第二十二章 四边形（单元复习 4大折叠问题+4大最值问题）-2024-2025学年八年级数学下册单元速记·巧练（冀教版）

第二十二章 四边形 01 思维导图 目录 【折叠题型】 1 折叠题型一　平行四边形中的折叠问题 1 折叠题型二　矩形中的折叠问题 8 折叠题型三　菱形中的折叠问题 17 折叠题型四　正方形中折叠问题 24 【最值题型】 33 最值题型一　平行四边形中的最值问题 33 最值题型二　矩形中的最值问题 41 最值题型三　菱形中的最值问题 43 最值题型四　正方形中最值问题 49 【折叠题型】02 折叠题型 折叠题型一　平行四边形中的折叠问题 例题：（23-24九年级上·陕西西安·阶段练习）如图将沿对角线折叠，使点落在处，若，，则 °． 巩固训练 1．（24-25八年级上·上海·期中）如图所示，已知是平行四边形的边上一点，将沿直线折叠，点恰好落在边上的点处，如果的周长为，的周长为，那么的长等于 ． 2．（23-24八年级下·广东清远·期末）如图，在平行四边形纸片中，，将纸片沿对角线对折至，交边于点E，此时恰为等边三角形，则图中折叠重合部分的面积是 ． 3．（24-25九年级上·浙江金华·期中）如图，在中，，将折叠，使得点B与点D重合，折痕交AD，BC分别于点E，F，则 ． 4．（24-25九年级上·重庆北碚·开学考试）如图，在平行四边形中，，，，点，点是边上的一点，点是边上一点，将平行四边形沿折叠，得到四边形，点的对应点为点，点的对应点为点，则的长度为 ． 5．（24-25九年级上·河南郑州·阶段练习）如图，在平行四边形中，，，，点E是线段上一个动点，将沿折叠到位置、再将沿行折叠到位置，当落在平行四边形边上时，则的长度为 ． 折叠题型二　矩形中的折叠问题 例题：（24-25七年级上·福建福州·期末）如图，将长方形纸片折叠，使点落在点处，折痕为．为上一点，连接，若，，则 ．    巩固训练 1．（24-25八年级上·江苏南京·期中）如图，在四边形中，，，．折叠四边形，使点D与点B重合，得到折痕，则的长为 ． 2．（23-24九年级上·北京顺义·期中）有一张矩形纸片，，，将纸片折叠，使边落在边上，折痕为，再将以为折痕向右折叠，与交于点F（如下图），则的长为 ． 3．（24-25九年级上·陕西榆林·阶段练习）如图，在矩形中， ，，为边上一点，，为边上一动点，连接、，将沿折叠，点的对应点为点，当落在边上时，的长为 ． 4．（24-25九年级上·浙江杭州·阶段练习）已知矩形纸片，，，点在边上，连接，将沿所在的直线折叠，点的对应点为，把纸片展平，连接，，当为直角三角形时，线段的长为 ． 5．（23-24九年级上·江西抚州·阶段练习）如图，矩形中，，，点E是边上一点，连接，把沿折叠，使点落在点处，当为直角三角形时，的长为 ．    6．（2024·贵州·模拟预测）综合与实践：小红在学习了图形的折叠相关知识后，对矩形的折叠进行了探究，已知矩形中，，，为上一点，将沿直线翻折至的位置（点落在点处）． (1)【动手操作】 当点落在边上时，利用尺规作图，在图①中作出满足条件的图形（即的位置，不写作法，保留作图痕迹），此时________________； (2)【问题探究】 如图②，与相交于点，与相交于点，且，求证：； (3)【拓展延伸】 已知为射线上的一个动点，将沿翻折，点恰好落在直线上的点处，求的长． 折叠题型三　菱形中的折叠问题 例题：（2024·广东东莞·二模）如图，将菱形纸片折叠，使点落在边的点处，折痕为，若，则的度数是 ． 巩固训练 1．（23-24八年级下·山东济宁·期末）如图，在菱形纸片中，，折叠菱形纸片，使点C落在（点P为中点）所在的直线上，得到经过点D的折痕．则的大小为 2．（24-25九年级下·辽宁·开学考试）如图，在菱形中，，，点E是的中点，点F为上一动点，将沿折叠，得到．若与菱形的对角线平行，则的长为 ． 3．（23-24八年级下·湖北襄阳·期末）如图，菱形纸片的边长为，点E在边上，将纸片滑折叠，点B落在处，，垂足为F．若，则的长是 ． 4．（2024·福建福州·模拟预测）如图，在菱形中，，点E是边上一点，将菱形沿折叠，点D的对应点为点F，交于点G，当恰好经过的中点H时，的长为 ． 5．（23-24八年级下·河北邢台·期中）如图，在菱形纸片中，． （1） ． （2）点E在边上，将菱形纸片沿折叠，点C对应点为点，且是的垂直平分线，则的大小为 ． 折叠题型四　正方形中折叠问题 例题：（24-25八年级上·江苏南京·阶段练习）如图，正方形中，点为射线上一个动点．连接，把沿折叠，当点的对应点刚好落在线段的垂直平分线上时， ． 巩固训练 1．（23-24七年级下·山西临汾·期末）如图，正方形的边长为3，将正方形折叠，使点D落到边上的点E处，折痕为，若，折痕的长为 ． 2．（24-25八年级上·山西晋中·期末）如图，在平面直角坐标系中，正方形的边在轴上，点的坐标为，点在边上，将沿折叠，点落在点处．若点的坐标为，则点的坐标为 ． 3．（24-25九年级上·河南郑州·期中）正方形中，边长，点M为边上一动点（不与端点重合），沿将折叠，点B的对应点为点E，连接，，当是等腰三角形时， ． 4．（23-24八年级下·江苏无锡·期中）如图，点是正方形的边上一动点(点不与、重合)，连接，将沿翻折，使点落在点处．    (1)当最小时，的值为 ； (2)如图，连接并延长，交的延长线于点，在点的运动过程中，的大小是否变化，若变化，请说明理由；若不变，请求的值； (3)如图3，在（2）的条件下，连接，试探索、、之间的数量关系． 