解三角形1（无图类）8大题型总结（培优）-2024-2025学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

2024-2025学年高一下学期数学常考题型归纳 总览 题型梳理 题型分类 知识讲解与常考题型 【解三角形1（无图类）】 （类型1：基本量的求解） 知识讲解 1. 在三角形中有8个基本元素：3个边长+3个角度+1个周长+1个面积 2. 解三角形就是利用已知的边角求其他边角的过程 3. 解题技巧：已知边长较多一般用余弦定理，已知角度更多一般用正弦定理 例题精选 【例题1】（24-25高一下·全国·课后作业）在中，，，且，则 . 【例题2】（24-25高一下·全国·课后作业）的内角，，的对边分别为，，，若，，，则 ． 【例题3】（24-25高一下·全国·课后作业）在中，已知，，，解此三角形． 相似练习 【相似题1】（21-22高三上·北京·期末）在中，，，在从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使其能够确定唯一的三角形，求： (1)的值； (2)的面积. 条件①：； 条件②：； 条件③：. 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分. 【相似题2】（24-25高一下·全国·课堂例题）在中，已知，，，求，，． 【相似题3】（24-25高一下·全国·课后作业）在中，内角，，所对的边分别为，，，已知，，．求的值和的值． （类型2：利用正余弦定理边角互化） 知识讲解 1. 条件中有出现边角在同一个式子中时，常用边角互化的技巧；有时只有边长或者只有角度时也需要转化 2. 正弦化边时一定要注意“齐次”（左右齐次或者上下齐次）；使用余弦定理化边时可以直接使用。 例题精选 【例题1】（2024高三·全国·专题练习）已知分别为的内角的对边，且.角 . 【例题2】（23-24高一下·上海·期中）在中，是的三边且满足，则角A的大小为 . 【例题3】（23-24高一下·河北保定·开学考试）在锐角中，若，则角 ． 相似练习 【相似题1】（23-24高三上·重庆渝北·阶段练习）在中，角，，的对边分别为，，，已知，则角的大小为 ． 【相似题2】（24-25高一下·广西南宁·阶段练习）已知锐角的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，则的面积是 ． 【相似题3】（24-25高一下·湖南衡阳·阶段练习）已知△ABC的三个角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则 ． 【相似题4】（2025·河南·二模）的内角，，的对边分别为，，，若，则 . 【相似题5】（2025·江西·一模）在中，角，，的对边分别为，，．已知，，，则 ． （类型3:证明问题） 知识讲解 1. 类型中有角的证明和边长的证明形式 2. 角的证明要特别注意三角函数公式中的运算，以及三角形内角的关系，如二倍角，B=A 例题精选 【例题1】（2025·安徽安庆·二模）在中，角所对的边分别为，且. (1)证明：； 【例题2】（2025·新疆喀什·二模）记的内角所对的边分别为，已知． (1)证明：； 【例题3】（2025·广东·一模）已知的内角所对的边分别为，且． (1)证明：； 相似练习 【相似题1】（2025·广东广州·模拟预测）的内角的对边分列为，已知. (1)证明：； 【相似题2】（24-25高三下·广东·开学考试）在中，内角所对的边分别为，已知. (1)证明：； 【相似题3】（2025·江苏南通·一模）已知的三边所对的角分别为． (1)求证：； 【相似题4】（24-25高三上·山西太原·期末）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，. (1)证明：； 【相似题5】（2025·浙江·模拟预测）在中，角，，的对边分别为，，，满足. (1)证明：； （类型4：对边对角的“周长面积”的最值与取值范围问题） 知识讲解 法一：三角函数值域法：正弦定理+三角函数公式的运算（两角和差二倍角辅助角）过程较复杂但是通法，优点可以解决角度的限制，便于求取值范围。 