第19讲 多边形 平行四边形 综合检测（重难点）-【帮课堂】2024-2025学年八年级数学下册同步学与练（沪教版）

第19讲 多边形 平行四边形 综合检测（重难点） 一、单选题 1．平行四边形一定具有的特征是（    ） A．四边相等 B．对角线相等 C．四个角都是直角 D．对角线互相平分 2．一个多边形的内角和为，则这个多边形的边数为（    ） A．11 B．10 C．9 D．8 3．平行四边形中，，则的度数为(   ) A． B． C． D． 4．下列条件中能判定四边形是平行四边形的是（   ） A． ， B．， C．， D．， 5．一个多边形的内角和不可能是（   ） A． B． C． D． 6．如图，在中，的平分线DE交BC于点E，若，则的周长为（   ） A．46 B．48 C．50 D．52 7．一个多边形的内角和是它的外角和的2倍，则这个多边形是（    ） A．五边形 B．六边形 C．七边形 D．八边形 8．若一个多边形共有20条对角线，则这个多边形的内角和是（　　） A． B． C． D． 9．一条边长为5的平行四边形，它的对角线长可能是（    ） A．4和6 B．4和3 C．2和6 D．4和8 10．如图，平行四边形的对角线，相交于点O，平分，分别交，于点E，P，连接，，，则下列结论： ①；②；③；④；⑤，正确的个数是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 二、填空题 11．若一个正多边形的每一个内角都是，则这个正多边形的边数为 ． 12．如图，在中，若三条边的长分别为和，则 ． 13．一个多边形的每一个外角都等于，则这个多边形的内角和为 ． 14．如图，在平行四边形中，为的中点，过点且分别交、于点、．如果，那么的长为 15．在平行四边形中，O是、的交点，过点O与垂直的直线交边于点E，若的周长为，则的周长为 ． 16．如图，平面直角坐标系中，点两点的坐标分别为，，若四边形是平行四边形，则点的坐标为 ． 17．如图，小毛从点出发沿直线前进米到达点后向左旋转的角度为，再沿直线前进米，到达点后，又向左旋转角度，照这样走下去，第二次回到出发地点时，他共走了米，则每次旋转的角度为 ． 18．如图，在平行四边形中，E为边上的一个点，将沿折叠至处，使得落在的延长线上，若，时，则的度数为 ． 三、解答题 19．如图，在平行四边形中，点A、C在对角线所在的直线上，且．求证：四边形是平行四边形． 20．如图，已知在中，，求证：． 21．如图，在平行四边形中，，的平分线交于点，，，垂足为点，，求的长. 22．如图所示，求． 23．如图，在四边形中，． (1)求的长； (2)求四边形的面积． 24．如图，已知：平行四边形中，，的平分线交于点E，且点E刚好落在上，分别延长、交于F． (1)与之间有什么数量关系？并证明你的猜想； (2)若，，求的面积． 25．如图，在中，，于点，延长至点，使，过点作交的延长线于点，连接，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，，求四边形的面积． 26．【感知】如图，在平行四边形中，对角线相交于点，过点的直线分别交边于点，易证：（不需要证明）； 【探究】如图，平行四边形中，对角线相交于点，过点的直线分别交边的延长线于，求证：； 【应用】连接图中的，其它条件不变，如图，若，的面积为，则四边形的面积为__________．    27．如图，在平面直角坐标系中，直线分别与轴、轴交于点，直线与轴相交于点，点在第四象限，． (1)求直线的解析式； (2)当时，求点的坐标； (3)在（2）的条件下，已知点在轴上，点在直线上，如果以点为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点和点的坐标． 28．类比于等腰三角形的定义，我们定义：有一组邻边相等的凸四边形叫做等邻边四边形． (1)如图1，四边形的顶点A、B、C在格点上，请你在的网格中分别画出3个不同形状的等邻边四边形，要求点D在格点上； (2)如图2，在中，E是上一点，F是上一点，，，请证明四边形是等邻边四边形； (3)如图3，在中，，，M、N分别为边上一点（N不与两端点重合），连结，，，当四边形是等邻边四边形时，请直接写出的长度． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第19讲 多边形 平行四边形 综合检测（重难点） 一、单选题 1．平行四边形一定具有的特征是（    ） A．四边相等 B．对角线相等 C．四个角都是直角 D．对角线互相平分 【答案】D 【分析】本题考查了平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形的性质是解题关键．根据平行四边形的性质逐项判断即可得． 