【最值题型】03 最值题型 最值题型一　平行四边形中的最值问题 例题：（22-23八年级下·浙江绍兴·期末）如图，在平行四边形中，，，E是边延长线上一点，连接，以为边作等边三角形，连接，则的最小值是 ． 巩固训练 1．（23-24八年级下·广东梅州·期末）如图，四边形 是平行四边形，，，点 E 为的中点，连接，点F为线段上的一个动点，连接，则线段长度的最小值为 ． 2．（23-24八年级下·辽宁本溪·期末）如图，在中，为边上的高，点F和点G分别为高和边上的动点，且．若，，，则的最小值为 ． 3．（2024九年级上·全国·专题练习）如图，在中，，点M为直线上一动点，则的最小值为 ． 4．（23-24八年级下·四川成都·期末）如图，已知的面积为，，，现先将沿某一方向平移个单位长度后得到，其中点，，，的对应点分别为，，，；再将绕点顺时针旋转后得到，其中点，，的对应点分别为，，，连接，，则线段的最大值为 ，线段的最小值为 ． 最值题型二　矩形中的最值问题 例题：（23-24八年级下·江苏淮安·阶段练习）如图，在矩形中，E为对角线上与不重合的一个动点，过点E作与点F，于点G，连接，若，则的最小值 ．    巩固训练 1．（22-23九年级上·江苏南京·期末）如图，在矩形中，，，点E，F分别为、边上的动点，且的长为2，点G为的中点，点P为上一动点，则 的最小值为 ． 2．（2024·西藏日喀则·二模）如图，矩形中，，，点是矩形内一动点，且，则的最小值为 ． 最值题型三　菱形中的最值问题 例题：（23-24八年级下·重庆沙坪坝·期中）如图，菱形的周长为8，，E是的中点，P是对角线上的一个动点，则的最小值是 ． 巩固训练 1．（2024九年级下·全国·专题练习）如图，在菱形中，，分别是边，上的动点，连接，，，分别为，的中点，连接．若，，则的最小值是 ．    2．（2024八年级下·全国·专题练习）如图，菱形中，，，点为边上任意一点（不包括端点），连结，过点作，交边于点，点线段上的一点． (1)若点为菱形对角线的交点，为的中位线，求的值； (2)当的值最小时，请确定点的位置，并求出的最小值； (3)当的值最小，且的值最小时，在备用图中作出此时点，的位置，写作法并写出的最小值． 最值题型四　正方形中最值问题 例题：（23-24八年级下·全国·课后作业）如图，在边长为1的正方形中，分别是边上的点，且与相交于点，求的最小值． 巩固训练 1．（2024八年级下·天津·专题练习）如图，在正方形中，，点，分别为边，上动点，且，连接，交于点，连接，则线段长度的最小值为 ． 2．（23-24八年级下·广东惠州·期中）如图，在正方形中，，点在边上，且，点是对角线上的动点，则的最小值是 ． 3．（23-24八年级下·福建泉州·期中）某数学小组在一次数学探究活动过程中，经历了如下过程：问题提出：如图，正方形中，，P为对角线上的一个动点，以P为直角顶点，向右作等腰直角． (1)的最小值为_______，最大值为________； (2)求证：点M在射线上； / 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第二十二章 四边形 01 思维导图 目录 【折叠题型】 1 折叠题型一　平行四边形中的折叠问题 1 折叠题型二　矩形中的折叠问题 8 折叠题型三　菱形中的折叠问题 17 折叠题型四　正方形中折叠问题 24 【最值题型】 33 最值题型一　平行四边形中的最值问题 33 最值题型二　矩形中的最值问题 41 最值题型三　菱形中的最值问题 43 最值题型四　正方形中最值问题 49 【折叠题型】02 折叠题型 折叠题型一　平行四边形中的折叠问题 例题：（23-24九年级上·陕西西安·阶段练习）如图将沿对角线折叠，使点落在处，若，，则 °． 【答案】110 【知识点】三角形的外角的定义及性质、利用平行四边形的性质证明、折叠问题 【分析】本题考查了平行四边形的性质，折叠的性质，三角形的内角和定理及外角性质等，熟练掌握折叠的性质是解题的关键．根据平行四边形的性质可得，根据折叠的性质可得，进一步可得，根据已知条件可得的度数，进一步求出的度数即可求解． 【详解】解：在平行四边形中，， ∴， ∵折叠， ∴， ∴， ∵， ∴ 在中，， ∴ 故答案为：110． 巩固训练 1．（24-25八年级上·上海·期中）如图所示，已知是平行四边形的边上一点，将沿直线折叠，点恰好落在边上的点处，如果的周长为，的周长为，那么的长等于 ． 【答案】 【知识点】利用平行四边形的性质求解、折叠问题 【分析】本题考查了平行四边形的性质及翻折变换，由折叠性得，， 根据题意可得，， 则，再根据平行四边形的性质可得，从而求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：由折叠性得，， ∵的周长为，的周长为， ∴，， ∴的周长的周长平行四边形的周长， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∴的周长， 故答案为：． 2．（23-24八年级下·广东清远·期末）如图，在平行四边形纸片中，，将纸片沿对角线对折至，交边于点E，此时恰为等边三角形，则图中折叠重合部分的面积是 ． 【答案】 【知识点】含30度角的直角三角形、勾股定理与折叠问题、利用平行四边形的性质求解 【分析】本题考查了平行四边形的性质和几何图形的翻折问题．根据翻折的性质，及已知的角度，可得为等边三角形，再由四边形为平行四边形，且，从而知道，A，B三点在同一条直线上，再由是对称轴，所以垂直且平分， ，求边上的高，从而得到面积． 