第6章 计数原理 章末复习方案（Word教参）-【状元桥·优质课堂】2024-2025学年高中数学选择性必修第三册（人教版2024）

章末复习方案 探究一　两个计数原理 分类加法计数原理与分步乘法计数原理的合理选择 在解决有关计数问题时，应注意合理分类，准确分步，同时还要注意列举法、模型法、间接法和转换法的应用． 【真题呈现】 1．4名同学到3个小区参加垃圾分类宣传活动，每名同学只去1个小区，每个小区至少安排1名同学，则不同的安排方法共有____种(用数字作答)． 解析　因为4名同学到3个小区参加垃圾分类宣传活动，每名同学只去1个小区，每个小区至少安排1名同学，所以先取2名同学看成一组，选法有C＝6(种)，现在可看成是3组同学分配到3个小区，分法有A＝6(种)，根据分步乘法计数原理，不同的安排方法共有6×6＝36(种)． 答案　36 2．(2023·新课标Ⅰ)某学校开设了4门体育类选修课和4门艺术类选修课，学生需从这8门课中选修2门或3门课，并且每类选修课至少选修1门，则不同的选课方案共有______种(用数字作答)． 解析　(1)当从8门课中选修2门，则不同的选课方案共有CC＝16(种)．(2)当从8门课中选修3门：①若体育类选修1门，则不同的选课方案共有CC＝24(种)；②若体育类选修2门，则不同的选课方案共有CC＝24(种)．综上所述，不同的选课方案共有16＋24＋24＝64(种)． 答案　64 探究二　排列与组合 在解决一个实际问题的过程中，常常遇到排列、组合的综合性问题，而解决问题的第一步是审题，只有认真审题，才能把握问题的实质，分清是排列问题、组合问题，还是综合问题，分清分类与分步的标准和方式，并且要遵循两个原则：一是按元素的性质进行分类；二是按事情发生的过程进行分步． 【真题呈现】 3．(2023·新课标Ⅱ)某学校为了解学生参加体育运动的情况，用比例分配的分层随机抽样方法作抽样调查，拟从初中部和高中部两层共抽取60名学生，已知该校初中部和高中部分别有400名和200名学生，则不同的抽样结果共有(　　) A．C·C种 B．C·C种 C．C·C种 D．C·C种 答案　D 解析　根据分层随机抽样的定义知初中部共抽取60×＝40(人)，高中部共抽取60×＝20(人)，根据组合公式和分步乘法计数原理得，不同的抽样结果共有C·C种．故选D项． 4．(2023·全国甲)现有5名志愿者报名参加公益活动，在某一星期的星期六、星期日两天，每天从这5人中安排2人参加公益活动，则恰有1人在这两天都参加的不同安排方式共有(　　) A．120种 B．60种 C．30种 D．20种 答案　B 解析　不妨记五名志愿者为a，b，c，d，e，假设a连续参加了两天公益活动，再从剩余的4人中抽取2人各参加星期六与星期天的公益活动，共有A＝12(种)方法，同理，b，c，d，e连续参加了两天公益活动，也各有12种方法，所以恰有1人连续参加了两天公益活动的安排方式有5×12＝60(种)．故选B项． 5．(2022·新课标Ⅱ)甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排参加文艺汇演，若甲不站在两端、丙和丁相邻，则不同的排列方式共有(　　) A．12种 B．24种 C．36种 D．48种 答案　B 解析　先将丙和丁捆绑在一起有A种排列方式，然后将其与乙、戊排列，有A种排列方式，最后将甲插入中间两空，有C种排列方式．由分步乘法计数原理可得，共有AAC＝24(种)排列方式．故选B项． 探究三　二项式定理及应用 二项式定理的考查主要从以下几个方面命题：(1)考查二项展开式的通项Tr＋1＝Can－rbr(可以考查某一项，也可以考查某一项的系数)；(2)考查各项系数和、各项的二项式系数和；(3)二项式定理的应用．整体难度不大，考查对二项式定理的掌握和灵活运用． 【真题呈现】 6．(2024·北京)在(x－)4的展开式中，x3项的系数为(　　) A．15 B．6 C．－4 D．－13 答案　B 解析　(x－)4的二项展开式为Tr＋1＝Cx4－r(－)r＝C(－1)rx(r＝0,1,2,3,4)，令4－＝3，解得r＝2，故所求即为C(－1)2＝6.故选B项． 7．(2024·天津)6的展开式中常数项为______. 解析　因为6的展开式的通项为Tr＋1＝C6－r·r＝36－2rCx6(r－3)，r＝0,1，…，6，令6(r－3)＝0，可得r＝3，所以常数项为30C＝20. 答案　20 8．(2024·上海)在(x＋1)n的二项展开式中，若各项系数和为32，则x2项的系数为______. 解析　令x＝1，所以(1＋1)n＝32，即2n＝32，解得n＝5，所以(x＋1)5的展开式的通项公式为Tr＋1＝C·x5－r，令5－r＝2，则r＝3，所以T4＝Cx2＝10x2. 答案　10 9．(2022·新课标Ⅰ)(x＋y)8的展开式中x2y6的系数为______(用数字作答)． 解析　因为(x＋y)8＝(x＋y)8－(x＋y)8，所以(x＋y)8的展开式中含x2y6的项为Cx2y6－Cx3y5＝－28x2y6，所以(x＋y)8的展开式中x2y6的系数为－28. 答案　－28 10．(2024·全国甲)10的展开式中，各项系数的最大值是______. 解析　由题意得展开式的通项公式为Tr＋1＝C10－rxr，0≤r≤10且r∈Z，设展开式中第r＋1项的系数最大， 则⇒ 即≤r≤，又r∈Z，故r＝8，所以展开式中系数最大的项是第9项，且该项系数为C2＝5. 答案　5 11．已知(2x－1)9＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a9x9. (1)求a1＋＋＋…＋的值； (2)求a1＋2a2＋3a3＋…＋9a9的值． 解析　(1)由(2x－1)9＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a9x9， 令x＝0，可得a0＝－1； 令x＝，可得a0＋＋＋＋…＋＝0， 所以＋＋＋…＋＝1， 所以a1＋＋＋…＋＝2. (2)因为(2x－1)9＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a9x9， 两边同时求导数，可得18(2x－1)8＝a1＋2a2x＋…＋9a9x8， 令x＝1，则a1＋2a2＋3a3＋…＋9a9＝18. 12．已知n的展开式中各项的二项式系数之和为128. (1)求展开式中各项系数之和； (2)求展开式中二项式系数最大的项． 解析　(1)依题意，2n＝128，解得n＝7， 在7中，令x＝1，得(2×1－1)7＝1， 所以展开式中各项系数之和为1. (2)由(1)知，7展开式的通项公式Tr＋1＝C(2)7－r·r＝(－1)r·27－rCx，r≤7，r∈N，显然，7展开式共8项，二项式系数最大的项是第4项和第5项，所以展开式中二项式系数最大的项为T4＝(－1)3·24Cx－1＝－560x－1，T5＝(－1)4·23Cx＝280x. 学科网（北京）股份有限公司 $$