法二：余弦定理+基本不等式；特点过程简单，求最值可以优先考虑 例题精选 【例题1】（24-25高一下·福建莆田·阶段练习）在中，内角所对的边长分别为，，求面积的最大值 ． 【例题2】（24-25高三上·湖南娄底·期末）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，，则的面积的最大值为 . 相似练习 【相似题1】（24-25高一下·上海徐汇·开学考试）已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足，，则周长的取值范围为 ． 【相似题2】（2025·内蒙古赤峰·一模）锐角中，分别为角所对的边，且，若，则周长的取值范围是 . （类型5：邻边邻角的“周长面积”的最值与取值范围问题） 知识讲解 1. 邻边邻角一般只能用三角函数值域法，列出正弦定理构建等式 2. 要注意角度的限制如”锐角“ 例题精选 【例题1】（23-24高三上·内蒙古锡林郭勒盟·期末）已知为锐角三角形，，，，是角，，分别所对的边，若；且，则面积的取值范围是 . 【例题2】（2024高三·全国·专题练习）已知的边，且，则的面积的最大值为 ． 相似练习 【相似题1】（23-24高一下·四川泸州·期中）在锐角中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若，则周长的取值范围为 ． 【相似题2】（2024·全国·模拟预测）已知在锐角三角形ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且，则的面积S的取值范围为 ． （类型6：“比值模型”的最值与取值范围问题） 知识讲解 1. 列出正弦定理 2. 消元处理，使之只有一个变量 3. 注意角度限制“锐角” 例题精选 【例题1】（23-24高二上·内蒙古呼和浩特·阶段练习）锐角中，a、b、c分别是三内角A、B、C的对边，设，则的取值范围是 ． 【例题2】（23-24高一下·天津南开·阶段练习）在锐角中，角的对边分别为，若，且满足，则的取值范围为 ． 【例题3】（23-24高一下·河北保定·期中）已知a，b，c分别为的内角A，B，C的对边，且BC边上的高为a，则的取值范围为 ． 相似练习 【相似题1】（23-24高一下·福建福州·期末）在锐角中，角，，所对的边分别为，，，若，则的取值范围是 . 【相似题2】（21-22高三下·江苏镇江·开学考试）设锐角的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则的取值范围是 . 【相似题3】（23-24高三下·四川南充·阶段练习）在锐角中，内角A，B，C的对边分别为，且，若D是的角平分线与BC的交点，则的取值范围是 . 【相似题4】（23-24高一下·辽宁大连·期中）已知锐角的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，则的取值范围是 . （类型7：“结构不良型“的最值与取值范围问题） 知识讲解 4. 列出正弦定理 5. 消元处理，使之只有一个变量 6. 注意角度限制“锐角” 例题精选 【例题1】 （23-24高一下·上海闵行·阶段练习）在锐角中，若，且，则的取值范围是 . 【例题2】（22-23高二下·贵州黔东南·期末）在中，角的对边分别为，若，且，则的最大值为 . 【例题3】（22-23高一下·重庆·期末）锐角的内角所对边分别是且，若变化时，存在最大值，则正数的取值范围 . 相似练习 【相似题1】（2023·辽宁·模拟预测）在中，若，则的最大值为 ． 【相似题2】（22-23高一下·上海虹口·期中）在中，，且，则的取值范围是 ． 【相似题3】（2023·全国·模拟预测）已知中，角，，所对的边分别为，，，满足，且，，则的取值范围是 . 【相似题4】（22-23高一下·湖北·期中）锐角的内角所对的边分别为，若，，则的取值范围为 ． （类型8：最值问题的综合类型：三角函数值域法，基本不等式法） 知识讲解 1. 三角函数值域法 2. 