【详解】解：∵恰为等边三角形， ∴ ∴为等边三角形， 由四边形为平行四边形，且， ∴，所以，， ∴，A，B三点在同一条直线上， ∵是对折线， ∴垂直且平分， ∴， 过点C作， 则有， ∴， ∴， ∴折叠重合部分的面积是． 故答案为：． 3．（24-25九年级上·浙江金华·期中）如图，在中，，将折叠，使得点B与点D重合，折痕交AD，BC分别于点E，F，则 ． 【答案】 【知识点】含30度角的直角三角形、用勾股定理解三角形、利用平行四边形的性质求解、折叠问题 【分析】设，作于点L，则，由折叠可知，，得到，则，，由勾股定理得到，解得，即可得到答案． 【详解】解：设，作于点L，则， ∵ ∴由折叠可知， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴， 故答案为： 【点睛】此题考查了勾股定理、含角的直角三角形的性质、平行四边形的性质、轴对称的性质等知识，作高构造直角三角形是解题的关键． 4．（24-25九年级上·重庆北碚·开学考试）如图，在平行四边形中，，，，点，点是边上的一点，点是边上一点，将平行四边形沿折叠，得到四边形，点的对应点为点，点的对应点为点，则的长度为 ． 【答案】 【知识点】用勾股定理解三角形、利用平行四边形的性质求解、折叠问题 【分析】本题考查的是轴对称的性质，平行四边形的性质，勾股定理的应用，作出合适的辅助线是解本题的关键．如图，作于，过点作于．可得，可得点到的距离是，证明；可得，设，则，，由勾股定理得，再求解即可，可得，最后根据求解即可． 【详解】如图，作于，过点作于． ，， ∴， ，， 到的距离和到的距离都是平行线、间的距离， 点到的距离是， 四边形是平行四边形， ，，， 由折叠可知，，，， ，，， ， 在和中， ， ∴； ， ，， ， ， 设，则， ， 由折叠可知，， ， ， ， ， 在中， 由勾股定理得， 解得， ， ． ∴ 故答案为：． 5．（24-25九年级上·河南郑州·阶段练习）如图，在平行四边形中，，，，点E是线段上一个动点，将沿折叠到位置、再将沿行折叠到位置，当落在平行四边形边上时，则的长度为 ． 【答案】或 【知识点】二次根式的乘法、用勾股定理解三角形、利用平行四边形的性质求解、折叠问题 【分析】如图，当落在上时，由对折可得：，，，，，记垂足为，再进一步可得答案；如图， 当，，此时重合，，，可得落在上，从而可得答案． 【详解】解：∵平行四边形， ∴，，， 如图，当落在上时， ∵由对折可得：，，，， ∴，记垂足为， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， 如图， 当，，， 此时重合，，， ∴落在上， ∴， 综上：或． 故答案为：或 【点睛】本题考查的是轴对称的性质，平行四边形的性质，勾股定理的应用，等腰直角三角形的判定与性质，二次根式的运算，作出图形，利用数形结合的方法解题是关键． 折叠题型二　矩形中的折叠问题 例题：（24-25七年级上·福建福州·期末）如图，将长方形纸片折叠，使点落在点处，折痕为．为上一点，连接，若，，则 ．    【答案】 【知识点】矩形与折叠问题 【分析】本题考查折叠的性质，解答本题的关键是由折叠的性质得到． 由，求出，由邻补角的性质得到，由折叠的性质可得到． 【详解】解：，， ， ， 由折叠的性质得：， 故答案为：． 巩固训练 1．（24-25八年级上·江苏南京·期中）如图，在四边形中，，，．折叠四边形，使点D与点B重合，得到折痕，则的长为 ． 【答案】 【知识点】用勾股定理解三角形、矩形与折叠问题 【分析】本题考查折叠的性质，勾股定理，根据折叠的性质得，，，根据勾股定理得出，求解即可． 【详解】解：根据折叠的性质得：，，， 在中，，即， 解得：， 故答案为：． 2．（23-24九年级上·北京顺义·期中）有一张矩形纸片，，，将纸片折叠，使边落在边上，折痕为，再将以为折痕向右折叠，与交于点F（如下图），则的长为 ． 【答案】1 【知识点】根据等角对等边求边长、矩形与折叠问题 【分析】由矩形的性质可知，，由折叠可知，故，，可得，可知．本题考查了折叠的性质．折叠前后对应角相等，对应线段相等，关键是推出特殊三角形． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴ ∴由折叠的性质可知：第二幅图中，，， ∴，， 则第三幅图中，， ． 故答案为：1． 3．（24-25九年级上·陕西榆林·阶段练习）如图，在矩形中， ，，为边上一点，，为边上一动点，连接、，将沿折叠，点的对应点为点，当落在边上时，的长为 ． 【答案】/ 【知识点】用勾股定理解三角形、矩形与折叠问题 【分析】此题重点考查矩形的性质、轴对称的性质、勾股定理等知识，熟练掌握矩形的性质、轴对称的性质、勾股定理是解题的关键．由折叠的性质可得，,再由勾股定理求得，得,最后由列方程求解即可． 【详解】在矩形中， ，，， ，，，, 将沿折叠，点的对应点为点， ，, 在中，， ∴, ，且 ∴. 解得. 故答案为： 4．（24-25九年级上·浙江杭州·阶段练习）已知矩形纸片，，，点在边上，连接，将沿所在的直线折叠，点的对应点为，把纸片展平，连接，，当为直角三角形时，线段的长为 ． 【答案】或 【知识点】用勾股定理解三角形、矩形与折叠问题、折叠问题 【分析】本题考查矩形与折叠的综合，解题的关键是掌握矩形的性质，折叠的性质，勾股定理的应用，直角三角形的性质，根据题意，分类讨论：当时，利用勾股定理，进行解答；当时，根据折叠的性质，可得，根据等边对等角，， 根据，，得到，再根据等角对等边，进行解答，即可． 