6.3.1 二项式定理（Word教参）-【状元桥·优质课堂】2024-2025学年高中数学选择性必修第三册（人教版2024）

6．3　二项式定理 课标要求 学法指导 1．能用多项式运算法则和计数原理证明二项式定理． 2．会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题. 1．可以用两个计数原理分析(a＋b)2的展开式，归纳得出二项式定理． 2．从计数原理的角度思考、理解、证明二项式定理．事实上，二项式定理是两个计数原理的直接应用． 3．二项式定理是一个恒等式，要善于观察，学会转化，合理使用二项式定理和二项展开式的通项解决问题． 4．学会从特殊到一般、从具体到抽象的思维方法，去开展探究活动，发现或证明数学结论． 5．通过学习二项式定理、二项式系数性质的探究及应用，发展逻辑推理、数学运算和直观想象的核心素养. 6.3.1　二项式定理 问题导入 问题1：我们在初中学习了(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2，试用多项式的乘法推导(a＋b)3，(a＋b)4的展开式． 提示　(a＋b)3＝a3＋3a2b＋3ab2＋b3，(a＋b)4＝a4＋4a3b＋6a2b2＋4ab3＋b4. 问题2：(a＋b)3，(a＋b)4的展开式有何特点？ 提示　(a＋b)3的展开式有4项，每一项的次数是3；(a＋b)4的展开式有5项，每一项的次数是4. 问题3：你能用组合的观点说明(a＋b)4是如何展开的吗？ 提示　(a＋b)4＝(a＋b)(a＋b)(a＋b)(a＋b)．由多项式的乘法法则知，从每个(a＋b)中选a或选b相乘即得展开式中的一项．若都选a，则得Ca4b0；若有一个选b，其余三个选a，则得Ca3b；若有两个选b，其余两个选a，则得Ca2b2；若有三个选b，余下一个选a，则得Cab3；若都选b，则得Ca0b4. 问题4：分析(a＋b)3，(a＋b)4展开式的特点，猜测(a＋b)n(n∈N*)展开式的特点． 提示　(a＋b)n的展开式共有n＋1项，各项中a，b的指数和都是n. 微梳理 要点　二项式定理 1．二项式定理及其相关概念 二项式定理 (a＋b)n＝Can＋Can－1b1＋Ca(n－2)b2＋…＋Can－k·bk＋…＋Cbn(n∈N*) 二项展开式 公式右边的多项式 二项式系数 C(k＝0,1,2，…，n) 二项展开式的通项 Tk＋1＝Can－kbk 2．二项展开式的特点 (1)展开式共有n＋1项． (2)各项的次数和都等于二项式的幂指数n. (3)字母a的幂指数按降幂排列，从第一项开始，次数由n逐项减1直到为0，字母b的幂指数按升幂排列，从第一项开始，次数由0逐项加1直到为n. 思考：(1)二项展开式中的项Can－rbr是第几项？ (2)二项式中a，b能否交换位置，二项式(a＋b)n与(b＋a)n展开式中的第r＋1项是否相同？ 提示　(1)Can－rbr是(a＋b)n的第r＋1项． (2)二项式中a，b不能交换位置．(a＋b)n展开式中的第r＋1项为Can－rbr，(b＋a)n展开式中的第r＋1项为Cbn－rar，两者是不相同的，所以在应用二项式定理时，a和b不能随便交换位置． 判断正误，正确的画“√”，错误的画“×”． (1)二项式(a＋b)2n的展开式的项数是2n＋1.(　　) (2)二项展开式中项的系数与二项式系数是相等的．(　　) (3)(x－1)5的展开式中x4项的系数为－5.(　　) (4)(a＋b)n的展开式中一定有常数项．(　　) 解析　(1)正确．