基本不等式 3. 转化二次函数配方法 例题精选 【例题1】（2022·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． (1)若，求B； (2)求的最小值． 【例题2】（2020·浙江·高考真题）在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且． （I）求角B的大小； （II）求cosA+cosB+cosC的取值范围． 【例题3】（2025·河北衡水·模拟预测）记锐角内角，，的对边分别为，，，且. (1)证明：； (2)求的最大值. 相似练习 【相似题1】（2025·海南·三模）记的内角所对的边分别为，已知． (1)求； (2)若，求外接圆半径的最小值． 【相似题2】（2025·江苏南通·一模）已知的三边所对的角分别为． (1)求证：； (2)若，求的取值范围． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$2024-2025学年高一下学期数学常考题型归纳 总览 题型梳理 题型分类 知识讲解与常考题型 【解三角形1（无图类）】 （类型1：基本量的求解） 知识讲解 1. 在三角形中有8个基本元素：3个边长+3个角度+1个周长+1个面积 2. 解三角形就是利用已知的边角求其他边角的过程 3. 解题技巧：已知边长较多一般用余弦定理，已知角度更多一般用正弦定理 例题精选 【例题1】（24-25高一下·全国·课后作业）在中，，，且，则 . 【详解】，， 又，， ， 整理，得， 解得（舍去）. 故答案为：1 【例题2】（24-25高一下·全国·课后作业）的内角，，的对边分别为，，，若，，，则 ． 【答案】 【分析】直接由平方关系以及正弦定理即可求解. 【详解】中，由，，, 可得，， 又，故由正弦定理得，． 故答案为：. 【例题3】（24-25高一下·全国·课后作业）在中，已知，，，解此三角形． 【答案】答案见解析 【分析】由正弦定理求出，可得，再由正弦定理可得答案. 【详解】由正弦定理，知． ，， 或，当时，， ； 当时，， ． 故当时，，； 当时，，． 相似练习 【相似题1】（21-22高三上·北京·期末）在中，，，在从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使其能够确定唯一的三角形，求： (1)的值； (2)的面积. 条件①：； 条件②：； 条件③：. 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分. 【详解】（1）（1）选择条件①， ，由于，， 所以，解得； 选择条件②， ，由于，， 由正弦定理，. 选择条件③， ，由正弦定理，得， 此时或，三角形不唯一，不合题意． （2）选择条件①， ，由，则，满足， 故为直角三角形，所以； 选择条件②， ，在中，， 所以. 【相似题2】（24-25高一下·全国·课堂例题）在中，已知，，，求，，． 【详解】由余弦定理得． ，， ， ，． ， ，，． 【相似题3】（24-25高一下·全国·课后作业）在中，内角，，所对的边分别为，，，已知，，．求的值和的值． 【详解】解   在中，，，， 由余弦定理得， 解得． 则． （类型2：利用正余弦定理边角互化） 知识讲解 1. 条件中有出现边角在同一个式子中时，常用边角互化的技巧；有时只有边长或者只有角度时也需要转化 2. 正弦化边时一定要注意“齐次”（左右齐次或者上下齐次）；使用余弦定理化边时可以直接使用。 例题精选 【例题1】（2024高三·全国·专题练习）已知分别为的内角的对边，且.角 . 【答案】 【分析】利用余弦定理进行角化边，最后得到，最后利用正切值求解角度即可. 【详解】在中，由余弦定理得，，代入得， 则，即， 即，因为，但时上式不成立， 所以，所以，则. 故答案为： 【例题2】（23-24高一下·上海·期中）在中，是的三边且满足，则角A的大小为 . 【答案】 【分析】根据题意利用余弦定理边角转化即可得结果. 【详解】因为，即， 由余弦定理可得， 且，所以. 故答案为：. 