【详解】解：∵四边形是矩形，， ∴，，， 由折叠可得，， ∴ ∴ ∴ ∴ 当时，此时点在上； ∴设 ∴ ∴ 解得： ∴； 当时，此时点在矩形内部， ∵将沿所在的直线折叠，点的对应点为， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 综上所述，或， 故答案为：或． 5．（23-24九年级上·江西抚州·阶段练习）如图，矩形中，，，点E是边上一点，连接，把沿折叠，使点落在点处，当为直角三角形时，的长为 ．    【答案】3或1.5 【知识点】用勾股定理解三角形、根据矩形的性质求线段长、矩形与折叠问题 【分析】本题考查了翻折变换的性质、矩形的判定与性质、勾股定理以及分类讨论等知识；熟练掌握折叠变换的性质，由题意画出图形，进行分类讨论是解题的关键．分两种情形：①当时，如图1所示；②当时，如图2所示，分别求解即可． 【详解】解：四边形是矩形， ，，， 分两种情况讨论： ①当时，如图1所示， 则， 四边形是矩形， ， 由折叠的性质得：；    ②当时，如图2所示，    在中， ，， ， 由折叠的性质得：，，， ， 点、、共线，即点在上，， 设，则， 在中， ， ， 解得： 即， 综上所述，的长为3或1.5． 6．（2024·贵州·模拟预测）综合与实践：小红在学习了图形的折叠相关知识后，对矩形的折叠进行了探究，已知矩形中，，，为上一点，将沿直线翻折至的位置（点落在点处）． (1)【动手操作】 当点落在边上时，利用尺规作图，在图①中作出满足条件的图形（即的位置，不写作法，保留作图痕迹），此时________________； (2)【问题探究】 如图②，与相交于点，与相交于点，且，求证：； (3)【拓展延伸】 已知为射线上的一个动点，将沿翻折，点恰好落在直线上的点处，求的长． 【答案】(1)作图见解析，6； (2)见解析； (3)4或16． 【知识点】全等三角形综合问题、矩形与折叠问题、作垂线(尺规作图)、勾股定理与折叠问题 【分析】本题主要考查矩形与折叠的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，掌握矩形与折叠的性质，数形结合分析是解题的关键． （1）根据点的对应点在上，可得折线是的垂直平分线，由此可作图，根据矩形的性质，折叠的性质可得，由勾股定理即可求解； （2）由翻折的性质得，，，设，则，，可得，，，，在中，由勾股定理 解得，，由此即可求解； （3）分两种情况：如解图所示，点在线段上时；如解图所示，点在延长线上时；根据矩形、折叠，勾股定理即可求解． 【详解】（1）解：作图如图所示，将沿直线翻折至的位置（点落在点处），点落在边上， ∴即为所求的三角形， ∵折叠， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， 在中，， ∴， 故答案为：6． （2）证明：由翻折的性质得，，， ， 设，则， 在和中， ， ， ，， ， ，， 在中，由勾股定理得，， 解得，即， ∴， ∴， ∴． （3）解：分两种情况： 如解图所示，点在线段上时， 由翻折的性质得，，，， ， , 四边形是矩形， ， ， ， ， ； 如解图所示，点在延长线上时， 由翻折的性质得，，， , 设，则，， ， , 在中，由勾股定理得，， 解得，即， 综上所述，的长为4或16． 折叠题型三　菱形中的折叠问题 例题：（2024·广东东莞·二模）如图，将菱形纸片折叠，使点落在边的点处，折痕为，若，则的度数是 ． 【答案】/80度 【知识点】根据平行线的性质求角的度数、等边对等角、利用菱形的性质求角度、折叠问题 【分析】此题考查了菱形的性质，折叠的性质，等边对等角和平行线的性质， 首先根据平行的性质得到，由折叠得，然后求出，然后根据等边对等角和平行线的性质求解即可． 【详解】∵四边形是菱形 ∴ 由折叠可得， ∴ ∴ ∵四边形是菱形 ∴ ∴． 故答案为：． 巩固训练 1．（23-24八年级下·山东济宁·期末）如图，在菱形纸片中，，折叠菱形纸片，使点C落在（点P为中点）所在的直线上，得到经过点D的折痕．则的大小为 【答案】/30度 【知识点】三角形内角和定理的应用、等边三角形的判定和性质、利用菱形的性质求线段长、折叠问题 【分析】本题考查了翻折变换（折叠问题），菱形的性质，等边三角形的性质及内角和定理，连接，由菱形的性质及，得到三角形为等边三角形，P为的中点，利用三线合一得到为角平分线，得到，进而求出，由折叠的性质得到，利用三角形的内角和定理即可求出所求角的度数． 【详解】解：如图，连接， ∵四边形为菱形，， ∴为等边三角形，， ∵P为的中点， ∴为的平分线，即， ∴， ∴由折叠的性质得到， 在中，， ∴， 故答案为： 2．（24-25九年级下·辽宁·开学考试）如图，在菱形中，，，点E是的中点，点F为上一动点，将沿折叠，得到．若与菱形的对角线平行，则的长为 ． 【答案】或3 【知识点】含30度角的直角三角形、用勾股定理解三角形、利用菱形的性质求线段长、折叠问题 【分析】此题考查了菱形的性质、轴对称的性质、含角的直角三角形的性质等知识，分两种情况画出图象进行解答即可． 【详解】解：①若，如解图①，连接， ∵四边形是菱形， ∴平分， ∴， ∵， ∴，由折叠， ∴， ∴． ∵点E是的中点， ∴， 过点E作，垂足为G， ∴，， 在中，， ∴， ∴， ∴； ②若，如解图②，连接， ∵四边形是菱形， ∴， 又∵，是等边三角形， ∴． ∵， ∴． 又∵， ∴是等边三角形，点落在上， ∴， ∴， ∴． 综上所述，的长为或3． 故答案为：或3 3．（23-24八年级下·湖北襄阳·期末）如图，菱形纸片的边长为，点E在边上，将纸片滑折叠，点B落在处，，垂足为F．若，则的长是 ． 