精品解析：湖南省长沙市师大附中梅溪湖中学2024-2025学年八年级下学期数学第一次月考试题

湖南师大附中梅溪湖中学2024-2025学年度第二学期第一次大练习 八年级·数学 时量：120分钟 总分：120分 一、选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1. 在四边形中，，添加下列条件后仍不能判定四边形为平行四边形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列变量之间的关系，一个变量是另一个变量的正比例函数的是（　　） A. 正方形的面积S随边长x的变化而变化 B. 面积为20的三角形的一边上的高h随着这边长a的变化而变化 C. 正方形的周长C随着边长x的变化而变化 D. 水箱以的流量往外放水，水箱中的剩水量V（单位：L）随着放水时间t（单位：）的变化而变化 3. 顺次连接矩形的各边中点，所得的四边形一定是( ) A. 梯形 B. 菱形 C. 矩形 D. 无法判断 4. 对于函数y＝x﹣2，下列说法正确的是（　　） A. 它的图象过点（1，0） B. y值随着x值增大而减小 C. 当y＞0时，x＞1 D. 它的图象不经过第二象限 5. 如图，矩形中，，交于点，，分别为，的中点，若，则的长为（ ） A. 16 B. C. D. 6. 点，点是一次函数图象上两个点，则与的大小关系是（ ） A. B. C. D. 无法确定 7. 如图，已知矩形沿着直线折叠，使点C落在处，交于E，，则的长为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 8. 匀速地向一个容器内注水，最后把容器注满，在注水过程中，水面高度随时间变化规律如图所示，（图中为一折线），这个容器的形状是下图中的（ ） A. B. C. D. 9. 如图，正方形边长为8，M在上，且，N是上一动点，则的最小值为 （ ） A. B. C. 8 D. 10 10. 如图，在正方形中，E是对角线上的动点，以为边作正方形，M是的中点，连接，若正方形的边长为8，则的最小值为（ ） A. 4 B. C. D. 2 二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分) 11. 一次函数的图象与y轴交于点，则a的值为______. 12. 如图，将两条宽度都是为的纸条重叠在一起，使，则四边形的面积为______． 13. 如图，矩形的对角线、相交于点，，，若，则四边形的周长为________． 14. 如图，将正方形OABC放在平面直角坐标系中，O是原点，A的坐标为(1，)，则点C的坐标为______． 15. 春耕期间，市农资公司连续8天调进一批化肥，并在开始调进化肥的第七天开始销售．若进货期间每天调进化肥的吨数与销售期间每天销售化肥的吨数都保持不变，这个公司的化肥存量s（单位：吨）与时间t（单位：天）之间的函数关系如图所示，则该公司这次化肥销售活动（从开始进货到销售完毕）所用的时间是____天． 16. 如图，在▱ABCD中，AD=2AB，F是AD的中点，作CE⊥AB，垂足E在线段AB上，连接EF，CF，则下列结论中一定成立的是______．(把所有正确结论的序号都填在横线上) (1)∠DFC+∠FEC=90°；(2)∠B=∠AEF；(3)CF=EF；(4) 三、解答题（共9小题，满分72分，第17、18、19题每题6分，第20、21题每题8分，第22、23每题9分，第24、25题每题10分） 17. 已知与成正比例，当时，． （1）求出与的函数关系式； （2）请通过计算，判断点是否在这个函数的图象上． 18. 已知一次函数，求满足下列条件的的值： （1）函数图像经过点； （2）函数与平行； （3）函数图象与轴的负半轴相交． 19. 已知：如图，E、F是四边形ABCD的对角线AC上的两点，AF=CE，DF=BE，DF∥BE． （1）求证：△AFD≌△CEB． （2）求证：四边形ABCD是平行四边形． 20. 如图，点O是菱形对角线的交点，，，连接． （1）求证：； （2）如果，，求菱形的面积． 21. 