精品解析：山西省大同市第一中学集团校南校2024-2025学年八年级下学期3月月考数学试题

大同一中南校2024-2025学年第二学期阶段性综合素养评价（一） 注意事项： 1．共6页，时间120分钟，满分120分． 2．答题前请认真核对条形码上的姓名及学生编码．将姓名、学生编码、教室编号、座位号填写在答题卡规定的位置． 3．本次评价设有答题卡，请直接在答题卡上作答，答案写在本页上无效． 4．答题卡要保持整洁，不要折叠，不能弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、胶带纸． 第I卷 选择题 一、选择题（本大题共10小题，每题3分，共30分．在每个小题的四个选项中，只有一个最符合题意，请将正确的答案选项填入答题卡相应的位置．） 1. 下列二次根式中，是最简二次根式的是（　　） A. B. C. D. 2. 若式子在实数范围内有意义，则的取值范围是（　　） A. B. C. D. 3. 在平面直角坐标系中，点和点的距离是（　　） A. B. 13 C. 5 D. 4. 化简的结果为（　　） A. B. C. D. 5. 下列几组数是勾股数的是（　　） A. ，， B. ，， C. ，， D. 6. 估计的值应在（　　） A. 和之间 B. 和之间 C. 和之间 D. 和之间 7. 在中，所对的边分别为，则满足下列条件的不是直角三角形的是（　　） A. B. C. D. 8. 直角三角形两边长分别为5和12，则第三边长为（　　） A. 或 B. 或13 C. 13 D. 9. 以平行四边形对角线的交点为原点，平行于边的直线为轴，建立如图所示的平面直角坐标系．若点坐标为，则点坐标为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，长方体的高为，底面是边长为的正方形一只蚂蚁从顶点开始爬向顶点，那么它爬行的最短路程为（ ） A. B. C. D. 第II卷 非选择题 二、填空题（本大题共5小题，每题3分，共15分） 11. 计算：的结果是__________. 12. 命题“两个全等三角形的面积相等”的逆命题是_____命题．（填入“真”或“假”） 13. 比较大小：____．（用“”或“”填空）． 14. 如图，某港口P 位于东西方向的海岸线上，“远航”号、“海天”号轮船同时从港口P出发，“远航”号以每小时的速度沿北偏东方向航行，“海天”号以每小时的速度沿北偏西方向航行，一小时后，“远航”号、“海天”号分别位于Q，R处，则此时“远航”号与“海天”号的距离为______． 15. 如图，折叠矩形纸片，使点落在点处，折痕为，已知，，则的长为__________． 三、解答题（本大题共8小题，共75分） 16. 计算： （1） （2） （3） 17. 已知：，，求代数式的值． 18. 如图，正方形网格中每个小正方形边长都是1，小正方形的顶点称为格点，在正方形网格中分别画出下列图形： （1）在图1同格中画出长为的线段AB； （2）在图2网格中画出一个腰长为且面积为3的等腰． 19. 如图，在中，对角线相交于点，且． （1）求的度数； （2）求的面积． 20. 为响应政府“公园城市建设”的号召，某小区进行小范围绿化，要在一块如图所示的四边形空地进行绿化改造，测得 （1）若要在两点间铺一条鹅卵石路，铺设成本为元，求铺设这条鹅卵石路的最低花费． （2）如果种植草皮的费用是元，那么在整块空地上种植草皮共需投入多少钱？ 21. 综合与实践 小明同学在延时课上进行了项目式学习实践探究，并绘制了如下记录表格： 课题 在放风筝时测量风筝离地面的垂直高度 模型 抽象 测绘数据 ①测得水平距离的长为15米 ②根据手中剩余线的长度，计算出风筝线的长为17米 ③牵线放风筝的手到地面的距离为米 说明 点A，B，E，D在同一平面内 请根据表格信息，解答下列问题． （1）求线段的长； （2）若想要风筝沿方向再上升12米，则在长度不变的前提下，小明同学应该再放出多少米线？ 22. 阅读与思考 材料一：两个含有二次根式的非零代数式相乘，如果它们的积不含二次根式，那么这两个代数式互为有理化因式．例：，我们称的一个有理化因式是的一个有理化因式是． 材料二：如果一个代数式的分母中含有二次根式，通常可将分子、分母同乘分母的有理化因式，使分母中不含根号，这种变形叫分母有理化． 例：． 请仿照材料中的方法解答下列问题： （1）的一个有理化因式为___________； 的一个有理化因式为___________． （2）将下列各式进行分母有理化： ①； ②． （3）的倒数为________ 23. 在等腰中，，且． （1）如图1，若也是等腰直角三角形，且，的顶点A在的斜边上，连． ①求证：； ②求证：； （2）如图2，E为上一点，，，则的长为______． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 大同一中南校2024-2025学年第二学期阶段性综合素养评价（一） 注意事项： 1．共6页，时间120分钟，满分120分． 2．答题前请认真核对条形码上的姓名及学生编码．将姓名、学生编码、教室编号、座位号填写在答题卡规定的位置． 3．