【解析】A.平行四边形的对边相等，四边不一定相等，此项不符合题意； B.平行四边形的对角线互相平分，但不一定相等，此项不符合题意； C.平行四边形的对角相等，但四个角不一定是直角，此项不符合题意； D.平行四边形的对角线互相平分，此项符合题意； 故选：D 2．一个多边形的内角和为，则这个多边形的边数为（    ） A．11 B．10 C．9 D．8 【答案】B 【分析】本题考查多边形的内角和，设这个多边形的边数为n，根据多边形的内角和公式可得，求解方程即可解答． 【解析】设这个多边形的边数为n，则 ， 解得：， ∴这个多边形的边数为10． 故选：B 3．平行四边形中，，则的度数为(   ) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行四边形的性质，根据平行四边形得出两直线平行，同旁内角互补，进行列式计算，即可作答． 【解析】解：四边形是平行四边形， ，， ， ， ， ， ， 故选：C． 4．下列条件中能判定四边形是平行四边形的是（   ） A． ， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】本题考查平行四边形的判定，解题关键是熟练掌握平行四边形的判定定理． 根据平行四边形的判定定理对选项进行逐一判断即可． 【解析】解：、无法得到四边形是平行四边形，不符合题意； 、无法得到四边形是平行四边形，不符合题意； 、，，两组对边分别相等的四边形为平行四边形，可得四边形是平行四边形，符合题意； 、无法得到四边形是平行四边形，不符合题意． 故选：． 5．一个多边形的内角和不可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了多边形的内角和定理，边形的内角和是，即多边形的内角和一定是180的正整数倍，依此即可解答，对于定理的理解是解决本题的关键． 【解析】解：不能被整除，一个多边形的内角和不可能是． 故选：D． 6．如图，在中，的平分线DE交BC于点E，若，则的周长为（   ） A．46 B．48 C．50 D．52 【答案】D 【分析】本题主要考查平行四边形的性质，还涉及了平行线的性质，等角对等边，应熟练掌握．根据平行四边形的性质得到，，利用平行线的性质和角平分线推出，从而得到，求出，即可得到周长． 【解析】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ， 平分， ， ， ， ， ， 平行四边形的周长， 故选：D． 7．一个多边形的内角和是它的外角和的2倍，则这个多边形是（    ） A．五边形 B．六边形 C．七边形 D．八边形 【答案】B 【分析】多边形的外角和是，则内角和是．设这个多边形是边形，内角和是，这样就得到一个关于的方程，从而求出边数的值． 【解析】解：设这个多边形是边形，根据题意，得 ， 解得：． 故这个多边形是六边形． 故选：B． 【点睛】本题考查了多边形的内角和与外角和，熟记内角和公式和外角和定理并列出方程是解题的关键． 8．若一个多边形共有20条对角线，则这个多边形的内角和是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据多边形对角线与边数关系得出具体是几边形，然后利用多边形内角和公式求出结果 【解析】解：设这个多边形的边数为n， 由题意得，， 解得或（舍去）， ∴这个多边形是八边形， ∴这个多边形的内角和为， 故选C． 【点睛】本题主要考查多边形边数与对角线数量及内角和的关系，熟练掌握相关公式是关键． 9．一条边长为5的平行四边形，它的对角线长可能是（    ） A．4和6 B．4和3 C．2和6 D．4和8 【答案】D 【分析】根据平行四边形的性质中，两条对角线的一半和一边构成三角形，利用三角形三边关系判断可知． 【解析】解：A、对角线一半分别是2和3，2+3=5，故不能构成三角形，故本选项不符合题意； B、对角线一半分别是2和1.5，2+1.5=3.5＜5，故不能构成三角形，故本选项不符合题意； C、对角线一半分别是1和3，1+3＜5，故不能构成三角形，故本选项不符合题意； D、对角线一半分别是2和4，符合三角形的三边关系，能构成三角形，故本选项符合题意． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质及三角形的三边关系，注意平行四边形中两条对角线的一半和一边构成三角形，另外要熟练三角形的三边关系． 10．如图，平行四边形的对角线，相交于点O，平分，分别交，于点E，P，连接，，，则下列结论： ①；②；③；④；⑤，正确的个数是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】①先根据角平分线和平行线的性质得：，则，由有一个角是60度的等腰三角形是等边三角形得：是等边三角形，由外角的性质和等腰三角形的性质得：，最后由平行线的性质可作判断；②先根据三角形中位线定理得：，，根据勾股定理计算，的长，即可求的长；③因为，根据平行四边形的面积公式可作判断；④根据平行四边形的性质和三角形中位线定理可作判断；⑤由求解，再进一步可得答案． 