如图，已知在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴交于点，且经过，． （1）求一次函数的解析式； （2）求三角形面积； （3）若为此函数图象上一点，则当时，请直接写出点的坐标． 22. 已知等腰三角形周长为40． （1）写出底边长关于腰长的函数解析式（为自变量）； （2）写出自变量取值范围； （3）在直角坐标系中，画出函数图象． 23. 我国新能源汽车快速健康发展，续航里程不断提升，王师傅驾驶一辆纯电动汽车从A市前往B市，他驾车从A市一高速公路入口驶入时，该车的剩余电量是，行驶了后，从B市一高速公路出口驶出，已知该车在高速公路上行驶的过程中，剩余电量与行驶路程之间的关系如图所示． （1）求y与x之间的关系式； （2）已知这辆车的“满电量”为，求王师傅驾车从B市这一高速公路出口驶出时，该车的剩余电量占“满电量”的百分之多少． 24. 我们定义：对角线互相垂直且相等的四边形叫做“神奇四边形”． （1）在我们学过的下列四边形①平行四边形②矩形③菱形④正方形中，是“神奇四边形”的是 　（填序号）； （2）如图，在正方形中，为上一点，连接，过点作于点，交于点，连． ①判定四边形是否为“神奇四边形” 　（填“是”或“否”）； ②如图，点分别是的中点．证明四边形是“神奇四边形”； （3）如图，点分别在正方形的边上，把正方形沿直线翻折，使得的对应边恰好经过点，过点作于点，若，正方形的边长为，求线段的长． 25. 已知：如图，已知直线 AB 的函数解析式为 y 2x 8 ，与 x 轴交于点 A ，与 y轴交于点 B ． （1）求 A 、 B 两点的坐标； （2）若点 P m, n为线段 AB 上的一个动点（与 A 、B 不重合），作 PE x 轴于 E ， PF y轴于点 F ，连接 EF ，问： ①若PEF 的面积为 S ，求 S 关于 m 的函数关系式，并求出当 S 3时 P 点的坐标； ②是否存在点 P ，使 EF 的值最小？若存在，求出 EF 的最小值；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 湖南师大附中梅溪湖中学2024-2025学年度第二学期第一次大练习 八年级·数学 时量：120分钟 总分：120分 一、选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1. 在四边形中，，添加下列条件后仍不能判定四边形为平行四边形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了平行四边形的判定，熟练掌握平行四边形的判定方法是解题的关键． 根据平行四边形的判定方法逐一进行判断即可． 【详解】解：， ∴四边形为平行四边形，故本选项正确，不符合题意； B．根据，不能判定四边形平行四边形，故本选项错误，符合题意； C．∵， ∴四边形为平行四边形，故本选项正确，不符合题意； D．∵， ∴， ∵， ∴四边形平行四边形，故本选项正确，不符合题意； 故选：B． 2. 下列变量之间的关系，一个变量是另一个变量的正比例函数的是（　　） A. 正方形的面积S随边长x的变化而变化 B. 面积为20的三角形的一边上的高h随着这边长a的变化而变化 C. 正方形的周长C随着边长x的变化而变化 D. 水箱以的流量往外放水，水箱中的剩水量V（单位：L）随着放水时间t（单位：）的变化而变化 【答案】C 【解析】 【分析】先依据题意列出函数关系式，然后依据正比例函数的定义：一般地，形如（k是常数，）的函数叫做正比例函数，进行判断即可． 【详解】解：A、不是正比例函数，故此选项不符合题意； B、，故此选项不符合题意； C、是正比例函数，故此选项符合题意； D、设水箱有水，则，不是正比例函数，故此选项不符合题意． 故选：C． 【点睛】本题主要考查正比例函数的定义，熟练掌握正比例函数的定义是解题的关键． 3. 顺次连接矩形的各边中点，所得的四边形一定是( ) A. 梯形 B. 菱形 C. 矩形 D. 无法判断 【答案】B 【解析】 【分析】题中给出的条件是中点，所以利用三角形中位线性质，以及矩形对角线相等去证明四条边都相等，从而说明是一个菱形． 