本次评价设有答题卡，请直接在答题卡上作答，答案写在本页上无效． 4．答题卡要保持整洁，不要折叠，不能弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、胶带纸． 第I卷 选择题 一、选择题（本大题共10小题，每题3分，共30分．在每个小题的四个选项中，只有一个最符合题意，请将正确的答案选项填入答题卡相应的位置．） 1. 下列二次根式中，是最简二次根式的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了最简二次根式的知识，熟练掌握最简二次根式的定义是解答本题的关键．最简二次根式必须满足两个条件：①被开方数不含分母；②被开方数不含能开得尽方的因数或因式． 【详解】解：A．，故不是最简二次根式； B．，故不是最简二次根式； C．是最简二次根式； D．，故不是最简二次根式； 故选C． 2. 若式子在实数范围内有意义，则的取值范围是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了代数式有意义时字母的取值范围，代数式有意义时字母的取值范围一般从几个方面考虑：①当代数式是整式时，字母可取全体实数；②当代数式是分式时，考虑分式的分母不能为0；③当代数式是二次根式时，被开方数为非负数．根据被开方数是非负数且分母不等于零列式求解即可． 【详解】解：由题意得 ， ∴． 故选：C． 3. 在平面直角坐标系中，点和点的距离是（　　） A. B. 13 C. 5 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查平面直角坐标系中，两点间的距离公式，掌握若，则，是解题的关键． 根据平面直角坐标系中，两点间的距离公式，即可求解． 【详解】∵点和点， ∴， 故选：A． 4. 化简的结果为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查二次根式的性质、化简，关键在于根据进行化简． 将化简为，再根据二次根式的性质即可求解． 【详解】解：， 故选：D． 5. 下列几组数是勾股数的是（　　） A. ，， B. ，， C. ，， D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了勾股数的定义，如果三个正整数、、满足，那么这三个数是勾股数，解决本题的关键是根据勾股数的定义进行判断． 【详解】解：A选项：，，，、、不是勾股数，故A选项不符合题意； B选项：，，，、、是勾股数，故B选项符合题意； C选项：、、不是正整数，不是勾股数，故C选项不符合题意； D选项：、不是正整数，不是勾股数，故D选项不符合题意； 故选：B ． 6. 估计的值应在（　　） A. 和之间 B. 和之间 C. 和之间 D. 和之间 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了实数的估算，因为，而，所以在和之间． 【详解】解：， 又， ， 在和之间． 故选：A ． 7. 在中，所对的边分别为，则满足下列条件的不是直角三角形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理和三角形的内角和定理．根据三角形内角和定理判断A、B即可；根据勾股定理的逆定理判断C、D即可． 【详解】解：A、，， 最大角为， 不是直角三角形，故本选项符合题意； 是直角三角形，故本选项不符合题意； B、∵，∴， C、， ， 是直角三角形，故本选项不符合题意； D、设， ， ∴， ，即是直角三角形，故本选项不符合题意． 故选：A． 8. 直角三角形两边长分别为5和12，则第三边长为（　　） A. 或 B. 或13 C. 13 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理．已知直角三角形的两边长，但未明确这两条边是直角边还是斜边，因此两条边中的较长边12既可以是直角边，也可以是斜边，所以求第三边的长必须分类讨论，即12是斜边或直角边的两种情况，然后利用勾股定理求解． 【详解】解：当12和5均为直角边时，第三边； 当12为斜边，5为直角边，则第三边， 故第三边的长为13或． 故选：B． 9. 以平行四边形对角线的交点为原点，平行于边的直线为轴，建立如图所示的平面直角坐标系．若点坐标为，则点坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据平行四边形是中心对称图形，再根据▱ABCD对角线的交点O为原点和点A的坐标，即可得到点C的坐标． 【详解】解：∵四边形ABCD为平行四边形， ∴点A和C关于对角线的交点O对称， 又∵O为原点， ∴点A和C关于原点对称， ∵点A（−2，1）， ∴点C的坐标为（2，−1）， 故选D． 【点睛】本题考查平行四边形的性质、坐标与图形性质，解答本题的关键是明确题意，利用平行四边形的中心对称性解答． 10. 如图，长方体的高为，底面是边长为的正方形一只蚂蚁从顶点开始爬向顶点，那么它爬行的最短路程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】将立体图形展开，有三种不同的展法，连接AB，利用勾股定理求出AB的长，找出最短的即可． 