AC= =10， ∴EC=AC−AE=10−6=4， 设BD=ED=x，则CD=BC−BD=8−x， 在Rt△CDE中，CD=EC+ED， 即：(8−x) =x+16， 解得：x=3， ∴BD=3． 故选A． 【点睛】此题考查勾股定理，折叠的性质,解题关键在于求得AC的长. 10. 如图，在中，，，，点为边上任意一点，连接、将沿方向平移至，连接、，则当取得最小值时，的长为（　　） A B. C. D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查平行四边形性质和勾股定理，利用勾股定理得到边的长度，根据平行四边形的性质，得知最短即为最短，利用垂线段最短得到点的位置，再根据得到的长度，继而得到的长度，从而即可得解． 【详解】解：， ， 四边形是平行四边形， ，， 最短也就是最短， 过作的垂线，垂足为，连接， ∵垂线段最短， ∴当点P在点处时，最小，即最小， ∵ 即 ∵ ， 则最小值为， ， ， ∴当取得最小值时，的长为． 故选：C． 二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分） 11. 化简：=__________ 【答案】 【解析】 【分析】根据二次根式的性质计算． 【详解】解：原式=． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了二次根式的化简．注意最简二次根式的条件是：①被开方数的因数是整数，因式是整式；②被开方数中不含能开得尽方的因数因式．上述两个条件同时具备（缺一不可）的二次根式叫最简二次根式． 12. 与最简二次根式是同类二次根式，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了最简二次根式，同类二次根式，化简二次根式，根据同类二次根式的定义可得出，求解即可． 【详解】解：∵与最简二次根式是同类二次根式， ∴， 解得：， 故答案为：． 13. 已知，则___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是二次根式有意义的条件，不等式组的解法，掌握二次根式的被开方数是非负数是解题的关键．根据二次根式有意义的条件列出不等式，分别求出x、y，根据有理数的乘法法则进行计算即可． 【详解】解：由题意得，， 解得：， 则， ∴， 故答案为：． 14. 如图，先在湖边地面上确定点，再用卷尺分别确定的中点，最后用卷尺量出，则之间的距离是____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查三角形中位线的应用，涉及三角形中位线的判定与性质，根据题意，判定是的中位线，利用中位线的性质即可得到答案，熟记三角形中位线的判定与性质是解决问题的关键． 【详解】解：是的中点， 是的中位线， ，即之间的距离是， 故答案为：． 15. 如图，在中，，，，则的长度为____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质和勾股定理，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键． 设与交点为M，根据勾股定理先求出，再根据平行四边形的性质求出，然后根据勾股定理求出，根据平行四边形的性质即可得答案． 【详解】解：设与交点为M，如图所示： ，，， ， ， 在中，， ， 故答案为：． 16. 如图，在平面直角坐标系中，点、点，点P是x轴正半轴上—动点，给出4个结论： ①线段AB的长为； ②在，若，则的面积是5； ③当时，点P的坐标为； ④设点P的坐标为，则的最小值为． 其中正确结论有______． 【答案】①②④ 【解析】 【分析】①直接利用根据两点间距离的坐标公式计算AB的长度即可；②先证明为直角三角形，然后根据三角形面积的公式直接计算面积即可；③先求出△ABO和△ABP的面积，然后过点B作轴于点D，继而求出梯形AOBD的面积，设点P的坐标，最后根据求出点P的坐标即可；④作A点关于x轴的对称点M，设出点P的坐标，继而表示出AP、MP和BP的长度，可以得到，当且仅当B，P，M三点共线时，代数式取得最小值； 【详解】①根据两点间距离的坐标公式可知，，故①正确； ②在中，，，， ∴(1，0)， ∴， 在中，， ∴为直角三角形， ∴，故②正确. ∵， ∴， 过点B作轴于点D，即，， ∴ ， 设P点坐标为(m，0)， ∴， ， ∴， ∴， ∴， 解得， ∴当时，点P的坐标为(3，0)，故③错误. 