【详解】解：连接AC、BD， 在△ABD中，H是AD的中点,E是AB的中点， ∴EH=BD， 同理FG=BD，HG=AC，EF=AC， 又∵在矩形ABCD中，AC=BD， ∴EH=HG=GF=FE， ∴四边形EFGH为菱形． 故选：B． 【点睛】本题考查了三角形中位线定理、矩形的性质和菱形的判定方法，解题的关键是掌握菱形的判定方法有：有一组邻边相等的平行四边形称为菱形；四条边都相等的四边形是菱形；对角线互相垂直平分的四边形是菱形． 4. 对于函数y＝x﹣2，下列说法正确的是（　　） A. 它的图象过点（1，0） B. y值随着x值增大而减小 C. 当y＞0时，x＞1 D. 它的图象不经过第二象限 【答案】D 【解析】 【分析】根据题目中的函数解析式和一次函数的性质，可以判断各个选项中的说法是否正确，从而可以解答本题． 【详解】解：A、它的图象过点（1，﹣1），不符合题意； B、由于函数y＝x﹣2中k＝1＞0，所以y值随着x值增大而增大，不符合题意； C、当y＞0时，x＞2，不符合题意； D、由于函数y＝x﹣2中k＝1＞0，b＝﹣2＜0，所以该函数图象经过第一、三、四象限，即不经过第二象限，符合题意． 故选：D． 【点睛】本题考查一次函数的性质和一次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质解答． 5. 如图，矩形中，，交于点，，分别为，的中点，若，则的长为（ ） A. 16 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查中位线的性质， 熟练掌握中位线的性质是解题的关键； 根据中位线的性质求出长度，再依据矩形的性质进行求解问题． 【详解】解：、分别为、的中点， ． ∵四边形是矩形， ． 故选：A 6. 点，点是一次函数图象上的两个点，则与的大小关系是（ ） A. B. C. D. 无法确定 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的性质．由，利用一次函数的性质可得出随的增大而减小，结合，即可得出． 【详解】解：， 随的增大而减小， 又点，点是一次函数图象上的两个点，且， ． 故选：B． 7. 如图，已知矩形沿着直线折叠，使点C落在处，交于E，，则的长为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了矩形与折叠问题、平行线的性质、等角对等边的性质和勾股定理，难度适中． 设，则．先根据折叠的性质和平行线的性质，得，则，然后在直角三角形中根据勾股定理即可求解． 【详解】解：设，则． 根据折叠的性质，得． ∵， ∴， ∴， ∴． 在直角三角形中，根据勾股定理，得 ， 解得． 故选：C． 8. 匀速地向一个容器内注水，最后把容器注满，在注水过程中，水面高度随时间的变化规律如图所示，（图中为一折线），这个容器的形状是下图中的（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了根据函数图像解决实际问题，判断出函数图像中每段图像变化不同的原因是解题的关键．根据注水量一定，根据函数图像的走势即可得到答案． 【详解】解：注水量一定，函数图象的走势是陡、稍平、稍陡，那么水面高度就相应的变化，跟所给容器的粗细有关，从下到上依次是细、粗、稍粗， 所以这个容器的形状是B项中的图形， 故选：B． 9. 如图，正方形的边长为8，M在上，且，N是上一动点，则的最小值为 （ ） A. B. C. 8 D. 10 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了轴对称的应用，正方形的性质，勾股定理，解答本题的关键是根据轴对称的性质作出图形得到的最小值即为线段的长．连结，，，根据轴对称的性质，得到，的最小值即的最小值，即为线段的长，再根据勾股定理，即可求得的长，即得答案． 【详解】解：连结，，， 正方形是轴对称图形，点B与点D是以直线为对称轴的对称点， 直线即为的垂直平分线， ， ， 当点N在与的交点P处，取得最小值，最小值为的长， 正方形的边长为8，且， ，，， ， 的最小值为10． 