期中考前满分冲刺之基础常考题 -2024-2025学年八年级数学下册考点解惑【基础•中等•优质】题型过关专练（人教版）

期中考前满分冲刺之基础常考题 【专题过关】 类型一、二次根式有意义 1．若式子在实数范围内有意义，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．若在实数范围内有意义，则可取下列中（   ） A． B．3 C．2 D．0 3．要使二次根式有意义，则实数应满足（    ） A． B． C． D． 4．若代数式在实数范围内有意义，则x的取值范围为 ． 5．若式子在实数范围内有意义，则的值可以是 ． 6．若代数式在实数范围内有意义，则的取值范围是 ． 类型二、最简、同类二次根式 1．下列式子中，是最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 2．下列是最简二次根式的是（ ） A． B． C． D． 3．下列根式中是最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 4．已知最简二次根式与二次根式可以合并，则的值是 ． 5．若最简二次根式与能够合并，那么合并后的值为 ． 6．如果最简二次根式与是同类二次根式，那么 ． 类型三、二次根式的计算 1．下列各式计算正确的是（   ） A． B． C． D． 2．下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 3．下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 4．计算： ． 5．计算： ． 6． ． 类型四、勾股数 1．在下列四组数中，属于勾股数的是（   ） A．1，， B．6，8，10 C．7，8，9 D．0.3，0.4，0.5 2．下列各组数是勾股数的是（   ） A．3，4，5 B．4，5，6 C． D．0.3，0.4，0.5 3．下列各组数是勾股数的是（   ） A．1，2，3 B．4，5，6 C．6，8，10 D．8，15，16 4．下列各组数为勾股数的是 （填序号）． ①，，；②，，；③，，；④，，；⑤，，． 5．毕达哥拉斯学派提出了一个构造勾股数组的公式，根据该公式可以构造出如下勾股数组：，，．．．，即当勾为3时，股为4，弦为5．分析上面数组的排列规律，当勾为13时，股和弦的值分别为 ． 6．探究发现：很多已经约去公因数的勾股数组中，都有一个是偶数，如果将它写成，那么另外两个数分别可以写成，，如，，．从而可以得到下列顺序排列的等式： ①， ②， ③， ④， … 根据你发现的规律写出第⑨个等式： ． 类型五、构成直角三角形的条件 1．下列长度的线段中，能构成直角三角形的一组是（   ） A．1，，2 B．，， C．6，7，8 D．5，10，12 2．下列各组中的三条线段，能构成直角三角形的是（   ） A．4，5，6 B．6，8，10 C．，， D．7，20，24 3．以下列四组数（单位：）为边长，其中能构成直角三角形的一组是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 4．已知、、为的三边，且满足，则是 5．已知、、为的三边，且，则的形状是 ． 6．三角形的三边长分别为6，8，10，这个三角形的形状是 三角形． 类型六、(特殊)平行四边形的条件 1．如图，在中，对角线，相交于点，再添加一个条件，可推出是菱形，则这个条件可以是（   ） A． B． C． D． 2．如图，已知四边形，下列条件能判定四边形为平行四边形的是（   ） A．， B．， C．， D．， 3．如图，在四边形中，已知，对角线，相交于点，若增加下列条件，则可以使四边形成为平行四边形的是（   ） A． B． C． D． 4．如图，将平行四边形的边延长线到点，使，连接，交于点．添加一个条件，使四边形是矩形．下列四个条件：①；②；③；④中，你认为可选择的是 ．（填上所有满足条件的序号） 5．如图，在四边形中，对角线，要使四边形各边中点连线构成的四边形是正方形，只需添加一个条件是 ． 6．如图，在中，，点D，E，F分别是边的中点，要使四边形为正方形，不添加辅助线，可以添加的条件是 添加一个条件即可 类型七、(特殊)平行四边形的性质 1．下列说法不正确的是（   ） A．一组邻边相等的矩形是正方形 B．对角线互相垂直的平行四边形是菱形 C．等腰梯形的对角和相等 D．矩形的对角线互相垂直平分 2．下列命题是真命题的是（　　） A．一组对边平行且另一组对边相等的四边形是平行四边形 B．四个角相等的四边形是矩形 C．对角线互相垂直的四边形是菱形 D．对角线互相垂直且相等的四边形是正方形 3．下列说法正确的是（   ） A．对角线相等的四边形是矩形 B．对角线互相垂直的四边形是菱形 C．对角线相等且互相垂直的四边形是正方形 D．对角线互相垂直的矩形是正方形 4．如图，四边形是矩形，分别以点A和点C为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点M，N；作直线分别交于点E，F，连接，若，则四边形的面积为 ． 5．如图，中，过两条对角线的交点．若，，，则四边形的周长是 ． 6．如图，点是矩形的对称中心，，分别是边，上的点，且，已知矩形的面积是64，那么图中阴影部分的面积为 ． 类型八、二次根式的混合运算 1．