【解析】解：①∵平分， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，故①正确； ②∵，， ∴，， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，故②正确； ③由②知：， ∴，故③正确； ④由②知：是的中位线， ∴， ∵， ∴，故④正确； ⑤∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴，故⑤错误； 本题正确的有：①②③④，共4个， 故选：C． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质、等腰三角形的性质、等边三角形的性质、三角形的外角性质、含的直角三角形性质、三角形的中位线性质、三角形面积和平行四边形面积的计算；熟练掌握平行四边形的性质，证明是等边三角形是解决问题的关键，并熟练掌握同高三角形面积的关系． 二、填空题 11．若一个正多边形的每一个内角都是，则这个正多边形的边数为 ． 【答案】 【分析】本题考查了多边形内角与外角的关系，一个正多边形的每个内角都相等，根据内角与外角互为邻补角，因而就可以求出外角的度数，根据任何多边形的外角和都是度，利用除以外角的度数就可以求出外角的个数，即多边形的边数，由外角和求正多边形的边数是解题关键． 【解析】解：由题意可得：每个外角是：， 则， ∴这个正多边形是正十二边形， 故答案为：． 12．如图，在中，若三条边的长分别为和，则 ． 【答案】6 【分析】本题考查了平行四边形的性质，由平行四边形的性质可得，列出等式，即可求解． 【解析】解：四边形是平行四边形， ， ， 解得：， ． 故答案为：6． 13．一个多边形的每一个外角都等于，则这个多边形的内角和为 ． 【答案】1260 【分析】本题主要考查了多变形的内角与外角．首先根据外角和与一个外角的度数可得多边形的边数，再根据多边形的内角和公式进行计算即可． 【解析】解：一个多边形的每一个外角都等于， 这个多边形的边数为：， 这个多边形的内角和为：， 故答案为：． 14．如图，在平行四边形中，为的中点，过点且分别交、于点、．如果，那么的长为 【答案】8 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质等知识点．根据平行四边形可得，从而得到，可证明，从而得到，即可． 【解析】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵O为的中点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：8 15．在平行四边形中，O是、的交点，过点O与垂直的直线交边于点E，若的周长为，则的周长为 ． 【答案】 【分析】此题考查了平行四边形的性质，线段垂直平分线的性质，关键是根据线段垂直平分线的性质进行分析．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．由平行四边形的对角线相交于点O，，根据线段垂直平分线的性质，可得，又由平行四边形的，继而可得的周长等于． 【解析】解：∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∵的周长， ∴， ∵， ∴， ∴的周长为：． 故答案为：． 16．如图，平面直角坐标系中，点两点的坐标分别为，，若四边形是平行四边形，则点的坐标为 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了点的坐标，平行四边形的性质，中点坐标公式，熟练掌握点的坐标，平行四边形的性质，中点坐标公式是解决问题的关键． 连接交于点，根据平行四边形性质得点为线段，线段的中点，再根据点得点，然后根据点，点可得点的坐标． 【解析】解：连接交于点，如下图所示： ∵四边形为平行四边形， ∴点为线段，线段的中点， ∵点两点的坐标分别为， ∴点的坐标为， ∵点，点是线段的中点， ∴点的坐标为． 故答案为：． 17．如图，小毛从点出发沿直线前进米到达点后向左旋转的角度为，再沿直线前进米，到达点后，又向左旋转角度，照这样走下去，第二次回到出发地点时，他共走了米，则每次旋转的角度为 ． 【答案】/度 【分析】本题考查了多边形的计算，正确理解多边形的外角和是是关键．根据共走了米，每前进米左转一次可求得左转的次数，则已知多边形的边数，再根据外角和计算左转的角度． 