展开式的项数比指数大1. (2)错误．二项展开式中项的系数与二项式系数不一定相等，只有当a，b的系数都为1时两者相等． (3)正确．(x－1)5的展开式中x4项的系数为－5. (4)错误．(a＋b)n的展开式中通项Can－rbr的次数不一定为0. 答案　(1)√　(2)×　(3)√　(4)× 探究一　二项式定理的正用与逆用 【例题1】 (1)求5的展开式． (2)化简：(x－1)5＋5(x－1)4＋10(x－1)3＋10·(x－1)2＋5(x－1)． 解析　(1)5＝C(2x)5＋C(2x)4x－2＋C(2x)3x－4＋C(2x)2x－6＋C(2x)x－8＋Cx－10＝32x5＋80x2＋＋＋＋. (2)原式＝C(x－1)5＋C(x－1)4＋C(x－1)3＋C(x－1)2＋C(x－1)＋C(x－1)0－1＝[(x－1)＋1]5－1＝x5－1. 规律总结 运用二项式定理的解题策略 (1)正用：求形式简单的二项展开式时可直接由二项式定理展开，展开时注意二项展开式的特点(即前一个字母是降幂，后一个字母是升幂)．形如(a－b)n的展开式中会出现正负间隔的情况．对较繁杂的式子，先化简，再用二项式定理展开． (2)逆用：逆用二项式定理可将多项式化简，对于这类问题的求解，要熟悉公式的特点、项数、各项幂指数的规律以及各项的系数． [注意] 逆用二项式定理时，如果项的系数是正负相间的，则原式是(a－b)n的形式． 【变式1】 (1)已知C3n＋C3n－1＋C3n－2＋…＋C3＋C＝1 024，求n的值． (2)求4的展开式． 解析　(1)C3n＋C3n－1＋…＋C3＋C＝C3n·10＋C3n－1·11＋…＋C31·1n－1＋C30·1n＝(3＋1)n＝4n＝1 024＝210，即22n＝210，解得n＝5. (2)方法一　4＝C()4－C()3·＋C()2·2－C·3＋C4＝x2－2x＋－＋. 方法二　4＝4 ＝(2x－1)4 ＝(16x4－32x3＋24x2－8x＋1) ＝x2－2x＋－＋. 探究二　二项展开式中的特定项问题 【例题2】 (1)6的展开式中的常数项是(　　) A．－ B． C．－ D． (2)(多选)若n的展开式中含x2项，则n的值可能是(　　) A．6 B．9 C．12 D．14 解析　(1)二项式6的展开式的通项为Tr＋1＝C(x2)6－rr＝rCx12－3r，令12－3r＝0，解得r＝4.所以常数项是4C＝.故选D项． (2)n的展开式的通项为Tr＋1＝C()n－r·r＝C·x·x－2r＝C·x，令＝2，得n＝4＋5r，其中r∈N.若r＝1，则n＝9；若r＝2，则n＝14.故选BD项． 答案　(1)D　(2)BD 规律总结 求二项展开式特定项的步骤 [注意] 若通项中含有根式，一般把根式化为分数指数幂，以简化运算． 【变式2】 (1)已知8的二项展开式中常数项为1 120，则实数a的值是(　　) A．－1 B．1 C．±1 D．不确定 (2)在二项式12的展开式中，求： ①第4项； ②有理项． 解析　(1)8的展开式的通项为Tr＋1＝C·x8－r·r＝(－2a)rCx8－2r，令8－2r＝0，解得r＝4，所以T5＝C(－2a)4＝1 120，解得a＝±1.故选C项． 答案　C (2)二项展开式的通项公式为Tr＋1＝Cx12－r·r＝(－1)rCx12－. ①令r＝3，则T4＝(－1)3Cx12－＝－220x8. ②当r＝0,3,6,9,12时，Tr＋1是有理项，分别为T1＝x12，T4＝－Cx8＝－220x8，T7＝Cx4＝924x4，T10＝－C＝－220，T13＝Cx－4＝. 