第三单元因数与倍数·单元复习篇（单元复习讲义）【四大篇章】-2024-2025学年五年级数学下册典型例题系列（原卷版+解析版+答案版）苏教版

第 1 页 共 29 页 篇首寄语 我们每位老师都希望把最好的教学资料留给学生使用，所以在平时教学时， 能够快速找到高质量、高效率、高标准的资料显得十分重要。编者以前常常游走 于各大学习网站寻找自己所需的资料，可却总在花费大量时间与精力后才能找到 自己心仪的那份，这样费时费力不讨好，实在有些苦恼。正因如此，每次在寻找 资料时，编者就会想，如果是自己来创作一份资料那又该如何呢？那么这份资料 应该首先满足自身教学需要，并达到我的高标准要求，然后才能为他人提供参考。 于是，本着这样的想法，在结合自身教学需求和学生实际情况后，最终酝酿出了 一个既适宜课堂教学，又适应课后作业，还适合阶段复习的大综合系列。 《2024-2025学年五年级数学下册典型例题系列「2025版」》，它基于教材 知识和常年真题进行总结与编辑，该系列主要分为典型例题篇、专项练习篇、单 元复习篇、思维素养篇、分层试卷篇等五个部分。 1.典型例题篇，按照单元顺序进行编辑，主要分为计算和应用两大部分，其 优点在于考题典型，考点丰富，变式多样。 2.专项练习篇，从高频考题和期末真题中选取专项练习，其优点在于选题经 典，题型多样，题量适中。 3.单元复习篇，汇集系列精华，高效助力单元复习，其优点在于综合全面， 精练高效，实用性强。 4.思维素养篇，新的学年，新的篇章，从课本到奥数，从方法到思维，从基 础技能到核心素养，其优点在于由浅入深，思维核心，方法易懂。 5.分层试卷篇，根据试题难度和水平，主要分为 A卷·基础巩固卷、B卷·素 养提高卷、C卷·思维拓展卷，其优点在于考点广泛，分层明显，适应性广。 时光荏苒，转眼之间，《典型例题系列》已经历三个学年三个版本，在过去， 它扬长补短，去粗取精，日臻完善；在未来，它承前启后，不断发展，未有竟时。 黄金无足色，白璧有微瑕，如果您在使用资料的过程中有任何宝贵意见，请 留言于我，欢迎您的使用，感谢您的支持！ 101 数学创作社 2025 年 1 月 9 日 第 2 页 共 29 页 2024-2025 学年五年级数学下册典型例题系列「2025 版」 第三单元因数与倍数·单元复习篇【四大篇章】 知识点一：因数与倍数。 1. 因数与倍数的定义。 在整数除法中，如果商是整数而没有余数，我们就说被除数是除数的倍数，除数 和商是被除数的因数。 例如：12÷2=6，12是 6的倍数，6是 12的因数；a×b=c(a、b、c都是不为 0的整 数)，那么 a是 c的因数，b也是 c的因数；c是 a的倍数，c也是 b的倍数。 2. 找一个数的因数的方法。 （1）列乘法算式找，有序地写出两个自然数相乘得这个数的所有乘法算式，两 个因数都是这个数的因数。 （2）列除法算式找，有序地写出这个数被整除的所有除法算式，除数和商都是 这个数的因数。 3. 因数的特征。 一个数的因数的个数是有限的，其中最小的因数是 1，最大的因数是它本身。 4. 找一个数的倍数的方法。 （1）列乘法算式找，用这个数依次与非 0自然数相乘，所得的积就是这个数的 第 3 页 共 29 页 倍数。 （2）列除法算式找，看哪些数除以这个数，商是整数而无余数，这些数就是这 个数的倍数。 5. 倍数的特征。 一个数的倍数的个数是无限的，其中最小的倍数是它本身。 注意：一个非零自然数的最大因数与最小倍数是相等的且都等于它本身。 知识点二：2、5、3 的倍数特征。 1. 2的倍数特征。 个位上是 0、2、4、6、8的数是 2的倍数。 2. 5的倍数特征。 个位上是 0或 5的数是 5的倍数。 3. 3的倍数的特征。 一个数各位上的数的和是 3的倍数，这个数就是 3的倍数。 4. 2、5、3倍数特征之间的联系。 知识点三：奇数与偶数。 1. 偶数。 能被 2整除的数就叫偶数（俗称双数），习惯用 2n表示。 2. 奇数。 不能被 2整除的数就叫奇数（俗称单数），习惯用 2n－1表示。 第 4 页 共 29 页 3. 奇数与偶数的运算性质。 加法。 (1)奇数+偶数=奇数 (2)奇数+奇数=偶数 (3)偶数+偶数=偶数 (4)相邻两个自然数的和是奇数，相邻四个自然数的和是偶数。 减法。 奇数－奇数=偶数 奇数－偶数=奇数 偶数－奇数=奇数 偶数－偶数=偶数 乘法。 (1)奇数×偶数=偶数 (2)奇数×奇数=奇数 (3)偶数×偶数=偶数 知识点四：质数与合数。 1. 质数（素数）。 一个数，如果只有 1和它本身两个因数，那么这样的数叫做质数（或素数）。 例如：20以内的质数有 2，3，5，7，11，13，17，19。 注意： ①质数只有两个因数，一个质数的最小因数是 1，最大因数是它本身。 ②最小的质数是 2，没有最大的质数。 2. 合数。 一个数，如果除了 1和它本身还有别的因数，那么这样的数叫做合数。 例如：20以内的合数有 4，6，8，9，10，12，14，15，16，18。 注意： ①合数质数至少有三个因数，一个合数的最小因数是 1，最大因数是它本身。 ②最小的合数是 4，没有最大的合数。 3. 注意。 第 5 页 共 29 页 （1）0、1既不是质数，也不是合数。 （2）100以内的质数 2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、 47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97，共 25个。 知识点五：分解质因数。 1. 分解质因数。 就是把一个合数用几个质数乘积的形式表示出来。 例：15=3×5，24=2×2×2×3，这就是分解质因数。 2. 注意。 分解质因数是解决数论最有效最直接的途径。 知识点六：最大公因数。 1. 最大公因数的定义。 两个或多个整数公有的因数叫做这几个数的公因数，其中最大的一个叫做这几个 数的最大公因数。 2. 求最大公因数的方法。 （1）列举法（枚举法） 列出所有的因数，找出共有因数中的最大值。 （2）短除法 用公有的质因数连续去除，直到商互质，所有除数的乘积即为最大公因数。 （短除法的口诀：求最大公因乘一边，求最小公倍乘一圈。） （3）分解质因数法 将数分解为质因数乘积形式，取共有质因数的最少个数的乘积。 （4）互质关系 若两个数是互质数，即只有公因数 1，则它们的最大公因数是 1。 （5）倍数关系 当两个整数呈现出倍数关系时，其中较小的数即为最大公因数。 3. 注意。 求两个数的最大公因数用小括号表示，例如：12和 18的最大公因数是 6，写作 (12, 18) = 6。 知识点七：最小公倍数。 第 6 页 共 29 页 1. 最小公倍数的定义。 两个或多个数公有的倍数，叫做它们的公倍数，其中最小的一个叫做它们的最小 公倍数。 2. 求最小公倍数的方法。 （1）列举法 分别列出两数的倍数，找到最小的公共倍数 （2）短除法 用两数的公约数连续除，直到商互质，所有除数与商的乘积即为最小公倍数。 （短除法的口诀：求最大公因乘一边，求最小公倍乘一圈。） （3）分解质因数法 将数分解为质因数乘积形式，取共有质因数的最多个数的乘积。 （4）互质关系 若两个数是互质数，即只有公因数 1，则它们的最大公因数是两数的乘积。 （5）倍数关系 当两个整数呈现出倍数关系时，其中较大的数即为最大公因数。 3. 注意。 求两个数的最小公倍数用中括号表示，例如：12 和 18的最小公倍数是 36，写 作 [12, 18] = 36。 【第一部分】基本知识与基本应用 【高频考题 01】因数与倍数的认识。 1．根据 32÷8＝4，( )是( )的因数；( )是( )的倍 数。 【答案】 8 32 32 8 【分析】在整数除法中，商是整数且没有余数，我们就说被除数是除数和商的倍 数，除数和商是被除数的因数，据此解答即可。 【详解】由分析可知： 第 7 页 共 29 页 根据 32÷8＝4，8是 32的因数；32是 8的倍数。 【点睛】本题考查因数和倍数，明确因数和倍数的定义是解题的关键。 2．数 a的最大因数与它的最小倍数之和是( )。 【答案】2a 【分析】一个数的最大因数和最小倍数都是这个数本身，据此分析解答。 【详解】a＋a＝2a 则这个数 a的最大因数与它的最小倍数之和是 2a。 【点睛】此题考查含有字母的式子的化简，熟练掌握最大因数和最小倍数的求法 也是解题的关键。 【高频考题 02】因数与倍数的求法和特征。 1．20的因数有( )，50以内 6的倍数有 ( )。 【答案】 1，2，4，5，10，20 6，12，18，24，30，36，42，48 【分析】列乘法算式找因数，按照从小到大的顺序，一组一组地写出所有积是这 个数的乘法算式，乘法算式中的两个因数就是这个数的因数。 列乘法算式找倍数，按照从小到大的顺序，一组一组地写出这个数与非 0自然数 的乘法算式，乘法算式中的积就是这个数的倍数。 【详解】20的因数有：1，2，4，5，10，20； 50以内 6的倍数有：6，12，18，24，30，36，42，48。 【点睛】掌握求一个数的因数和倍数的方法是解题的关键。 2．24的因数有( )个，其中最大的因数是( )；24的倍数有 ( )个，其中最小的倍数是( )。 【答案】 8 24 无数 24 【分析】一个数的因数的个数是有限的，最小因数是 1，最大因数是它本身； 一个数的倍数的个数是无限的，最小倍数是它本身，没有最大倍数。 【详解】24的因数：1，2，3，4，6，8，12，24； 24的倍数：24，48，72，…； 24的因数有 8个，其中最大的因数是 24；24的倍数有无数个，其中最小的倍数 是 24。 第 8 页 共 29 页 【点睛】本题考查因数和倍数的知识，掌握求一个数的因数和倍数的方法，明确 一个数的最大因数和最小倍数都是它本身。 3．一个数的最大因数与最小倍数的积是 36，这个数是( )，这个数的因 数有( )。 【答案】 6 1，2，3，6 【分析】一个非 0自然数的最大因数是它本身，最小倍数也是它本身，即一个数 的最大因数等于它的最小倍数。一个数的最大因数与最小倍数的积是 36，即两 个相同的数的乘积是 36，因为 6×6＝36，所以这个数是 6。再用列乘法算式的方 法找出 6的因数。 【详解】36＝6×6，所以这个数是 6。 6＝1×6，6＝2×3，所以这个数的因数有 1，2，3，6。 【点睛】解决此题的关键是明确一个数的最大因数和这个数的最小倍数的关系。 【高频考题 03】2、5 的倍数特征。 1．把下列各数按要求填在横线上。 