第三单元专项练习08：学科素养·创新题型探究-2024-2025学年五年级数学下册典型例题系列（原卷版+解析版）苏教版

第 1 页 共 12 页 2024-2025 学年五年级数学下册典型例题系列「2025 版」 第三单元专项练习 08：学科素养·创新题型探究 一、填空题。 1．在 1、2、3、…、n中，其中所有奇数的和是M，所有质数的和是 N，所有 偶数的和是 P，所有合数的和是 Q。那么（M＋P）－（N＋Q）＝( )。 【答案】1 【分析】在这些数中，所有偶数与所有奇数合起来就包含了所有的数；1既不是 质数也不是合数，所有质数与所有合数合起来包含了除 1以外的所有数；所以可 得M＋P＝1＋2＋3＋…＋n，N＋Q＝2＋3＋…＋n，据此解答即可。 【详解】根据分析得，M＋P＝1＋2＋3＋…＋n，N＋Q＝2＋3＋…＋n， 所以（M＋P）－（N＋Q） ＝（1＋2＋3＋…＋n）－（2＋3＋…＋n） ＝1＋（2＋3＋…＋n－2－3－…－n） ＝1＋0 ＝1 【点睛】此题主要考查奇数、偶数、质数、合数的定义以及分类标准来解决问题。 2．规定一个新运算：对于不小于 3的整数 n，（n）表示 n的因数个数，如 5的 因数是 1和 5，所以（5）＝2；再如 8的因数是 1、2、4和 8，所以（8）＝4等 等，请你在理解这种新运算的基础上，求（6）＋（24）＝( )。 【答案】12 【分析】由题意可知，（n）表示 n的因数个数，求一个数的因数时，就用这个 数从 1开始去整除，一直除到除数和商交换位置或除数和商相同为止，除数和商 都是被除数的因数，重复的因数只写一个，求出 6和 24的因数个数，再求出（6） ＋（24）的值，据此解答。 【详解】6÷1＝6 6÷2＝3 6的因数有 1，2，3，6，一共 4个因数。 24÷1＝24 第 2 页 共 12 页 24÷2＝12 24÷3＝8 24÷4＝6 24的因数有 1，2，3，4，6，8，12，24，一共 8个因数。 所以，（6）＋（24）＝4＋8＝12。 【点睛】本题主要考查定义新运算，掌握求一个数因数的方法是解答题目的关键。 3．定义运算“△”：对于两个自然数 a和 b，它们的最大公因数与最小公倍数的和 记为 a b。例如： 4 6 2 12 14    。根据上面定义的运算，则57 12  ( )。 【答案】231 【分析】根据题意，求得 57和 12的最大公因数和最小公倍数，然后把最大公因 数和最小公倍数相加即要。 【详解】57＝3×19 12＝2×2×3 57和 12的最大公因数是：3 57和 12的最小公倍数是：3×19×2×2＝228 57 12  3＋228＝231 【点睛】解答此题的关键是，根据定义的新运算，找出运算方法，列式解答即可。 4．A是一个自然数，如果从 A中依次减去 1，3，5…。若干个连续单数（奇数）， 直到不够减时为止，那么还剩下 25；如果从 A中依次减去 2，4，6…。若干个 连续双数（偶数），直到不够减时为止，那么还剩下 9.自然数 A等于( )。 【答案】281 【解析】每减一个偶数比减一个奇数多减 1，对比最后剩下的两个数 25和 9，9 比 25小 16，那么减了 16个奇数或偶数，然后从 1加到第 16个奇数，再加上 25， 得到 A。 【详解】25 9 16  25 1 3 5 29 31 281       所以自然数 A 等于 281。 【点睛】求解本题的关键是找出两次操作的区别，重点是两次操作最后得到的数 为什么会相差 16。 第 3 页 共 12 页 5．一个数列有如下规则：当数n是奇数时，下一个数是 1n ；当数n是偶数时， 下一个数是 2 n 。如果这列数的第一个数是奇数，第四个数是11，则这列数的第一 个数是( )。 【答案】43 【分析】第四个数是 11，那么第三数如果是偶数就是 22，第三个数如果是奇数 是不可能的；同理，用倒推法可以求出第二个数、第一个数。 【详解】11是奇数，那么第三个数只能是偶数； 第三数是 22，22的前一个数可以是偶数 44或奇数 21； 44的前一个是可以是偶数 88或奇数 43，而 21的前一个只能是偶数 42； 由于这列数的第一个是奇数，所以只有 43满足； 故这列数的第一个数是 43。 【点睛】本题考查的是还原问题，也可以把第一个数设为 a，然后表示出第四个 数，求解出 a的值。 6．一个运算程序，运算规则如图，如果输入 23，那么结果是( )；如果 输入了一个数，结果是 66，那么这个数是( )。 【答案】 531 32 【分析】23是一个质数，所以运行的算法为 223 2 531  ； 由于只知道结果是 66，所以让 2 2A  和2 2A 这两个算式都等于 66，再分别计算 出 A，看 A是否符合各自运算程序的条件，即 2 2 66A   ， 8A  ，8是合数，不 符合相对应的运算程序的条件“A是质数”；2 2 66A  ， 32A  ，32是合数，符合 相对应的运算程序的条件“A是合数”，所以这个数是 32。 第 4 页 共 12 页 【详解】232＋2＝23×23＋2＝529＋2＝531 解：设这个数为 x，由题意得： x2＋2＝66 x2＝64 x＝8 8是合数，不符合题意。 解：设这个数为 y，由题意得： 2y＋2＝66 2y＝64 y＝32 32是合数，符合题意。 【点睛】首先判断所输入的数是质数还是合数，然后依照程序的规则计算出结果 即可；因为只知道结果为 66，并不知道输入的原数是质数还是合数，故要依据 规则列两个方程，解答后再做判断。 二、选择题。 7．如果“数”、“学”代表不同的质数，且满足关系式：3×数＋5×学＝31，那么数 ＋学的结果可能是( )。 A．3 B．5 C．9 【答案】C 【分析】除了 1和它本身以外不再有其他因数，这样的数叫质数。奇数＋奇数＝ 偶数，奇数＋偶数＝奇数。 因为“数”、“学”代表不同的质数，根据奇偶性，如果质数都是奇数，左边应该是 和为偶数，事实上 31是奇数，所以必然有一个质数是偶数，只能是 2，所以， 显然有：数＝2，学＝5或者数＝7，学＝2，则和为 7或 9。 