【详解】解：①如图，将长方体的正面和上面展开在同一平面内，则AD=6dm，BD=6+9=15dm， ； ②如图，将长方体的正面和右面展开在同一平面内，AC=6+6=12dm，BC=9dm， ； ③将长方体的上面和左面展开在同一平面内，则DE=6dm，BE=6+9=15dm， ； ∵， 所以蚂蚁爬行的最短路程为15dm． 故选：C． 【点睛】本题考查的是平面展开——最短路径问题，此类问题先根据题意把立体图形展开成平面图形后，再确定两点之间的最短路径一般情况是利用两点之间，线段最短．关键是在平面图形上构造直角三角形解决问题． 第II卷 非选择题 二、填空题（本大题共5小题，每题3分，共15分） 11. 计算：的结果是__________. 【答案】 【解析】 【分析】利用二次根式的乘法运算法则进行计算即可． 【详解】解： 故答案为：． 【点睛】本题考查二次根式的乘法，熟练掌握二次根式的乘法运算法则是解答的关键． 12. 命题“两个全等三角形的面积相等”的逆命题是_____命题．（填入“真”或“假”） 【答案】假 【解析】 【详解】解：原命题的逆命题为：面积相等的两个三角形为全等三角形，则这个命题为假命题． 故答案为：假． 【点睛】本题考查了命题的真假性，解决此题的关键是会写出原命题的逆命题． 13. 比较大小：____．（用“”或“”填空）． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的性质，无理数的大小比较．先根据二次根式的性质将根号外的数字3和4，分别放入根号内，再比较大小即可求解． 【详解】解：，， ∵ ∴， 故答案为：． 14. 如图，某港口P 位于东西方向的海岸线上，“远航”号、“海天”号轮船同时从港口P出发，“远航”号以每小时的速度沿北偏东方向航行，“海天”号以每小时的速度沿北偏西方向航行，一小时后，“远航”号、“海天”号分别位于Q，R处，则此时“远航”号与“海天”号的距离为______． 【答案】26 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的应用和方位角，根据题意，可得，利用路程速度时间，分别算出的长度，在直角中，利用勾股定理计算出． 【详解】解：由题意可得，， ， 故答案为：26． 15. 如图，折叠矩形纸片，使点落在点处，折痕为，已知，，则的长为__________． 【答案】5 【解析】 【分析】本题考查了翻折变换，矩形的性质，勾股定理，求出的长是解题的关键．由折叠的性质可得，利用勾股定理可求的长． 【详解】解：∵四边形为矩形， ∴， ∵折叠矩形纸片，使点B落在点D处， ∴， 设，则， 在中，根据勾股定理得：， 即， 解得：， ∴， 故答案为：5． 三、解答题（本大题共8小题，共75分） 16. 计算： （1） （2） （3） 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（）利用二次根式的性质化简，再合并即可； （）根据二次根式的运算法则和性质计算即可； （）利用完全平方公式、零指数幂、二次根式的性质运算即可； 本题考查了二次根式的运算，掌握二次根式的性质和运算法则是解题的关键． 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解：原式 ； 【小问3详解】 解：原式 ． 17. 已知：，，求代数式的值． 【答案】4 【解析】 【分析】将的值代入化简后的结果计算可得． 【详解】解： 原式 当，时， 原式 【点睛】本题主要考查整式的变形和二次根式的化简求值，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键． 18. 如图，正方形网格中每个小正方形边长都是1，小正方形的顶点称为格点，在正方形网格中分别画出下列图形： （1）在图1同格中画出长为的线段AB； （2）在图2网格中画出一个腰长为且面积为3的等腰． 【答案】（1） 如图所示为所作线段AB（答案不唯一）； （2） 如图所示为所求作（答案不唯一）． 【解析】 【分析】（1）根据勾股定理可得直角边长为2和1的直角三角形斜边长为； （2）根据勾股定理可得直角边长为3和1的直角三角形斜边长为，再根据面积为3确定△DEF． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查作图-应用与设计，二次根式的应用，等腰三角形的性质，勾股定理等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 19. 如图，在中，对角线相交于点，且． （1）求的度数； （2）求的面积． 【答案】（1）的度数为；（2）24 【解析】 【分析】（1）由平行四边形对角线互相平分的性质再结合勾股逆定理可判定是直角三角形，易知； （2）由平行四边形的性质可知，求出的面积即可. 【详解】解：在中,对角线相交于点,且, ， ． 