第7章 随机变量及其分布 章末复习方案（Word教参）-【状元桥·优质课堂】2024-2025学年高中数学选择性必修第三册（人教版2024）

章末复习方案 探究一　条件概率与全概率公式 1．条件概率的两种求法 (1)P(B|A)＝＝； (2)条件概率的加法公式：如果B与C是两个互斥事件，则P(B∪C|A)＝P(B|A)＋P(C|A)． 2．全概率公式适用于“整体难算，分开易算”的情况，采取“化整为零，各个击破”的解题策略． 【真题呈现】 1．(1)(2024·天津)已知有A，B，C，D，E五项活动，甲、乙都要选择三项活动参加，甲选到A活动的概率为______；已知乙选了A活动，他再选择B活动的概率为______. (2)(2024·上海)某校举办科学竞技比赛，有A，B，C 3种题库，A题库有5 000道题，B题库有4 000道题，C题库有3 000道题．小申已完成所有题，他A题库的正确率是0.92，B题库的正确率是0.86，C题库的正确率是0.72.现在他从所有的题中随机选一题，正确率是______. 解析　(1)方法一　从五项活动中选三项的情况有ABC，ABD，ABE，ACD，ACE，ADE，BCD，BCE，BDE，CDE，共10种情况，其中甲选到A活动有6种可能的情况：ABC，ABD，ABE，ACD，ACE，ADE，则甲选到A活动的概率为P＝＝；乙选A活动有6种可能性：ABC，ABD，ABE，ACD，ACE，ADE，其中再选择B活动有3种可能性：ABC，ABD，ABE，故乙选了A活动，他再选择B活动的概率为＝. 方法二　设甲(乙)选到A活动为事件M，乙选到B活动为事件N，则甲选到A活动的概率为P(M)＝＝；乙选了A活动，他再选择B活动的概率为P(N|M)＝＝＝. (2)由题意知，A，B，C题库的比例为5∶4∶3，占比分别为，，，则根据全概率公式知所求正确率p＝×0.92＋×0.86＋×0.72＝0.85. 答案　(1)　　(2)0.85 探究二　离散型随机变量的分布列、均值与方差 求离散型随机变量的均值与方差，常见分布以相应公式求解，综合问题注意以下几个步骤： 【真题呈现】 2．(2022·全国甲)甲、乙两个学校进行体育比赛，比赛共设三个项目，每个项目胜方得10分，负方得0分，没有平局．三个项目比赛结束后，总得分高的学校获得冠军．已知甲学校在三个项目中获胜的概率分别为0.5，0.4，0.8，各项目的比赛结果相互独立． (1)求甲学校获得冠军的概率； (2)用X表示乙学校的总得分，求X的分布列与期望． 解析　(1)设“甲学校在三个项目中获胜”分别为事件A，B，C，则P(A)＝0.5，P(B)＝0.4，P(C)＝0.8，由题意可知，甲学校想要获得冠军，至少要在两个项目中取胜，所以甲学校获得冠军的概率为P＝P(A)P(B)P()＋P(A)P()P(C)＋P()·P(B)P(C)＋P(A)P(B)P(C)＝0.5×0.4×0.2＋0.5×0.6×0.8＋0.5×0.4×0.8＋0.5×0.4×0.8＝0.6. (2)由题意可得，X的可能取值为0,10,20,30，由(1)和题意可得，乙在三个项目中获胜的概率分别为P()＝0.5，P()＝0.6，P()＝0.2，则P(X＝0)＝P(A)P(B)P(C)＝0.5×0.4×0.8＝0.16，P(X＝10)＝P(A)P(B)P()＋P(A)P()·P(C)＋P()P(B)P(C)＝0.5×0.4×0.2＋0.5×0.6×0.8＋0.5×0.4×0.8＝0.44，P(X＝20)＝P(A)P()P()＋P()P(B)P()＋P()P()P(C)＝0.5×0.6×0.2＋0.5×0.4×0.2＋0.5×0.6×0.8＝0.34，P(X＝30)＝P()P()·P()＝0.5×0.6×0.2＝0.06， 所以X的分布列为 X 0 10 20 30 P 0.16 0.44 0.34 0.06 数学期望 E(X)＝0×0.16＋10×0.44＋20×0.34＋30×0.06＝13. 3．某学校组织中国传统文化知识竞赛，有A，B两类问题．每位参加比赛的同学先在两类问题中选择一类并从中随机抽取一个问题回答，若回答错误则该同学比赛结束；若回答正确则从另一类问题中再随机抽取一个问题回答，无论回答正确与否，该同学比赛结束．A类问题中的每个问题回答正确得20分，否则得0分；B类问题中的每个问题回答正确得80分，否则得0分．已知小明能正确回答A类问题的概率为0.8，能正确回答B类问题的概率为0.6，且能正确回答问题的概率与回答次序无关． (1)若小明先回答A类问题，记X为小明的累计得分，求X的分布列； (2)为使累计得分的期望最大，小明应选择先回答哪类问题？并说明理由． 解析　(1)由题意可知，X的所有可能取值为0,20,100， 则P(X＝0)＝1－0.8＝0.2， P(X＝20)＝0.8×(1－0.6)＝0.32， P(X＝100)＝0.8×0.6＝0.48. 所以随机变量X的分布列如表所示. X 0 20 100 P 0.2 0.32 0.48 (2)由(1)得X的数学期望E(X)＝0×0.2＋20×0.32＋100×0.48＝54.4. 若小明先回答B问题，记Y为小明的累计得分，则Y的所有可能取值为0,80,100，则P(Y＝0)＝1－0.6＝0.4，P(Y＝80)＝0.6×(1－0.8)＝0.12，P(Y＝100)＝0.6×0.8＝0.48，所以E(Y)＝0×0.4＋80×0.12＋100×0.48＝57.6，因为E(X)<E(Y)，所以小明应选择先回答B类问题． 4．(2023·新课标Ⅰ)甲、乙两人投篮，每次由其中一人投篮，规则如下：若命中则此人继续投篮，若未命中则换为对方投篮．无论之前投篮情况如何，甲每次投篮的命中率均为0.6，乙每次投篮的命中率均为0.8.由抽签确定第1次投篮的人选，第1次投篮的人是甲、乙的概率各为0.5. (1)求第2次投篮的人是乙的概率； (2)求第i次投篮的人是甲的概率； (3)若随机变量Xi服从两点分布，且P(Xi＝1)＝1－P(Xi＝0)＝qi，i＝1,2，…，n，则E＝i.记前n次(即从第1次到第n次投篮)中甲投篮的次数为Y，求E(Y)． 解析　(1)记“第i次投篮的人是甲”为事件Ai，“第i次投篮的人是乙”为事件Bi， 所以P(B2)＝P(A1B2)＋P(B1B2)＝P(A1)P(B2|A1)＋P(B1)P(B2|B1)＝0.5×(1－0.6)＋0.5×0.8＝0.6. (2)设P(Ai)＝pi，依题可知，P(Bi)＝1－pi，则P(Ai＋1)＝P(AiAi＋1)＋P(BiAi＋1)＝P(Ai)P(Ai＋1|Ai)＋P(Bi)P(Ai＋1|Bi)， 即pi＋1＝0.6pi＋(1－0.8)×(1－pi)＝0.4pi＋0.2， 构造等比数列{pi＋λ}， 设pi＋1＋λ＝(pi＋λ)，解得λ＝－， 则pi＋1－＝， 又p1＝，p1－＝，所以是首项为，公比为的等比数列，即pi－＝×i－1，即pi＝×i－1＋. (3)设第i次投篮时甲投篮的次数为Xi，则Xi的可能取值为0或1，当Xi＝0时，表示第i次投篮的人是乙，当Xi＝1时，表示第i次投篮的人是甲，所以P(Xi＝1)＝pi，P(Xi＝0)＝1－pi，所以E(Xi)＝pi.又Y＝X1＋X2＋X3＋…＋Xn，则E(Y)＝E(X1＋X2＋…＋Xn)＝p1＋p2＋…＋pn. 由(2)知pi＝×i－1＋，i＝1,2，…，n， 所以当n∈N*时，E(Y)＝p1＋p2＋…＋pn＝×＋＝＋， 故E(Y)＝＋. 探究三　二项分布与超几何分布 由伯努利试验得出二项分布，由古典概型得出超几何分布，这两个分布的关系：若采用有放回抽样，则随机变量服从二项分布；若采用不放回抽样，则随机变量服从超几何分布． 【真题呈现】 5．甲、乙去某公司应聘面试．该公司的面试方案为：应聘者从7道备选题中一次性随机抽取3道题，按照答对题目的个数为标准进行筛选．已知7道备选题中应聘者甲有4道题能正确完成，3道题不能完成；应聘者乙每题正确完成的概率都是，且每题正确完成与否互不影响． (1)分别求甲、乙两人正确完成面试题数的分布列； (2)请从均值和方差的角度分析比较甲、乙两人谁的面试通过的可能性较大？ 解析　(1)设X为甲正确完成面试题的数量， Y为乙正确完成面试题的数量， 由题意可得X的可能取值为0,1,2,3， 所以P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝， P(X＝2)＝＝，P(X＝3)＝＝， 所以X的分布列为 X 0 1 2 3 P 由题意得，随机变量Y的可能取值为0,1,2,3，可得Y～B， 所以P(Y＝0)＝C×3＝， P(Y＝1)＝C××2＝， P(Y＝2)＝C×2×＝， P(Y＝3)＝C×3＝， 所以Y的分布列为 Y 0 1 2 3 P (2)由(1)可得， E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝， E(Y)＝np＝3×＝， D(X)＝2×＋2×＋2×＋2×＝， D(Y)＝np(1－p)＝3××＝， 因为E(X)＝E(Y)，D(X)<D(Y)， 所以甲发挥的稳定性更强，则甲通过面试的可能性较大． 探究四　正态分布 解答正态分布的实际应用题，关键是如何转化，同时注意以下两点： (1)注意“3σ”原则，记住正态总体在三个区间内取值的概率； (2)注意数形结合，由于正态分布密度曲线具有完美的对称性，体现了数形结合的重要思想，因此运用对称性和结合图象解决某一区间内的概率问题成为热点问题． 【真题呈现】 6．某市为了解当地农村经济情况，随机抽取该地2 000户农户家庭年收入x(单位：万元)进行调查，并绘制得到如图所示的频率分布直方图． (1)求这2 000户农户家庭年收入的样本平均数和样本方差s2(同一组的数据用该组区间中点值作代表)； (2)由直方图可认为农户家庭年收入X近似服从正态分布N(μ，σ2)，其中μ近似为样本平均数，σ2近似为样本方差s2. ①估计这2 000户农户家庭年收入超过9.52万元(含9.52)的户数？(结果保留整数) ②如果用该地区农户家庭年收入的情况来估计全市农户家庭年收入的情况，现从全市农户家庭中随机抽取4户，即年收入不超过9.52万元的农户家庭数为ξ，求P(ξ≤3)(结果精确到0.001)． 附：≈1.52；若X～N(μ，σ2)，则P(μ－σ<X<μ＋σ)＝0.682 7，P(μ－2σ<X<μ＋2σ)＝0.954 5；0.841 354≈0.501. 解析　(1)这2 000户农户家庭年收入的样本平均数＝5×0.1＋6×0.15＋7×0.2＋8×0.3＋9×0.2＋10×0.1＝8. 这2 000户农户家庭年收入的样本方差s2＝0.1×(－3)2＋0.15×(－2)2＋0.2×(－1)2＋0.3×02＋0.2×12＋0.1×22＝2.3. (2)①由(1)得，农户家庭年收入X近似服从正态分布N(8,2.3)． 因为8＋≈9.52，所以P(X≥9.52)＝0.5－P(μ－σ<X<μ＋σ)＝0.5－0.341 35＝0.158 65. 因为2 000×0.158 65＝317.3≈317， 所以这2 000户农户家庭年收入超过9.52万元(含9.52)的户数约为317. ②年收入不超过9.52万元的农户家庭数ξ服从二项分布ξ～B(4,0.841 35)． 所以P(ξ≤3)＝1－P(ξ＝4)＝1－C(0.841 35)4≈1－0.501＝0.499. 学科网（北京）股份有限公司 $$