【详解】3×2＋5×5＝6＋25＝31 3×7＋5×2＝21＋10＝31 2＋5＝7 7＋2＝9 数＋学的结果可能是 7或 9。 第 5 页 共 12 页 故答案为：C 8．著名的“哥德巴赫猜想”认为：任何大于 2的偶数都可以写成两个质数之和。 下面的四个算式中，符合“哥德巴赫猜想”的是( )。 A．7＝2＋5 B．6＝1＋5 C．22＝3＋19 D．24＝3＋21 【答案】C 【分析】在自然数中，是 2的倍数的数叫做偶数，一个数只有 1和它本身两个因 数，这个数叫做质数。据此解答。 【详解】A．7＝2＋5 7是奇数，7＝2＋5不符合“哥德巴赫猜想”； B．6＝1＋5 1既不是质数，也不是合数，6＝1＋5不符合“哥德巴赫猜想”； C．22＝3＋19 22是偶数，3和 19是质数，所以 22＝3＋19符合“哥德巴赫猜想”； D．24＝3＋21 21是合数，所以 24＝3＋21不符合“哥德巴赫猜想”。 故答案为：C 【点睛】本题主要考查了奇数、偶数、质数、合数的认识和应用。 9．2300年前古希腊数学家欧几里得证明了素数（也就是质数）有无限多个，提 出少量素数可以写成“2p－1”的形式，这里的 p也是一个素数。由于这种素数有 许多独特的性质和无穷的魅力，千百年来一直吸引着众多的数学家对它进行研究 和探索。17世纪法国著名数学家马林·梅森是其中成果较为卓著的一位，因此后 人将“2p－1”型的素数称为梅森素数。下面 4个数中，( )是梅森素数。（注： 2p表示 p个 2相乘） A．1 B．7 C．15 D．17 【答案】B 【分析】一个数，如果只有 1和它本身两个因数，那么这样的数叫做质数； 一个数，如果除了 1和它本身还有别的因数，那么这样的数叫做合数。 根据题意，先分析四个选项的数是否是质数，再看质数是否能写成“2p－1”的形 式，且 p也是质数，即可找出梅森素数。 第 6 页 共 12 页 【详解】A．1既不是质数也不是合数，不符合梅森素数的特征； B．7是质数，7＝8－1＝23－1，符合梅森素数的特征； C．15是合数，不符合梅森素数的特征； D．17是质数，但 17不能写成“2p－1”的形式，不符合梅森素数的特征。 故答案为：B 【点睛】本题考查质数的意义以及梅森素数的特征。 10．古希腊学者认为：如果一个数恰好等于它的所有因数（本身除外）相加之和， 那么这个数就是“完全数”。例如 6有 4个因数 1，2，3，6，除本身 6以外，还 有 1，2，3三个因数。6 1 2 3   ，所以 6是“完全数”。下面的数中是“完全数” 的是( )。 A．10 B．12 C．16 D．28 【答案】D 【分析】根据题意可知，把每个选项的因数都写出来，再相加，看看是否符合“完 全数”的规律。 【详解】A．10的因数有：1、10、2、5。 1＋2＋5＝8 10不是“完全数”。 B．12的因数有：1、12、2、6、3、4 1＋2＋3＋4＋6＝16 12不是“完全数”。 C．16的因数有：1、16、2、8、4 1＋2＋4＋8＝15 16不是“完全数”。 D．28的因数有：1、28、2、14、4、7 1＋2＋4＋7＋14＝28 28是“完全数”。 故答案为：D 【点睛】熟练掌握“完全数”的概念特征，是解决本题的关键。 11．学校举行“数学节”活动。其中有个非常有趣的比赛，要求选手们在规定时间 第 7 页 共 12 页 内，从最小的质数开始，按从小到大的顺序写质数，中间不允许跳过任何一个质 数，最后每人把自己写出来的质数相乘求积。其中 A、B、C、D四名选手经裁 判组核定，他们写的质数都符合比赛要求。以下分别是他们算出的积，然而只有 一人计算正确，那么正确的是( )。 A．30035 B．510510 C．1531516 D．9699698 【答案】B 【分析】一个自然数如果只有 1和它本身两个因数，那么这个自然数叫做质数； 从小到大的质数有：2、3、5、7、11、13、17⋯ ，因为 2×5＝10，所以无论有多 少个质数相乘，它的积的个位数字一定是 0，再结合选项选择即可。 【详解】由分析可知： 只有 B项的结果的个位数字是 0，所以 510510是正确的。 故答案为：B 【点睛】本题考查质数，明确质数的定义是解题的关键。 三、解答题。 12．对大于 0的自然数 n规定一种运算“G”：①当 n是奇数时，   3 1G n n  ；② 当 n是偶数时，  G n 等于 n连续被 2除，直到商是奇数。将 k次“G”运算记作 kG ， 如  1 5 3 5 1 16G     ，    2 15 16 16 2 2 2 2 1G G       ，  3 5 3 1 1 4G     。计算： （1）  1 2021G 的值； （2）  5 19G 的值： （3）  2021 19G 的值。 【答案】（1） 6064； （2）34； （3）4 【分析】首先正确理解新定义的算式的含义，当 n是奇数时，按照 3n＋1来计算； 当 n是偶数时，按照 n连续被 2除计算，直到商是奇数。然后严格按照新定义的 计算程序，将数值代入，转化为常规的四则运算算式进行计算。 【详解】（1）  1 2021 3 2021 1 6063 1 6064G       第 8 页 共 12 页 答：  1 2021G 的值为 6064。 （2）  1 19 3 19 1 57 1 58G          2 119 58 58 2 29G G       3 119 29 3 29 1 87 1 88G G          4 119 88 88 2 2 2 11G G         5 119 11 3 11 1 33 1 34G G       答：  5 19G 的值为 34。 （3）    16 19 34 34 2 17G G       7 119 17 3 17 1 51 1 52G G          8 119 52 52 2 2 13G G        9 119 13 3 13 1 39 1 40G G          10 119 40 40 2 2 2 5G G         11 119 5 3 5 1 15 1 16G G          12 119 16 16 2 2 2 2 1G G          13 119 1 3 1 1 3 1 4G G          114 19 4 4 2 2 1G G        15 119 1 3 1 1 3 1 4G G       从 12G 开始，计算结果是 1和 4循环，（2021－11）÷2＝2010÷2＝1005，所以  2021 19 4G  。 答：  2021 19G 的值为 4。 【点睛】解答定义新运算，关键是要正确地理解新定义的算式的含义。 13．某手机游戏规则如下：玩家手中有风、火、水、土四种技能，每个技能发动 一次都能使敌人血量减少一定的点数。具体效果如下：风技能每次 130点，火技 第 9 页 共 12 页 能每次 170点，水技能每次 78点，土技能每次 104点，如果每个技能发动的次 数都大于 1，那么当敌人的血量减少 3600点时，火技能发动了多少次？ 【答案】12次 【解析】观察发现，130、78、104都是 13的倍数，设风、火、水、土四种技能 用的次数分别是 a、b、c、d，可以得到方程130a 170b 78c 104d 3600    ，求解这 个不定方程即可。 【详解】解：设风、火、水、土四种技能用的次数分别是 a、b、c、d； 130a 170b 78c 104d 3600    根据余数的性质，130a、78c、104d除以 13，余数是 0，3600除以 13，余数是 12，那么要求 170b除以 13，余数是 12； 当 a＝2，b＝12，c＝6，d＝8时符合要求； 答：火技能发动了 12次。 【点睛】本题考查的是不定方程，求解不定方程时可以根据余数的性质、奇偶性 进行分析。 14．0国王带着1、3、5、7、9、11六位大臣去旅游。晚上大家要去住旅馆，可 只有三间房。0国王自己要住一间，剩下的两间房都能住三个人，一间是奇数房， 只能住奇数；一间是质数房，只能住质数。结果六位大臣商量着竟然吵了起来。 1大臣说：“我是质数，我应该住质数房！” 3大臣说：“不对，你是奇数，我才应该住质数房！” 他们闹得不可开交，最后只好请 0国王来评判。可 0国王一时之间也不知道该怎 么安排。同学们，你们能帮助他们吗？你们能够设计几种不同的住法呢？ 【答案】4种 【分析】首先，在题目里 1大臣所说的是错误的，而 3大臣所说的是正确的；所 有大臣都可以住奇数房，但只有 3、5、7、11四位大臣可以住在质数房。 【详解】所有的六位大臣都可以去住奇数房，但只有3、5、7、11四位大臣可以 住在质数房。 所以，例如1、3、9住奇数房，5、 7、11住质数房的安排方法就是正确的。 由前面的分析，1、9必须住在奇数房，所以另外四个数中任何一个也住进奇数 房，都是一种住法，那么一共有 14C 4 种不同的住法。 第 10 页 共 12 页 答：能够设计 4种不同的住法。 【点睛】按照非零自然数因数的个数，可以将非零自然数分为质数、合数、1， 其中 1既不是质数，也不是合数。 15．下表是一个未完成的奇数乘法表，除第一行和第一列外，表中的数字为所在 行和列的第一个数的乘积，如 1＝1×1，35＝5×7＝7×5，63＝7×9＝9×7，81＝9×9， 求完成后的奇数乘法表中所有数之和。 【答案】10000 【分析】表中的每一个数是其所在行对应的数乘所在列对应的数，第一列的所有 数之和是 1的 1倍至 19倍之和，第二列是 3的 1倍至 19倍之和，最后一列是 19的 1倍至 19倍之和，相加得到总和。 【详解】      1 1 3 5 17 19 3 1 3 5 17 19 19 1 3 5 17 19                           1 3 5 17 19 1 3 5 17 19             100 100  10000 答：奇数乘法表中所有数之和是 10000。 【点睛】本题也可以找规律求解，表中从左上角开始的 2×2的方格中的所有数之 和是 4的平方，3×3的方格中的所有数之和是 9的平方，依此类推。 16．我们知道，每个自然数都有因数，对于一个自然数 a，我们把小于 a的正的 因数叫做 a的真因数．如 10的正因数有 1、2、5、10，其中 1、2、5是 10的真 因数． 第 11 页 共 12 页 把一个自然数 a的所有真因数的和除以 a，所得的商叫做 a的“完美指标”．如 10 的“完美指标”是（1+2+5）÷10= ． 一个自然数的“完美指标”越接近 1，我们就说这个数越“完美”．如 8的“完美指标” 是（1+2+4）÷8= ，10的“完美指标”是 ，因为 比 更接近 1，所以我们说 8比 10更完美． （1）试分别计算 5、6、9的“完美指标”； （2）试找出比 10大，比 20小的自然数中，最“完美”的数． 【答案】 ，1， ；16 【详解】试题分析：（1）根据定义的新的运算意义，分别找出 5、6、和 9的正 因数，再分别找出它们的真因数，最后再由“完美指标”的意义，列式即可解答； （2）根据“完美指标”的意义知道，自然数的真因数越多，此数越完美；因为在 11﹣19的数中，11、13、17、19是质数，真因数只有 1，所以先排除此三个数， 再分别找出 12、14、15、16、18的正因数，再分别找出它们的真因数，最后再 由“完美指标”的意义，分别求出“完美指标”． 