精品解析：河南省2025年普通高等学校对口招收中等职业学校毕业生考试数学试题

河南省2025年普通高等学校对口招收中等职业学校 毕业生考试试卷数 学 一、 选择题（每小题3分，共30分，每小题中只有一个选项是正确的，请将正确答案的序号填写在题后的括号内） 1. 设集合，集合，则集合（ ） A B. C. D. 2. 设，则下列说法正确的是（ ） A B. C. D. 3. 在四边形中，如果向量，那么四边形（ ） A. 梯形 B. 菱形 C. 矩形 D. 正方形 4. 计算（ ） A. 0 B. C. 1 D. 5. 已知角满足，则（ ） A. B. 2 C. D. 6. 圆与直线的位置关系是（ ） A. 相切 B. 相离 C. 相交且经过圆心 D. 相交且不经过圆心 7. 在等比数列中，若，，则（ ） A. 5 B. 9 C. 14 D. 27 8. 在中，“”是“”的（ ） A. 充分不必要 B. 必要不充分 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要 9. 若方程表示椭圆，则m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 且 10. 2016年联合国教科文组织将二十四节气纳入非物质文化遗产，春季节气有“谷雨、清明、春分、惊蛰、雨水、立春”共六个，如果小明同学将以上6个节气按时间顺序进行排列，他一次排列正确的概率是（ ） A B. C. D. 二、 填空题（每小题3分，共24分） 11. 若复数，则_________. 12. 函数的值域是_________. 13. 若函数，则_________. 14. 若向量，，当，则_________. 15. 若直线与垂直，则_________. 16. 已知双曲线渐近线方程是，则_________. 17. 把一个高的三棱锥形容器灌满水，倒进一个与它底面积相等，高度相等的直三棱柱形容器中，此时水面的高度是_________. 18. 的展开式中，二项式系数之和是_________. 三、 解答题（每小题8分，共24分） 19. 求函数的定义域. 20. 在中，三个内角的对边分别为，三条边满足. （1）求； （2）若，，求的面积. 21. 已知数列中，，. （1）求； （2）求数列的通项公式. 四、 证明题（每小题6分，共12分） 22. 已知直线和圆，求证：直线与圆相离. 23. 如图所示，长方体中，O为底面ABCD的中心，连接，求证：平面. 五、 综合题（共10分） 24. 已知函数. （1）判断是否存在实数a使得函数为偶函数，如果存在，求出a的值和函数的值域，如果不存在，请说明理由. （2）若函数的定义域为，求的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 河南省2025年普通高等学校对口招收中等职业学校 毕业生考试试卷数 学 一、 选择题（每小题3分，共30分，每小题中只有一个选项是正确的，请将正确答案的序号填写在题后的括号内） 1. 设集合，集合，则集合（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】解一元二次方程，结合集合交集的运算即可解得. 【详解】解方程，即，可得或，所以. 解方程，得，所以. 故. 故选：B 2. 设，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由指数函数的单调性，结合反例逐个判断选项. 【详解】指数函数在上单调递增，当时，根据单调性可得，故B正确； 当，时，，，此时，故A错误； 当，时，，，，故C错误； 指数函数在上单调递减，当时，,故D错误. 故选：B. 3. 在四边形中，如果向量，那么四边形是（ ） A. 梯形 B. 菱形 C. 矩形 D. 正方形 【答案】A 【解析】 【分析】根据向量关系判断四边形的平行及长度关系即可得解. 【详解】 由可得向量与平行，即， 且，即， 根据梯形的定义，一组对边平行且不相等的四边形是梯形，所以四边形是梯形, 菱形需四条边相等，矩形要有四个直角且对边相等，正方形要求四条边相等且四个角为直角，题中条件均不满足， 故选： 4. 计算（ ） A. 0 B. C. 1 D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据对数运算法则以及，即可求解. 【详解】. 故选：C 5. 已知角满足，则（ ） A. B. 2 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用齐次式法求得，再利用正切的诱导公式即可得解. 【详解】由，可得， 所以， 故选：D. 6. 圆与直线的位置关系是（ ） A. 相切 B. 相离 C. 相交且经过圆心 D. 相交且不经过圆心 【答案】C 【解析】 【分析】由圆的方程先求出圆心坐标和半径，结合圆心到直线的距离与半径的大小关系，即可判断求解. 【详解】因为圆的方程为， 所以圆心坐标为，半径， 所以圆心到直线的距离， 所以直线与圆相交且经过圆心. 故选：C. 7. 在等比数列中，若，，则（ ） A. 5 B. 9 C. 14 D. 27 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，结合等比数列的性质，即可求解. 【详解】由题意，设等比数列的公比为，则， 又，， 所以， 所以. 故选：B. 8. 在中，“”是“”的（ ） A. 充分不必要 B. 必要不充分 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要 【答案】C 【解析】 【分析】由充要条件的定义及正弦定理即可得解. 【详解】在中，若成立，根据正弦定理，可得. 在三角形中，大边对大角，所以等价于， 所以. 因为等价于，且，， 所以. 故“”是“”的充要条件. 故选：C. 9. 若方程表示椭圆，则m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 且 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，结合椭圆的标准方程，即可列式求解. 