精品解析：天津市武清区杨村第一中学2024-2025学年高二下学期第一次月考数学试题

天津市武清区杨村第一中学2024-2025学年高二下学期第一次月考 数学试题 一、单选题（每小题5分） 1. 已知函数，则（　　） A. e B. －e C. e2 D. －e2 2. 下列求导运算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 已知函数，则的值为（ ） A. B. C. 3 D. 4. 函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 5. 已知函数在区间上存在单调减区间，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 6. 已知函数在区间上有极值，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 已知，，对，且，恒有，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，，若对任意的，存在，使，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 9. 若不等式恒成立，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、填空题 10. 已知函数，则的单调减区间为______． 11. 已知函数，若时，取得极值0，则___________. 12. 若函数在其定义域的一个区间内不单调，则实数的取值范围是______. 13. 已知是函数的导函数，且满足在上恒成立，则不等式的解集是______． 14. 对于函数，，若存在唯一的，对任意的，使得，则实数的取值范围是______． 15. 设，（为自然对数的底数），，若不是函数的极值点，则的最大值为______. 三、解答题 16. 已知函数 （1）求曲线在点处的切线方程； （2）求在上的最值 17. 已知函数在处取得极值． （1）求a的值； （2）若存在使得，求实数m的取值范围． 18. 已知函数，. （1）讨论函数的单调性； （2）若有极大值点，且时恒成立，求的取值范围. 19. 已知函数 （1）若在其定义域内单调递增，求实数的取值范围； （2）若，且设，有两个零点，其中，求的取值范围. 20. 已知函数与函数． （1）若，的图像在点处有公共的切线，求实数a的值； （2）设． ①求函数的极值； ②试判断函数零点的个数． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 天津市武清区杨村第一中学2024-2025学年高二下学期第一次月考 数学试题 一、单选题（每小题5分） 1. 已知函数，则（　　） A. e B. －e C. e2 D. －e2 【答案】D 【解析】 【分析】结合导数的定义求得正确答案. 【详解】因为， . 故答案为：D. 2. 下列求导运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据导数的基本运算与复合导数的运算法则求解即可. 【详解】对A，，故A错误； 对B，，故B正确； 对C，，故C错误； 对D，，故D错误. 故选：B 3. 已知函数，则的值为（ ） A. B. C. 3 D. 【答案】D 【解析】 【分析】求导可得，令，求解即可. 【详解】由，可得， 所以，解得. 故选：D. 4. 函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先根据的正负性排除B、D，再根据其单调性排除C. 【详解】或时；时，排除B、D； ，则， 得；得或， 故在上单调递增，在和上单调递减， 排除C. 故选：A 5. 已知函数在区间上存在单调减区间，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由题意转化为存在，使得，即存在，使得，利用导数求在上的最小值即可. 【详解】因为，所以， 因为在区间上存在单调递减区间，所以存在，使得， 即，令，，则恒成立， 所以在上单调递增，所以， 所以. 故选：A 6. 已知函数在区间上有极值，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求导，根据在区间上有极值，由在区间上有不等根求解. 【详解】解：因为， 所以， 因为函数在区间上有极值， 所以在区间上有变号根， 即在区间上有变号根， 令，则， 令，得或（舍去）， 当时，，递减； 当时，，递增； 所以当时，取得极小值，又，， 所以，则， 又当时，， 递增，无极值， 所以实数的取值范围是， 故选：B 7. 