计算： (1) (2) 2．计算： (1)； (2)． 3．计算： (1)； (2)． 4．计算： (1)； (2) 5．计算： (1)； (2)； (3)． 6．计算题： (1) (2) (3) 类型九、二次根式的化简求值 1．已知，，求代数式和的值． 2．已知：，，且，求的值． 3．已知，求代数式的值． 4．已知，求代数式的值． 5．已知：，，求：的值． 6．已知，，．求： (1)和的值； (2)求的值． 类型十、勾股定理中的网格作图 1．如图是正方形网格，已知格点A，B，请用无刻度直尺按要求作图． (1)在图1中，以为腰，作等腰； (2)在图2中，以为斜边，作直角，使其面积最小． 2．如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．的顶点A，B，C均为格点，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图． (1)如图1，先画的中线，再画点，连接，使，垂足为； (2)如图2，先画，使与全等，且点A的对应点在边上．点为上一动点，再画点，使． 3．图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，的顶点均在格点上．只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按下列要求找格点． (1)在图①中，连结、、，使； (2)在图②中，连结、，使； (3)在图③中，连结，使． 4．图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长都为1，每个小正方形的顶点称为格点，点在格点上．只用无刻度的直尺按下列要求在给定的网格中画图，不要求写画法． (1)在图①中找一格点，连结AB，使线段； (2)在图②中画出等腰，点、在格点上，使为顶角且； (3)在图③中画出等腰，点、在格点上，使为顶角且腰长为5，则这个三角形的面积是______． 5．如图均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，点，均在格点上．请在给定的网格中按要求作图． (1)在图1中，找一个格点，使为等腰三角形，且为锐角三角形； (2)在图2中，找一个格点，使为等腰三角形，且为直角三角形； (3)在图3中，找一个格点，使为等腰三角形，且为钝角三角形． 6．如图，是由边长为1的小正方形构成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，的顶点在格点上，仅用无刻度直尺画图（保留作图痕迹，作图过程用虚线，作图结果用实线）． (1)在图1中，画出，使与关于y轴对称； (2)在图2中，找一格点D，使得，且； (3)在图2中，在射线的延长线上作一点P，使得； (4)在图2中，在（3）的条件下，若点M、N分别是、上的点，在上找一点Q，使． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 期中考前满分冲刺之基础常考题 【专题过关】 类型一、二次根式有意义 1．若式子在实数范围内有意义，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是二次根式有意义的条件，掌握二次根式有意义的条件是被开方数为非负数是解题的关键． 根据二次根式有意义的条件是被开方数不能为负数列式计算即可． 【详解】解：∵在实数范围内有意义， ∴， ∴， 故选：D． 2．若在实数范围内有意义，则可取下列中（   ） A． B．3 C．2 D．0 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，分式有意义的条件，二次根式有意义的条件是被开方数大于等于0，分式有意义的条件是分母不为0，据此求出x的取值范围即可得到答案． 【详解】解：∵在实数范围内有意义， ∴， ∴且， ∴四个选项中只有B选项符合题意， 故选：B． 3．要使二次根式有意义，则实数应满足（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，熟练掌握被开方数是非负数是解题的关键．根据被开方数是非负数得，即可求解． 【详解】解：依题意， 解得： 故选：A． 4．若代数式在实数范围内有意义，则x的取值范围为 ． 【答案】 【分析】本题考查二次根式有意义的条件，根据二次根式的被开方数为非负数，进行求解即可． 【详解】解：由题意，得：， 解得：； 故答案为： 5．若式子在实数范围内有意义，则的值可以是 ． 【答案】1 【分析】本题考查了分式及二次根式有意义的条件，掌握分式及二次根式有意义的条件是解题的关键．根据分式及二次根式有意义的条件即可得出答案． 【详解】解：∵式子在实数范围内有意义， ， ， ∴的值可以是1． 故答案为：1． 6．若代数式在实数范围内有意义，则的取值范围是 ． 【答案】且 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件“二次根式的被开方数是非负的”、分式有意义的条件“分式的分母不等于0”，熟练掌握二次根式的被开方数是非负的和分式的分母不等于0是解题关键．根据二次根式的被开方数是非负的和分式的分母不等于0求解即可得． 【详解】解：∵代数式在实数范围内有意义， ∴，且， ∴且， 故答案为：且． 类型二、最简、同类二次根式 1．下列式子中，是最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是最简二次根式的概念，被开方数不含分母、被开方数中不含能开得尽方的因数或因式的二次根式，叫做最简二次根式．根据最简二次根式的概念判断即可． 【详解】解：．，不是最简二次根式，故该选项不符合题意； ．，不是最简二次根式，故该选项不符合题意； ．，不是最简二次根式，故该选项不符合题意； ．是最简二次根式，故该选项符合题意； 故选：D． 2．下列是最简二次根式的是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是最简二次根式的含义，二次根式的化简，掌握“最简二次根式的含义”是解本题的关键．最简二次根式：满足被开方数不含有分母，被开方数不含有开得尽方的因数或因式，根据定义逐一判断即可． 【详解】解：是最简二次根式，故A符合题意； 不是最简二次根式，故B不符合题意； 不是最简二次根式，故C不符合题意； 不是最简二次根式，故D不符合题意； 故选：A． 3．下列根式中是最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了最简二次根式，满足下列两个条件的二次根式叫最简二次根式：①被开方数中的因数是整数，因式是整式，②被开方数中不含有能开得尽方的因式或因数．利用最简二次根式定义判断即可． 【详解】解：A、，故原式不符合题意； B、是最简二次根式，符合题意； C、，故原式不符合题意； D、，故原式不符合题意． 故选：B． 4．已知最简二次根式与二次根式可以合并，则的值是 ． 【答案】0 【分析】本题考查了最简二次根式，同类二次根式的定义，掌握二次根式的性质化简，同类二次根式的定义是解题的关键． 根据二次根据的性质化简得到最简二次根式，在根据根指数相同，被开方数也相同进行判定即可求解． 【详解】解：， ∵最简二次根式与二次根式可以合并， ∴最简二次根式与二次根式是同类二次根式， ∴， 解得，， 故答案为：0 ． 5．若最简二次根式与能够合并，那么合并后的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查的是同类二次根式、最简二次根式，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式．根据同类二次根式的定义列出方程，解方程求出a，再合并同类二次根式即可． 【详解】解：由题意得：， 解得：， 则， ， 故答案为：． 6．如果最简二次根式与是同类二次根式，那么 ． 【答案】2 【分析】此题主要考查了同类二次根式的定义，根据最简二次根式与同类二次根式的定义列方程求解，熟知二次根式化成最简二次根式后，被开方数相同的二次根式叫做同类二次根式是解题的关键． 【详解】解：由题意可得， 解得， 故答案为：2． 类型三、二次根式的计算 1．下列各式计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了二次根式的乘法，二次根式的除法，二次根式的加法以及二次根式的减法，根据各自的运算法则一一计算并判断即可． 【详解】解：．和不是同类二次根式不能合并，故该选项不符合题意； ．，原计算错误，故该选项不符合题意； ．，原计算错误，故该选项不符合题意； ．，原计算正确，故该选项符合题意； 故选：D． 2．下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查二次根式的运算及性质，熟练掌握二次根式的运算及性质是解题的关键；因此此题可根据二次根式的运算进行排除选项． 【详解】解：A、与不是同类二次根式，不能合并，故不符合题意； B、，原计算错误，故不符合题意； C、，计算正确，故符合题意； D、，原计算错误，故不符合题意； 故选C． 3．下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次根式的加减计算，二次根式的乘法计算和化简二次根式，根据二次根式的相关计算法则分别求出对应式子的结果即可得到答案． 【详解】解：A、，原式计算错误，不符合题意； B、，原式计算正确，符合题意； C、，原式计算错误，不符合题意； D、，原式计算错误，不符合题意； 故选：B． 4．计算： ． 【答案】4 【分析】本题考查二次根式的乘法，根据乘法法则进行计算即可． 【详解】解：； 故答案为：4． 5．计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的乘法运算，掌握运算法则是解题的关键． 先化简，再由二次根式的乘法运算法则求解． 【详解】解：， 故答案为：． 6． ． 【答案】 【分析】本题考查的是积的乘方运算，二次根式的混合运算，先把原式化为，再进一步计算即可． 【详解】解： ； 故答案为： 类型四、勾股数 1．在下列四组数中，属于勾股数的是（   ） A．1，， B．6，8，10 C．7，8，9 D．0.3，0.4，0.5 【答案】B 【分析】本题考查了勾股数的定义，勾股数就是可以构成一个直角三角形三边的一组正整数，熟练掌握勾股数的定义是解此题的关键．根据勾股数的定义逐项判断即可． 【详解】解：A．1，，不都是整数，故不是勾股数，不符合题意； B．，故是勾股数，符合题意； C．，故不是勾股数，不符合题意； D．0.3，0.4，0.5不是整数，故不是勾股数，不符合题意； 故选：B． 2．下列各组数是勾股数的是（   ） A．3，4，5 B．4，5，6 C． D．0.3，0.4，0.5 【答案】A 【分析】勾股数是符合特点的，还要是正整数，据此判断即可．本题考查了勾股数的判定方法，比较简单，只要对各组数据进行检验，看各组数据是否符合勾股定理的逆定理即可． 【详解】解：A、，且三个数都是正整数，故A符合题意； B、，故B不符合题意； C、，但不是正整数，故C不符合题意； D、，但不是正整数，故D不符合题意． 故选：A． 3．下列各组数是勾股数的是（   ） A．1，2，3 B．4，5，6 C．6，8，10 D．8，15，16 【答案】C 【分析】本题考查了勾股数的知识．判断是否为勾股数，必须根据勾股数是正整数，同时还需验证两小边的平方和是否等于最长边的平方． 【详解】解：A、，1，2，3不是勾股数，故本选项不符合题意； B、，4，5，6不是勾股数，故本选项不符合题意； C、，6，8，10是勾股数，故本选项符合题意； D、，8，15，16不是勾股数，故本选项不符合题意． 故选：C． 4．下列各组数为勾股数的是 （填序号）． ①，，；②，，；③，，；④，，；⑤，，． 【答案】④⑤/⑤④ 【分析】本题考查勾股数，关键是掌握勾股数的定义．勾股数：满足 的三个正整数，称为勾股数，由此即可判断． 【详解】解：①不是整数，故不是勾股数，不符合题意； ②，故不是勾股数； ③，故不是勾股数； ④，故是勾股数； ⑤，故是勾股数， 故答案为：④⑤． 5．毕达哥拉斯学派提出了一个构造勾股数组的公式，根据该公式可以构造出如下勾股数组：，，．．．，即当勾为3时，股为4，弦为5．分析上面数组的排列规律，当勾为13时，股和弦的值分别为 ． 【答案】84、85 【分析】本题主要考查了勾股数，关键是找出数据之间的关系，掌握勾股定理．观察所给数组的规律，继而可得出答案． 【详解】解：由勾股数组：，，…中， ，，， ，，，… 可得当勾为13时，股为，弦为； 故答案为：，． 6．探究发现：很多已经约去公因数的勾股数组中，都有一个是偶数，如果将它写成，那么另外两个数分别可以写成，，如，，．从而可以得到下列顺序排列的等式： ①， ②， ③， ④， … 根据你发现的规律写出第⑨个等式： ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一些常用的勾股数，通过分析各个等式，找出规律是解决本题的关键，通过观察可知，所列出的等式都符合勾股定理公式，在观察各底数的特点，找到规律即可得出第⑨个等式． 【详解】解：， ， ， ， 第一个数的底数是，指数是2， ， ， ， ， 第二个数的底数是，指数是2， 第三个数的底数比第二个数的底数大1，指数是2， 第个等式为， 第⑨个等式为：， 故答案为：． 类型五、构成直角三角形的条件 1．下列长度的线段中，能构成直角三角形的一组是（   ） A．1，，2 B．，， C．6，7，8 D．5，10，12 【答案】A 【分析】本题考查勾股定理的逆定理的应用．判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可． 【详解】解：．，能构成直角三角形，故该选项符合题意； ．，不能构成直角三角形，故该选项不符合题意； ．，不能构成直角三角形，故该选项不符合题意； ．，不能构成直角三角形，故该选项不符合题意； 故选：A． 2．下列各组中的三条线段，能构成直角三角形的是（   ） A．4，5，6 B．6，8，10 C．，， D．7，20，24 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，根据勾股定理的逆定理：如果三角形有两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形．如果没有这种关系，这个就不是直角三角形，据此判断即可． 【详解】解：A、，不能构成直角三角形，故本选项不符合题意； B、，能构成直角三角形，故本选项符合题意； C、，不能构成直角三角形，故本选项不符合题意； D、，不能构成直角三角形，故本选项不符合题意． 故选：B． 3．以下列四组数（单位：）为边长，其中能构成直角三角形的一组是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，解题的关键是判断三边是否满足两短边的平方和等于最长边的平方． 根据勾股定理的逆定理，分别计算每组数中两短边的平方和与最长边的平方，看是否相等，若相等则能构成直角三角形，否则不能． 【详解】A、，这三条边不能构成直角三角形； B、，这三条边能构成直角三角形； C、，这三条边不能构成直角三角形； D、，这三条边不能构成直角三角形． 故选：B． 4．已知、、为的三边，且满足，则是 【答案】等腰三角形或直角三角形 【分析】本题主要考查了非负性质，勾股定理的逆定理，等腰三角形的判定等知识，根据非负性质得出或，然后分三种情况讨论判定． 【详解】解：∵， ∴或， 即或， 当时，是等腰三角形， 当时，是直角三角形， 故答案为∶ 等腰三角形或直角三角形 5．已知、、为的三边，且，则的形状是 ． 【答案】等腰直角三角形 【分析】本题考查了非负数的性质、勾股定理逆定理、等腰三角形的定义等知识点，利用非负数的性质得出a、b、c之间的关系是解题的关键． 由非负数的性质得出，进而得出的形状． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴的形状为等腰直角三角形． 故答案为：等腰直角三角形． 6．三角形的三边长分别为6，8，10，这个三角形的形状是 三角形． 【答案】直角 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理．根据勾股定理的逆定理，进行计算即可解答． 【详解】解：，， ， 这个三角形是直角三角形， 故答案为：直角． 类型六、(特殊)平行四边形的条件 1．如图，在中，对角线，相交于点，再添加一个条件，可推出是菱形，则这个条件可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查菱形的判定，根据有一组邻边相等的平行四边形是菱形，对角线垂直的平行四边形是菱形，进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴当时，是菱形；故选项A符合题意； B，C，D三个选项都不能推出是菱形； 故选A． 2．如图，已知四边形，下列条件能判定四边形为平行四边形的是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】本题考查了平行四边形的判定，根据平行四边形的判定定理逐项分析判断，即可求解． 【详解】解：A. ，，不能判定四边形为平行四边形，故该选项不符合题意；     B. ，，不能判定四边形为平行四边形，故该选项不符合题意；         C. ，，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 ，能判定四边形为平行四边形，故该选项符合题意；     D. ，，不能判定四边形为平行四边形，故该选项不符合题意；     故选：C． 3．如图，在四边形中，已知，对角线，相交于点，若增加下列条件，则可以使四边形成为平行四边形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行四边形的判定，三角形全等的判定与性质，熟练掌握平行四边的判定定理是解题的关键．根据平行四边的判定定理逐一判断即可． 【详解】解：A. 由，，不能判断四边形是平行四边形，故本选项不符合题意； B. 由，可知，四边形的一组对边平行，另一组对边相等，据此不能判定该四边形是平行四边形，故本选项不符合题意； C. ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形，故本选项符合题意； D. 由，，不能判断四边形是平行四边形，故本选项不符合题意； 故选：C． 4．如图，将平行四边形的边延长线到点，使，连接，交于点．添加一个条件，使四边形是矩形．下列四个条件：①；②；③；④中，你认为可选择的是 ．（填上所有满足条件的序号） 【答案】①②④ 【分析】根据平行四边形的判定和性质，矩形的判定和性质解答即可． 本题考查了平行四边形的判定和性质，矩形的判定和性质，熟练掌握判定和性质是解题的关键． 【详解】解：∵平行四边形， ∴，， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴． ∵， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴四边形是矩形， 故①正确． ∵,， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴四边形是矩形， 故②正确． ∵， ∴四边形是菱形， 故③错误； ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴四边形是矩形， 故④正确． 故答案为：①②④． 5．如图，在四边形中，对角线，要使四边形各边中点连线构成的四边形是正方形，只需添加一个条件是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了三角形中位线定理，正方形的判定等知识，熟练掌握正方形的判定方法是平行四边形是解题的关键．添加．由三角形中位线定理和可证，从而四边形是菱形，再由可证边形是正方形． 【详解】解：添加． ∵E，F，G，H分别是边的中点， ∴是的中位线，是的中位线， ∴，，，， 同理可证：，，，， ∵， ∴， ∴四边形是菱形， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是正方形 故答案为：． 6．如图，在中，，点D，E，F分别是边的中点，要使四边形为正方形，不添加辅助线，可以添加的条件是 添加一个条件即可 【答案】（答案不唯一） 【分析】此题重点考查正方形的判定、三角形中位线定理等知识，推导出四边形是矩形是解题的关键．由中位线定理得到，，，结合得四边形是矩形，当时，四边形是正方形，据此可添加条件． 【详解】解：点D，E，F分别是边的中点， ，且，，且， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形是矩形， 当时，四边形是正方形， 添加的条件可以是， 故答案为：．（答案不唯一） 类型七、(特殊)平行四边形的性质 1．下列说法不正确的是（   ） A．一组邻边相等的矩形是正方形 B．对角线互相垂直的平行四边形是菱形 C．等腰梯形的对角和相等 D．