【解析】解：向左转的次数（次）， 则左转的角度是． 故答案是：． 18．如图，在平行四边形中，E为边上的一个点，将沿折叠至处，使得落在的延长线上，若，时，则的度数为 ． 【答案】/度 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，翻折的性质，三角形内角和定理等知识，根据翻折前后对应角相等是解题的关键．根据平行四边形的性质可求出，由三角形内角和求出，然后由折叠的性质即可求解． 【解析】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 根据折叠可知：， ∴． 故答案为：． 三、解答题 19．如图，在平行四边形中，点A、C在对角线所在的直线上，且．求证：四边形是平行四边形． 【答案】见解析 【分析】本题考查的是平行四边形的判定与性质，连结，交于点O．证明，，从而可得结论，熟记平行四边形的判定方法是解本题的关键． 【解析】证明：连结，交于点O． ∵四边形是平行四边形， ∴，． 又∵， ∴． 即． ∴四边形是平行四边形． 20．如图，已知在中，，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，结合平行四边形的性质，利用证明可证明结论； 【解析】证明：∵四边形为平行四边形， ∴． ∴． ∵， ∴． ∴． 在和中， ， ∴， ∴； 21．如图，在平行四边形中，，的平分线交于点，，，垂足为点，，求的长. 【答案】 【分析】由平行四边形的性质可得的长，；由角平分线性质得，利用等腰三角形的性质及勾股定理即可求解． 【解析】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ， ∵平分， ∴， ∴， ∴； ∵， ∴； 在中，由勾股定理得， ∴． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，等腰三角形的判定与性质，角平分线的定义，勾股定理． 22．如图所示，求． 【答案】 【分析】此题考查三角形外角的性质，多边形内角和，设与、的交点为、，根据三角形外角的性质得到,，即可求出答案，正确理解三角形外角性质将角度进行转化是解题的关键 【解析】解：设与、的交点为、， ∵, ∴ ∴ 23．如图，在四边形中，． (1)求的长； (2)求四边形的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质与判定，勾股定理： （1）利用勾股定理求出，则，据此可证明四边形是平行四边形，则； （2）根据平行四边形面积计算公式求解即可． 【解析】（1）解：， ， 在中，由勾股定理得 ， ， ， ， 四边形是平行四边形， ； （2）解：四边形是平行四边形，且． ． 24．如图，已知：平行四边形中，，的平分线交于点E，且点E刚好落在上，分别延长、交于F． (1)与之间有什么数量关系？并证明你的猜想； (2)若，，求的面积． 【答案】(1)，证明见详解 (2) 【分析】（1）根据可得，根据平分，可得，即有，则，同理可证明，即有，问题得证； （2）过点A作于G点，先得出，即有，， 则，再证明，即有． 【解析】（1），证明： ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， 同理可证明， ∵， ∴， ∴； （2）过点A作于G点，如图， ∵， ∴； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，等腰三角形的判定与性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质等知识，熟练运用等角对等边，是解答本题的关键． 25．如图，在中，，于点，延长至点，使，过点作交的延长线于点，连接，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，，求四边形的面积． 【答案】(1)详见解析 (2) 【分析】1）根据垂直的定义及平行线的性质可知，再利用全等三角形的性质及平行四边形的判定即可解答； 2）根据等腰三角形的性质，再利用平行四边形的性质可知，最后利用勾股定理即可解答． 【解析】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴在和中， ， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形； （2）解：∵在中，， ∴， ∵， ∴是等腰三角形， ∴是的中线， ∴， ∵， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴, ∵， ∴在中，， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理，平行四边形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，平行线的性质，掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键． 