已知，，对，且，恒有，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设，确定函数单调递增，得到，设，求导得到函数的单调区间，计算最值得到答案. 【详解】设， ， 对，且，恒有，即， 在上单调递增，故恒成立， 即，设，， 当时，，函数单调递增； 当时，，函数单调递减； 故，即，即. 故选：A 8. 已知函数，，若对任意的，存在，使，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题意可知，转化为分别求两个函数的最小值，利用导数求函数最小值，对于函数，讨论函数的对称轴和定义域的关系，求函数的最小值. 【详解】由题意可知，因为， 所以，且， 当时，，函数单调递减， 当时，，函数单调递增， 所以当时，取得最小值，， ，， ①当时，函数单调递增，， 即，解得：，不成立； ②当时，， 即，解得：或，不成立； ③当时，函数单调递减，， 即，解得：，成立. 综上可知：. 故选：B 9. 若不等式恒成立，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】把不等式转化为对x>0恒成立，设，故对任意的恒成立，利用导数可求a的取值范围. 【详解】由不等式恒成立，可知对x>0恒成立. 设，则该函数为上的增函数，故， 故对任意的恒成立， 设，则， 当时，，故为上的增函数， 而当时，有，不合题意； 当时，对任意的恒成立， 当时， 若，则，当时，， 故在为减函数，在为增函数， 故， 故 综上：的取值范围是. 故选：A 【点睛】方法点睛：恒成立问题： ①参变分离，转化为不含参数的最值问题； ②不能参变分离，直接对参数讨论，研究的单调性及最值； ③可利用代数变形方法将不等式转化为简单不等式来处理. 二、填空题 10. 已知函数，则的单调减区间为______． 【答案】 【解析】 【分析】求导，根据导数为负解不等式即可求解. 【详解】的定义域为, ， 令，则或， 故的单调减区间为， 故答案为： 11. 已知函数，若时，取得极值0，则___________. 【答案】 【解析】 【分析】由题意可得，列方程组可求出，然后再检验时，函数是否能取得极值，即可得答案 【详解】由，得， 因为时，取得极值0， 所以，， 解得或， 当时，，此时函数在在处取不到极值， 经检验时，函数在处取得极值， 所以，所以. 故答案为：18 12. 若函数在其定义域的一个区间内不单调，则实数的取值范围是______. 【答案】 【解析】 【分析】只需函数的极值点在区间内，再利用为定义域的真子集即可求出实数的取值范围. 【详解】解：函数的定义域是， 所以，即. 因为， 所以在上单调递增， 由，可得 若函数在区间内不单调， 则，解之可得， 又因为，所以. 故答案为：. 13. 已知是函数的导函数，且满足在上恒成立，则不等式的解集是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据已知关系式可构造函数，可知在上单调递增，将所求不等式转化为，利用单调性可解不等式求得结果. 【详解】令，则，所以在上单调递增， 由，得，即， 又在上单调递增，所以，解得. 所以不等式的解集是. 故答案为：. 14. 对于函数，，若存在唯一的，对任意的，使得，则实数的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】依题意可知分别求得两函数在规定区间上的单调性以及对应值域，再由存在的个数得出两函数值域的包含关系，解不等式即可求得实数的取值范围. 【详解】根据题意可知， 令，可得， 由可得， 可知当时，，此时在上单调递减， 当时，，此时在上单调递增； 可知在处取得极小值，也是最小值， 因此在上的最小值为， 所以，可知在上单调递增； 可得的值域为， 又可得， 令，可得，又， 因此当时，，即在上单调递减， 当时，，即在上单调递增； 因此，又， 所以当时，函数的部分图象如下图所示： 由图可知若方程在上仅有一根，可得 若存在唯一的，对任意的，使得， 可得， 解得. 因此实数的取值范围是. 故答案为： 【点睛】关键点点睛：本题关键在于利用导数求得函数单调性，将问题转化为两函数值域之间的包含关系，即可求得结果. 15. 设，（为自然对数的底数），，若不是函数的极值点，则的最大值为______. 【答案】 【解析】 【分析】求导函数，根据题意得的根为，从而表示出，再令新函数，求导函数，判断单调性与最大值. 【详解】由题知， ， 因不是函数的极值点，所以 的根为， 所以，即， 则，令， ， 因为时，，时，. 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 所以，即的最大值为. 故答案为： 三、解答题 16. 已知函数 （1）求曲线在点处的切线方程； （2）求在上的最值 【答案】（1） （2）最小值最大值13. 【解析】 【分析】（1）利用导函数与切线的关系求解； （2）利用导函数与函数的单调性、最值关系求解. 【小问1详解】 因为， 所以， 所以， 因为，所以切点为， 由点斜式可得，，整理得，. 【小问2详解】 由（1）知，， 令解得，，令解得，或， 所以函数在单调递减，单调递增，单调递减， 因为，所以， 因为，所以. 17. 已知函数在处取得极值． （1）求a的值； （2）若存在使得，求实数m的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）对函数求导，根据求得的值，验证函数的单调性可知的值符合题意. （2）问题等价于存在使得，构造函数，对函数求导，利用导数研究函数的单调性以及最值即可求得的取值范围. 【小问1详解】 ， 由已知， 又当时，，令得， 且当时，在区间上单调递增， 时，在区间上单调递减． 在处取得极大值. 综上，. 【小问2详解】 问题等价于存在使得． 设，则 当时，在上单调递减， ， 故m的范围是． 18. 已知函数，. （1）讨论函数的单调性； （2）若有极大值点，且时恒成立，求的取值范围. 【答案】（1）当时，在上单调递增， 当时，在单调递减，在单调递增， 当时，在单调递增，在单调递减. （2） 【解析】 【分析】（1）对求导，按实数的取值分类讨论，利用函数单调性与导数符号的关系求单调性即可； （2）先将函数代入利用参变分离得到，再构造新函数，利用导数研究函数的单调性求的最大值即可求得的取值范围. 【小问1详解】 由题意可得当时，在上单调递增， 当时，，令解得， 若，当时，，单调递减，当时，，单调递增， 若，当时，，单调递增，当时，，单调递减； 综上所述，当时，在上单调递增， 当时，在单调递减，在单调递增， 当时，在单调递增，在单调递减. 【小问2详解】 由（1）可得若有极大值点，则，， 此时， 当时，；当时，，故为的极大值点， 故符合. 当时恒成立，即恒成立， 即恒成立， 令，只需即可， ， 令，则恒成立， 故在上单调递减，， 所以恒成立， 所以当时，，单调递减，当时，，单调递增， 所以， 所以的取值范围为. 【点睛】本题考查导数研究函数的单调性、导数研究函数的极值，还考查了构造法、参变分离法、分类讨论等思想方法，属于较难题. 19. 已知函数 （1）若在其定义域内单调递增，求实数的取值范围； （2）若，且设，有两个零点，其中，求的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由题意结合导数与函数单调性的关系可转化条件为在上恒成立，利用基本不等式求得的最小值即可得解； （2）由题意结合函数零点的概念可得，，进而可得，转化条件为，令（），利用导数求得函数的值域即可得解. 【小问1详解】 的定义域为， ∵在上单调递增， ∴在上恒成立，即在上恒成立， 又，当且仅当时等号成立， ∴； 【小问2详解】 由题意， ∵有两个零点，易知有两个极值点， ∴为方程的两个不相等的实数根， 由韦达定理得，， ∵，∴， 又， 由对勾函数在的单调递减可知：， ∴ ， 设（）， 则， ∴在``上单调递减， 又，``， ∴， 即的取值范围为. 20. 已知函数与函数． （1）若，的图像在点处有公共的切线，求实数a的值； （2）设． ①求函数的极值； ②试判断函数零点的个数． 【答案】（1） （2）①当时，函数在上无极值；当时，函数在处取得极小值. ②当或时，函数零点的个数1; 当或时,函数零点的个数2; 【解析】 【分析】（1）因为的图像在点处有公共的切线，，因此则在该点处的导数值相等，得到参数a的值． （2）①设，分别对参数a进行分类讨论：i. 时， 在上单调递增，无极值； ii. 时，用列表法求出函数的极小值.②根据单调性结合极值正负分类讨论函数零点个数. 【小问1详解】 因为，，所以，. 所以点同时在函数的图像上， 因为，所以，， 由已知，得，所以，即. 【小问2详解】 ①因为， 所以 . i.当时， 因为，且所以对恒成立， 所以在上单调递增，无极值； ii.当时， 令，解得（舍）. 列表得： x - 0 + 减函数 极小值 增函数 所以当时，取得极小值，且. 综上，当时，函数在上无极值； 当时，函数在处取得极小值. ②当时，在上单调递增，函数零点的个数为1； 当时，在上单调递, 在上单调递增, 函数在处取得极小值. 设单调递增, 单调递减, 又 , 当时，趋近于0时趋近于正无穷大， 函数零点的个数为2; 当时，趋近于正无穷大时趋近于正无穷大， 函数零点的个数为2; 当时， 在上单调递, 在上单调递增, 函数在处取得极小值, 函数零点的个数为1; 当或时，函数零点的个数1; 当或时,函数零点的个数2; 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $