7.2 离散型随机变量及其分布列（Word教参）-【状元桥·优质课堂】2024-2025学年高中数学选择性必修第三册（人教版2024）

7．2　离散型随机变量及其分布列 课标要求 学法指导 1．通过具体实例，了解离散型随机变量的概念． 2．理解离散型随机变量的分布列． 3．能熟练应用离散型随机变量的性质求概率． 4．了解两点分布. 1．随机变量的取值由随机试验的结果决定． 2．类比函数来学习随机变量，它们之间既有联系又有区别．事实上，本章的学习顺序与《数学必修第一册》中函数的学习顺序具有相似性，都是先了解随机变量(函数)的概念和性质，然后将其具体化为两点分布、二项分布、超几何分布、正态分布(指数、对数、幂函数、三角函数)，这样对比学习有利于更好地认识随机变量． 3．通过研究离散型随机变量的概念、分布列及其性质，发展数学抽象、逻辑推理和数学运算的核心素养. 问题导入 投掷一颗质地均匀的骰子，可出现六种不同的结果． 问题1：这些结果能用数字表示吗？ 提示　能，用数字1,2,3,4,5,6分别表示六种不同的结果． 问题2：用X表示这六个不同的数字，其概率分别等于多少？ 提示　都等于. 问题3：你能用表格表示X与P的对应关系吗？ 提示　列表如下. X 1 2 3 4 5 6 P 微梳理 要点一　离散型随机变量 随机变量的概念 一般地，对于随机试验样本空间Ω中的每个样本点ω，都有唯一的实数X(ω)与之对应，我们称X为随机变量 离散型随机 变量的概念 可能取值为有限个或可以一一列举的随机变量，称为离散型随机变量 表示 随机变量一般用大写英文字母表示，例如X，Y，Z；随机变量的取值一般用小写英文字母表示，例如x，y，z 要点二　离散型随机变量的分布列 1．定义：一般地，设离散型随机变量X的可能取值为x1，x2，…，xn，我们称X取每一个值xi的概率P(X＝xi)＝pi，i＝1,2，…，n为X的概率分布列，简称分布列． 2．表格表示 X x1 x2 … xn P p1 p2 … pn 3．性质 性质1 性质2 pi≥0，i＝1,2，…，n p1＋p2＋…＋pn＝1 思考：离散型随机变量的分布列有哪几种表示法？ 提示　表格法、解析式法及图象法． 要点三　两点分布 若随机变量X的分布列如表所示， X 0 1 P 1－p p 我们称X服从两点分布或0－1分布，X为在一次试验中成功的次数(0或1)． 判断正误，正确的画“√”，错误的画“×”． (1)随机变量的取值可以是有限个，也可以是无限个．(　　) (2)在抛掷一枚质地均匀的硬币试验中，“出现正面的次数”为随机变量．(　　) (3)在离散型随机变量分布列中，每一个可能值对应的概率可以为任意的实数．(　　) (4)在离散型随机变量分布列中，在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各值的概率之积．(　　) (5)新生儿的性别、投篮是否命中、买到的商品是否为正品，都可以用两点分布研究．(　　) 解析　(1)正确．离散型随机变量的取值是有限个，连续型随机变量的取值是无限个． (2)正确．出现正面的次数是0或1，是随机变量． (3)错误．概率应满足0≤pi≤1，i＝1,2，…，n. (4)错误．不是概率之积，而是概率之和． (5)正确．这三个事件满足两点分布的定义． 答案　(1)√　(2)√　(3)×　(4)×　(5)√ 探究一　离散型随机变量的判断 【例题1】 指出下列随机变量是否是离散型随机变量，并说明理由． (1)白炽灯的寿命ξ； (2)某加工厂加工的一批钢管的外径与规定的外径尺寸之差ξ； (3)江西九江市长江水位监测站所测水位在(0,29]这一范围内变化，该水位监测站所测水位ξ； (4)一个袋中装有5个白球和5个黑球，从中任取2个，其中所含黑球的个数． 解析　(1)不是离散型随机变量．白炽灯的寿命ξ的取值是一个非负实数，而所有非负实数不能一一列出． (2)不是离散型随机变量．实际测量值与规定值之间的差值无法一一列出． (3)不是离散型随机变量．在(0,29]这一范围内变化的水位值无法一一列出． (4)是离散型随机变量．从10个球中取2个球，所得的结果有三种：①2个白球；②1个黑球，1个白球；③2个黑球．可以一一列出，符合离散型随机变量的定义． 规律总结 判断离散型随机变量的方法 判断一个随机变量X是不是离散型随机变量的关键是判断随机变量X的所有取值是否可以一一列出，其具体方法如下： (1)明确随机试验的所有可能结果； (2)将随机试验的试验结果数量化； (3)确定试验结果所对应的实数是否可按一定次序一一列出，若能一一列出，则该随机变量是离散型随机变量，否则不是． 