【例题3】（23-24高一下·河北保定·开学考试）在锐角中，若，则角 ． 【答案】/ 【分析】利用余弦定理，可化简已知等式求得，结合是锐角三角形得解. 【详解】由，得， ，又是锐角三角形， . 故答案为：. 相似练习 【相似题1】（23-24高三上·重庆渝北·阶段练习）在中，角，，的对边分别为，，，已知，则角的大小为 ． 【答案】 【分析】根据正弦定理将角化为边，然后利用余弦定理公式进行求解. 【详解】由题意知：在中，， 根据正弦定理得：，化简得：， 即，由余弦定理可得， 又因为，所以 故答案为：. 【相似题2】（24-25高一下·广西南宁·阶段练习）已知锐角的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，则的面积是 ． 【答案】 【分析】由已知结合正弦定理可求，由余弦定理可求，然后代入三角形的面积公式即可求解． 【详解】因为， 由正弦定理得， 即， 且，则， 可得，即， 又因为，由余弦定理可得，则， 所以的面积为. 故答案为：. 【相似题3】（24-25高一下·湖南衡阳·阶段练习）已知△ABC的三个角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则 ． 【答案】 【分析】由正弦定理将转化为，再由正弦的和差角公式求出及，再由求解即可. 【详解】因为， 由正弦定理可得：， 所以， 即， 又因为， 所以 因为，所以， 故，解得， 又因为，所以， 所以， 所以. 故答案为： 【相似题4】（2025·河南·二模）的内角，，的对边分别为，，，若，则 . 【答案】 【分析】先利用正弦定理将已知等式中的边化为角，再根据三角形内角和定理以及三角函数公式化简等式，最后求出角的值. 【详解】已知，由正弦定理可得：，得到. 因为，所以，那么. 根据诱导公式，可得. 所以. 可得. 因为，所以，得到. 即，可得. 又因为，所以. 故答案为：. 【相似题5】（2025·江西·一模）在中，角，，的对边分别为，，．已知，，，则 ． 【答案】3 【分析】利用正弦定理边化角，再利用三角恒等变换可得，进而求出角的大小得解. 【详解】在中，由正弦定理及， 得， 则， 移项得， 于是，整理得，解得， 由，得，则，， 所以. 故答案为：3 【点睛】关键点点睛：利用正弦定理化边为角，再逆用和差角的正弦公式变形是求解问题的关键. （类型3:证明问题） 知识讲解 1. 类型中有角的证明和边长的证明形式 2. 角的证明要特别注意三角函数公式中的运算，以及三角形内角的关系，如二倍角，B=A 例题精选 【例题1】（2025·安徽安庆·二模）在中，角所对的边分别为，且. (1)证明：； 【详解】（1）证法1：由正弦定理得，. ∵ ， ∴，即， ∵，∴，故， ∵，∴， ∴或， ∴或（舍），故. 证法2：由正弦定理得，， 由余弦定理得，， ∴，即， ∴， ∴. ∵，∴，即， ∵，∴， ∴或， ∴或（舍），故. 【例题2】（2025·新疆喀什·二模）记的内角所对的边分别为，已知． (1)证明：； 【详解】（1），， 两边同时乘以得，， 由正弦定理得，； 在中，，， ，， 又，，， 或， 若，且，则，，不合题意，舍去. . 【例题3】（2025·广东·一模）已知的内角所对的边分别为，且． (1)证明：； 【详解】（1）根据正弦定理设，则， 代入，得，即， 整理得， 由，得， 所以； 相似练习 【相似题1】（2025·广东广州·模拟预测）的内角的对边分列为，已知. (1)证明：； 【详解】（1）因为，由正弦定理得， 在中，有，所以， 即， 所以，即， 因为，，所以，或（舍去）， 所以. 【相似题2】（24-25高三下·广东·开学考试）在中，内角所对的边分别为，已知. (1)证明：； 【详解】（1）由正弦定理可得，所以， 由及余弦定理得， 代入，得， 化简得，故； 【相似题3】（2025·江苏南通·一模）已知的三边所对的角分别为． (1)求证：； 【详解】（1）由正弦定理得 ， ． 【相似题4】（24-25高三上·山西太原·期末）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，. (1)证明：； 【详解】（1），， 由正弦定理可得， 由余弦定理得，， 或， 当时，则，，，，成立， 综上所述，成立. 