故选：D． 10. 如图，在正方形中，E是对角线上的动点，以为边作正方形，M是的中点，连接，若正方形的边长为8，则的最小值为（ ） A. 4 B. C. D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质，涉及点的运动轨迹，全等三角形的判定和性质，垂线段最短等．连接，根据正方形的性质易证，进一步可得，可知点的运动轨迹，根据垂线段最短即可求出的最小值． 【详解】解：连接，如图所示： 四边形是正方形，四边形是正方形， ，，，， ， ， ， 点的运动轨迹是射线， ，M是的中点， ， 当时，最小，最小值， 故选：C． 二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分) 11. 一次函数的图象与y轴交于点，则a的值为______. 【答案】 【解析】 【分析】把代入，即可求出a的值． 【详解】解：把代入得： ， ∴． 故答案为：． 【点睛】此题考查了用待定系数法求函数解析式，掌握用待定系数法求函数解析式是解题的关键． 12. 如图，将两条宽度都是为的纸条重叠在一起，使，则四边形的面积为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查平行四边形的判定与性质，勾股定理，等腰直角三角形的性质．过点作于点，过点B作，根据题意易证四边形是平行四边形，由，求出，利用勾股定理求出，然后根据平行四边形的面积公式计算即可． 【详解】解：如图，过点作于点，过点B作， 纸条的对边平行，即， 四边形是平行四边形， 两张纸条的宽度都是， ， ， ． ， ， 故答案为：． 13. 如图，矩形的对角线、相交于点，，，若，则四边形的周长为________． 【答案】 【解析】 【分析】首先由，，可证得四边形是平行四边形，又由四边形是矩形，根据矩形的性质，可得，即可判定四边形是菱形，继而求得答案． 【详解】解：，， 四边形是平行四边形， 四边形是矩形， ，，， ， 四边形是菱形， 四边形的周长为：． 故答案为：． 【点睛】此题考查了菱形的判定与性质以及矩形的性质，证得四边形是菱形是解此题的关键． 14. 如图，将正方形OABC放在平面直角坐标系中，O是原点，A的坐标为(1，)，则点C的坐标为______． 【答案】 【解析】 【分析】如图作AF⊥x轴于F，CE⊥x轴于E，先证明△COE≌△OAF，推出CE＝OF，OE＝AF，由此即可解决问题． 【详解】解：如图作AF⊥x轴于F，CE⊥x轴于E． ∵四边形ABCO是正方形， ∴OA＝OC，∠AOC＝90°， ∵∠COE+∠AOF＝90°，∠AOF+∠OAF＝90°， ∴∠COE＝∠OAF， 在△COE和△OAF中， ， ∴△COE≌△OAF， ∴CE＝OF，OE＝AF， ∵A（1，）， ∴CE＝OF＝1，OE＝AF＝， ∴点C坐标， 故答案为：． 【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，作出辅助线构造全等三角形是解题的关键． 15. 春耕期间，市农资公司连续8天调进一批化肥，并在开始调进化肥的第七天开始销售．若进货期间每天调进化肥的吨数与销售期间每天销售化肥的吨数都保持不变，这个公司的化肥存量s（单位：吨）与时间t（单位：天）之间的函数关系如图所示，则该公司这次化肥销售活动（从开始进货到销售完毕）所用的时间是____天． 【答案】10 【解析】 【分析】通过分析题意和图象可求调入化肥的速度，销售化肥的速度；从而可计算最后销售化肥20吨所花的时间． 【详解】解：调入化肥的速度是30÷6=5（吨/天）， 当在第6天时，库存物资应该有30吨，在第8天时库存20吨， ∴销售化肥的速度是（吨/天）， ∴剩余的20吨完全调出需要20÷10=2（天）， 故该门市部这次化肥销售活动（从开始进货到销售完毕）所用时间是8+2=10（天）． 故答案为：10． 【点睛】此题主要考查了从函数图象获取信息．解题的关键是注意调入化肥需8天，但6天后调入化肥和销售化肥同时进行． 16. 