【详解】因为方程表示椭圆， 所以须满足，即， 解得且， 故选：D 10. 2016年联合国教科文组织将二十四节气纳入非物质文化遗产，春季节气有“谷雨、清明、春分、惊蛰、雨水、立春”共六个，如果小明同学将以上6个节气按时间顺序进行排列，他一次排列正确的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据排列和古典概率即可得解. 【详解】个节气全排列的总情况数为种，而一次排列正确的情况只有种， 所以一次排列正确的概率是. 故选：A. 二、 填空题（每小题3分，共24分） 11. 若复数，则_________. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，结合复数的乘法运算，及复数的模的概念，即可求解. 【详解】因为复数， 所以. 故答案为： 12. 函数的值域是_________. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，结合指数函数的值域，即可求解. 【详解】因为指数函数的值域是， 所以的值域是. 故答案为：. 13. 若函数，则_________. 【答案】 【解析】 【分析】分类讨论和的情况，将自变量代入对应的解析式，即可求解. 【详解】因为， 当时，，， 所以； 当时，，， 所以， 综上. 故答案为： 14. 若向量，，当，则_________. 【答案】 【解析】 【分析】根据向量垂直的坐标表示列方程求解即可. 【详解】因为，所以， 已知，， 则，即， 解得. 故答案为：2. 15. 若直线与垂直，则_________. 【答案】 【解析】 【分析】根据直线与垂直时，即可求解参数. 【详解】因为直线与垂直， 所以，即， 解得. 故答案为：1 16. 已知双曲线的渐近线方程是，则_________. 【答案】 【解析】 【分析】由双曲线方程可知，其焦点在轴，根据焦点在轴的渐近线方程，代入求解即可. 【详解】对于双曲线，其渐近线方程为， 已知渐近线方程是，所以. 故答案为：. 17. 把一个高的三棱锥形容器灌满水，倒进一个与它底面积相等，高度相等的直三棱柱形容器中，此时水面的高度是_________. 【答案】4 【解析】 【分析】根据水的体积相等，利用三棱锥和三棱柱的体积公式求出水面的高度即可. 【详解】已知三棱锥形容器高， 根据三棱锥体积公式，水的体积. 将水倒入直三棱柱形容器中，设水面高度为， 根据直三棱柱体积公式， 由于水的体积不变，则， 等式两边同时除以，可得. 故答案为：4. 18. 的展开式中，二项式系数之和是_________. 【答案】32 【解析】 【分析】利用二项式展开式的二项式系数之和为可求. 【详解】对于二项式，其展开式的二项式系数之和为. 所以的展开式中，二项式系数之和是. 故答案为：. 三、 解答题（每小题8分，共24分） 19. 求函数的定义域. 【答案】 【解析】 【分析】利用偶次根号下大于等于零和对数函数真数大于零，结合一元二次不等式的解法可求. 【详解】要使函数有意义，则， 不等式可化为， 解得或， 解不等式得到， 综上， 所以函数的定义域为. 20. 在中，三个内角的对边分别为，三条边满足. （1）求； （2）若，，求的面积. 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】（1）根据题目条件以及余弦定理求解. （2）根据正弦定理以及三角形的面积公式求解. 【小问1详解】 已知，根据余弦定理， 将代入可得， 因为，所以. 【小问2详解】 由正弦定理，已知，，， 则， 因为，所以，， 那么， 所以的面积. 21. 已知数列中，，. （1）求； （2）求数列的通项公式. 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意，结合数列的递推公式，代入即可求解； （2）根据题意，可得，将递推公式取倒数，化简可得，继而得到数列是等差数列，求出首项和公差，即可求解. 【小问1详解】 因为，数列满足， 所以将，代入得； 将，代入得； 所以，； 【小问2详解】 因为数列中，，所以， 又， 所以，即， 又， 所以数列是以为首项，为公差等差数列， 所以数列的通项公式为. 四、 证明题（每小题6分，共12分） 22. 已知直线和圆，求证：直线与圆相离. 【答案】证明见解析 【解析】 【分析】先确定圆心坐标和半径，计算圆心到直线距离，与圆的半径比较，确定直线与圆的关系. 【详解】将圆化为标准方程， 圆心坐标为，半径， 则圆心到直线，即距离， 因为，即，所以直线与圆相离. 23. 如图所示，长方体中，O为底面ABCD的中心，连接，求证：平面. 【答案】证明见解析 【解析】 【分析】利用长方体的结构特征与平行四边形的判定与性质证得，再利用线面平行的判定定理即可得解. 【详解】连接交于，连接，连接， 因为为长方体， 所以，，则四边形为平行四边形， 易知为中点，为中点， 所以，， 则四边形是平行四边形，则 又平面，平面， 所以平面. 五、 综合题（共10分） 24. 已知函数. （1）判断是否存在实数a使得函数为偶函数，如果存在，求出a的值和函数的值域，如果不存在，请说明理由. （2）若函数的定义域为，求的取值范围. 【答案】（1）存在使函数为偶函数，此时函数的值域是 （2） 【解析】 【分析】（）根据偶函数的定义得出即可得出函数解析式，根据复合型对数函数的性质即可得解. （）根据对数函数的定义域为，可得恒成立，利用判别式即可得解. 【小问1详解】 若函数为偶函数，则恒成立， 即，根据对数函数性质可得， 化简得对任意恒成立，所以， 此时，因为，所以， 所以函数的定义域为，且为增函数， 所以，所以函数值域是. 【小问2详解】 因为函数的定义域为， 所以恒成立， 则二次函数的图像恒在轴上方，即， 展开得，即，因式分解得， 解得， 所以的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$