作A点关于x轴的对称点M， 连接BM交x轴于点P， 此时， ∵P点坐标为(x，0)， ∴， ， ∴ ， 当且仅当B，P，M三点共线时， 代数式取得最小值， 最小值即为线段BM的长度， ∵(0，-3)，B(4，1) ∴， ∴的最小值为. 故④正确. ∴正确的有①②④. 故答案为：①②④. 【点睛】本题考查了图形与坐标的特点，直角三角形的判定，三角形的面积公式，两点之间距离公式，求最值的问题，是一个考点比较全面的综合题，难度适中，熟练掌握知识点的应用是解题的关键； 三、解答题（本大题共9题，共86分） 17. （1） （2） 【答案】（1）0；（2） 【解析】 【分析】（1）先利用二次根式的性质化简，再合并同类二次根式； （2）先计算二次根式的乘法和除法，再利用二次根式的性质化简． 【详解】解：（1） ； （2） ． 【点睛】本题考查二次根式的加减运算、乘除运算，解题的关键是掌握二次根式的性质及运算法则． 18. 已知，求下列各式的值： （1） （2） 【答案】（1）14 （2）4 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算，分式化简求值，完全平方公式的应用等知识． （1）先根据a，b的值，得出，，再通过完全平方公式变形即可求解即可． （2）先计算异分母分式加法，再将和计算即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴，， ∴ 【小问2详解】 解：由（1）知，， 19. 先化简，再求值：，其中 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简求值以及分母有理化，先把分式进行化简得到最简分式，再把代入计算，即可得到答案. 【详解】解： ， 当时， 原式. 20. 一架方梯长25米，如图，斜靠在一面墙上，梯子底端离墙7米， （1）这个梯子的顶端距地面有多高？ （2）如果梯子的顶端下滑了4米，那么梯子的底端在水平方向滑动了几米？ 【答案】（1）梯子顶端距离地面的高度为24米 （2）梯子的底端在水平方向滑动了8米 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理在解直角三角形中的应用，熟练掌握并正确计算是解题的关键． （1）利用勾股定理可以得出梯子的顶端距离地面的高度； （2）由（1）可以得出梯子的初始高度，下滑4米后，可得出梯子的顶端距离地面的高度，再次使用勾股定理，可以得出梯子的底端在水平方向滑动的距离． 【小问1详解】 解：根据勾股定理： 梯子顶端距离地面的高度为：； 【小问2详解】 梯子下滑了4米， 即梯子顶端距离地面的高度为：米， 根据勾股定理得：米， ． 即梯子的底端在水平方向滑动了8米． 21. 如图，正方形网格中的每个小正方形边长都是1，每个小正方形的顶点称为格点．回答下列问题： （1）如图1，CD的长为_______；四边形ABCD的面积为_______； （2）请利用图2的正方形网格的格点画一个三角形，满足三边的长分别为4，，．（请在答题纸上作图） 【答案】（1）；14.5 （2）见解析 【解析】 【分析】（1）利用勾股定理可求CD，利用割补法可求四边形ABCD的面积； （2）利用勾股定理结合网格特点画三角形即可． 【小问1详解】 解：， 四边形ABCD的面积＝， 故答案为：，14.5； 【小问2详解】 如图2，△ABC即为所求，其中AC＝4，AB＝，BC＝． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，割补法求面积，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 22. 【问题情境】某数学兴趣小组想测量学校旗杆的高度． 【实践发现】数学兴趣小组实地勘查发现：系在旗杆顶端的绳子垂到了地面，并多出了一段，但这条绳子的长度未知． 【实践探究】设计测量方案：第一步：先测量比旗杆多出的部分绳子的长度，测得多出部分绳子的长度是1米；第二步：把绳子向外拉直，绳子的底端恰好接触地面的点C，再测量绳子底端C与旗杆根部B点之间的距离为5米； 【问题解决】设旗杆高度为x米，通过计算即可求得旗杆的高度． （1）依题知 米，用含有x的式子表示为 米； （2）请你求出旗杆的高度． 