如图，在▱ABCD中，AD=2AB，F是AD的中点，作CE⊥AB，垂足E在线段AB上，连接EF，CF，则下列结论中一定成立的是______．(把所有正确结论的序号都填在横线上) (1)∠DFC+∠FEC=90°；(2)∠B=∠AEF；(3)CF=EF；(4) 【答案】(1)(3) 【解析】 【分析】分别利用平行四边形的性质以及全等三角形的判定得出△AEF≌△DMF，得出角、线段之间关系，得出(1)(3)成立，(2)不成立；再由梯形面积和平行四边形面积关系进而得出(4)不成立． 【详解】解：∵F是AD的中点， ∴AF=FD， ∵在▱ABCD中，AD=2AB， ∴AF=FD=CD， ∴∠DFC=∠DCF， ∵AD∥BC， ∴∠DFC=∠FCB， ∴∠DCF=∠BCF， 延长EF，交CD延长线于M，如图所示： ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD， ∴∠A=∠MDF， ∵F为AD中点， ∴AF=FD， 在△AEF和△DFM中， ∴△AEF≌△DMF(ASA)， ∴FE=MF，∠AEF=∠M， ∵∠B=∠ADC＞∠M， ∴∠B＞∠AEF，(2)不成立； ∵CE⊥AB， ∴∠AEC=90°， ∴∠AEC=∠ECD=90°， ∵FM=EF， ∴CF=EF，(3)成立； ∴∠FEC=∠FCE， ∵∠DCF+∠FEC=90°， ∴∠DFC+∠FEC=90°，(1)成立； ∵四边形ADCE的面积=(AE+CD)×CE，F是AD的中点， ∴S△EFC=S四边形ADCE， ∵S△BDC=S平行四边形ABCD=CD×CE， ∴S△EFC≠S△BDC，(4)不成立； 故答案为：(1)(3)． 【点睛】此题主要考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质等知识，证出△AEF≌△DMF是解题关键． 三、解答题（共9小题，满分72分，第17、18、19题每题6分，第20、21题每题8分，第22、23每题9分，第24、25题每题10分） 17. 已知与成正比例，当时，． （1）求出与的函数关系式； （2）请通过计算，判断点是否在这个函数的图象上． 【答案】（1） （2）点在函数的图象上 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法求正比例函数解析式，也考查了正比例函数的性质． （1）根据成正比例的定义，设，然后把已知的一组对应值代入求出k，从而得到y与x的函数关系式； （2）利用（1）中的解析式，计算自变量为2对应的函数值，若函数值等于，则可判断点在这个函数的图象上． 【小问1详解】 解：设， 把，代入得， 解得， ∴； 【小问2详解】 解：∵时，， ∴点在函数的图象上． 18. 已知一次函数，求满足下列条件的的值： （1）函数图像经过点； （2）函数与平行； （3）函数图象与轴的负半轴相交． 【答案】（1） （2） （3）且 【解析】 【分析】本题主要考查一次函数图象在坐标平面内的位置与的关系．解答本题注意理解：直线所在的位置与的符号有直接的关系．时，直线必经过一、三象限；时，直线必经过二、四象限；时，直线与轴正半轴相交； 时，直线过原点；时，直线与轴负半轴相交． （1）把点代入即可； （2）依题意，得，再解方程即可； （3）依题意，得，再解不等式即可． 【小问1详解】 解：把点代入，得 ， 解得：； 【小问2详解】 解：函数与平行， ， 解得：； 【小问3详解】 解：函数图象与轴的负半轴相交， ， 解得：且． 19. 已知：如图，E、F是四边形ABCD的对角线AC上的两点，AF=CE，DF=BE，DF∥BE． （1）求证：△AFD≌△CEB． （2）求证：四边形ABCD是平行四边形． 【答案】证明见解析 【解析】 【分析】（1）利用两边和它们的夹角对应相等的两三角形全等（SAS），这一判定定理容易证明△AFD≌△CEB． （2）由△AFD≌△CEB，容易证明AD=BC且AD//BC，可根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形． 【详解】证明：（1）∵DF∥BE， ∴∠DFE=∠BEF． 