8.3.2 圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积（Word教参）-【状元桥·优质课堂】2024-2025学年高中数学必修第二册（人教版2024）

8.3.2　圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积 [学习目标] 1.知道圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积的计算公式，并能利用公式求表面积和体积(重点).2.理解并掌握侧面展开图与几何体的表面积之间的关系(难点).3.发展数学建模、数学运算和直观想象的核心素养． 要点一　圆柱、圆锥、圆台的表面积 图形 表面积公式 旋 转 体 圆 柱 底面积：S底＝__πr2__ 侧面积：S侧＝__2πrl__ 表面积：S＝__2πrl＋2πr2__ 圆 锥 底面积：S底＝__πr2__ 侧面积：S侧＝__πrl__ 表面积：S＝__πrl＋πr2__ 圆 台 上底面面积： S上底＝__πr′2__ 下底面面积： S下底＝__πr2__ 侧面积：S侧＝__πl(r＋r′)__ 表面积：S＝ __π(r′2＋r2＋r′l＋rl)__ 要点二　圆柱、圆锥、圆台的体积 几何体 体积公式 圆柱 V＝__Sh__(其中S为底面积，h为圆柱的高) 圆锥 V＝　Sh　(其中S为底面积，h为圆锥的高) 圆台 V＝　(S′＋＋S)h　(其中S，S′分别为上、下底面的面积，h为圆台的高) 要点三　球的表面积和体积 1．球的表面积：设球的半径为R，则球的表面积S＝__4πR2___，即球的表面积等于它的大圆面积的__4__倍． 2．球的体积：设球的半径为R，则球的体积 V＝　πR3　. 3．与球有关的常用结论 (1)球内接正方体的棱长为a，则球的直径为　a　，球的表面积为__3πa2__. (2)球的半径为R，则其内接正方体的表面积为__8R2__. (3)如果球的表面积膨胀为原来的2倍，那么球的大圆面积是原来的__2__倍． 思考：球面有没有展开图？ 提示　球的表面是曲面，不能在一个平面上展开，即使是球面上任意小的一块，也不能在一个平面上展开，因此球面没有展开图． 判断正误，正确的画“√”，错误的画“×”． (1)两个球的半径之比为1∶3，则其表面积之比为1∶9.(　　) (2)用一个平面去截球，截得的圆面的半径等于球的半径．(　　) (3)圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图的面积就是它们的表面积．(　　) (4)球内接四棱锥的每个顶点到球心的距离都相等．(　　) 解析　(1)正确，因为S＝4πR2，所以S1∶S2＝R∶R＝1∶9. (2)错误，经过球心的平面截得的圆的半径才等于球的半径． (3)错误，侧面积加上底面积才是表面积． (4)正确，四棱锥的四个顶点都在球面上，到球心的距离都等于半径． 答案　(1)√　(2)×　(3)×　(4)√ 探究一　圆柱、圆锥、圆台的表面积和体积 解题技巧　(1)求几何体的表面积时，要充分利用展开图与原几何体的关系． (2)圆柱、圆锥、圆台的相关几何量都集中体现在轴截面上，因此准确把握轴截面中的相关量是求解旋转体表面积的关键． (3)若所给的几何体为圆柱、圆锥、圆台，则可直接利用公式求解． (4)求柱体、锥体、台体的体积，关键是找到相应的底面积与高，常需将空间问题平面化． 【例题1】 (1)用一张(4×8)cm2的矩形硬纸卷成圆柱的侧面，求该圆柱的表面积． (2)若圆锥的表面积是15π，侧面展开图的圆心角是60°，求圆锥的体积． 