【答案】（1）5； （2）12米 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，解题的关键是理解题意，学会构建方程解决问题，属于中考常考题型． （1）根据“测量绳子底端C与旗杆根部B点之间的距离，测得距离为5米”和“测得多出部分绳子的长度是1米”填空； （2）因为旗杆、绳子、地面正好构成直角三角形，设旗杆的高度为x米，则绳子的长度为米，根据勾股定理即可求得旗杆的高度． 【小问1详解】 解：根据题意知：米，米． 故答案为：5；； 【小问2详解】 解：在直角中，由勾股定理得： ， 即． 解得． 答：旗杆的高度为12米． 23. 如图，四边形中，，F为上一点，与交于点E，． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）若，，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据平行线的性质可得，，从而可证，可得，再根据平行四边形的判定即可得出结论； （2）由题意求得，根据平行四边形的性质可得，，从而求得，再利用勾股定理求得，再根据求解即可． 【小问1详解】 证明：∵， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴四边形是平行四边形． 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴的长是． 【点睛】本题考查平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、平行线的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质及平行四边形的判定与性质是解题的关键． 24. 我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式，此公式与古希腊几何学家海伦提出的公式如出一辙，即三角形的三边长分别为a，b，c，记，则其三角形的面积公式为： ①（海伦公式）， ②（秦九韶公式）． 已知在中，，且a，b，c满足． （1）直接写出a，b，c的值； （2）请从①、②中选择一个合适的公式，求出的面积； （3）如图，若于点D，的平分线交于点E，求的长． 【答案】（1） （2）2 （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了非负数的性质、完全平方公式、角平分线的性质、二次根式的混合运算等知识点，灵活运用相关运算法则成为解题的关键． （1）根据非负数的性质得到，然后解一次方程得到a、b、c的值即可； （2）选择公式①，先计算出，再把a、b、c、p的值代入公式①，然后利用平方差公式和二次根式的性质计算即可；选择公式②，把a、b、c的值代入公式②计算即可； （3）如图：过E点作于H点，先利用为等腰三角形得到，再根据角平分线的性质得到，然后利用面积法得到，从而可求出的长． 【小问1详解】 解：∵， ∴． ∴． 【小问2详解】 解：选择公式①：∵， ∴ ； 选择公式②：∵， ∴ ． 【小问3详解】 解：如图：过E点作于H点， ∵， ∴为等腰三角形， ∵， ∴， ∵平分，， ∴， ∵， ∴， ∴，解得：． 25. 如图，点的坐标为，点的坐标为，点在轴负半轴上，交轴于点，点在轴正半轴上，且． （1）判断的形状，并说明理由． （2）探究线段之间的数量关系并证明． （3）如图，点在轴负半轴上，，探究，，之间的数量关系并证明． 【答案】（1）是等腰直角三角形，理由见解析 （2），理由见解析 （3），理由见解析 【解析】 【分析】（1）求出三边长度，从而可得是等腰直角三角形；（2）证明可得，且即可得答案；（3）过作交轴于，连接，先证得，再证即可得到． 【小问1详解】 点的坐标为，点的坐标为， ，， ， ，且， 是等腰直角三角形； 【小问2详解】 是等腰直角三角形， ， ， ， ， ， 在和中， ， （ASA）， ， ， 而是等腰直角三角形，可得， ； 【小问3详解】 ，理由如下： 过作交轴于，连接，如图： 是等腰直角三角形， ， ， ， ， 在和中， ， （ASA）， ， 中，， ， ， ， 在和中， ， （SAS）， ， ． 【点睛】本题考查全等三角形判定性质、等腰直角三角形性质及勾股定理等知识，解题的关键是利用等腰直角三角形性质证明三角形全等． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$