解：（1）5的正因数有：1，5，其中 1是 5的真因数， 完美指标：1÷5= ， 6的正因数有：1，2，3，6，其中 1，2，3是 6的真因数， 完美指标：（1+2+3）÷6=1， 9的正因数有：1，3，9，其中 1，3是 9的真因数， 完美指标：（1+3）÷9= ， （2）12的正因数有：1、2、3、4、6、12，其中 1、2、3、4、6是真因数， 完美指标：（1+2+3+4+6）÷12= ≈1.33， 14的正因数有：1、2、7、14，其中 1、2、7是真因数， 完美指标：（1+2+7）÷14= ≈0.71， 15的正因数有：1、3、5、15，其中 1、3、5是真因数， 完美指标：（1+3+5）÷15= =0.6， 16的正因数有：1、2、4、8、16，其中 1、2、4、8是真因数， 第 12 页 共 12 页 完美指标：（1+2+4+8）÷16= ≈0.94， 18的正因数有：1、2、3、6、9、18，其中 1、2、3、6、9是真因数， 完美指标：（1+2+3+6+9）÷18= ≈1.17， 由以上所求的完美指标知道，16的完美指标最接近 1， 所以，比 10大，比 20小的自然数中，最“完美”的数是 16； 答：5、6、9的“完美指标”分别是 、1、 ；比 10大，比 20小的自然数中，最“完 美”的数是 16． 点评：解答此题的关键是，根据所给出的新的运算方法，即完美指标的意义及计 算方法，找出对应的数，列式解决问题． 17．先完成下面的计算，再探索规律，回答问题 前 2个奇数的和：1＋3＝（ ） 前 3个奇数的和：1＋3＋5＝（ ） 前 4个奇数的和：1＋3＋5＋7＝（ ） 前 5个奇数的和：1＋3＋5＋7＋9＝（ ） …… （1）前 9个奇数的和是( )，前 40个奇数的和是( )。（填“奇数” 或“偶数”） （2）自然数中，按奇数从小到大的顺序，前 N个奇数的和是多少？（用字母 N 表示） （3）利用上面的规律，前 2017个奇数的和是奇数还是偶数？并求出这个和。 【答案】4 9 16 25 （1）奇数 偶数 （2）N² （3）奇数 2017²＝4068289 【解析】略 2024-2025学年五年级数学下册典型例题系列「2025版」 第三单元专项练习08：学科素养·创新题型探究 一、填空题。 1．在1、2、3、…、n中，其中所有奇数的和是M，所有质数的和是N，所有偶数的和是P，所有合数的和是Q。那么（M＋P）－（N＋Q）＝( )。 2．规定一个新运算：对于不小于3的整数n，（n）表示n的因数个数，如5的因数是1和5，所以（5）＝2；再如8的因数是1、2、4和8，所以（8）＝4等等，请你在理解这种新运算的基础上，求（6）＋（24）＝( )。 3．定义运算“△”：对于两个自然数a和b，它们的最大公因数与最小公倍数的和记为。例如：。根据上面定义的运算，则( )。 4．A是一个自然数，如果从A中依次减去1，3，5…。若干个连续单数（奇数），直到不够减时为止，那么还剩下25；如果从A中依次减去2，4，6…。若干个连续双数（偶数），直到不够减时为止，那么还剩下9.自然数A等于( )。 5．一个数列有如下规则：当数是奇数时，下一个数是；当数是偶数时，下一个数是。如果这列数的第一个数是奇数，第四个数是，则这列数的第一个数是( )。 6．一个运算程序，运算规则如图，如果输入23，那么结果是( )；如果输入了一个数，结果是66，那么这个数是( )。 二、选择题。 7．如果“数”、“学”代表不同的质数，且满足关系式：3×数＋5×学＝31，那么数＋学的结果可能是( )。 A．3 B．5 C．9 8．著名的“哥德巴赫猜想”认为：任何大于2的偶数都可以写成两个质数之和。下面的四个算式中，符合“哥德巴赫猜想”的是( )。 A．7＝2＋5 B．6＝1＋5 C．22＝3＋19 D．24＝3＋21 9．2300年前古希腊数学家欧几里得证明了素数（也就是质数）有无限多个，提出少量素数可以写成“2p－1”的形式，这里的p也是一个素数。由于这种素数有许多独特的性质和无穷的魅力，千百年来一直吸引着众多的数学家对它进行研究和探索。17世纪法国著名数学家马林·梅森是其中成果较为卓著的一位，因此后人将“2p－1”型的素数称为梅森素数。下面4个数中，( )是梅森素数。（注：2p表示p个2相乘） A．1 B．7 C．15 D．17 10．古希腊学者认为：如果一个数恰好等于它的所有因数（本身除外）相加之和，那么这个数就是“完全数”。例如6有4个因数1，2，3，6，除本身6以外，还有1，2，3三个因数。，所以6是“完全数”。下面的数中是“完全数”的是( )。 A．10 B．12 C．16 D．28 11．学校举行“数学节”活动。其中有个非常有趣的比赛，要求选手们在规定时间内，从最小的质数开始，按从小到大的顺序写质数，中间不允许跳过任何一个质数，最后每人把自己写出来的质数相乘求积。其中A、B、C、D四名选手经裁判组核定，他们写的质数都符合比赛要求。以下分别是他们算出的积，然而只有一人计算正确，那么正确的是( )。 A．30035 B．510510 C．1531516 D．9699698 三、解答题。 12．对大于0的自然数n规定一种运算“G”：①当n是奇数时，；②当n是偶数时，等于n连续被2除，直到商是奇数。将k次“G”运算记作，如，，。计算： （1）的值； （2）的值： （3）的值。 13．某手机游戏规则如下：玩家手中有风、火、水、土四种技能，每个技能发动一次都能使敌人血量减少一定的点数。具体效果如下：风技能每次130点，火技能每次170点，水技能每次78点，土技能每次104点，如果每个技能发动的次数都大于1，那么当敌人的血量减少3600点时，火技能发动了多少次？ 14．国王带着、、、、、六位大臣去旅游。晚上大家要去住旅馆，可只有三间房。国王自己要住一间，剩下的两间房都能住三个人，一间是奇数房，只能住奇数；一间是质数房，只能住质数。结果六位大臣商量着竟然吵了起来。 大臣说：“我是质数，我应该住质数房！” 大臣说：“不对，你是奇数，我才应该住质数房！” 他们闹得不可开交，最后只好请国王来评判。可国王一时之间也不知道该怎么安排。同学们，你们能帮助他们吗？你们能够设计几种不同的住法呢？ 15．