又∵AF=CE，DF=BE， ∴△AFD≌△CEB（SAS）． （2）由（1）知△AFD≌△CEB， ∴∠DAC=∠BCA，AD=BC， ∴AD∥BC． ∴四边形ABCD是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）． 【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质及平行四边形的判定，熟练掌握判定定理是解题关键． 20. 如图，点O是菱形对角线的交点，，，连接． （1）求证：； （2）如果，，求菱形的面积． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质和勾股定理．解题的关键是菱形的对角线互相垂直平分、矩形的对角线相等的性质． （1）通过证明四边形是矩形来推知； （2）利用（1）中的、，结合已知条件，在中，由勾股定理求得．然后由菱形的对角线互相平分和菱形的面积公式进行解答． 【小问1详解】 证明：四边形是菱形， ． ，， 四边形是平行四边形， ， 四边形是矩形， ； 【小问2详解】 解：四边形是菱形， ， 由（1）知，，， 在中，由勾股定理得， ，． 四边形是菱形， ，， 菱形的面积． 21. 如图，已知在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴交于点，且经过，． （1）求一次函数的解析式； （2）求三角形的面积； （3）若为此函数图象上的一点，则当时，请直接写出点的坐标． 【答案】（1） （2）2 （3）或 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式，一次函数图象上点的坐标特征，三角形的面积． （1）利用待定系数法求解即可； （2）根据，及三角形面积公式求解即可； （3）设，根据题意得到，解方程即可x的值，进一步求得P的坐标． 【小问1详解】 解：∵一次函数的图象经过，两点， ∴， 解得， ∴一次函数的解析式为； 【小问2详解】 解：∵，， ∴； 【小问3详解】 解：当时，， 解得， ∴， ∴，， ∴， ∴， 设， ∴， 解得或， 当时，； 当时，， ∴或． 22. 已知等腰三角形周长为40． （1）写出底边长关于腰长的函数解析式（为自变量）； （2）写出自变量取值范围； （3）在直角坐标系中，画出函数图象． 【答案】（1） （2） （3）见解析 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的应用，主要利用了三角形的周长，三角形的三边关系，以及一次函数图象的作法． （1）根据三角形的周长公式列式整理即可； （2）根据三角形的任意两边之和大于第三边和底边大于0列式求解即可； （3）利用两点法作出函数图象即可． 【小问1详解】 解：由题意得，， 所以，； 【小问2详解】 解：由三角形的三边关系得，， 解得， 又∵， ∴， ∴x的取值范围是； 【小问3详解】 解：当时， ，当时，， ∴函数图象如图所示． 23. 我国新能源汽车快速健康发展，续航里程不断提升，王师傅驾驶一辆纯电动汽车从A市前往B市，他驾车从A市一高速公路入口驶入时，该车的剩余电量是，行驶了后，从B市一高速公路出口驶出，已知该车在高速公路上行驶的过程中，剩余电量与行驶路程之间的关系如图所示． （1）求y与x之间的关系式； （2）已知这辆车的“满电量”为，求王师傅驾车从B市这一高速公路出口驶出时，该车的剩余电量占“满电量”的百分之多少． 【答案】（1）y与x之间的关系式为； （2）该车的剩余电量占“满电量”的． 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的应用，正确理解题意、求出函数关系式是解题的关键． （1）利用待定系数法求解即可； （2）先求得当时，y值，再计算即可求解． 【小问1详解】 解：设y与x之间关系式为， 将，代入得， 解得， ∴y与x之间的关系式为； 【小问2详解】 解：当时，， ， 答：该车的剩余电量占“满电量”的． 24. 