解析　(1)卷起的方法有两种． ①如图1，以矩形8 cm的边长为母线长，把矩形硬纸卷成圆柱侧面，此时底面圆的周长为2π·OA＝4，则OA＝r1＝，两底面面积为2πr＝(cm2)，S表＝32＋(cm2)，即该圆柱的表面积为 cm2. ②如图2，以矩形4 cm的边长为母线长，卷成圆柱侧面时，底面圆的周长为2π·OB＝8，则OB＝r2＝，此时两底面面积为2πr＝(cm2)，S表＝32＋(cm2)，即该圆柱的表面积为 cm2. (2)设圆锥的底面半径为r，母线为l， 则2πr＝×2πl＝πl，所以l＝6r. 又S表＝πr2＋πr·6r＝7πr2＝15π，解得r＝， 所以圆锥的高h＝＝＝·r＝×＝5， 所以圆锥的体积V＝πr2h＝π××5＝. 【变式1】 (1)(2024·新课标Ⅰ)已知圆柱和圆锥的底面半径相等，侧面积相等，且它们的高均为，则该圆锥的体积为(　　) A．2π B．3π C．6π D．9π (2)(2024·全国甲)已知甲、乙两个圆台上、下底面的半径均为r1和r2，母线长分别为2(r2－r1)和3(r2－r1)，则两个圆台的体积之比＝________. 解析　(1)设圆柱的底面半径为r，则圆锥的母线长为，而它们的侧面积相等，所以2πr×＝πr×，即2＝，故r＝3，故圆锥的体积为π×9×＝3π.故选B项． (2)由题得两个圆台的高分别为h甲＝＝(r2－r1)，h乙＝＝2(r2－r1)， 所以＝＝＝＝. 答案　(1)B　(2) 探究二　球的表面积和体积 规律总结　 (1)已知球的半径，可直接利用公式求它的体积和表面积；已知球的体积和表面积，可以利用公式求它的半径． (2)注意两个结论：①两个球的体积之比等于这两个球的半径之比的立方；②两个球的表面积之比等于这两个球的半径之比的平方． 【例题2】 已知三个球的半径R1，R2，R3满足R1＋2R2＝3R3. (1)它们相应的表面积S1，S2，S3满足的等量关系是_______________________ ___________________________________________； (2)它们相应的体积V1，V2，V3满足的等量关系是_________________________ ___________________________________________． 解析　(1)因为S1＝4πR，所以＝2R1， 同理可得＝2R2，＝2R3. 由R1＋2R2＝3R3，得＋2＝3. (2)由V1＝πR得R1＝＝， 同理可得R2＝＝，R3＝＝， 由R1＋2R2＝3R3，得＋2＝3. 答案　(1)＋2＝3 (2)＋2＝3 【变式2】 若球的体积与其表面积的数值相等，则球的半径为(　　) A．1 B．3 C．2 D． 答案　B 解析　设球的半径为r，则球的体积为，球的表面积为4πr2.因为球的体积与其表面积的数值相等，所以＝4πr2，解得r＝3.故选B项． 探究三　组合体的表面积和体积 解题技巧　(1)求组合体的表面积的问题：①首先应弄清楚它的组成部分，其表面有哪些底面和侧面，各个面的面积应该怎么求，然后根据公式求出各个面的面积，最后相加或相减；②组合体的表面积应注意重合部分的处理． (2)求组合体的体积时，也要弄清它的组成部分，求出各简单几何体的体积，再相加或相减． 【例题3】 如图，在四边形ABCD中，∠DAB＝90°，∠ADC＝135°，AB＝5，CD＝2，AD＝2，若四边形ABCD绕 AD旋转一周成为几何体，求该几何体的表面积． 解析　如图，过C作CE⊥AD的延长线于点E， 作CF⊥AB于点F. 由已知得DE＝CE＝2， 所以CF＝4，BF＝5－2＝3. 所以BC＝＝5. 所以下底圆面积S1＝25π，台体侧面积S2＝π×(2＋5)×5＝35π，锥体侧面积S3＝π×2×2＝4π， 故表面积S＝S1＋S2＋S3＝(60＋4)π. 