下表是一个未完成的奇数乘法表，除第一行和第一列外，表中的数字为所在行和列的第一个数的乘积，如1＝1×1，35＝5×7＝7×5，63＝7×9＝9×7，81＝9×9，求完成后的奇数乘法表中所有数之和。 16．我们知道，每个自然数都有因数，对于一个自然数a，我们把小于a的正的因数叫做a的真因数．如10的正因数有1、2、5、10，其中1、2、5是10的真因数． 把一个自然数a的所有真因数的和除以a，所得的商叫做a的“完美指标”．如10的“完美指标”是（1+2+5）÷10=． 一个自然数的“完美指标”越接近1，我们就说这个数越“完美”．如8的“完美指标”是（1+2+4）÷8=，10的“完美指标”是，因为比更接近1，所以我们说8比10更完美． （1）试分别计算5、6、9的“完美指标”； （2）试找出比10大，比20小的自然数中，最“完美”的数． 17．先完成下面的计算，再探索规律，回答问题 前2个奇数的和：1＋3＝（   ） 前3个奇数的和：1＋3＋5＝（   ） 前4个奇数的和：1＋3＋5＋7＝（   ） 前5个奇数的和：1＋3＋5＋7＋9＝（   ） …… （1）前9个奇数的和是( )，前40个奇数的和是( )。（填“奇数”或“偶数”） （2）自然数中，按奇数从小到大的顺序，前N个奇数的和是多少？（用字母N表示） （3）利用上面的规律，前2017个奇数的和是奇数还是偶数？并求出这个和。 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年五年级数学下册典型例题系列「2025版」 第三单元专项练习08：学科素养·创新题型探究 一、填空题。 1．在1、2、3、…、n中，其中所有奇数的和是M，所有质数的和是N，所有偶数的和是P，所有合数的和是Q。那么（M＋P）－（N＋Q）＝( )。 【答案】1 【分析】在这些数中，所有偶数与所有奇数合起来就包含了所有的数；1既不是质数也不是合数，所有质数与所有合数合起来包含了除1以外的所有数；所以可得M＋P＝1＋2＋3＋…＋n，N＋Q＝2＋3＋…＋n，据此解答即可。 【详解】根据分析得，M＋P＝1＋2＋3＋…＋n，N＋Q＝2＋3＋…＋n， 所以（M＋P）－（N＋Q） ＝（1＋2＋3＋…＋n）－（2＋3＋…＋n） ＝1＋（2＋3＋…＋n－2－3－…－n） ＝1＋0 ＝1 【点睛】此题主要考查奇数、偶数、质数、合数的定义以及分类标准来解决问题。 2．规定一个新运算：对于不小于3的整数n，（n）表示n的因数个数，如5的因数是1和5，所以（5）＝2；再如8的因数是1、2、4和8，所以（8）＝4等等，请你在理解这种新运算的基础上，求（6）＋（24）＝( )。 【答案】12 【分析】由题意可知，（n）表示n的因数个数，求一个数的因数时，就用这个数从1开始去整除，一直除到除数和商交换位置或除数和商相同为止，除数和商都是被除数的因数，重复的因数只写一个，求出6和24的因数个数，再求出（6）＋（24）的值，据此解答。 【详解】6÷1＝6 6÷2＝3 6的因数有1，2，3，6，一共4个因数。 24÷1＝24 24÷2＝12 24÷3＝8 24÷4＝6 24的因数有1，2，3，4，6，8，12，24，一共8个因数。 所以，（6）＋（24）＝4＋8＝12。 【点睛】本题主要考查定义新运算，掌握求一个数因数的方法是解答题目的关键。 3．定义运算“△”：对于两个自然数a和b，它们的最大公因数与最小公倍数的和记为。例如：。根据上面定义的运算，则( )。 【答案】231 【分析】根据题意，求得57和12的最大公因数和最小公倍数，然后把最大公因数和最小公倍数相加即要。 【详解】57＝3×19 12＝2×2×3 57和12的最大公因数是：3 57和12的最小公倍数是：3×19×2×2＝228 3＋228＝231 【点睛】解答此题的关键是，根据定义的新运算，找出运算方法，列式解答即可。 4．A是一个自然数，如果从A中依次减去1，3，5…。若干个连续单数（奇数），直到不够减时为止，那么还剩下25；如果从A中依次减去2，4，6…。若干个连续双数（偶数），直到不够减时为止，那么还剩下9.自然数A等于( )。 【答案】281 【解析】每减一个偶数比减一个奇数多减1，对比最后剩下的两个数25和9，9比25小16，那么减了16个奇数或偶数，然后从1加到第16个奇数，再加上25，得到A。 【详解】 所以自然数A 等于281。 【点睛】求解本题的关键是找出两次操作的区别，重点是两次操作最后得到的数为什么会相差16。 5．一个数列有如下规则：当数是奇数时，下一个数是；当数是偶数时，下一个数是。如果这列数的第一个数是奇数，第四个数是，则这列数的第一个数是( )。 【答案】43 【分析】第四个数是11，那么第三数如果是偶数就是22，第三个数如果是奇数是不可能的；同理，用倒推法可以求出第二个数、第一个数。 【详解】11是奇数，那么第三个数只能是偶数； 第三数是22，22的前一个数可以是偶数44或奇数21； 44的前一个是可以是偶数88或奇数43，而21的前一个只能是偶数42； 由于这列数的第一个是奇数，所以只有43满足； 故这列数的第一个数是43。 【点睛】本题考查的是还原问题，也可以把第一个数设为a，然后表示出第四个数，求解出a的值。 6．一个运算程序，运算规则如图，如果输入23，那么结果是( )；如果输入了一个数，结果是66，那么这个数是( )。 【答案】 531 32 【分析】23是一个质数，所以运行的算法为； 由于只知道结果是66，所以让和这两个算式都等于66，再分别计算出A，看A是否符合各自运算程序的条件，即，，8是合数，不符合相对应的运算程序的条件“A是质数”；，，32是合数，符合相对应的运算程序的条件“A是合数”，所以这个数是32。 【详解】232＋2＝23×23＋2＝529＋2＝531 解：设这个数为x，由题意得： x2＋2＝66 x2＝64 x＝8 8是合数，不符合题意。 解：设这个数为y，由题意得： 2y＋2＝66 2y＝64 y＝32 32是合数，符合题意。 