探究三　二项式系数与项的系数问题 【例题3】 已知在n的展开式中，第6项为常数项． (1)求n的值； (2)求含x2的项的系数； (3)求第4项的二项式系数及第4项的系数． 解析　(1)n的展开式的通项为Tr＋1＝Cx(－3)rx＝C(－3)rx.因为第6项为常数项，所以当r＝5时，有＝0，即n＝10. (2)由(1)知通项为Tr＋1＝C(－3)rx，令＝2，得r＝2. 所以所求的系数为C(－3)2＝405. (3)由(1)知通项为Tr＋1＝C(－3)rx， 所以第4项的二项式系数为C＝120，第4项的系数为C×(－3)3＝－120×27＝－3 240. 规律总结 (1)解决此类问题可以分成两个步骤来完成： 第一步，根据给出的条件(特定项)和(a＋b)n的通项Tr＋1＝Can－rbr，建立方程来确定指数； 第二步，根据所求的指数求解所求的项． (2)要注意区分二项式系数与指定某一项的系数的差异，前者只与二项式的指数及项数有关，与二项式无关，它是一个组合数C；后者与二项式、二项式的指数及项的字母和系数均有关． 【变式3】 (1)(2023·北京)5的展开式中x的系数为(　　) A．－80 B．－40 C．40 D．80 (2)9的展开式中，第4项的二项式系数为____，第4项的系数为____. 解析　(1)5的展开式的通项为Tr＋1＝C(2x)5－rr＝(－1)r25－rCx5－2r，令5－2r＝1得r＝2，所以5的展开式中x的系数为(－1)225－2C＝80.故选D项． (2)易知9的展开式的通项为Tk＋1＝C·(x2)9－kk＝kCx18－3k，当k＝3时，T4＝3Cx9＝－x9，所以第4项的二项式系数为C＝84，第4项的系数为－. 答案　(1)D　(2)84　－ 微专题 用方法·破解疑难 疑难一　求形如(a＋b)m(c＋d)n(m，n∈N*)的展开式中的量 【例题1】 (1＋x)6的展开式中x2项的系数为(　　) A．15 B．20 C．30 D．35 [解析] (1＋x)6展开式的通项为Tr＋1＝Cxr，所以·(1＋x)6的展开式中x2项为1·Cx2＋·Cx4＝30x2，即x2项的系数为30.故选C项． [答案] C [名师点评] 求形如(a＋b)m(c＋d)n(m，n∈N*)的展开式中与特定项相关的量的步骤 第一步，根据二项式定理把(a＋b)m与(c＋d)n分别展开，并写出其通项公式； 第二步，根据特定项的次数，分析特定项可由(a＋b)m与(c＋d)n的展开式中的哪些项相乘得到； 第三步，把相乘后的项合并即可得到所求的特定项或相关量． 【练习1】 (1)(1＋x)8(1＋y)4的展开式中x2y2的系数为(　　) A．56 B．84 C．112 D．168 (2)(1＋x)3＋(1＋x)4＋…＋(1＋x)10展开式中x3的系数为______(用数字作答)． 解析　(1)因为(1＋x)8的展开式中x2的系数为C，(1＋y)4的展开式中y2的系数为C，所以x2y2的系数为CC＝168.故选D项． (2)x3的系数为C＋C＋C＋…＋C＝C＋C＋C＋…＋C＝C＝330. 答案　(1)D　(2)330 疑难二　求形如(a＋b＋c)n(n∈N*)的展开式中的量 【例题2】 5(x>0)的展开式中的常数项为____(用数字作答)． [解析] 方法一　5可化为10，因而展开式的通项为Tr＋1＝C10－r·()10－2r，则r＝5时为常数项，即C5＝. 方法二　原式＝5＝·[(x＋)2]5＝.求原展开式中的常数项，转化为求(x＋)10的展开式中含x5的项的系数，即C·()5. 所以原展开式中的常数项为＝. 