我们定义：对角线互相垂直且相等的四边形叫做“神奇四边形”． （1）在我们学过的下列四边形①平行四边形②矩形③菱形④正方形中，是“神奇四边形”的是 　（填序号）； （2）如图，在正方形中，为上一点，连接，过点作于点，交于点，连． ①判定四边形是否为“神奇四边形” 　（填“是”或“否”）； ②如图，点分别是的中点．证明四边形是“神奇四边形”； （3）如图，点分别在正方形的边上，把正方形沿直线翻折，使得的对应边恰好经过点，过点作于点，若，正方形的边长为，求线段的长． 【答案】（1）④； （2）①是；②四边形是“神奇四边形”，理由见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）由“神奇四边形”的定义即可得出结论； （2）①证，得，再由“神奇四边形”的定义即可得出结论；②由三角形中位线定理得出，则四边形为平行四边形，再证四边形是正方形，则可得出结论； （3）延长交于，由勾股定理求出的长，设，则，再由勾股定理得，解得，即可解决问题． 【小问1详解】 平行四边形的对角线互相平分，矩形的对角线互相平分且相等，菱形的对角线互相垂直平分，正方形的对角线互相垂直平分且相等 正方形是“神奇四边形” 故答案为：④ 【小问2详解】 ①是 证明：四边形是正方形 在和中 又 四边形是“神奇四边形” ②解：四边形是“神奇四边形”，理由如下： 为的中点， 为的中位线， 同理：， ， 四边形为平行四边形 ， ， 平行四边形为菱形 ， ， ， ， ， 四边形为正方形 四边形是“神奇四边形” 【小问3详解】 解：如图，延长交于 由翻折的性质可知，， 四边形是正方形，边长为， ， ， ， 设，则， 在中，由勾股定理得： ， ， ， ， 即线段的长为 【点睛】本题属于四边形综合题，考查了新定义“神奇四边形”、折叠的性质、正方形的判定与性质、菱形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理，三角形中位线定理等知识，本题综合性强理解新定义“神奇四边形”，熟练掌握正方形的判定与性质，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题． 25. 已知：如图，已知直线 AB 的函数解析式为 y 2x 8 ，与 x 轴交于点 A ，与 y轴交于点 B ． （1）求 A 、 B 两点的坐标； （2）若点 P m, n为线段 AB 上的一个动点（与 A 、B 不重合），作 PE x 轴于 E ， PF y轴于点 F ，连接 EF ，问： ①若PEF 的面积为 S ，求 S 关于 m 的函数关系式，并求出当 S 3时 P 点的坐标； ②是否存在点 P ，使 EF 的值最小？若存在，求出 EF 的最小值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）A（4，0），B（0，8）；（2）①；②存在；EF的最小值=OP=. 【解析】 【分析】（1）根据坐标轴上点的特点直接求值， （2）①由点在直线AB上，找出m与n的关系，再用三角形的面积公式求解即可； ②存在，首先证明四边形OEPF是矩形，可得EF=OP，根据垂线段最短可知：当OP⊥AB时，此时EF最小； 【详解】解：（1）令x=0，则y=8， ∴B（0，8）， 令y=0，则-2x+8=0， ∴x=4， ∴A（4，0）， （2）①∵点P（m，n）为线段AB上的一个动点， ∴-2m+8=n， ∵A（4，0）， ∴OA=4， ∴0＜m＜4 ∵PF=m，PE=-2m+8 ∴=PF×PE=×m×（-2m+8）=，（0＜m＜4）； ②存在，如图 理由：∵PE⊥x轴于点E，PF⊥y轴于点F，OA⊥OB， ∴四边形OEPF是矩形， ∴EF=OP， 当OP⊥AB时，此时EF最小， ∵A（4，0），B（0，8）， ∴AB= ∵S△AOB=×OA×OB=×AB×OP， ， ∴EF的最小值=OP=. 【点睛】本题考查一次函数性质、矩形的性质、三角形的面积等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题，属于中考常考题型． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$