【答案】2 【知识点】含30度角的直角三角形、用勾股定理解三角形、利用菱形的性质求线段长、折叠问题 【分析】本题考查的是菱形的性质，等腰直角三角形的性质，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理的应用，二次根式的除法运算，掌握以上基础知识是解本题的关键；证明，过点E作于点G，再利用等腰直角三角形的性质与含30度角的直角三角形的性质进一步解答即可． 【详解】解：∵在菱形中，， ∴， ∵， ∴， 又由折叠有，且， ∴， 过点E作于点G， ∴， ∴， ∴， ∴， 设，则，， ∵在菱形中，， ∴， ∴，， ∴， 解得：， ∴， ∴． 故答案为：． 4．（2024·福建福州·模拟预测）如图，在菱形中，，点E是边上一点，将菱形沿折叠，点D的对应点为点F，交于点G，当恰好经过的中点H时，的长为 ． 【答案】 【知识点】等边三角形的判定和性质、用勾股定理解三角形、利用菱形的性质求线段长、折叠问题 【分析】本题考查了菱形的性质，勾股定理，折叠性质，等边三角形的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先过点E作，连接，由菱形的性质得，得出是等边三角形，因为恰好经过的中点H时，所以，故，再由折叠性质得出,，运用直角三角形的30度所对的直角边是斜边的一半以及勾股定理列式，再解方程，即可作答． 【详解】解：如图：过点E作，连接， ∵在菱形中，， ∴， ∴ 是等边三角形， ∵当恰好经过的中点H时， ∴， ∴， ∴， ∵折叠， ∴,， ∴， ∵， ∴，则， ∴在中， ∵， ∴，则， 解得（负值已舍去）， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 5．（23-24八年级下·河北邢台·期中）如图，在菱形纸片中，． （1） ． （2）点E在边上，将菱形纸片沿折叠，点C对应点为点，且是的垂直平分线，则的大小为 ． 【答案】 60 75 【知识点】线段垂直平分线的性质、利用菱形的性质求角度、折叠问题 【分析】本题考查菱形的性质，垂直平分线的定义． （1）直接根据菱形的对角相等即可求解； （2）如图，由垂直平分线的定义得到，从而，由菱形的性质得到，从而由折叠有，因此，再根据菱形的对边平行即可求解． 【详解】解：（1）∵四边形是菱形， ∴． 故答案为：60 （2）如图， ∵是的垂直平分线， ∴， ∴， ∵在菱形中，， ∴， 由折叠可得， ∴， ∵在菱形中，， ∴． 故答案为：75 折叠题型四　正方形中折叠问题 例题：（24-25八年级上·江苏南京·阶段练习）如图，正方形中，点为射线上一个动点．连接，把沿折叠，当点的对应点刚好落在线段的垂直平分线上时， ． 【答案】或/或 【知识点】线段垂直平分线的性质、根据正方形的性质证明、折叠问题 【分析】本题主要考查了垂直平分线的性质、折叠的性质，正方形的性质，解题的关键是熟练掌握折叠的性质，注意分类讨论．分两种情况：当点落在图①的位置时，当点落在图②的位置时，分别画出图形，求出结果即可． 【详解】∵点P在射线上运动，故分两种情况； 当点落在图①的位置时， 为线段的垂直平分线， ， 为正方形， ， ， ． 当点落在图②的位置时 为线段的垂直平分线， ， 为正方形， ， ， ． 故答案为：或． 巩固训练 1．（23-24七年级下·山西临汾·期末）如图，正方形的边长为3，将正方形折叠，使点D落到边上的点E处，折痕为，若，折痕的长为 ． 【答案】 【知识点】勾股定理与折叠问题、正方形折叠问题 【分析】本题主要考查正方形的性质以及翻折变换，折叠问题其实质是轴对称变换．据折叠可得，，，根据勾股定理求出、的长．继而求出，，最后在中由面积法，根据求出． 【详解】解：设，则， ，， ， 在中，， 即， 解得：，即． ∴ 连接、， 在中，， 由折叠可知：， ∵， ∴， ∴． 故答案为． 2．（24-25八年级上·山西晋中·期末）如图，在平面直角坐标系中，正方形的边在轴上，点的坐标为，点在边上，将沿折叠，点落在点处．若点的坐标为，则点的坐标为 ． 【答案】 【知识点】用勾股定理解三角形、正方形折叠问题、坐标与图形综合 【分析】设，可得，在中，利用勾股定理可求出，根据翻折的性质得出，，，设，在中利用勾股定理可求出值，即可得答案． 【详解】解：如图，设与轴交于点，， ∵四边形是正方形，， ∴四边形是矩形， ∴， ∵点的坐标为， ∴， ∵将沿折叠，点落在点处．若点的坐标为， ∴，，， 在中，， ∴， 解得：， ∴， 设，则，， 在中，， ∴， 解得：， ∴点的坐标为． 故答案为： 【点睛】本题考查折叠性质、正方形的性质、矩形的判定与性质、坐标与图形及勾股定理，利用勾股定理求出正方形的边长是解题关键． 3．（24-25九年级上·河南郑州·期中）正方形中，边长，点M为边上一动点（不与端点重合），沿将折叠，点B的对应点为点E，连接，，当是等腰三角形时， ． 【答案】或 【知识点】等边三角形的判定和性质、用勾股定理解三角形、根据正方形的性质求线段长、折叠问题 【分析】本题考查了正方形与折叠，勾股定理，等边三角形的判定与性质等知识，分，，三种情况讨论即可． 【详解】解：∵正方形中，边长， ∴，， ①当时，过E作于F，于G， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∵折叠， ∴，， ∴， ∴， 在中，， ∴， 解得； ②当时，过E作于F，于G， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵折叠， ∴，， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， 解得； ③当时，E和B或D重合，则M和B或A重合，不符题意，舍去， 综上，或 故答案为：或． 4．（23-24八年级下·江苏无锡·期中）如图，点是正方形的边上一动点(点不与、重合)，连接，将沿翻折，使点落在点处．    (1)当最小时，的值为 ； (2)如图，连接并延长，交的延长线于点，在点的运动过程中，的大小是否变化，若变化，请说明理由；若不变，请求的值； (3)如图3，在（2）的条件下，连接，试探索、、之间的数量关系． 【答案】(1) (2)为，理由见解析 (3) 【分析】（1）当，，三点共线时，有最小值，由等腰直角三角形的性质可得出答案； （2）过点作于点，则，证出，则可得出结论； （3）过点作，交的延长线于点，则，证明，得出，则可得出结论． 【详解】（1）解：∵将沿翻折， ∴，，， ∵，即， ∴当，，三点共线时，有最小值， 此时， 如图，设， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：；    （2）为． 理由如下： 过点作于点， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，， ∵将沿翻折，使点落在点处， ∴，， 又∵， ∴， 又∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴， 即， 又∵， ∴；    （3）． 理由如下： 过点作，交的延长线于点，， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 即， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 即．    【最值题型】03 最值题型 最值题型一　平行四边形中的最值问题 例题：（22-23八年级下·浙江绍兴·期末）如图，在平行四边形中，，，E是边延长线上一点，连接，以为边作等边三角形，连接，则的最小值是 ． 【答案】 【知识点】利用平行四边形的性质求解、等边三角形的判定和性质、全等的性质和SAS综合（SAS） 【分析】本题考查了平行四边形的性质、等边三角形的判定及性质、全等三角形的性质，先作辅助线，根据勾股定理和平行四边形的性质得到线段的长度，证明出四边形为平行四边形，再根据三角形全等得到对应边相等，再根据垂线段最短得到最小值，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：延长，在的延长线上截取，连接，过点G作于点H，过点C作交的延长线于点M，如图所示： ， ∵四边形为平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∵为等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴当最小时，最小， ∵垂线段最短， ∴当点E与点H重合时，最小，此时， ∴最小值为， 故答案为： ． 巩固训练 1．（23-24八年级下·广东梅州·期末）如图，四边形 是平行四边形，，，点 E 为的中点，连接，点F为线段上的一个动点，连接，则线段长度的最小值为 ． 【答案】 【知识点】利用平行四边形的性质求解、用勾股定理解三角形、等边三角形的判定和性质、垂线段最短 【分析】由“垂线段最短”可知当时，的值最小．连接，，由平行四边形的性质可得，又由，可得是等边三角形．由等边三角形“三线合一”的性质可得，，进而得出，，在中，利用面积法即可求出的值． 【详解】解：如图，当时，的值最小． 连接，， ∵四边形 是平行四边形，， ，，， ， 又， 是等边三角形， 又∵点 E 为的中点， ，， ，， ， ， ． 故答案为： 【点睛】本题主要考查了“垂线段最短”、平行四边形的性质、等边三角形的判定和性质以及勾股定理．掌握利用面积法求直角三角形斜边上的高是解题的关键． 2．（23-24八年级下·辽宁本溪·期末）如图，在中，为边上的高，点F和点G分别为高和边上的动点，且．若，，，则的最小值为 ． 【答案】 【知识点】两点之间线段最短、用SAS间接证明三角形全等（SAS）、用勾股定理解三角形、利用平行四边形的性质求解 【分析】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识；作辅助线构造全等三角形是解题的关键；过点D作，且，分别连接；证明，则有，故，当点G在上时，取得最小值，且最小值为线段的长，在中，由勾股定理即可求解． 【详解】解：如图，过点D作，且，分别连接； 则， ∴； 在中，，， ； ， , ； ， ， ， ， 当点G在上时，取得最小值，且最小值为线段的长； 在中，由勾股定理得：， 即的最小值为． 故答案为：． 3．（2024九年级上·全国·专题练习）如图，在中，，点M为直线上一动点，则的最小值为 ． 【答案】 【知识点】根据成轴对称图形的特征进行求解、利用平行四边形的性质求解、用勾股定理解三角形 【详解】10．如图，作点A关于直线的对称点，交直线于点H，连接交于点，则， ∴当重合时，的值最小，最小值为的长． ． ． ． 4．（23-24八年级下·四川成都·期末）如图，已知的面积为，，，现先将沿某一方向平移个单位长度后得到，其中点，，，的对应点分别为，，，；再将绕点顺时针旋转后得到，其中点，，的对应点分别为，，，连接，，则线段的最大值为 ，线段的最小值为 ． 