【点睛】首先判断所输入的数是质数还是合数，然后依照程序的规则计算出结果即可；因为只知道结果为66，并不知道输入的原数是质数还是合数，故要依据规则列两个方程，解答后再做判断。 二、选择题。 7．如果“数”、“学”代表不同的质数，且满足关系式：3×数＋5×学＝31，那么数＋学的结果可能是( )。 A．3 B．5 C．9 【答案】C 【分析】除了1和它本身以外不再有其他因数，这样的数叫质数。奇数＋奇数＝偶数，奇数＋偶数＝奇数。 因为“数”、“学”代表不同的质数，根据奇偶性，如果质数都是奇数，左边应该是和为偶数，事实上31是奇数，所以必然有一个质数是偶数，只能是2，所以，显然有：数＝2，学＝5或者数＝7，学＝2，则和为7或9。 【详解】3×2＋5×5＝6＋25＝31 3×7＋5×2＝21＋10＝31 2＋5＝7 7＋2＝9 数＋学的结果可能是7或9。 故答案为：C 8．著名的“哥德巴赫猜想”认为：任何大于2的偶数都可以写成两个质数之和。下面的四个算式中，符合“哥德巴赫猜想”的是( )。 A．7＝2＋5 B．6＝1＋5 C．22＝3＋19 D．24＝3＋21 【答案】C 【分析】在自然数中，是2的倍数的数叫做偶数，一个数只有1和它本身两个因数，这个数叫做质数。据此解答。 【详解】A．7＝2＋5 7是奇数，7＝2＋5不符合“哥德巴赫猜想”； B．6＝1＋5 1既不是质数，也不是合数，6＝1＋5不符合“哥德巴赫猜想”； C．22＝3＋19 22是偶数，3和19是质数，所以22＝3＋19符合“哥德巴赫猜想”； D．24＝3＋21 21是合数，所以24＝3＋21不符合“哥德巴赫猜想”。 故答案为：C 【点睛】本题主要考查了奇数、偶数、质数、合数的认识和应用。 9．2300年前古希腊数学家欧几里得证明了素数（也就是质数）有无限多个，提出少量素数可以写成“2p－1”的形式，这里的p也是一个素数。由于这种素数有许多独特的性质和无穷的魅力，千百年来一直吸引着众多的数学家对它进行研究和探索。17世纪法国著名数学家马林·梅森是其中成果较为卓著的一位，因此后人将“2p－1”型的素数称为梅森素数。下面4个数中，( )是梅森素数。（注：2p表示p个2相乘） A．1 B．7 C．15 D．17 【答案】B 【分析】一个数，如果只有1和它本身两个因数，那么这样的数叫做质数； 一个数，如果除了1和它本身还有别的因数，那么这样的数叫做合数。 根据题意，先分析四个选项的数是否是质数，再看质数是否能写成“2p－1”的形式，且p也是质数，即可找出梅森素数。 【详解】A．1既不是质数也不是合数，不符合梅森素数的特征； B．7是质数，7＝8－1＝23－1，符合梅森素数的特征； C．15是合数，不符合梅森素数的特征； D．17是质数，但17不能写成“2p－1”的形式，不符合梅森素数的特征。 故答案为：B 【点睛】本题考查质数的意义以及梅森素数的特征。 10．古希腊学者认为：如果一个数恰好等于它的所有因数（本身除外）相加之和，那么这个数就是“完全数”。例如6有4个因数1，2，3，6，除本身6以外，还有1，2，3三个因数。，所以6是“完全数”。下面的数中是“完全数”的是( )。 A．10 B．12 C．16 D．28 【答案】D 【分析】根据题意可知，把每个选项的因数都写出来，再相加，看看是否符合“完全数”的规律。 【详解】A．10的因数有：1、10、2、5。 1＋2＋5＝8 10不是“完全数”。 B．12的因数有：1、12、2、6、3、4 1＋2＋3＋4＋6＝16 12不是“完全数”。 C．16的因数有：1、16、2、8、4 1＋2＋4＋8＝15 16不是“完全数”。 D．28的因数有：1、28、2、14、4、7 1＋2＋4＋7＋14＝28 28是“完全数”。 故答案为：D 【点睛】熟练掌握“完全数”的概念特征，是解决本题的关键。 11．学校举行“数学节”活动。其中有个非常有趣的比赛，要求选手们在规定时间内，从最小的质数开始，按从小到大的顺序写质数，中间不允许跳过任何一个质数，最后每人把自己写出来的质数相乘求积。其中A、B、C、D四名选手经裁判组核定，他们写的质数都符合比赛要求。以下分别是他们算出的积，然而只有一人计算正确，那么正确的是( )。 A．30035 B．510510 C．1531516 D．9699698 【答案】B 【分析】一个自然数如果只有1和它本身两个因数，那么这个自然数叫做质数；从小到大的质数有：2、3、5、7、11、13、17⋯，因为2×5＝10，所以无论有多少个质数相乘，它的积的个位数字一定是0，再结合选项选择即可。 【详解】由分析可知： 只有B项的结果的个位数字是0，所以510510是正确的。 故答案为：B 【点睛】本题考查质数，明确质数的定义是解题的关键。 三、解答题。 12．对大于0的自然数n规定一种运算“G”：①当n是奇数时，；②当n是偶数时，等于n连续被2除，直到商是奇数。将k次“G”运算记作，如，，。计算： （1）的值； （2）的值： （3）的值。 【答案】（1）； （2）； （3）4 【分析】首先正确理解新定义的算式的含义，当n是奇数时，按照3n＋1来计算；当n是偶数时，按照n连续被2除计算，直到商是奇数。然后严格按照新定义的计算程序，将数值代入，转化为常规的四则运算算式进行计算。 【详解】（1） 答：的值为6064。 （2） 答：的值为34。 （3） 从开始，计算结果是1和4循环，（2021－11）÷2＝2010÷2＝1005，所以。 答：的值为4。 【点睛】解答定义新运算，关键是要正确地理解新定义的算式的含义。 13．某手机游戏规则如下：玩家手中有风、火、水、土四种技能，每个技能发动一次都能使敌人血量减少一定的点数。具体效果如下：风技能每次130点，火技能每次170点，水技能每次78点，土技能每次104点，如果每个技能发动的次数都大于1，那么当敌人的血量减少3600点时，火技能发动了多少次？ 【答案】12次 【解析】观察发现，130、78、104都是13的倍数，设风、火、水、土四种技能用的次数分别是a、b、c、d，可以得到方程，求解这个不定方程即可。 