【变式3】 如图，半径为R的半圆内的阴影部分以直径AB所在直线为轴，旋转一周成为几何体，求该几何体的体积(其中∠BAC＝30°)． 解析　如图，在半圆中可得∠BCA＝90°，∠BAC＝30°，AB＝2R， 则AC＝R，BC＝R，CO1＝R， 则AO1＝R，BO1＝. 所以V球＝πR3， V圆锥AO1＝π×2×R＝πR3， V圆锥BO1＝π×2×＝πR3. 所以V几何体＝V球－V圆锥AO1－V圆锥BO1 ＝πR3－πR3－πR3＝πR3. 故该几何体的体积为πR3. 探究四　与球有关的切接问题 规律总结　 熟记常见切接模型 (1)正方体的内切球：球与正方体的六个面都相切，称球为正方体的内切球，此时球的半径为r1＝(a为正方体棱长)． (2)长方体的外接球：长方体的八个顶点都在球面上，称球为长方体的外接球，根据球的定义可知，长方体的体对角线是球的直径，若长方体过同一顶点的三条棱长为a，b，c，过球心作长方体的对角面，则球的半径为r2＝. (3)正四面体的外接球：正四面体的棱长a与外接球半径R的关系为2R＝A. 【例题4】 (1)(2022·新课标Ⅱ)已知正三棱台的高为1，上、下底面边长分别为3和4，其顶点都在同一球面上，则该球的表面积为(　　) A．100π B．128π C．144π D．192π (2)正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的体积为(　　) A． B．16π C．9π D． 解析　(1)设正三棱台上、下底面所在圆面的半径为r1，r2，所以2r1＝，2r2＝，即r1＝3，r2＝4，设球心到上、下底面的距离分别为d1，d2，球的半径为R，所以d1＝，d2＝，故d1－d2＝1或d1＋d2＝1，即－＝1或＋＝1，解得R2＝25符合题意，所以球的表面积为S＝4πR2＝100π.故选A项． (2)如图所示，正四棱锥P－ABCD的外接球的球心在它的高PO1上，记为O，设球的半径为R，因为棱锥的高为4，底面边长为2，所以R2＝(4－R)2＋()2，所以R＝，所以该球的体积为×3＝.故选A项． 答案　(1)A　(2)A 【变式4】 三棱锥的三条侧棱两两垂直，其长分别为，，1，则该三棱锥的外接球的表面积和体积分别为(　　) A．24π，8π B．18π，8π C．10π，π D．6π，π 答案　D 解析　因为三棱锥的三条侧棱两两相互垂直，且三条侧棱长分别为，，1，所以可将其补充为一个长、宽、高分别为，，1的长方体，所以其外接球的直径2R＝＝，所以三棱锥的外接球的表面积S＝4πR2＝6π，体积V＝R3＝π.故选D项. 1．直径为6的球的表面积和体积分别是(　　) A．36π，144π B．36π，36π C．144π，36π D．144π，144π 答案　B 解析　由题意知，球的半径r＝3，则S球＝4πr2＝4π×32＝36π，V球＝πr3＝π×33＝36π.故选B项． 2．棱长为4的正方体的内切球的表面积为(　　) A． B．12π C．16π D． 答案　C 解析　棱长为4的正方体的内切球的半径r＝2，表面积为4πr2＝16π.故选C项． 3．用一个平面截一个球得到直径为6 cm的圆面，球心到这个平面的距离为4 cm，则球的体积为(　　) A． cm3 B． cm3 C． cm3 D． cm3 答案　C 解析　如图，O1A＝3，O1O＝4，从而球的半径R＝OA＝5，所以V球＝×53＝(cm3)．故选C项． 4．已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为________. 解析　圆柱的高h＝1，设圆柱的底面圆半径为r，则h2＋(2r)2＝22， 所以r＝，故V＝πr2h＝. 答案　 学科网（北京）股份有限公司 $$