【答案】 【知识点】根据旋转的性质求解、利用平移的性质求解、利用平行四边形的性质求解、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查平行四边形，平移，旋转，勾股定理的知识，解题的关键是掌握平行四边形的性质，平移和旋转的性质，勾股定理的运用，根据题意，过点作交于点，连接，根据平行四边形的性质，勾股定理的运用，求出，；以点为圆心，半径为画圆，为，由题意得，沿某一方向平移个单位长度后得到，则在上运动，连接，，；根据三角形三边的关系，当，，三点共线且在，的中间，此时有最大值，即可；过点作且，以点为圆心，半径为画圆，连接并延长交于于点，根据勾股定理求出，；根据三角形三边的关系，当与重合时，此时有最小值，即可． 【详解】解：过点作交于点，连接， ∵平行四边形的面积为 ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 以点为圆心，半径为画圆，为， ∵沿某一方向平移个单位长度后得到， ∴在上运动，连接，，， 在中，， ∴当，，三点共线且在，的中间，此时有最大值为； ∴的最大值为； 过点作且， 以点为圆心，半径为画圆，连接并延长交于于点， ∵，， ∴， ∵点在上运动，， ∴在上运动， 在中，， ∴当与重合时，此时有最小值为， ∴的最小值为． 故答案为：；． 最值题型二　矩形中的最值问题 例题：（23-24八年级下·江苏淮安·阶段练习）如图，在矩形中，E为对角线上与不重合的一个动点，过点E作与点F，于点G，连接，若，则的最小值 ．    【答案】 【分析】本题考查了矩形的判定与性质，勾股定理，垂线段最短，三角形面积的求解等知识，连接，过点B作，根据已知可证明四边形为矩形，得到，当时最短，最短，此时最短，利用三角形等面积法求出即可得出结果． 【详解】解：如图，连接，过点B作，   ，， ， 为矩形，， ，， 四边形为矩形， ， 当时最短，最短，此时最短， 时最短， ， ， 故答案为：． 巩固训练 1．（22-23九年级上·江苏南京·期末）如图，在矩形中，，，点E，F分别为、边上的动点，且的长为2，点G为的中点，点P为上一动点，则 的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了轴对称一最短路线问题，判断出点的位置是解题的关键． 由点为的中点，根据直角三角形斜边上中线的性质得出所以是以为圆心，以为半径的圆弧上的点，作关于的对称点连接 由推出当共线时，的值最小，根据勾股定理求得从而得出的最小值． 【详解】，点为的中点， ， ∴是以为圆心，以为半径的圆弧上的点， 作关于的对称点 连接 ， ， ∴当共线时，的值最小， ， ， ∴， ， 的最小值为 故答案为： 2．（2024·西藏日喀则·二模）如图，矩形中，，，点是矩形内一动点，且，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查矩形的性质，利用轴对称解决线段和最小的问题，过点作，交于点，交于点，根据，得到，点是线段上的一个动点，作点关于的对称点，连接，则的最小值为的长，勾股定理求解即可． 【详解】解：过点作，交于点，交于点， ∵矩形，，， ∴，，， ∴， ∴四边形均为矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， 作点关于的对称点，连接，则：，， 在中，， ∴的最小值为． 故答案为： 最值题型三　菱形中的最值问题 例题：（23-24八年级下·重庆沙坪坝·期中）如图，菱形的周长为8，，E是的中点，P是对角线上的一个动点，则的最小值是 ． 【答案】 【分析】此题考查轴对称确定最短路线问题，菱形的性质，等边三角形的判定与性质 连接，，根据菱形的性质可得，是等边三角形，再证明，可得，从而得到的最小值为的长，再由E是的中点，可得，然后根据勾股定理可得，即可求解． 【详解】解：如图，连接，， ∵四边形是菱形，周长为8，， ∴，，， ∴是等边三角形， 在和中， ∵，，， ∴， ∴， ∴， 即的最小值为的长， ∵E是的中点， ∴， ∴， 即的最小值为． 故答案为：． 巩固训练 1．（2024九年级下·全国·专题练习）如图，在菱形中，，分别是边，上的动点，连接，，，分别为，的中点，连接．若，，则的最小值是 ．    【答案】 【分析】连接，利用三角形中位线定理，可知，当时，最小，求出最小值即可求出． 【详解】解：连接，如图，    ∵四边形是菱形， ∴， ∵，分别为，的中点， ∴是的中位线， ∴， 当时，则，最小，得到最小值， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴，即， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了菱形的性质、三角形的中位线定理、等腰直角三角形的判定与性质、垂线段最短等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，属于中考常考题型． 2．（2024八年级下·全国·专题练习）如图，菱形中，，，点为边上任意一点（不包括端点），连结，过点作，交边于点，点线段上的一点． (1)若点为菱形对角线的交点，为的中位线，求的值； (2)当的值最小时，请确定点的位置，并求出的最小值； (3)当的值最小，且的值最小时，在备用图中作出此时点，的位置，写作法并写出的最小值． 【答案】(1)4 (2)当点为中点，点关于对称的点与点坐在直线垂直于时，有最小值 (3)6 【分析】（1）由菱形的性质可得，均为等边三角形，点为的中点，连接，，利用三角形中位线定理即可求解． （2）由题可知，，为等边三角形，由菱形性质可知，与关于对称，在上，取点的对应点，连接，则，，连接，交于点，过点垂直于的直线交于，交于，可得，可得，则点为中点，利用含的直角三角形可得，，由三角形三边关系及垂线段最短可知，当，，三点在同一直线上，且与重合时取等号，即当点为中点，点关于对称的点与点坐在直线垂直于时，有最小值． （3）同（2）， 与关于对称，在上，取点的对应点，连接，则，连接，交于点，由（2）可得点为中点，作关于对称的线段，取点的对应点，连接，则，由对称可知：，则，当，，，在同一条直线上时取等号，此时点为中点，可知，为等边三角形，进而即可求解． 【详解】（1）解：四边形是菱形，，， ，， 则， 均为等边三角形， ， 点为菱形对角线的交点， 点为的中点， 连接，， 为的中位线， ，也为的中位线， 则，， ； （2）由（1）可知，均为等边三角形， 则，， ， ， 为等边三角形， ， ， 由菱形性质可知，与关于对称，在上，取点的对应点，连接，则，，连接，交于点，过点作垂直于的直线交于，交于， ， ， 又， ， ， 点为中点， ，， ， ， 由勾股定理得，，， ， ， ， 当，，三点在同一直线上，且与重合时取等号， 即当点与点重合（点为中点），与重合时取等号， 综上，当点为中点，点关于对称的点与点坐在直线垂直于时，有最小值． （3）同（2），与关于对称，在上，取点对应点，连接，则，连接 交于点，由（2）可得点为中点， 作关于对称的线段，取点的对应点，连接，则， 为等边三角形， ， 由对称可知：， 则，当，，，在同一条直线上时取等号，此时点为中点， ，则， 过点（点），且， 可知，为等边三角形， ，，， 即，，分别为，，的中点， 此时， 作图，如下： 作法：取的中点为，作交于； 综上，的最小值为． 【点睛】本题考查了四边形的综合应用，菱形的性质，等边三角形的判定及性质，含的直角三角形，轴对称等知识，利用轴对称构造辅助线，将线段和问题转化为三角形三边关系，两点之间距离问题等是解决问题的关键． 最值题型四　正方形中最值问题 例题：（23-24八年级下·全国·课后作业）如图，在边长为1的正方形中，分别是边上的点，且与相交于点，求的最小值． 【答案】 【分析】本题考查动点最值问题-将军饮马模型，涉及正方形性质、三角形全等的判定与性质、动点最值问题、对称性、勾股定理等知识，根据题意，将求的最小值转化为的最小值，然后利用动点最值问题-将军饮马模型得到的最小值为线段，在中，由勾股定理即可得到答案，熟练掌握动点最值问题-将军饮马模型是解决问题的关键． 【详解】解：连接如，如图①所示： ∵四边形是正方形， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∴的最小值等于的最小值； 作点关于的对称点，连接与的交点即为所求的点，如图②所示： 根据对称性可知， ∴， 在中，，则由勾股定理得， ∴的最小值为． 巩固训练 1．（2024八年级下·天津·专题练习）如图，在正方形中，，点，分别为边，上动点，且，连接，交于点，连接，则线段长度的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理．先证明，进而得出，当点G是对角线的交点时，线段长度最小，进而即可求解． 【详解】解：在正方形中，，，则， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴当点G是对角线的交点时，线段长度最小， ∵， ∴对角线， 故线段长度的最小值为， 故答案为：， 2．（23-24八年级下·广东惠州·期中）如图，在正方形中，，点在边上，且，点是对角线上的动点，则的最小值是 ． 【答案】10 【分析】本题考查了利用轴对称的性质求最短路径问题，正方形的性质，勾股定理等知识，解决问题的关键是找出最小时，点的位置． 连接，交于，连接，当点在处时，最小，最小值是的长，进一步得出结果． 【详解】解：连接，交于，连接，如图， 四边形是正方形， ，，点B与点D关于对称， ∴， 当点在处时，最小，最小值的长， ， ， ， 的最小值为10， 故答案为：10． 3．（23-24八年级下·福建泉州·期中）某数学小组在一次数学探究活动过程中，经历了如下过程：问题提出：如图，正方形中，，P为对角线上的一个动点，以P为直角顶点，向右作等腰直角． (1)的最小值为_______，最大值为________； (2)求证：点M在射线上； 【答案】(1)4， (2)见解析 【分析】（1）当点P运动到对角线的中点时，值最小；当点P运动到点A或点C时，最大； （2）分点P在线段与两种情况讨论，连接，过M作于E，证明，可得出，进而求出，然后证明B、C、M在同一条直线上即可． 【详解】（1）解：由于点P运动到与垂直时，根据“垂线段最短”可知最短，则最短，此时与对角线重合，与重合， ∴． 由于点P运动到点A或点C时，斜线段最长，因此最长，此时：， 则， 故答案为：4，； （2）证明：连接，连接交于点，过M作于E， ①如图，当点在线段上时， ∵正方形， ∴，，，， ∵是等腰直角三角形， ∴，， ∴， 又， ∴， ∴，， 又， ∴， ∴， ∴， 又， ∴， ∴， ∴B、C、M三点共线， ∴点在线段的延长线上． ②如图，当点在线段上时，    同理， ∴，， 又， ∴， ∴， ∴， 又， ∴ ∴B、C、M三点共线， ∵点在线段上． 综上所述，点在射线上上． 【点睛】本题考查了正方形的性质、等腰直角三角形的性质、勾股定理、相似三角形的判定和性质等相关知识点，解题的关键是掌握以上知识点． / 学科网（北京）股份有限公司 $$