26．【感知】如图，在平行四边形中，对角线相交于点，过点的直线分别交边于点，易证：（不需要证明）； 【探究】如图，平行四边形中，对角线相交于点，过点的直线分别交边的延长线于，求证：； 【应用】连接图中的，其它条件不变，如图，若，的面积为，则四边形的面积为__________．    【答案】探究：见详解， 应用：，过程见详解 【分析】本题考查行四边形的性质、三角形全等的判定和性质，熟练掌握相关知识点是解题关键． [探究]由平行四边形的性质得到，所以，从而判定，得证； [应用]因为，所以．由可求，由平行四边形性质得，可求，同理可求，则． 【解析】解：探究：证明：四边形是平行四边形， ， ． 在和中 ， ， 应用：解：， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， ， ， 同理，， ． 故答案为：． 27．如图，在平面直角坐标系中，直线分别与轴、轴交于点，直线与轴相交于点，点在第四象限，． (1)求直线的解析式； (2)当时，求点的坐标； (3)在（2）的条件下，已知点在轴上，点在直线上，如果以点为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点和点的坐标． 【答案】(1) (2) (3)，或，或，． 【分析】（1）先求出点的坐标，然后设直线的解析式为，利用待定系数法求解即可； （2）过点作轴于点，根据、、三点的坐标，得出，，，由勾股定理得到，再结合，求出，证明是等腰直角三角形，推出，即可得出点的坐标； （3）分三种情况讨论：①四边形为平行四边形时，根据平行四边形的性质，得到点的纵坐标为，进而得到点的坐标，再根据，得到点的坐标；②四边形为平行四边形时，同①理求解；③四边形为平行四边形时，结合平行四边形的性质，利用待定系数法，求出直线的解析式，进而的得到点的坐标，再根据坐标两点的中点公式，求出点的坐标． 【解析】（1）解：直线分别与轴交于点， 令，则， , 设直线的解析式为， ，解得：， 直线的解析式为； （2）解：如图，过点作轴于点， 直线分别与轴交于点， 令，则，解得：， ， ， ，， ，， ， ， ，， ， ， ， ， ， ，， ， 轴， 是等腰直角三角形， ，， ， ， 点的坐标为；    （3）解：以点为顶点的四边形是平行四边形， ①如图，四边形为平行四边形时，   轴，， 点的纵坐标为， 点在直线上， 令，则，解得：， ， ， ， ； ②如图，四边形为平行四边形时，    同①理可得，，， ， ， ； ③如图，四边形为平行四边形时，   ， 设直线的解析式为， 则，解得：， 直线的解析式为， 令，则， 解得：， 设点， 则，解得：， 综上可知，以点为顶点的四边形是平行四边形，点和点的坐标为，或，或，． 【点睛】本题是一次函数综合题，考查了一次函数的图象的性质，求一次函数解析式，平行四边形的性质，勾股定理，等腰直角三角形的判定和性质等知识，利用数形结合和分类讨论的思想解决问题是关键． 28．类比于等腰三角形的定义，我们定义：有一组邻边相等的凸四边形叫做等邻边四边形． (1)如图1，四边形的顶点A、B、C在格点上，请你在的网格中分别画出3个不同形状的等邻边四边形，要求点D在格点上； (2)如图2，在中，E是上一点，F是上一点，，，请证明四边形是等邻边四边形； (3)如图3，在中，，，M、N分别为边上一点（N不与两端点重合），连结，，，当四边形是等邻边四边形时，请直接写出的长度． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)4或7或 【分析】此题考查了平行四边形的性质、勾股定理、全等三角形的判定和性质等知识，分类讨论是解题的关键． （1）根据题意利用网格特点做出图形即可； （2）连接，证明，则，即可得到结论； （3）分四种情况分别进行求解即可． 【解析】（1）解：如图所示，四边形即为所求， （2）连接，   四边形是平行四边形， ， ， ∵， ， ， ，， )， ， 四边形是“等邻边四边形”； （3）在中，，， ∴，， 过点M作于H，则， ∴， ∴， ∴，， ∴， 当时，设，则， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得， 即， 当时，则， ∵， ∴是等边三角形， ∴； 当时，设，则，作于点G， 则， ∵， ∴， ∴， ∴ ∴ 在中，， ∴， ∴， ∴ 即， ∵， ∴这种情况不存在， 综上可知，的长度为4或7或． 24 / 24 学科网（北京）股份有限公司 $$