【详解】解：设风、火、水、土四种技能用的次数分别是a、b、c、d； 根据余数的性质，130a、78c、104d除以13，余数是0，3600除以13，余数是12，那么要求170b除以13，余数是12； 当a＝2，b＝12，c＝6，d＝8时符合要求； 答：火技能发动了12次。 【点睛】本题考查的是不定方程，求解不定方程时可以根据余数的性质、奇偶性进行分析。 14．国王带着、、、、、六位大臣去旅游。晚上大家要去住旅馆，可只有三间房。国王自己要住一间，剩下的两间房都能住三个人，一间是奇数房，只能住奇数；一间是质数房，只能住质数。结果六位大臣商量着竟然吵了起来。 大臣说：“我是质数，我应该住质数房！” 大臣说：“不对，你是奇数，我才应该住质数房！” 他们闹得不可开交，最后只好请国王来评判。可国王一时之间也不知道该怎么安排。同学们，你们能帮助他们吗？你们能够设计几种不同的住法呢？ 【答案】种 【分析】首先，在题目里1大臣所说的是错误的，而3大臣所说的是正确的；所有大臣都可以住奇数房，但只有3、5、7、11四位大臣可以住在质数房。 【详解】所有的六位大臣都可以去住奇数房，但只有、、、四位大臣可以住在质数房。 所以，例如、、住奇数房，、、住质数房的安排方法就是正确的。 由前面的分析，、必须住在奇数房，所以另外四个数中任何一个也住进奇数房，都是一种住法，那么一共有种不同的住法。 答：能够设计4种不同的住法。 【点睛】按照非零自然数因数的个数，可以将非零自然数分为质数、合数、1，其中1既不是质数，也不是合数。 15．下表是一个未完成的奇数乘法表，除第一行和第一列外，表中的数字为所在行和列的第一个数的乘积，如1＝1×1，35＝5×7＝7×5，63＝7×9＝9×7，81＝9×9，求完成后的奇数乘法表中所有数之和。 【答案】10000 【分析】表中的每一个数是其所在行对应的数乘所在列对应的数，第一列的所有数之和是1的1倍至19倍之和，第二列是3的1倍至19倍之和，最后一列是19的1倍至19倍之和，相加得到总和。 【详解】 答：奇数乘法表中所有数之和是10000。 【点睛】本题也可以找规律求解，表中从左上角开始的2×2的方格中的所有数之和是4的平方，3×3的方格中的所有数之和是9的平方，依此类推。 16．我们知道，每个自然数都有因数，对于一个自然数a，我们把小于a的正的因数叫做a的真因数．如10的正因数有1、2、5、10，其中1、2、5是10的真因数． 把一个自然数a的所有真因数的和除以a，所得的商叫做a的“完美指标”．如10的“完美指标”是（1+2+5）÷10=． 一个自然数的“完美指标”越接近1，我们就说这个数越“完美”．如8的“完美指标”是（1+2+4）÷8=，10的“完美指标”是，因为比更接近1，所以我们说8比10更完美． （1）试分别计算5、6、9的“完美指标”； （2）试找出比10大，比20小的自然数中，最“完美”的数． 【答案】，1，；16 【详解】试题分析：（1）根据定义的新的运算意义，分别找出5、6、和9的正因数，再分别找出它们的真因数，最后再由“完美指标”的意义，列式即可解答； （2）根据“完美指标”的意义知道，自然数的真因数越多，此数越完美；因为在11﹣19的数中，11、13、17、19是质数，真因数只有1，所以先排除此三个数，再分别找出12、14、15、16、18的正因数，再分别找出它们的真因数，最后再由“完美指标”的意义，分别求出“完美指标”． 解：（1）5的正因数有：1，5，其中1是5的真因数， 完美指标：1÷5=， 6的正因数有：1，2，3，6，其中1，2，3是6的真因数， 完美指标：（1+2+3）÷6=1， 9的正因数有：1，3，9，其中1，3是9的真因数， 完美指标：（1+3）÷9=， （2）12的正因数有：1、2、3、4、6、12，其中1、2、3、4、6是真因数， 完美指标：（1+2+3+4+6）÷12=≈1.33， 14的正因数有：1、2、7、14，其中1、2、7是真因数， 完美指标：（1+2+7）÷14=≈0.71， 15的正因数有：1、3、5、15，其中1、3、5是真因数， 完美指标：（1+3+5）÷15==0.6， 16的正因数有：1、2、4、8、16，其中1、2、4、8是真因数， 完美指标：（1+2+4+8）÷16=≈0.94， 18的正因数有：1、2、3、6、9、18，其中1、2、3、6、9是真因数， 完美指标：（1+2+3+6+9）÷18=≈1.17， 由以上所求的完美指标知道，16的完美指标最接近1， 所以，比10大，比20小的自然数中，最“完美”的数是16； 答：5、6、9的“完美指标”分别是、1、；比10大，比20小的自然数中，最“完美”的数是16． 点评：解答此题的关键是，根据所给出的新的运算方法，即完美指标的意义及计算方法，找出对应的数，列式解决问题． 17．先完成下面的计算，再探索规律，回答问题 前2个奇数的和：1＋3＝（   ） 前3个奇数的和：1＋3＋5＝（   ） 前4个奇数的和：1＋3＋5＋7＝（   ） 前5个奇数的和：1＋3＋5＋7＋9＝（   ） …… （1）前9个奇数的和是( )，前40个奇数的和是( )。（填“奇数”或“偶数”） （2）自然数中，按奇数从小到大的顺序，前N个奇数的和是多少？（用字母N表示） （3）利用上面的规律，前2017个奇数的和是奇数还是偶数？并求出这个和。 【答案】4   9   16   25 （1）奇数   偶数 （2）N² （3）奇数   2017²＝4068289 【解析】略 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $$第 1 页 共 5 页 2024-2025 学年五年级数学下册典型例题系列「2025 版」 第三单元专项练习 08：学科素养·创新题型探究 一、填空题。 1．在 1、2、3、…、n中，其中所有奇数的和是M，所有质数的和是 N，所有 偶数的和是 P，所有合数的和是 Q。那么（M＋P）－（N＋Q）＝( )。 