方法三　5＝5的通项为Tk＋1＝C25－k，5－k的通项为T′r＋1＝Cx－rx5－k－r2－(5－k－r)＝Cx5－2r－k2k＋r－5(0≤r≤5－k)． 令5－2r－k＝0，则k＋2r＝5，可得k＝1，r＝2或k＝3，r＝1或k＝5，r＝0. 当k＝1，r＝2时，展开式中的项为CC2×2－2＝；当k＝3，r＝1时，展开式中的项为CC2×2－1＝20；当k＝5，r＝0时，展开式中的项为C4＝4. 综上，5的展开式中的常数项为＋20＋4＝. 方法四　5是5个三项式相乘．常数项的产生有三种情况： (1)在5个相乘的三项式中，从其中1个三项式中取，从另外4个三项式中选一个取，从剩余的3个三项式中取常数项相乘，可得C··C·C·()3＝20； (2)在5个相乘的三项式中，从其中2个三项式中取，从另外3个三项式中选2个取，从剩余的1个三项式中取常数项相乘，可得C·2·C·＝； (3)从5个相乘的三项式中都取常数项相乘，可得C·()5＝4. 综上，5的展开式中的常数项为20＋＋4＝. [答案] [名师点评] (a＋b＋c)n展开式中特定项的求解方法 (1)因式分解法：将三项式利用因式分解转化为两个二项式，然后再用二项式定理求解问题． (2)逐层展开法：将三项式分成两组，用二项式定理展开，再把其中含二项式的项展开，从而求解问题． (3)组合知识法：把(a＋b＋c)n看成n个(a＋b＋c)的积，利用组合知识分析项的构成． [注意] 转化为二项式时，不同的分组方式展开后式子的运算过程的繁简也不相同，要注意结合多项式中各项式子的特征合理分组，通过尝试来确定最优分组． 【练习2】 (x2－x－2)4的展开式中，x3的系数为______(用数字作答)． 解析　方法一　因为(x2－x－2)4＝(x－2)4·(x＋1)4＝[C·x4＋C·x3·(－2)＋C·x2·(－2)2＋C·x·(－2)3＋C·(－2)4]·(C·x4＋C·x3＋C·x2＋C·x＋C)，所以x3的系数为－2C·C＋4C·C＋(－8C)·C＋16C·C＝－40. 方法二　因为(x2－x－2)4表示4个因式(x2－x－2)的乘积，所以x3的系数可以是从4个因式中选1个因式提供x2，其余的3个因式中有1个提供(－x)，有2个因式都提供(－2)；也可以是从4个因式中选3个因式都提供(－x)，剩余的1个因式提供(－2)．故x3的系数为C·C(－1)·C(－2)2＋C(－1)·(－2)＝－48＋8＝－40. 答案　－40 1．若n＋5的展开式有16项，则自然数n的值为(　　) A．9 B．10 C．11 D．16 答案　B 解析　因为n＋5的展开式共有n＋6项，所以n＋6＝16，所以n＝10.故选B项． 2．6的展开式中常数项为(　　) A．－60 B．－15 C．15 D．60 答案　D 解析　6的展开式的通项为Tr＋1＝Cx6－r·r＝(－2)rCx6－3r，令6－3r＝0，得到r＝2，所以6的展开式中常数项为(－2)2C＝60.故选D项． 3．6的展开式的中间项是______. 解析　由n＝6可知中间项是第4项，由通项公式可得T4＝C(2x2)3·3＝C·(－1)3·23·x3＝－160x3. 答案　－160x3 4．在6的展开式中，求： (1)第4项的二项式系数； (2)第4项的系数； (3)常数项． 解析　6的展开式的通项为Tr＋1＝C·(2x)6－r·r＝C26－rx6－3r. (1)T4＝C23x－3，第4项的二项式系数为C＝20. (2)由(1)知第4项的系数为C·23＝160. (3)令6－3r＝0，得r＝2，故常数项为C·26－2＝240. 学科网（北京）股份有限公司 $$