【相似题5】（2025·浙江·模拟预测）在中，角，，的对边分别为，，，满足. (1)证明：； 【详解】（1）在中，由及正弦定理，得， 则，即， 所以. （类型4：对边对角的“周长面积”的最值与取值范围问题） 知识讲解 法一：三角函数值域法：正弦定理+三角函数公式的运算（两角和差二倍角辅助角）过程较复杂但是通法，优点可以解决角度的限制，便于求取值范围。 法二：余弦定理+基本不等式；特点过程简单，求最值可以优先考虑 例题精选 【例题1】（24-25高一下·福建莆田·阶段练习）在中，内角所对的边长分别为，，求面积的最大值 ． 【答案】 【分析】先根据三角函数的性质求出角，再利用余弦定理结合基本不等式求出的最大值，最后根据三角形面积公式求出面积的最大值. 【详解】已知，则，那么. 由，可得：， 令，则，因式分解为. 解得或，因为，所以. 又因为，所以. 由余弦定理得 即，所以，当且仅当时取等号. 所以. 综上，面积的最大值为. 故答案为： 【例题2】（24-25高三上·湖南娄底·期末）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，，则的面积的最大值为 . 【答案】 【分析】利用余弦定理结合均值不等式求得最大值，再用三角形的面积公式求解即可. 【详解】因为已知， 由余弦定理可得， 因为，又因为，得， 当且仅当时等号成立， 则面积为， 当且仅当时等号成立，故的面积的最大值为. 故答案为：. 相似练习 【相似题1】（24-25高一下·上海徐汇·开学考试）已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足，，则周长的取值范围为 ． 【答案】 【分析】先求角，再结合基本不等式和余弦定理可求三角形周长的取值范围. 【详解】由， 因为为三角形内角，所以，所以，所以. 由余弦定理：，即. 所以，所以，所以. 又，所以. 故答案为： 【相似题2】（2025·内蒙古赤峰·一模）锐角中，分别为角所对的边，且，若，则周长的取值范围是 . 【答案】 【分析】由已知结合余弦定理可得，根据正弦定理结合三角恒等变换可得，由角的范围结合三角函数的性质即可求解. 【详解】由已知得，所以， 解得， 由正弦定理得， 所以，， 所以 ， 因为为锐角三角形，所以，所以， 所以，所以， 所以， 所以锐角周长的取值范围是. 故答案为：. （类型5：邻边邻角的“周长面积”的最值与取值范围问题） 知识讲解 1. 邻边邻角一般只能用三角函数值域法，列出正弦定理构建等式 2. 要注意角度的限制如”锐角“ 例题精选 【例题1】（23-24高三上·内蒙古锡林郭勒盟·期末）已知为锐角三角形，，，，是角，，分别所对的边，若；且，则面积的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据给定条件，求出的值及的范围，然后通过正弦定理和面积公式，并结合两角和与差的正弦公式求得答案. 【详解】在锐角中，由，得，即， 由正弦定理得，而，则， 又，则有，得，，由，解得， 由正弦定理得，而，则， 因此， 由，得，即，于是， 所以面积的取值范围是. 故答案为： 【点睛】思路点睛：涉及求三角形面积范围问题，可以利用正弦定理及三角形面积公式，转化为关于某个角的函数，再借助三角函数的性质求解. 【例题2】（2024高三·全国·专题练习）已知的边，且，则的面积的最大值为 ． 【答案】 【分析】首先利用三角函数商的关系以及三角恒等变换得，再利用正弦定理得，从而得到，再利用三角形面积公式结合降幂公式得，最后根据三角函数的图象与性质即可得到最值． 【详解】由题意，设中角所对应的边分别为，则有， 由，可得， 整理得， 所以，因为， 所以，所以. 由正弦定理可得，所以， 则．若，则，显然成立， 若，则，则，则有， 综上，， 所以的面积， 所以， 因为，所以， 当，即时，的面积取得最大值， 故答案为：. 相似练习 【相似题1】（23-24高一下·四川泸州·期中）在锐角中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若，则周长的取值范围为 ． 