2．规定一个新运算：对于不小于 3的整数 n，（n）表示 n的因数个数，如 5的 因数是 1和 5，所以（5）＝2；再如 8的因数是 1、2、4和 8，所以（8）＝4等 等，请你在理解这种新运算的基础上，求（6）＋（24）＝( )。 3．定义运算“△”：对于两个自然数 a和 b，它们的最大公因数与最小公倍数的和 记为 a b。例如： 4 6 2 12 14    。根据上面定义的运算，则57 12  ( )。 4．A是一个自然数，如果从 A中依次减去 1，3，5…。若干个连续单数（奇数）， 直到不够减时为止，那么还剩下 25；如果从 A中依次减去 2，4，6…。若干个 连续双数（偶数），直到不够减时为止，那么还剩下 9.自然数 A等于( )。 5．一个数列有如下规则：当数n是奇数时，下一个数是 1n ；当数n是偶数时， 下一个数是 2 n 。如果这列数的第一个数是奇数，第四个数是11，则这列数的第一 个数是( )。 6．一个运算程序，运算规则如图，如果输入 23，那么结果是( )；如果 输入了一个数，结果是 66，那么这个数是( )。 第 2 页 共 5 页 二、选择题。 7．如果“数”、“学”代表不同的质数，且满足关系式：3×数＋5×学＝31，那么数 ＋学的结果可能是( )。 A．3 B．5 C．9 8．著名的“哥德巴赫猜想”认为：任何大于 2的偶数都可以写成两个质数之和。 下面的四个算式中，符合“哥德巴赫猜想”的是( )。 A．7＝2＋5 B．6＝1＋5 C．22＝3＋19 D．24＝3＋21 9．2300年前古希腊数学家欧几里得证明了素数（也就是质数）有无限多个，提 出少量素数可以写成“2p－1”的形式，这里的 p也是一个素数。由于这种素数有 许多独特的性质和无穷的魅力，千百年来一直吸引着众多的数学家对它进行研究 和探索。17世纪法国著名数学家马林·梅森是其中成果较为卓著的一位，因此后 人将“2p－1”型的素数称为梅森素数。下面 4个数中，( )是梅森素数。（注： 2p表示 p个 2相乘） A．1 B．7 C．15 D．17 10．古希腊学者认为：如果一个数恰好等于它的所有因数（本身除外）相加之和， 那么这个数就是“完全数”。例如 6有 4个因数 1，2，3，6，除本身 6以外，还 有 1，2，3三个因数。6 1 2 3   ，所以 6是“完全数”。下面的数中是“完全数” 的是( )。 A．10 B．12 C．16 D．28 11．学校举行“数学节”活动。其中有个非常有趣的比赛，要求选手们在规定时间 内，从最小的质数开始，按从小到大的顺序写质数，中间不允许跳过任何一个质 数，最后每人把自己写出来的质数相乘求积。其中 A、B、C、D四名选手经裁 判组核定，他们写的质数都符合比赛要求。以下分别是他们算出的积，然而只有 一人计算正确，那么正确的是( )。 A．30035 B．510510 C．1531516 D．9699698 第 3 页 共 5 页 三、解答题。 12．对大于 0的自然数 n规定一种运算“G”：①当 n是奇数时，   3 1G n n  ；② 当 n是偶数时，  G n 等于 n连续被 2除，直到商是奇数。将 k次“G”运算记作 kG ， 如  1 5 3 5 1 16G     ，    2 15 16 16 2 2 2 2 1G G       ，  3 5 3 1 1 4G     。计算： （1）  1 2021G 的值； （2）  5 19G 的值： （3）  2021 19G 的值。 13．某手机游戏规则如下：玩家手中有风、火、水、土四种技能，每个技能发动 一次都能使敌人血量减少一定的点数。具体效果如下：风技能每次 130点，火技 能每次 170点，水技能每次 78点，土技能每次 104点，如果每个技能发动的次 数都大于 1，那么当敌人的血量减少 3600点时，火技能发动了多少次？ 14．0国王带着1、3、5、7、9、11六位大臣去旅游。晚上大家要去住旅馆，可 只有三间房。0国王自己要住一间，剩下的两间房都能住三个人，一间是奇数房， 只能住奇数；一间是质数房，只能住质数。结果六位大臣商量着竟然吵了起来。 1大臣说：“我是质数，我应该住质数房！” 3大臣说：“不对，你是奇数，我才应该住质数房！” 他们闹得不可开交，最后只好请 0国王来评判。可 0国王一时之间也不知道该怎 么安排。同学们，你们能帮助他们吗？你们能够设计几种不同的住法呢？ 第 4 页 共 5 页 15．下表是一个未完成的奇数乘法表，除第一行和第一列外，表中的数字为所在 行和列的第一个数的乘积，如 1＝1×1，35＝5×7＝7×5，63＝7×9＝9×7，81＝9×9， 求完成后的奇数乘法表中所有数之和。 16．我们知道，每个自然数都有因数，对于一个自然数 a，我们把小于 a的正的 因数叫做 a的真因数．如 10的正因数有 1、2、5、10，其中 1、2、5是 10的真 因数． 把一个自然数 a的所有真因数的和除以 a，所得的商叫做 a的“完美指标”．如 10 的“完美指标”是（1+2+5）÷10= ． 一个自然数的“完美指标”越接近 1，我们就说这个数越“完美”．如 8的“完美指标” 是（1+2+4）÷8= ，10的“完美指标”是 ，因为 比 更接近 1，所以我们说 8比 10更完美． （1）试分别计算 5、6、9的“完美指标”； （2）试找出比 10大，比 20小的自然数中，最“完美”的数． 第 5 页 共 5 页 17．先完成下面的计算，再探索规律，回答问题 前 2个奇数的和：1＋3＝（ ） 前 3个奇数的和：1＋3＋5＝（ ） 前 4个奇数的和：1＋3＋5＋7＝（ ） 前 5个奇数的和：1＋3＋5＋7＋9＝（ ） …… （1）前 9个奇数的和是( )，前 40个奇数的和是( )。（填“奇数” 或“偶数”） （2）自然数中，按奇数从小到大的顺序，前 N个奇数的和是多少？（用字母 N 表示） （3）利用上面的规律，前 2017个奇数的和是奇数还是偶数？并求出这个和。