【变式1】 (1)(多选)下列随机变量中是离散型随机变量的是(　　) A．某宾馆每天入住的旅客的数量X B．某城市一天内的温度X C．深圳欢乐谷一天接待游客的数量X D．虎门大桥一天经过的车辆数量X (2)写出下列各随机变量可能取的值，并说明随机变量所取的值表示的随机试验的结果． ①在2024年某市的公司招聘中，参加面试的5人中，通过面试的人数X； ②一个袋中装有大小相同的2个白球和5个黑球，从中任取3个，其中所含白球的个数X. 解析　(1)A，C，D项中的随机变量X的可能取值都可以按照一定的次序一一列出，因此它们是离散型随机变量；B项中的随机变量X无法按照一定的次序一一列出，故不是离散型随机变量．故选ACD项． 答案　ACD (2)①X可能取0,1,2,3,4,5.{X＝i}表示“面试通过的有i人”，其中i＝0,1,2,3,4,5. ②X可能取0,1,2.{X＝i}表示“取出的3个球中有i个白球，3－i个黑球”，其中i＝0,1,2. 探究二　离散型随机变量的分布列 【例题2】 一个箱子里装有5个大小相同的球，有3个白球，2个红球，从中摸出2个球． (1)求摸出的2个球中有1个白球和1个红球的概率； (2)用X表示摸出的2个球中的白球个数，求X的分布列． 解析　因为箱子里共有5个球，所以从中摸出2个球，共有C＝10(种)情况． (1)设“摸出的2个球中有1个白球和1个红球”为事件A，则P(A)＝＝，即摸出的2个球中有1个白球和1个红球的概率为. (2)X的所有可能取值为0,1,2， 则P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝， P(X＝2)＝＝. 故X的分布列如表所示. X 0 1 2 P 规律总结 (1)求离散型随机变量分布列的步骤 ①确定随机变量X的所有可能取值xi(i＝1,2，…，n)，以及每个值表示的意义； ②求出相应的概率P(X＝xi)＝pi(i＝1,2,3，…，n)； ③按要求表示出分布列． (2)求离散型随机变量分布列时应注意的问题 ①确定离散型随机变量X的分布列的关键是要搞清X取每一个值对应的样本点ω，进一步利用排列、组合知识求出X取每一个值的概率．当随机变量X取值较多时，应由简单情况先导出一般的通式，从而简化过程． ②在求离散型随机变量X的分布列时，要充分利用分布列的性质p1＋p2＋…＋pn＝1，这样不但可以减少运算量，还可以验证分布列是否正确． 【变式2】 (1)在射击的试验中，令X＝ 如果射中的概率为0.75，求随机变量X的分布列． (2)放有大小相同的红色、绿色、黄色三种小球的盒子中，已知红球个数是绿球个数的2倍，黄球个数是绿球个数的一半，现从中随机取出一个小球，若取出红球得1分，取出黄球得0分，取出绿球得－1分，试写出从该盒中取出一球所得分数X的分布列． 解析　(1)由P(X＝1)＝0.75，得P(X＝0)＝0.25.所以X的分布列如表所示. X 0 1 P 0.25 0.75 (2)设黄球有n个，则由题意知绿球有2n个，红球有4n个，球的总数为7n个，X的可能取值为－1,0,1，则P(X＝－1)＝＝，P(X＝0)＝＝， P(X＝1)＝＝. 所以从该盒中取出一球所得分数X的分布列如表所示. X －1 0 1 P 探究三　两个相关随机变量的分布列 【例题3】 已知随机变量X的分布列如表所示. X －2 －1 0 1 2 3 P 分别求出随机变量Y1＝－X＋，Y2＝X2－2X的分布列． 解析　对于X＝－2，－1,0,1,2,3，由Y1＝－X＋，得Y1＝，，，－，－，－， 相应的概率分别为，，，，，. 故Y1的分布列如表所示. Y1 － － － P 对于X＝－2，－1,0,1,2,3，由Y2＝X2－2X，得Y2＝8,3,0，－1,0,3， 则P(Y2＝8)＝，P(Y2＝3)＝＋＝， P(Y2＝0)＝＋＝，P(Y2＝－1)＝. 故Y2的分布列如表所示. Y2 8 3 0 －1 P 规律总结 求离散型随机变量Y＝f(X)的 分布列的一般步骤 (1)明确随机变量X的分布列． (2)弄清X取每一个值时相对应的Y的取值，再把Y所取相同的值所对应的事件的概率相加，得出Y值所对应的概率值． (3)列出概率分布表，即得Y的分布列． 【变式3】 设离散型随机变量X的分布列如表所示，求2X＋1的分布列. X 0 1 2 3 4 P 0.2 0.1 0.1 0.3 0.3 解析　由题意可知P(2X＋1＝1)＝P(X＝0)＝0.2， P(2X＋1＝3)＝P(X＝1)＝0.1， P(2X＋1＝5)＝P(X＝2)＝0.1， P(2X＋1＝7)＝P(X＝3)＝0.3， P(2X＋1＝9)＝P(X＝4)＝0.3. 所以2X＋1的分布列如表所示. 2X＋1 1 3 5 7 9 P 0.2 0.1 0.1 0.3 0.3 探究四　离散型随机变量的性质 【例题4】 设随机变量X的分布列为P＝ak(k＝1,2,3,4,5)． (1)求常数a的值； (2)求P. 解析　由题意得随机变量X的分布列如表所示. X 1 P a 2a 3a 4a 5a (1)由a＋2a＋3a＋4a＋5a＝1，得a＝. (2)方法一　P＝P＋P＋P(X＝1)＝＋＋＝. 方法二　P＝1－P＝1－＝. 规律总结 (1)X的各个取值表示的事件是互斥的，可以利用互斥事件和的概率公式求随机变量在一定范围内的概率． (2)两个性质p1＋p2＋…＋pi＝1和pi≥0，i＝1,2，…，要逐一验证，特别不能忽视pi≥0. 【变式4】 (1)下表是离散型随机变量X的分布列，则常数a的值为(　　) X 0 1 2 3 P a A． B． C． D． (2)设随机变量X的分布列为P(X＝i)＝(i＝1,2,3,4)，则P＝______. 解析　(1)由离散型随机变量概率分布的特征，知a＋＋＋＝1，所以a＝.故选A项． (2)P＝P(X＝1)＋P(X＝2)＋P(X＝3)＝＋＋＝. 答案　(1)A　(2) 微专题 求创新·拓展探究 【例题】 设b和c分别是先后两次抛掷一个骰子得到的点数，用随机变量X表示方程x2＋bx＋c＝0的实根的个数(重根按一个计)，求X的分布列． [解析] 由题意得，X的所有可能取值为0,1,2. 抛掷骰子的所有可能结果构成的集合为{(b，c)|b，c＝1,2，…，6}，元素总个数为36. X＝0对应的结果构成的集合为{(b，c)|b2－4c<0，b，c＝1,2，…，6}，元素个数为17； X＝1对应的结果构成的集合为{(b，c)|b2－4c＝0，b，c＝1,2，…，6}，元素个数为2； X＝2对应的结果构成的集合为{(b，c)|b2－4c>0，b，c＝1,2，…，6}，元素个数为17. 由此可知，P(X＝0)＝，P(X＝1)＝，P(X＝2)＝，故X的分布列为 X 0 1 2 P [名师点评] 本题将分布列和方程相结合，解题关键是计算出样本空间包含的所有样本点数，理清方程实根个数对应的条件，进而计算出随机事件所包含的样本点数． 【练习】 设S是不等式x2－x－6≤0的解集，整数m，n∈S. (1)记“使得m＋n＝0成立的有序数组(m，n)”为事件A，试列举A包含的基本事件； (2)设X＝m2，求X的分布列． 解析　(1)由x2－x－6≤0，得－2≤x≤3，即S＝{x|－2≤x≤3}．因为m，n∈Z，m，n∈S且m＋n＝0，所以A包含的基本事件为(－2,2)，(2，－2)，(－1,1)，(1，－1)，(0,0)． (2)因为m的所有不同取值为－2，－1,0,1,2,3， 所以X＝m2的所有不同取值为0,1,4,9， 则P(X＝0)＝，P(X＝1)＝＝， P(X＝4)＝＝，P(X＝9)＝. 故X的分布列如表所示. X 0 1 4 9 P 1．(多选)下列表格中，是某个随机变量的分布列的是(　　) A. B. C. D. 答案　ABD 解析　由离散型随机变量分布列的性质可知，A，B，D项正确；C项中，P(X＝1)<0不符合P(X＝xi)≥0的性质，也不符合P(X＝1)＋P(X＝2)＋P(X＝3)＝1的性质，所以C项中的表格不是随机变量的分布列．故选ABD项． 2．某人进行射击，共有10发子弹，若击中目标或子弹打完就停止射击，射击次数为ξ，则ξ＝10表示的试验结果是(　　) A．第10次击中目标 B．第10次未击中目标 C．前9次未击中目标 D．第9次击中目标 答案　C 解析　由题意知，ξ＝10表示前9次未击中目标，第10次击中目标或未击中目标．故选C项． 3．从标有1～10的10支竹签中任取2支，设所得2支竹签上的数字之和为X，那么随机变量X可能取得的值有____个． 解析　X的可能取值为3,4,5，…，19，共17个． 答案　17 4．若随机变量ξ只能取两个值0,1，且ξ取0的概率是取1的概率的3倍，求ξ的分布列． 解析　由题意及分布列满足的条件知P(ξ＝0)＋P(ξ＝1)＝3P(ξ＝1)＋P(ξ＝1)＝1，所以P(ξ＝1)＝，故P(ξ＝0)＝.所以ξ的分布列如表所示. ξ 0 1 P 学科网（北京）股份有限公司 $$