【答案】 【分析】由正弦定理可以把表示为角的函数，由锐角三角形得出角的取值范围，进而可得的取值范围. 【详解】在锐角中，，，，则， 由正弦定理， 得， ， 所， 由，得，而，则， 因此，所以周长的取值范围为. 故答案为： 【相似题2】（2024·全国·模拟预测）已知在锐角三角形ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且，则的面积S的取值范围为 ． 【答案】 【分析】利用正弦定理解三角形，利用三角函数的单调性求三角形的面积的取值范围. 【详解】由题意及正弦定理，得． 因为，所以． 因为，所以，所以． 因为，所以， 由正弦定理，得， 所以， 因为是锐角三角形，所以解得， 所以，所以，从而． （类型6：“比值模型”的最值与取值范围问题） 知识讲解 1. 列出正弦定理 2. 消元处理，使之只有一个变量 3. 注意角度限制“锐角” 例题精选 【例题1】（23-24高二上·内蒙古呼和浩特·阶段练习）锐角中，a、b、c分别是三内角A、B、C的对边，设，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】利用正弦定理边化角，结合已知可得，再利用锐角三角形，结合余弦函数的性质求出范围. 【详解】在锐角中，由正弦定理得：，而， 则，又，解得， 因此，即， 所以的取值范围是． 故答案为： 【例题2】（23-24高一下·天津南开·阶段练习）在锐角中，角的对边分别为，若，且满足，则的取值范围为 ． 【答案】 【分析】由已知结合正弦定理，余弦定理，辅助角公式及三角函数的图象求解即可． 【详解】由得，， 由正弦定理得，， 由余弦定理得，， 又为锐角三角形，所以，则，即， 由正弦定理得，，所以， 所以 ， 因为为锐角三角形，所以，即，解得， 所以，则， 所以，即， 所以， 故答案为：． 【例题3】（23-24高一下·河北保定·期中）已知a，b，c分别为的内角A，B，C的对边，且BC边上的高为a，则的取值范围为 ． 【答案】 【分析】先利用余弦定理求得，和的关系式，继而根据三角形面积公式求得，进而表示出，然后利用基本不等式求得的最小值，根据的表达式求得其最大值． 【详解】由余弦定理得，， 由面积公式， ， ，， ，即， 又，当且仅当时取等号， 的取值范围为． 故答案为：． 相似练习 【相似题1】（23-24高一下·福建福州·期末）在锐角中，角，，所对的边分别为，，，若，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】利用正弦定理进行边角互化，再结合余弦定理可得，再进行边角互化可得，再根据边角互化，结合三角函数性质可得范围. 【详解】由已知， 根据正弦定理的， 则， 再根据正弦定理可得， 即， 化简可得， 由为锐角三角形， 则，，则， 所以，即， 所以， 又，即， 则， 故答案为：. 【相似题2】（21-22高三下·江苏镇江·开学考试）设锐角的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】利用正弦定理结合三角恒等变换可得，结合角A的取值范围分析求解. 【详解】因为为锐角三角形，则，解得， 由正弦定理可得 ， 由可得，则， 所以的取值范围是. 故答案为：. 【相似题3】（23-24高三下·四川南充·阶段练习）在锐角中，内角A，B，C的对边分别为，且，若D是的角平分线与BC的交点，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据题意利用余弦定理可得，在中，利用正弦定理结合三角恒等变换可得，结合角的取值范围分析求解. 【详解】在中，由得， 由余弦定理得， 且，所以. 又因为AD是的平分线，则， 在中，由正弦定理得， 可得， 且是锐角三角形，所以，解得， 则，可得，所以， 故的取值范围是. 故答案为：. 【相似题4】（23-24高一下·辽宁大连·期中）已知锐角的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】利用正弦定理和余弦定理进行角化边和边化角，余弦定理解角，再结合正切函数性质求最值. 【详解】由题意得，， 由正弦定理得，即， 所以又，所以， 又， 由是锐角三角形得，，所以， 又正切函数在上为增函数， 所以，所以，即， 所以的取值范围是. 故答案为：. （类型7：“结构不良型“的最值与取值范围问题） 知识讲解 4. 列出正弦定理 5. 消元处理，使之只有一个变量 6. 注意角度限制“锐角” 例题精选 【例题1】 （23-24高一下·上海闵行·阶段练习）在锐角中，若，且，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据给定条件，求出锐角，利用正余弦定理求出，再利用正弦定理结合三角恒等变换及正弦函数性质求解即得. 【详解】由，得，而是锐角，则， 由余弦定理得， 由正弦定理及，得， 即，因此，在锐角中，， 令，，由正弦定理得， 因此， 由，得，则， 所以的取值范围是. 故答案为： 【点睛】思路点睛：涉及求三角形周长范围问题，时常利用三角形正弦定理，转化为关于某个角的函数，再借助三角函数的性质求解. 【例题2】（22-23高二下·贵州黔东南·期末）在中，角的对边分别为，若，且，则的最大值为 . 【答案】 【分析】依题意可得，利用正弦定理将角化边，再由余弦定理将角化边即可求出，结合正弦定理将转化为关于的三角函数，利用辅助角公式及正弦函数的性质求出最大值. 【详解】因为，，即， 所以， 由正弦定理可得，即， 又由余弦定理，所以（负值舍去）， 根据正弦定理， 可得，， 所以 ，其中， 因为，当时，的最大值为. 故答案为： 【例题3】（22-23高一下·重庆·期末）锐角的内角所对边分别是且，若变化时，存在最大值，则正数的取值范围 . 【答案】 【分析】 利用正弦定理，由题意得，再结合是锐角三角形，得出的范围，然后根据存在最大值，得出的取值范围. 【详解】由正弦定理，，，得， 代入，得， 所以，即， 因为，所以或（舍去）， 所以， 因为是锐角三角形，所以，解得， 因为，且， 即， 利用辅助角公式可得, ，其中, 因为，要使存在最大值， 只需存在，使，，所以， 因为，所以，解得. 所以的取值范围. 故答案为：. 相似练习 【相似题1】（2023·辽宁·模拟预测）在中，若，则的最大值为 ． 【答案】 【分析】先由题证明得，再化简得，再利用三角函数的图像和性质求出最大值. 【详解】首先证明：在△ABC中，有, 在△ABC中，由余弦定理得， 由正弦定理得， 令， 上述两式相加得 所以 =, 当即时取等. 故答案为：. 【相似题2】（22-23高一下·上海虹口·期中）在中，，且，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】运用余弦定理先求出，再利用正弦定理求出关于的表达式，作恒等变换，根据正弦函数的性质求出的值域. 【详解】， 由正弦定理得，。 又， ， ； 令，，则， ； 故答案为：. 【相似题3】（2023·全国·模拟预测）已知中，角，，所对的边分别为，，，满足，且，，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】由正弦定理将边化角，再由两角和的正弦公式及诱导公式得到，即可求出，再根据正弦定理将边化角，将转化为关于的三角函数，再结合的范围及正弦函数的性质计算可得. 【详解】因为，由正弦定理可得， 即，即， 所以，又，所以， 因为，所以， 由，所以，， 所以 ， 因为，所以，所以，所以，所以， 则，即的取值范围为. 故答案为： 【相似题4】（22-23高一下·湖北·期中）锐角的内角所对的边分别为，若，，则的取值范围为 ． 【答案】 【分析】利用余弦定理可得，由正弦定理边化角，结合三角恒等变换知识可化简得到，由正弦型函数值域求法可求得范围，由此可求得结果. 【详解】，，即， 由正弦定理得：，，， ， 为锐角三角形，，解得：， ，，， . 故答案为：. （类型8：最值问题的综合类型：三角函数值域法，基本不等式法） 知识讲解 1. 三角函数值域法 2. 基本不等式 3. 