又且, , 是直角三角形, 的度数为 平行四边形的每一条对角线将平行四边形分成面积相等的两部分， ; 的面积为 【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，涉及了勾股定理，灵活应用平行四边形对角线互相平分的性质是解题的关键. 20. 为响应政府“公园城市建设”的号召，某小区进行小范围绿化，要在一块如图所示的四边形空地进行绿化改造，测得 （1）若要在两点间铺一条鹅卵石路，铺设成本为元，求铺设这条鹅卵石路的最低花费． （2）如果种植草皮的费用是元，那么在整块空地上种植草皮共需投入多少钱？ 【答案】（1）铺设这条鹅卵石路的最低花费为元 （2）整块空地上种植草皮共需投入元 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理和逆定理的应用，解题的关键是熟练掌握勾股定理，在一个直角三角形中，两条直角边分别为a、b，斜边为c，那么．如果一个三角形的三条边a、b、c满足，那么这个三角形为直角三角形． （1）连接，根据勾股定理求出，然后再求出花费即可； （2）先证明为直角三角形，，然后求出空地的面积，再求出整块空地上种植草皮的费用． 【小问1详解】 解：如图，连接， ，， ， 铺设成本为120元， 铺设这条鹅卵石路的最低花费为元； 【小问2详解】 解：， ， 为直角三角形，， 整块空地的面积为： ， 种植草皮的费用是200元每平方米， 整块空地上种植草皮共需投入元． 21. 综合与实践 小明同学在延时课上进行了项目式学习实践探究，并绘制了如下记录表格： 课题 在放风筝时测量风筝离地面的垂直高度 模型 抽象 测绘数据 ①测得水平距离的长为15米 ②根据手中剩余线的长度，计算出风筝线的长为17米 ③牵线放风筝的手到地面的距离为米 说明 点A，B，E，D在同一平面内 请根据表格信息，解答下列问题． （1）求线段的长； （2）若想要风筝沿方向再上升12米，则在长度不变的前提下，小明同学应该再放出多少米线？ 【答案】（1）米 （2）小明同学应该再放出8米线 【解析】 【分析】本题考查的是勾股定理的应用； （1）如图，过点作于点，利用勾股定理求解，再进一步解答即可； （2）如图，设风筝沿方向再上升12米后到达点处，连接，利用勾股定理求解，进一步可得答案． 【小问1详解】 解：如图，过点作于点． 在中，米，米， 由勾股定理，得（米）， 则（米）． 【小问2详解】 解：如图，设风筝沿方向再上升12米后到达点处，连接， 则（米）． 由勾股定理，得（米）， 故（米）． 答：小明同学应该再放出8米线． 22. 阅读与思考 材料一：两个含有二次根式的非零代数式相乘，如果它们的积不含二次根式，那么这两个代数式互为有理化因式．例：，我们称的一个有理化因式是的一个有理化因式是． 材料二：如果一个代数式的分母中含有二次根式，通常可将分子、分母同乘分母的有理化因式，使分母中不含根号，这种变形叫分母有理化． 例：． 请仿照材料中的方法解答下列问题： （1）的一个有理化因式为___________； 的一个有理化因式为___________． （2）将下列各式进行分母有理化： ①； ②． （3）的倒数为________ 【答案】（1）；（答案不唯一） （2）①；② （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了平方差公式，分母有理化和二次根式的运算，能找出分母的有理化因式是解题的关键． （1）根据互为有理化因式的定义得出答案即可； （2）①首先分子和分母都乘以分母的有理化因式，再根据二次根式的运算法则进行计算即可； ②首先分子和分母都乘以分母的有理化因式，再根据二次根式的运算法则进行计算即可； （3）根据倒数定义得出的倒数为，然后再分母有理化即可． 【小问1详解】 解：∵，， ∴的有理化因式为，的有理化因式为， 故答案为：；（答案不唯一）； 【小问2详解】 解：① ； ② ． 【小问3详解】 解：的倒数为： ． 23. 在等腰中，，且． （1）如图1，若也是等腰直角三角形，且，的顶点A在的斜边上，连． ①求证：； ②求证：； （2）如图2，E为上一点，，，则的长为______． 【答案】（1） 证明：①∵、是等腰直角三角形， ∴ ∵， ∴， 在和中，， ∴． ②∵、是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴． ∵在中，， 在中，，即， ∴． （2） 【解析】 【分析】（1）①根据等腰直角三角形性质和证明即可；②利用①的结论、等腰直角三角形的性质和勾股定理即可证得结论； （2）如图，将绕点C顺时针旋转到的位置，连接，根据旋转的性质和等腰直角三角形的性质以及勾股定理可求出，进而可得，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 如图，将绕点C顺时针旋转到的位置，连接， 则，， ∴， 则在直角三角形中，根据勾股定理可得， 即，解得（负值已舍去）， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质、旋转的性质以及勾股定理等知识，熟练掌握上述知识、证明三角形全等是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $