7.3 复数的三角表示（Word教参）-【状元桥·优质课堂】2024-2025学年高中数学必修第二册（人教版2024）

7.3　复数的三角表示* [学习目标] 1.通过复数的几何意义，了解复数的三角表示.2.了解复数的代数表示与三角表示之间的关系.3.了解复数乘、除运算的三角表示及其几何意义.4.发展数学抽象和数学运算的核心素养． 要点一　复数的三角表示式 1．定义 如图所示，一般地，任何一个复数z＝a＋bi都可以表示成r(cos θ＋isin θ)的形式．其中，r是复数z的__模__；θ是以x轴的非负半轴为始边，向量所在射线(射线OZ)为终边的角，叫做复数z＝a＋bi的__辐角__.r(cos θ＋isin θ)叫做复数z＝a＋bi的三角表示式，简称三角形式．a＋bi叫做复数的代数表示式，简称代数形式． 2．辐角的主值 规定在__0≤θ＜2π__范围内的辐角θ的值为辐角的主值，记作__arg_z__，即__0≤arg_z＜2π__. 3．复数的两种形式的互化 (1)在a＋bi＝r(cos θ＋isin θ)中，r＝　　，cos θ＝　　，sin θ＝　　. (2)在r(cos θ＋isin θ)＝a＋bi中，a＝__rcos_θ__，b＝__rsin_θ__. 要点二　复数乘、除运算的三角表示及其几何 意义 1．复数乘法运算的三角表示 如果z1＝r1(cos θ1＋isin θ1)，z2＝r2(cos θ2＋isin θ2)，那么z1z2＝r1(cos θ1＋isin θ1)·r2(cos θ2＋isin θ2)＝__r1r2[cos(θ1＋θ2)＋i·sin(θ1＋θ2)]__. 这就是说，两个复数相乘，积的模等于各复数的模的积，积的辐角等于各复数的辐角的和． 2．复数乘法的几何意义 两个复数z1，z2相乘时，可以像图中那样，先分别画出与z1，z2对应的向量，，然后把向量绕点O按逆时针方向旋转角__θ2__(θ2＞0，如果θ2＜0，就要把绕点O按顺时针方向旋转角__|θ2|__)，再把它的模变为原来的__r2__倍，得到向量，表示的复数就是积z1z2. 3．复数除法运算的三角表示 如果z1＝r1(cos θ1＋isin θ1)，z2＝r2(cos θ2＋isin θ2)，且z1≠z2，z2≠0，那么＝＝　[cos(θ1－θ2)＋isin(θ1－θ2)]　.这就是说，两个复数相除，商的模等于被除数的模除以除数的模所得的商，商的辐角等于被除数的辐角减去除数的辐角所得的差． 4．复数除法的几何意义 如图，复数z1，z2对应的向量分别为，，把绕点O按顺时针方向旋转角__θ2__(θ2＞0，如果θ2＜0，就要把按逆时针方向旋转角__|θ2|__)，再把它的模变为原来的　　，得到向量，表示的复数就是商. 判断正误，正确的画“√”，错误的画“×”． (1)z＝r(cos θ＋isin θ)是复数z＝a＋bi的三角形式，其中θ的值有无数个． (　　) (2)arg 2 024＝0.(　　) (3)任何一个不等于零的复数的辐角的主值都是唯一的． (　　) (4)两个非零复数相等当且仅当它们的模与辐角的主值分别相等． (　　) 解析　(1)正确，终边相同的角的三角函数值相等． (2)正确，2 024＝2 024(cos 0＋isin 0)． (3)正确，任何一个不为零的复数的辐角的主值都是唯一的． (4)正确，若复数的模与辐角的主值相等，则实部和虚部分别相等． 答案　(1)√　(2)√　(3)√　(4)√ 探究一　复数三角形式的有关概念 解题技巧　判断复数的三角形式与求解复数的辐角的主值，要严格按照复数的三角表示式进行，对于不是以复数的三角形式表示的式子，要根据复数三角形式的定义将其转化，再进一步判断． 【例题1】 复数z＝2(cos 30°－isin 30°)的辐角的主值是 (　　) A．30° B．150° C．210° D．330° 答案　D 解析　因为z＝2(cos 30°－isin 30°)＝2(cos 330°＋isin 330°)，所以其辐角的主值是330°.故选D项． 【变式1】 当0＜θ＜时，复数z＝tan θ＋i的辐角的主值是(　　) A．θ B．－θ C．π－θ D．－θ 答案　B 解析　z＝tan θ＋i＝＋i＝(sin θ＋i·cos θ)＝.故选B项． 探究二　复数的代数形式与三角形式的互化 规律总结　 (1)将复数的代数形式化为三角形式，其步骤是求出模r、确定复数对应的点所在的象限、求出辐角θ、写成三角形式r(cos θ＋isin θ)． (2)将复数的三角形式化为代数形式，先求复数的实部a＝rcos θ和虚部b＝rsin θ，再将复数写成代数形式a＋bi. 【例题2】 画出下列复数对应的向量，并把这些复数表示成三角形式． (1)1＋i； (2)－＋i. 解析　(1)复数1＋i对应的向量如图所示，则r＝＝，cos θ＝. 因为复数1＋i对应的点在第一象限，所以arg(1＋i)＝，于是1＋i＝. (2)复数－＋i对应的向量如图所示， 则r＝＝1，cos θ＝－.因为复数－＋i对应的点在第二象限，所以arg＝，于是－＋i＝cos ＋isin . 【变式2】 复数z＝4的代数形式为(　　) A．z＝2＋2i B．z＝－2＋2i C．z＝2－2i D．z＝－2－2i 答案　D 解析　z＝4＝4×＋4×i＝－2－2i.故选D项． 探究三　复数乘、除运算的三角表示及其几何意义 误区防错　对于两个复数相乘、除，一定要注意其表示形式，符合三角形式时才可以使用复数三角形式的乘、除法运算法则．对于运算结果，当不要求把结果化为代数形式时，也可以用三角形式表示． 【例题3】 (1)计算：＝________. (2)设z＝－i对应的向量为，将绕原点O按逆时针方向和顺时针方向分别旋转60°和30°，则所得的向量对应的复数(用代数形式表示)分别为__________. (3)计算：5·2＝________. 解析　(1)易知 ＝＝ ＝16＝16i. (2)绕原点O按逆时针方向旋转60°所得的向量对应的复数为(cos 60°＋i·sin 60°)＝·＝1；绕原点O按顺时针方向旋转30°所得的向量对应的复数为[cos(－30°)＋i·sin(－30°)]＝·＝－i. (3)5·2 ＝10 ＝10 ＝＋i. 答案　(1)16i　(2)1，－i　(3)＋i 【变式3】 (1)已知复数z1＝，z2＝·，求z1z2. (2)已知复数z1＝3(cos 18°＋isin 18°)，z2＝4(cos 108°＋isin 108°)，z3＝(sin 66°＋icos 66°)，求z1z2z3. (3)求证：＝cos 75°－isin 75°. 解析　(1)z1z2＝×＝×＝cos ＋isin ＝－i. (2)z1z2z3＝3(cos 18°＋isin 18°)×4(cos 108°＋isin 108°)×(sin 66°＋icos 66°)＝3(cos 18°＋isin 18°)×4(cos 108°＋isin 108°)×(cos 24°＋isin 24°)＝3×4×[cos(18°＋108°＋24°)＋isin(18°＋108°＋24°)] ＝2(cos 150°＋i·sin 150°)＝－＋i. (3)证明： 左边＝ ＝＝右边． 所以原等式成立. 1.下列复数的表示形式是三角形式的是(　　) A．z＝(cos 60°－isin 60°) B．z＝(sin 60°＋icos 60°) C．z＝(cos 30°＋isin 60°) D．z＝(cos 30°＋isin 30°) 答案　D 解析　根据复数的三角形式的特点可以判定只有z＝(cos 30°＋isin 30°)表示的是复数的三角形式．故选D项． 2．(多选)复数z＝3＋i的三角形式可以是(　　) A．z＝2 B．z＝2 C．z＝2 D．z＝2 答案　BD 解析　z＝3＋i＝2＝2＝2.故选BD项． 3．复数4的代数形式是(　　) A．2＋2i B．2－2i C．－2－2i D．－2＋2i 答案　B 解析　4＝4×＋4×i＝2－2i.故选B项． 4.÷＝________. 解析　÷＝×＝4＝－4i. 答案　－4i 学科网（北京）股份有限公司 $$