转化二次函数配方法 例题精选 【例题1】（2022·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． (1)若，求B； (2)求的最小值． 【答案】(1)； (2)． 【分析】（1）根据二倍角公式以及两角差的余弦公式可将化成，再结合，即可求出； （2）由（1）知，，，再利用正弦定理以及二倍角公式将化成，然后利用基本不等式即可解出． 【详解】（1）因为，即， 而，所以； （2）由（1）知，，所以， 而， 所以，即有，所以 所以 ． 当且仅当时取等号，所以的最小值为． 【例题2】（2020·浙江·高考真题）在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且． （I）求角B的大小； （II）求cosA+cosB+cosC的取值范围． 【答案】（I）；（II） 【分析】（I）方法二：首先利用正弦定理边化角，然后结合特殊角的三角函数值即可确定角B的大小； （II）方法二：结合(Ⅰ)的结论将含有三个角的三角函数式化简为只含有角A的三角函数式，然后由三角形为锐角三角形确定角A的取值范围，最后结合三角函数的性质即可求得的取值范围. 【详解】（I） [方法一]：余弦定理 由，得，即. 结合余弦定， ∴， 即， 即， 即， 即， ∵为锐角三角形，∴， ∴， 所以， 又B为的一个内角，故. [方法二]【最优解】：正弦定理边化角 由，结合正弦定理可得： 为锐角三角形，故. （II） [方法一]：余弦定理基本不等式 因为，并利用余弦定理整理得， 即. 结合，得. 由临界状态（不妨取）可知. 而为锐角三角形，所以. 由余弦定理得， ，代入化简得 故的取值范围是. [方法二]【最优解】：恒等变换三角函数性质 结合(1)的结论有： . 由可得：，， 则，. 即的取值范围是. 【整体点评】（I）的方法一，根据已知条件，利用余弦定理经过较复杂的代数恒等变形求得，运算能力要求较高；方法二则利用正弦定理边化角，运算简洁，是常用的方法，确定为最优解；（II）的三种方法中，方法一涉及到较为复杂的余弦定理代入化简，运算较为麻烦，方法二直接使用三角恒等变形，简洁明快，确定为最优解. 【例题3】（2025·河北衡水·模拟预测）记锐角内角，，的对边分别为，，，且. (1)证明：； (2)求的最大值. 【答案】(1)证明见解析； (2)1. 【分析】（1）根据给定条件，利用正弦定理边化角，再利用和差化积公式及和差角的余弦公式计算推理得证. （2）由（1）可得，再利用和角的正切公式及基本不等式求出的最小值即可. 【详解】（1）在中，由及正弦定理，得， 则， 而，则，于是， 整理得，因此， 所以. （2）在锐角中，由（1）知，，则， 而，则 ，当且仅当时取等号， 因此，，所以的最大值为1. 相似练习 【相似题1】（2025·海南·三模）记的内角所对的边分别为，已知． (1)求； (2)若，求外接圆半径的最小值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用正弦定理及两角和的正弦公式化简得，根据正弦函数的性质及特殊角的余弦值可得； （2）由正弦定理得外接圆的半径，利用余弦定理结合基本不等式可得，即可得解. 【详解】（1）由正弦定理及可得，， 因为，所以，所以， 因为，所以； （2）由题意得三角形外接圆的半径，要使外接圆的半径最小，只需最小， 又因为，则由余弦定理得， 当且仅当时取等号，此时，所以， 即外接圆半径的最小值为. 【相似题2】（2025·江苏南通·一模）已知的三边所对的角分别为． (1)求证：； (2)若，求的取值范围． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）可以采用正弦定理边角互化，再用余弦定理得到，最后结合和角公式和同角三角函数关系式计算即可; （2）有了，两角之间的正切关系，直接将用和表示，转变成关于的函数，借助函数单调性求范围即可． 【详解】（1）由正弦定理得 ， ． （2） ，令, 由于在上单调递增， 则原函数也是在上单调递增. ，即的取值范围为． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$