矩形的对角线互相垂直平分 【答案】D 【分析】根据正方形的判定，菱形的判定，等腰梯形的性质，矩形的性质逐一判断即可． 【详解】A、一组邻边相等的矩形是正方形，正确，不符合题意； B、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，正确，不符合题意； C、因为等腰梯形两底互相平行，两底角相等，所以等腰梯形的对角和相等，正确，不符合题意； D、因为矩形的对角线不一定互相垂直，所以D选项错误，符合题意． 故选：D． 【点睛】本题考查了正方形的判定，菱形的判定，等腰梯形的性质，矩形的性质，熟练掌握相关知识是解题的关键． 2．下列命题是真命题的是（　　） A．一组对边平行且另一组对边相等的四边形是平行四边形 B．四个角相等的四边形是矩形 C．对角线互相垂直的四边形是菱形 D．对角线互相垂直且相等的四边形是正方形 【答案】B 【分析】本题主要考查平行四边形，矩形，菱形以及正方形的判定定理．根据平行四边形，矩形，菱形和正方形的判定定理判断即可． 【详解】解：A、一组对边平行且另一组对边相等的四边形可能是平行四边形也可能是等腰梯形，本选项不符合题意； B、四个角相等的四边形是矩形，本选项符合题意； C、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，本选项不符合题意； D、对角形互相垂直平分且相等的四边形是正方形，本选项不符合题意； 故选：B． 3．下列说法正确的是（   ） A．对角线相等的四边形是矩形 B．对角线互相垂直的四边形是菱形 C．对角线相等且互相垂直的四边形是正方形 D．对角线互相垂直的矩形是正方形 【答案】D 【分析】本题考查矩形，菱形，正方形的判定和性质，熟练掌握相关图形的判定是解题的关键； 根据矩形，菱形，正方形的判定定理，依次判断，即可求解； 【详解】解：A、对角线相等的平行四边形是矩形，原说法错误； B、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，原说法错误； C、对角线相等且互相垂直的平行四边形是正方形，原说法错误； D、对角线互相垂直的矩形是正方形，原说法正确； 故选：D 4．如图，四边形是矩形，分别以点A和点C为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点M，N；作直线分别交于点E，F，连接，若，则四边形的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查作图—基本作图、线段垂直平分线的性质、矩形的性质、菱形的判定与性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 设与交于点，由作图过程可知，直线为线段的垂直平分线，结合矩形的性质可得出四边形为菱形，则，，在中，可得，，则，，再根据四边形的面积为可得答案． 【详解】解：设与交于点， 由作图过程可知，直线为线段的垂直平分线， ，，，． 四边形为矩形， ， ，， ， ， ， 四边形为菱形， ，， 在中，，， ，， ，， 四边形的面积为． 故答案为：． 5．如图，中，过两条对角线的交点．若，，，则四边形的周长是 ． 【答案】 【分析】本题考查了平行四边形的性质以及全等三角形的判定与性质，熟悉相关性质是解题的关键． 由平行四边形的性质得，，，，然后证明，则，，最后利用周长公式即可求解． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，，，， ∴， 在和中， ∴， ∴，， ∴四边形的周长为 ， 故答案为：． 6．如图，点是矩形的对称中心，，分别是边，上的点，且，已知矩形的面积是64，那么图中阴影部分的面积为 ． 【答案】16 【分析】本题主要考查了矩形性质以及全等三角形的判定与性质，证明是解题的关键．首先根据矩形的性质可得，，进而可得，证明，由全等三角形的性质可得，然后结合矩形的性质求解即可． 【详解】解：∵四边形为矩形， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． 故答案为：16． 类型八、二次根式的混合运算 1．计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查二次根式加减运算，二次根式的除法，涉及二次根式性质、合并同类二次根式等知识，熟记二次根式性质及二次根式加减，除法运算规则是解决问题的关键． （1）先由二次根式性质化简，再合并同类二次根式即可得到答案； （2）先由二次根式性质化简，再计算二次根式除法，最后合并同类二次根式即可得到答案． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 2．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（）根据二次根式的性质和运算法则计算即可； （）根据二次根式的性质和运算法则计算即可； 本题考查了二次根式的运算，掌握二次根式的性质和运算法则是解题的关键． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 3．计算： (1)； (2)． 【答案】(1)2 (2)1 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解此题的关键． （1）先利用二次根式的性质进行化简，再计算二次根式的除法，最后计算加法即可得解； （2）先利用完全平方公式进行计算，再利用平方差公式进行计算即可得解． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 4．计算： (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法法则和乘法公式是解决问题的关键． （1）直接合并同类二次根式即可； （2）先根据平方差公式和完全平方公式计算，然后合并即可． 【详解】（1）解： ； （2）解：原式 ． 5．计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查的是二次根式的混合运算，掌握运算顺序是解本题的关键. （1）先化简各二次根式，再化简即可； （2）先计算二次根式的乘法运算，再计算加减运算即可； （3）先计算二次根式的乘方与除法运算，再计算加减运算即可. 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 6．计算题： (1) (2) (3) 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查二次根式的计算，零指数幂，绝对值的化简，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）根据二次根式的乘法和除法以及减法运算法则进行计算即可； （2）根据完全平方公式以及二次根式的混合运算进行计算即可； （3）根据二次根式的混合运算以及零指数幂，绝对值的化简进行计算即可． 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式； （3）解：原式． 类型九、二次根式的化简求值 1．已知，，求代数式和的值． 【答案】， 【分析】本题考查了二次根式的加减法和乘法运算，异分母的分式加法运算，运用平方差公式计算，完全平方公式变形计算，正确运用完全平方公式变形计算是解题的关键． 先求出，，再将化为，将化为，再代入求值即可． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴， ． 2．已知：，，且，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了完全平方式的变形运用，二次根式的化简求值，利用完全平方公式可得，再对二次根式进行化简，最后把式子的值代入计算即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴ ， ， ， ， ． 3．已知，求代数式的值． 【答案】57 【分析】本题考查了二次根式的化简求值，解题的关键是掌握平方差公式、完全平方公式； 把代入代数式，再根据平方差公式、完全平方公式计算即可求解． 【详解】解：∵， ∴ ． 4．已知，求代数式的值． 【答案】 【分析】本题考查的是已知条件式，求解代数式的值，先求解，再代入进行计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴ ． 5．已知：，，求：的值． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式的化简求值，完全平方公式的变形求值，先分母有理化得到，，再求出，，再根据进行求解即可． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴，， ∴ ． 6．已知，，．求： (1)和的值； (2)求的值． 【答案】(1)； (2)9 【分析】本题考查了二次根式的化简求值，完全平方公式，平方差公式．熟练掌握二次根式的运算法则是解题的关键． （1）先将已知和的值进行分母有理化，得到，，再分别根据二次根式的加法法则和乘法法则即可求出答案； （2）根据完全平方公式将原式变为，再代入（1）的值即可求出答案． 【详解】（1）解：， ， ， ； （2）解：由（1）可知，，， ． 类型十、勾股定理中的网格作图 1．如图是正方形网格，已知格点A，B，请用无刻度直尺按要求作图． (1)在图1中，以为腰，作等腰； (2)在图2中，以为斜边，作直角，使其面积最小． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 【分析】本题考查了等腰三角形定义及勾股定理的逆定理，熟练掌握等腰三角形的定义及勾股定理的逆定理是解题的关键． （1）根据等腰三角形的定义，进行作图，即可得解； （2）根据面积最小，则的值最小，且并且满足以为斜边，作直角这个条件，结合勾股定理的逆定理作图即可． 【详解】（1）解：等腰如图所示： （2）解：直角如图所示： 2．如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．的顶点A，B，C均为格点，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图． (1)如图1，先画的中线，再画点，连接，使，垂足为； (2)如图2，先画，使与全等，且点A的对应点在边上．点为上一动点，再画点，使． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查基本作图，涉及全等三角形的判定与性质、三角形的中线、勾股定理、线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质，根据相关知识正确画出图形是解答的关键． （1）取中点D，可得中线；取格点P、E，连接交于点F，可得，则，由可得，则； （2）取格点G、H，连接、，则利用勾股定理结合可得与全等；取格点T、S，连接交格线于点Q，设、相交于P，由垂直平分得，再根据等腰三角形的三线合一得到，可得，则． 【详解】（1）解：如图，线段、点E、点F即为所求； （2）解：如图，、点Q、P即为所求作： 3．图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，的顶点均在格点上．只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按下列要求找格点． (1)在图①中，连结、、，使； (2)在图②中，连结、，使； (3)在图③中，连结，使． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】（1）根据网格在图①中，作，的垂直平分线交于点，即可使； （2）根据网格在图②中，找到格点，连结、，根据平行线的性质和四边形内角和定理可得； （3）根据网格在图③中，连结，根据平行线的性质和等腰直角三角形的性质即可得． 【详解】（1）解：如图①，点即为所求； 点在，的垂直平分线上， ； （2）如图②，点或点即为所求； 由网格可知：， 由网格可知：，， ； ； （3）如图③，点即为所求； 由网格可知：， ， 由网格可知：，，， ， ， ． 【点睛】本题是三角形综合题，考查线段垂直平分线的性质，直角三角形的性质，平行线的性质，四边形内角和定理，等腰直角三角形的判定与性质，解决本题的关键是掌握等腰直角三角形的判定与性质． 4．图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长都为1，每个小正方形的顶点称为格点，点在格点上．只用无刻度的直尺按下列要求在给定的网格中画图，不要求写画法． (1)在图①中找一格点，连结AB，使线段； (2)在图②中画出等腰，点、在格点上，使为顶角且； (3)在图③中画出等腰，点、在格点上，使为顶角且腰长为5，则这个三角形的面积是______． 【答案】(1)见解析； (2)见解析； (3)10或． 【分析】（1）利用网格结合勾股定理画图即可； （2）结合等腰三角形的判定，画以为顶角且底边为2，高为2的等腰三角形或者画底边为，高为的等腰三角形即可； （3）结合勾股定理画出等腰，使即可；利用三角形面积公式或者割补法算出三角形面积． 【详解】（1）解：如图所示，点即为所求． （2）解：如图所示， 即为所求． （3）解：如图所示，即为求． 三角形面积：或． 故答案为：10或 【点睛】本题主要考查了作图——应用与设计作图、等腰三角形的判定、勾股定理，熟练掌握等腰三角形的判定、勾股定理是解答本题的关键． 5．如图均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，点，均在格点上．请在给定的网格中按要求作图． (1)在图1中，找一个格点，使为等腰三角形，且为锐角三角形； (2)在图2中，找一个格点，使为等腰三角形，且为直角三角形； (3)在图3中，找一个格点，使为等腰三角形，且为钝角三角形． 【答案】(1)作图见详解 (2)作图见详解 (3)作图见详解 【分析】本题等腰三角形的定义，三角形的分类，勾股定理与网格的计算，掌握等腰三角形的定义，三角形的分类，勾股定理的运用是解题的关键． （1）根据等腰三角形的定义，三角形的分类进行作图； （2）根据等腰三角形的定义，勾股定理逆定理的运用进行作图； （3）根据等腰三角形的定义，钝角三角形的定义作图即可． 【详解】（1）解：如图所示， ∵， ∴为等腰三角形，且为锐角三角形； （2）解：如图所示， ∵，，， ∴，，即， ∴为等腰三角形，且为直角三角形； （3）解：如图所示， ∵， ∴，是钝角， ∴为等腰三角形，且为钝角三角形． 6．如图，是由边长为1的小正方形构成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，的顶点在格点上，仅用无刻度直尺画图（保留作图痕迹，作图过程用虚线，作图结果用实线）． (1)在图1中，画出，使与关于y轴对称； (2)在图2中，找一格点D，使得，且； (3)在图2中，在射线的延长线上作一点P，使得； (4)在图2中，在（3）的条件下，若点M、N分别是、上的点，在上找一点Q，使． 【答案】(1)详见解析 (2)详见解析 (3)详见解析 (4)详见解析 【分析】本题主要考查轴对称图形的性质、勾股定理、图形与坐标及线段垂直平分线的尺规作图，熟练掌握轴对称图形的性质、勾股定理、图形与坐标及线段垂直平分线的尺规作图是解题的关键； （1）分别作点A、B、C关于y轴的对称点，进而问题可求解； （2）根据勾股定理可进行求解； （3）连接，然后作线段的垂直平分线，进而问题可求解； （4）作点N关于线段的对称点，然后连接，进而问题可求解 【详解】（1）解：所作图形如图所示： （2）解：所作图形如图所示： （3）解：所作图形如图所示： （4）解：所作图形如图所示： 1 学科网（北京）股份有限公司 $$