914 52 40 23 45 58 245 536 221 98 100 66 5的倍数有： 。 2的倍数有： 。 【答案】 40、45、245、100 914、52、40、58、536、98、100、66 【分析】2的倍数的数的特征是：个位上是 0、2、4、6、8的数；5的倍数的数 的特征是：个位上是 0或 5的数都是 5的倍数；由此解答。 【详解】5的倍数有：40、45、245、100； 2的倍数有：914、52、40、58、536、98、100、66。 【点睛】此题的解题关键是理解掌握 2、5的倍数的特征。 2．59□既是 2的倍数，又是 5的倍数，□里可填( )。 【答案】0 【分析】既是 2的倍数又是 5的倍数的特征：个位上的数字是 0的数，既是 2 的倍数，又是 5的倍数。 【详解】59□既是 2的倍数，又是 5的倍数，□里可填 0。 第 9 页 共 29 页 【点睛】关键是掌握 2和 5的倍数的特征。 【高频考题 04】奇数与偶数。 1．写出 124后面的 3个连续的奇数：( )、( )、( )。 【答案】 125 127 129 【分析】在自然数中，能被 2整除的数为偶数，不能被 2整除的数为奇数；据此 填空即可。 【详解】124后面的 3个连续的奇数：125、127、129。 【点睛】通过本题可发现，自然数中奇数、偶数的排列是有规律的，每相邻的两 个偶数或奇数之间相差 2。 2．三个连续奇数的和是 177，其中最小的数是( )，最大的数是( )。 【答案】 57 61 【分析】相邻的奇数之间相差 2，用三个连续奇数的和÷3，求出中间奇数，中间 奇数－2＝最小奇数，中间奇数＋2＝最大奇数。 【详解】177÷3＝59 59－2＝57 59＋2＝61 【点睛】整数中，是 2的倍数的数是偶数，不是 2的倍数的数是奇数。 3．三个连续偶数的和是 3m，则最大最小这两个数分别是( )和( )。 【答案】 m＋2 m－2 【分析】根据偶数的排列规律，相邻的偶数相差 2，已知三个连续偶数的和是 3m， 用 3m除以 3即可求出中间的偶数，那么最大的数比中间的数多 2，最小的数比 中间的数少 2，然后用中间的数加上（减去）2即可。 【详解】3m÷3＝m 所以最大的数是 m＋2，最小的数是 m－2 【点睛】此题考查的目的是理解掌握偶数的意义及偶数的排列规律，明确：相邻 的偶数相差 2。 【高频考题 05】3 的倍数特征。 1．一个数是 24的因数，同时也是 3的倍数，这个数可能是( )或( )。 【答案】 3、6 12、24 第 10 页 共 29 页 【分析】根据求一个数因数的方法，求出 24的因数，再结合 3的倍数特征：一 个数的各个数位上的数字之和是 3的倍数，这个数就是 3的倍数，据此填空即可。 【详解】24的因数有：1、2、3、4、6、8、12、24，其中 3、6、12、24是 3的 倍数。 则一个数是 24的因数，同时也是 3的倍数，这个数可能是 3、6或 12、24。 【点睛】本题考查求一个数的因数和 3的倍数，明确求一个数的因数的方法和 3 的倍数特征是解题的关键。 2．要使 17□50能同时被 2、3、5整除，□里最大能填( )。 【答案】8 【分析】同时是 2、3、5倍数的倍数特征：个位数字是 0，各个位上数字相加的 和是 3的倍数，据此解答。 【详解】分析可知，17□50的个位数字为 0。 □里为 9时，1＋7＋9＋5＝22，22不是 3的倍数； □里为 8时，1＋7＋8＋5＝21，21是 3的倍数。 所以，□里最大能填 8。 【点睛】掌握同时是 2、3、5倍数的倍数特征是解答题目的关键。 3．能同时被 2、3、5整除的最大两位数是( )，最大三位数是( )。 【答案】 90 990 【分析】（1）根据 2、3、5的倍数特征可知；同时是 2、3、5的倍数，只要是 个位是 0，十位满足是 3的倍数即可，十位满足是 3的倍数的有 3、6、9，其中 3是最小的，9是最大的，即 90； （2）同时是 2、3、5的倍数的最小的三位数，只要个位是 0，百位是最大的自 然数 9，十位满足和百位、个位上的数加起来是 3的倍数即可，这样的数有：9、 6、3、0，其中 9是最大的，即 990；解答即可。 【详解】由分析可知： 能同时被 2、3、5整除的最大的两位数是 90，最大的三位数是 990。 【点睛】本题主要考查 2、3、5的倍数，明确 2、3、5的倍数特征是解题的关键。 【高频考题 06】质数与合数。 1．非 0自然数中，( )既不是质数也不是合数，最小的质数是( )， 第 11 页 共 29 页 最小的合数是( )。 【答案】 1 2 4 【分析】一个大于 1的自然数，只有 1与它本身两个因数的数，这样的数叫作质 数； 一个大于 1的自然数，除了 1和它本身外还有其它因数的数，这样的数叫作合数。 据此解答。 【详解】由分析可知：非 0自然数中，1的因数只有 1，所以，1既不是质数也 不是合数，最小的质数是 2，最小的合数是 4。 【点睛】掌握质数和合数的特点是解题此题的关键。 2．在括号里填上合适的质数： 22＝( )＋( )；26＝( )＋( )＋( )。 【答案】 17 5 13 11 2 【分析】因数只有 1和本身的数是质数，26以内的质数有 2、3、5、7、11、13、 17、19、23，据此通过尝试填空即可。 【详解】22＝17＋5或 22＝3＋19 26＝13＋11＋2或 26＝7＋17＋2 （答案需配对） 【高频考题 07】最大公因数。 1．如果 A＝2×2×5，B＝2×3×5，那么 A和 B的最大公因数是( )。 【答案】10 【分析】分解质因数是把合数分解成若干个质因数相乘的形式。 两个或两个以上的合数分解质因数后，把公有的相同质因数乘起来就是最大公因 数。 【详解】A＝2×2×5 B＝2×3×5 A和 B的最大公因数是：2×5＝10。 【点睛】掌握求两个数的最大公因数的方法是解题的关键。 2．已知 ab＝c（a、b、c均为正整数），那么 a和 c的最大公因数是( )。 【答案】a 第 12 页 共 29 页 【分析】当两个数成倍数关系时，较小数就是它们的最大公因数。根据求两个数 的最大公因数的特殊情况解答即可。 【详解】ab＝c（a、b、c均为正整数），说明 c是 a的倍数，a是较小数，c是 较大数，所以 a和 c的最大公因数 a。 【点睛】解决此题的关键是明确求两个数的最大公因数和最小公倍数的特殊情况。 当两个数成倍数关系时，较小数就是它们的最大公因数，较大数就是它们的最小 公倍数；当两个数是互质数时，最大公因数是 1，最小公倍数是这两个数的积。 3．求下列各组数的最大公因数。 36和 48 42和 56 12，15和 18 【答案】12；14；3 【分析】把几个数公有的质因数从小到大依次作为除数连续去除这两个数，直到 得出的商只有公因数 1为止，然后把所有除数连乘起来，所得的积就是这几个数 的最大公因数，据此解答。 【详解】（1）36和 48 36和 48的最大公因数：2×2×3＝12 （2）42和 56 42和 56的最大公因数：2×7＝14 （3）12，15和 18 12，15和 18的最大公因数：3 第 13 页 共 29 页 【高频考题 08】最小公倍数。 1． 3 5m   ， 2 5 11n    ，m和n的最大公因数是( )，最小公倍数是 ( )。 【答案】 5 330 【分析】全部共有的质因数（公有质因数）相乘的积就是这几个数的最大公因数。 全部公有的质因数和各自独立的质因数，它们连乘的积就是这几个数的最小公倍 数。 【详解】2×3×5×11＝330 3 5m   ， 2 5 11n    ，m和n的最大公因数是 5，最小公倍数是 330。 【点睛】关键是掌握最大公因数和最小公倍数的求法。 2．a÷b＝15（a、b是不为0的自然数且b≠1），那么a和15的最大公因数是( )， 最小公倍数是( )。 【答案】 15 a 【分析】求两数的最大公因数和最小公倍数，要看两个数之间的关系：两个数为 倍数关系时，最大公因数为较小的数，最小公倍数为较大的数；由此选择情况解 决问题。 【详解】由 a÷b＝15可知，a÷15＝b，a是 15的 b倍，a＞15，属于倍数关系， 那么 a和 15的最大公因数是 15，最小公倍数是 a。 【点睛】此题主要考查求两个数为倍数关系时两个数的最大公因数和最小公倍数。 3．写出下面每组数的最小公倍数。 14和 20 18和 90 48和 64 【答案】140；90；192 【分析】最小公倍数是公有质因数与独有质因数的连乘积，若两个数互为倍数关 系，则较大的数就是它们的最小公倍数；若两个数是互质数，则最小公倍数就是 它们的乘积。据此计算即可。 【详解】14＝2×7 20＝2×2×5 所以 14和 20的最小公倍数是 2×7×2×5＝140； 因为 18和 90成倍数关系，所以 18和 90的最小公倍数是 90； 第 14 页 共 29 页 因为 48＝2×2×2×2×3 64＝2×2×2×2×2×2 所以 48和 64的最小公倍数是 2×2×2×2×2×2×3＝192。 第 15 页 共 29 页 【第二部分】综合应用与解决问题 【高频考题 01】猜数问题。 1．洪老师家的电话号码从左往右的数字依次是：①既是奇数又是合数的数；② 既不是质数，也不是合数；③既是质数，又是偶数；④10以内最大的质数；⑤ 最小的合数；⑥最小奇数的 5倍；⑦有因数 3的偶数。 聪明的同学，你知道洪老师家的电话号码是多少吗？ 【答案】9127456 【分析】2的倍数叫做偶数，个位是 0、2、4、6、8的数；不是 2的倍数叫做奇 数，个位是 1、3、5、7、9的数。一个数，如果只有 1和它本身两个因数，那么 这样的数叫做质数；一个数，除了 1和它本身还有别的因数，那么这样的数叫做 合数；1既不是质数也不是合数；10以内的质数有：2，3，5，7；10以内的合 数有：4，6，8，9；据此解答。 【详解】①既是奇数又是合数的数：9； ②既不是质数，也不是合数：1； ③既是质数，又是偶数：2； ④10以内最大的质数：7； ⑤最小的合数：4； ⑥最小奇数的 5倍：5； ⑦有因数 3的偶数：6。 答：洪老师家的电话号码是 9127456。 【点睛】掌握奇数、偶数、质数、合数的特点，以及因数、倍数的知识是解题的 关键。 2．小明给自己的行李箱设置了四位数的简易密码，其中第一位数是最小的合数， 第二位数是最小的偶数，第三位数是 6的 1.5倍，第四位数既不是质数也不是合 数。行李箱的密码是多少？ 【答案】4091 【分析】第一位数是最小的合数是 4，第二位数是最小的偶数是 0，第三位数是 6的 1.5倍是 6×1.5＝9，第四位数既不是质数也不是合数是 1，据此解答。 【详解】第一位数是 4，第二位数是 0，第三位数是 6×1.5＝9，第四位数是 1。 第 16 页 共 29 页 答：行李箱的密码是 4091。 【点睛】此题主要考查根据质数、合数、奇数、偶数的意义，掌握自然数中，是 2的倍数的数叫做偶数，不是 2的倍数的数叫做奇数；除了 1和它本身以外，不 含其它因数的数是质数；除了 1和它本身外，还含有其它因数的数是合数是解题 关键。 【高频考题 02】因数与倍数、奇数与偶数、质数与合数的实际应 用。 1．李文在新华书店用 100元买了几本单价为 5元一本和 10元一本的书，找回了 36元，请你帮李文算一算，钱找对了吗？ 【答案】不对，两本书的价格都是 5的倍数，所以找回的钱也应该是 5的倍数， 36不是 5的倍数，所以钱找的不对。 【分析】5的倍数特点是个位是 0或 5，36的个位不是 5或 0，所以不是 5的倍 数。 【详解】两本书的价格都是 5的倍数，所以找回的钱也应该是 5的倍数，找回的 钱不是 5的倍数，所以找回的钱数不对。 【点睛】这个题目考查 5的倍数特点。 2．水果店运来 250千克水果，如果每 20千克装一箱，能正好装完吗？如果每 50千克装一箱，能正好装完吗？为什么？ 【答案】每 20千克装一箱，不能正好装完；每 50千克装一箱，能正好装完 【分析】根据因数和倍数的意义，如果数 a能被数 b整除（b≠0），a就叫做 b 的倍数，b就叫做 a的因数；如果 20是 250的因数，则每 20千克装一箱，能正 好装完，反之则不能；如果 50是 250的因数，则每 50千克装一箱，能正好装完， 反之则不能。据此解答。 【详解】250÷20＝12（箱）……10（千克） 250÷50＝5（箱） 250不是 20的倍数，而是 50的倍数。 答：每 20千克装一箱，不能正好装完；每 50千克装一箱能正好装完。 【点睛】此题考查了因数、倍数的意义和应用。 3．新年到了，妈妈准备用某聊天软件给姐姐和弟弟共发 100元的红包。 第 17 页 共 29 页 （1）如果弟弟收到的红包钱数为奇数，姐姐收到的红包钱数为奇数还是偶数？ （2）如果弟弟收到的红包钱数为偶数，姐姐收到的红包钱数为奇数还是偶数？ 【答案】（1）奇数 （2）偶数 【分析】根据奇偶运算性质，奇数＋奇数＝偶数，奇数＋偶数＝奇数，偶数＋偶 数＝偶数，据此进行解答即可。 【详解】（1）因为弟弟收到的红包钱数为奇数，100是偶数，根据奇数＋奇数 ＝偶数，则姐姐收到的红包钱数为奇数。 答：姐姐收到的红包钱数为奇数。 （2）如果弟弟收到的红包钱数为偶数，100是偶数，根据偶数＋偶数＝偶数， 则姐姐收到的红包钱数为偶数。 答：姐姐收到的红包钱数为偶数。 【点睛】本题考查奇偶运算，明确奇偶运算性质是解题的关键。 4．一个长方形的长和宽都是质数，它的周长是 32厘米。这个长方形的面积可能 是多少平方厘米？ 【答案】39平方厘米或 55平方厘米 【分析】根据长方形的周长公式：C＝（a＋b）×2，用 32除以 2即可求出长方 形的长与宽的和，再结合质数的定义找到长方形的长与宽，最后根据长方形的面 积公式：S＝ab，据此进行计算即可。 【详解】32÷2＝16（厘米） 16＝3＋13，16＝5＋11 3×13＝39（平方厘米） 5×11＝55（平方厘米） 答：这个长方形的面积可能是 39或 55平方厘米。 【点睛】本题考查质数，结合长方形的周长和面积的计算方法是解题的关键。 【高频考题 03】分解质因数。 1．能被 2、3整除的最小三位数是( )，把它分解质因数是 ( )。 【答案】 102 102＝2×3×17 第 18 页 共 29 页 【分析】个位上是 0，2，4，6，8的数都是 2的倍数，一个数各个数位上的数字 和是 3的倍数，这个数就是 3的倍数。最小的三位数，百位一定是 1，再结合 2、 3的倍数特征判断出个位数字是几，最后再把它写成几个质数相乘的形式，据此 解答。 【详解】最小的三位数，百位一定是 1，因为它是 2的倍数，则个位上可能是 0， 2，4，6，8，又因为它是 3的倍数，当这个数是 102、108时正好是 3的倍数但 最小的数是 102。因为 102＝2×51，而 51＝3×17，这时的 2、3、17都是质数， 所以 102＝2×3×17。故能被 2、3整除的最小三位数是（102），把它分解质因数 是（102＝2×3×17）。 【点睛】考查 2、3的倍数特征及分解质因数的方法。个位上是 0，2，4，6，8 的数都是 2的倍数，一个数各个数位上的数字和是 3的倍数，这个数就是 3的倍 数。把一个数写成几个质数相乘的形式的过程叫做分解质因数。 2．一个数的最大因数是 20，这个数是( )，把它分解质因数 ( )，它的因数有( )，其中奇数( )，合数有 ( )。 【答案】 20 20＝2×2×5 1、2、4、5、10、20 1、5 4、 10、20 【分析】应明确一个数的最小倍数是它本身，得出这个数是 20；然后根据找一 个数的因数的方法，列举出 20的因数；进而根据奇数、合数的含义：除了 1和 它本身以外，还含其它因数的数是合数；自然数中不是 2的倍数的数是奇数；据 此解答即可。 【详解】20＝2×2×5 20的因数有 1、2、4、5、10、20。 所以一个数的最大因数是 20，这个数是 20，把它分解质因数 20＝2×2×5，它的 因数有 1、2、4、5、10、20，其中奇数 1、5，合数有 4、10、20。 【点睛】此题应根据求一个数的因数的方法及奇数、合数的含义进行解答。 3．一个两位数，十位上的数字是最小的合数，个位上的数字既是质数又是偶数， 这个两位数是( )，把它分解质因数是( )。 【答案】 42 42＝2×3×7 第 19 页 共 29 页 【分析】质数是指除了 1和它本身的两个因数以外再没有其他的因数。合数是指 就除了 1和它本身的两个因数以外还有其他的因数。不能被 2整除的自然数叫奇 数，能被 2整除的数叫偶数。分解质因数利用相乘法：写成几个质数相乘的形式 （这些不重复的质数即为质因数），实际运算时可采用逐步分解的方式。 【详解】最小的合数是 4，即十位上的数字是 4，既是质数又是偶数的数字是 2， 即个位上的数字是 2，所以这个两位数是 42。 把 42分解质因数：42＝2×3×7 【点睛】此题主要明确奇数与偶数、质数与合数的定义，以及奇数与质数、偶数 与合数的区别，才能做出正确的解答。 【高频考题 04】最大公因数的实际应用。 1．学校要把 48本《红色革命故事》和 64本《雷锋日记》平均分给若干名同学。 如果《红色革命故事》和《雷锋日记》都不要有剩余，且保证分到《红色革命故 事》和《雷锋日记》的同学人数相同，最多能分给多少名同学？ 【答案】16名 【分析】学生人数是 48和 64的最大公因数时，学生人数最多且书没有剩余。 【详解】48＝2×2×2×2×3 64＝2×2×2×2×2×2 48和 64的最大公因数＝2×2×2×2＝16 当学生人数为 16人时，书没有剩余。 答：最多能分给 16名同学。 【点睛】此题考查最大公因数的应用，明确最大公因数的求法是解题的关键。 2．有一张长方形纸，长 60厘米、宽 50厘米，如果要剪成若干张同样大小的正 方形纸片而没有剩余。剪出的正方形的边长最大是几厘米？ 【答案】10厘米 【分析】根据题意，把一张长方形纸剪成若干张同样大小的正方形纸片而没有剩 余，那么正方形的边长是长方形长、宽的公因数；求正方形的最大边长，就是求 长、宽的最大公因数。 把 60、50分解质因数后，把公有的相同质因数乘起来就是最大公因数，即可得 解。 第 20 页 共 29 页 【详解】60＝2×2×3×5 50＝2×5×5 60和 50的最大公因数是：5×2＝10 即正方形的边长最大是 10厘米。 答：剪出的正方形的边长最大是 10厘米。 【点睛】本题考查求两个数的最大公因数的方法解决实际问题，也可以用短除法 求两个数的最大公因数。 3．用正方形地砖铺一间长 2.7米，宽 2.4米的房间，要使用的地砖都是整块的， 最大可以用边长多少分米的地砖？要用这样的地砖多少块？ 【答案】3分米；72块 【分析】2.7米＝27分米，2.4米＝24分米，由题意可知，地砖的边长是 27和 24的公因数，地砖最大的边长是 27和 24的最大公因数。先用短除法求出 27和 24的最大公因数是 3，再用房间的长除以 3求出一行地砖的块数，用房间的宽除 以 3求出行数，最后用一行地砖的块数乘行数，求出地砖的总块数。 【详解】2.7米＝27分米 2.4米＝24分米 27和 24的最大公因数是 3。 （27÷3）×（24÷3） ＝9×8 ＝72（块） 答：最大可以用边长 3分米的地砖，要用这样的地砖 72块。 【点睛】当所求量分别与两个（或几个）已知量的因数有关时，可以用公因数或 最大公因数的知识解决。 【高频考题 05】最小公倍数的实际应用。 1．实验小学准备选派五年级的一些同学参加公益活动，要求人数在 30－50之间， 把这些同学按 8人一组或 12人一组分都能正好分完。参加这次公益活动的同学 第 21 页 共 29 页 有多少人？ 【答案】48人 【分析】这些同学按 8人一组或 12人一组分都能正好分完，说明总人数是 8和 12的公倍数，求出 8和 12的最小公倍数，再推算出在 30和 50之间的公倍数即 可。 【详解】8＝2×2×2 12＝2×2×3 2×2×2×3＝24（人） 24×2＝48（人） 30＜48＜50 答：参加这次公益活动的同学有 48人。 【点睛】关键是理解公倍数和最小公倍数的意义，掌握公倍数和最小公倍数的求 法。 2．暑假期间，乐乐每 6天游泳一次，小军每 8天游泳一次。7月 30日两人在游 泳馆相遇，8月几日他们再次在游泳馆相遇？ 【答案】 8月 23日 【分析】乐乐每 6天游泳一次，小军每 8天游泳一次，6和 8的最小公倍数就是 他们相遇两次之间间隔的时间；从 7月 30日向后推算这个天数即可。 【详解】 2 3 4  6 4  24 6和 8的最小公倍数是 24，所以他们每隔 24天见一次面； 第 22 页 共 29 页 7月还有：31－30＝1（天） 8月还要：24－1＝23（天） 即 7月 30日再过 24天是 8月 23日； 答：8月 23日他们再次在游泳馆相遇。 3．一个走廊长 48米，每隔 4米放一盆花（两端都放），一共需要放多少盆花？ 如果改成 6米放一盆花，中间几米处的那几盆花不需要挪动？ 【答案】13盆；12米、24米、36米处的那 3盆花 【分析】已知走廊长 48米，每隔 4米放一盆花，先根据“全长÷间距＝间隔数” 求出花盆的间隔；再根据“两端都放”可知，花的盆数＝间隔数＋1，据此求出一 共需要放多少盆花。 原来每隔 4米放一盆花，现在改成 6米放一盆花，那么中间不需要挪动的花盆间 隔是 4和 6的公倍数，先求出 4和 6的最小公倍数，再求出最小公倍数在 48以 内的倍数即可。 【详解】48÷4＋1 ＝12＋1 ＝13（盆） 4＝2×2 6＝2×3 4和 6的最小公倍数是：2×2×3＝12 48以内 12的倍数有：12，24，36。 即中间 12米、24米、36米处的那 3盆花不需要挪动。 答：一共需要放 13盆花。如果改成 6米放一盆花，中间 12米、24米、36米处 的那 3盆花不需要挪动。 4．中秋节到来之际，为了弘扬传统文化，实验小学开展了以“我们的节日中秋” 为主题的活动，其中一项活动是拔河比赛。五年级参加拔河比赛的学生在 20到 30人之间，赛前预演时，无论 4人一组或 6人一组都剩余 3人，请问五年级参 加拔河比赛的学生有多少人？ 【答案】27人 【分析】根据题意，五年级参加拔河比赛的学生人数在 20人～30人之间，无论 第 23 页 共 29 页 4人或 6人一组都剩 3人，求出 4和 6的公倍数，在 20～30之间，求出倍数再 加上 3，就是参加拔河比赛的学生人数。 【详解】4＝2×2 6＝2×3 4人和 6人的最小公倍数是 2×2×3＝12 因为五年级参加拔河比赛的学生在 20－30人之间，所以 12×2＝24（人） 24＋3＝27（人） 答：五年级参加划旱地龙舟的学生有 27人。 第 24 页 共 29 页 一、填空题。 1．（2024·安徽六安·期末）在 15，7，1，4，20，19，36，41这些数中，奇数 有( )，偶数有( )，5的倍数有( )。 【答案】 15，7，1，19，41 4，20，36 15，20 【分析】个位上是 1、3、5、7、9的数是奇数，个位上是 0、2、4、6、8的数是 偶数，个位上是 0或 5的数是 5的倍数。据此解题。 【详解】在 15，7，1，4，20，19，36，41这些数中，奇数有 15，7，1，19， 41；偶数有 4，20，36；5的倍数有 15，20。 2．（2024·江苏·期末）5和 10的最大公因数是( )，最小公倍数是( )。 【答案】 5 10 【分析】两数成倍数关系，最大公因数是较小数，最小公倍数是较大的数，据此 分析。 【详解】10 5 2  10是 5的 2倍，所以 5和 10的最大公因数是 5，最小公倍数是 10。 3．（2024·安徽滁州·期末）一个数的最小倍数是 36，把这个数分解质因数是 ( )，这个数的因数一共有( )。 【答案】 36＝2×2×3×3 9个 【分析】分解质因数：把一个合数分解成若干个质因数的乘积的形式，即求质因 数的过程叫做分解质因数。分解质因数只针对合数。再根据求一个数的因数的方 法，求出 36的因数，即可解答。 【详解】36＝2×2×3×3 36的因数有：1，2，3，4，6，9，12，18，36；一共有 9个。 一个数的最小倍数是 36，把这个数分解质因数是 36＝2×2×3×3，这个数的因数 一共有 9个。 4．（2024·安徽六安·期末）奇思和妙想围着圆形花坛晨练。奇思走一圈用 6分， 妙想走一圈用 8分。他们同时从 A点出发，( )分后在 A点第一次相遇。 【答案】24 第 25 页 共 29 页 【分析】第一次相遇经过的时间是 6和 8的最小公倍数。先将 6和 8分别分解质 因数，公有质因数和独有质因数的乘积是这两个数的最小公倍数。 【详解】6＝2×3 8＝2×2×2 6和 8的最小公倍数：2×3×2×2＝24 所以 24分后在 A点第一次相遇。 二、选择题。 5．（2024·江苏连云港·期末）1~20的自然数中有( )个合数。 A．8 B．9 C．10 D．11 【答案】D 【分析】合数：除了 1和它本身，还有其它因数的数是合数，据此找出 1~20的 合数即可。 【详解】20以内的合数：4、6、8、9、10、12、14、15、16、18、20。 由此即可知道 1~20的自然数中有 11个。 故答案为：D 6．（2024·贵州贵阳·期末）下面四种说法不正确的有( )个。 ①最小的质数和最小的合数的最大公因数是 1 ②互质的两个数的最大公因数是 1 ③两个数的公因数的个数是有限的 ④两个合数的最大公因数不可能是 1 A．1 B．2 C．3 【答案】B 【分析】①一个数，如果只有 1和它本身两个因数，那么这样的数叫做质数。 一个数，如果除了 1和它本身还有别的因数，那么这样的数叫做合数。 ②公因数只有 1的两个非零自然数叫互质数。 ③因为一个数的因数个数是有限的，所以两个数公有的因数个数也是有限的。 ④通过举例找出两个合数，看它们的最大公因数是否能为 1。 【详解】①最小的质数是 2，最小的合数是 4，2和 4最大公因数是 2，原题说法 不正确； 第 26 页 共 29 页 ②互质的两个数的最大公因数是 1，原题说法正确； ③两个数的公因数的个数是有限的，原题说法正确； ④两个合数的最大公因数可能是 1，例如 8和 9都是合数，8和 9的最大公因数 是 1；原题说法不正确。 所以，说法不正确的是①和④，有 2个。 故答案为：B 7．（2024·江苏淮安·期末）下面几组数中互质的是( )。 A．12和 13 B．17和 51 C．3和 9 D．12和 18 【答案】A 【分析】公因数只有 1的两个非零自然数，叫做互质数，据此逐项分析即可。 【详解】A．12和 13的公因数只有 1，12和 13是互质数； B．17和 51的公因数除了 1，还有 17，17和 51不是互质数； C．3和 9的公因数除了 1，还有 3，3和 9不是互质数； D．12和 18公因数除了 1，还有 2、3、6，12和 18不是互质数。 互质的是 12和 13。 故答案为：A 8．（2024·江苏连云港·期末）用数字 0、1、5、8组成两位数，组成的数中既是 2的倍数，也是 5的倍数，有( )个。 A．3 B．4 C．6 D．9 【答案】A 【分析】根据 2的倍数特征：个位上是 0、2、4、6、8的数。5的倍数特征：个 位上是 5或 0的数。那么既是 2的倍数，也是 5的倍数的特征就是：个位上是 0 的数。用数字 0、1、5、8组成两位数，个位上是 0的有：10、50、80，共 3个。 据此解答。 【详解】据分析可知，用数字 0、1、5、8组成两位数，组成的数中既是 2的倍 数，也是 5的倍数，有 3个。 故答案为：A 三、计算题。 9．（2023·江苏淮安·期末）用短除法求出每组数的最大公因数和最小公倍数。 第 27 页 共 29 页 18和 45 120和 48 64和 144 【答案】9，90；24，240；16，576 【分析】把两个数写在横线上，并用它们的公有质因数去除。如果两个数的商是 互质数（即两个数的最大公因数为 1），则这个公有质因数就是这两个数的最大 公因数。如果两个数的商不互质，就按照上面的方法继续除，直到两个数的商最 后是互质数为止。然后把所有的除数连乘起来，所得的积就是这两个数的最大公 因数。所有公有质因数和各自独有的质因数连乘起来，所得的积就是这两个数的 最小公倍数，据此解答。 【详解】 18和 45的最大公因数 3×3＝9， 最小公倍数 3×3×2×5＝90。 120和 48的最大公因数 3×2×2×2＝24， 最小公倍数 3×2×2×2×5×2＝240。 64和 144的最大公因数 2×2×2×2＝16， 最小公倍数 2×2×2×2×4×9＝576。 四、解答题。 10．（2024·贵州毕节·期末）体育课上，为了使队形整齐，要求站队时每行人数 都相等。五一班有 32名同学，可以排几行？共有几种站队的方法？（每行或每 第 28 页 共 29 页 列不少于 2人） 【答案】4行或 8行；2种 【分析】根据题意可知，每行人数×行数＝32，据此将 32拆分成 2个因数相乘， 已知每行或每列不少于 2人，据此判断有几种方法即可。 【详解】32＝1×32＝2×16＝4×8 因为每行或每列不少于 2人，所以 1×32、2×16不符合题意，所以有两种站队方 法：①4行 8列，②8行 4列。 答：可以排 4行或 8行，共有 2种站队的方法。 11．（2024·江苏淮安·期末）工地上有两根钢管，一根长 36分米，另一根长 63 分米。因施工需要，把它们都锯成长度相等的小段，每段要尽可能长，且没有剩 余。每段钢管长多少分米？一共能锯成多少段？ 【答案】9分米；11段 【分析】已知两根钢管要把它们剪成同样长的小段，每段长要尽可能长，且没有 剩余，求每段钢管长多少米，就是求 36和 63的最大公因数；然后分别用 36和 63除以它们的最大公因数，即可求出两根钢管各自剪成的段数，最后相加即可。 【详解】36＝2×2×3×3 63＝3×3×7 36和 63的最大公因数 3×3＝9 36÷9＋63÷9 ＝4＋7 ＝11（段） 答：每段钢管长 9分米，一共能锯成 11段。 12．（2024·安徽合肥·期末）在城市较高建筑物的顶端应当设置航空障碍灯，通 过间隔一段时间闪光的方式提醒过往飞机。一天晚上，小兰观察高楼上的障碍灯， 发现第一盏灯每 2秒闪一次，第二盏灯每 3秒闪一次，第三盏灯每 5秒闪一次， 从某次三盏灯同时闪了之后开始计时，到 2分钟结束时，三盏灯同时又闪了多少 次？ 【答案】4次 【分析】2，3，5的最小公倍数是 30，也就是说每 30秒三盏灯同时闪动 1次；2 第 29 页 共 29 页 分钟＝120秒，因为从某次三盏灯同时闪了之后开始计时，所以到下一次同时闪 动需要 30秒；用 120除以 30，求出 120里面有几个 30就是三盏灯又同时闪动 了几次。 【详解】2，3，5的最小公倍数是 2×3×5＝30，所以这三盏灯每隔 30秒同时闪 动一次。 2分＝120秒 120÷30＝4（次） 答：到 2分钟结束时，三盏灯同时又闪了 4次。 13．（2024·山西大同·期末）五（1）班的同学分组合作学习，每 4人一组多 1 人，每 5人一组多 1人，每 8人一组也多 1人。五（1）班至少有多少人？ 【答案】41人 【分析】每 4人一组多 1人，每 5人一组多 1人，每 8人一组也多 1人，说明五 （1）班的总人数比 4、5、8的公倍数多 1。求五（1）班至少有多少人，求出 4、 5、8的最小公倍数，再加上 1即可解答。 用质因数分解法可以求几个数的最小公倍数。全部公有的质因数和各自独立的质 因数，它们连乘的积就是这几个数的最小公倍数。 【详解】4＝2×2 5的质因数只有 5。 8＝2×2×2 则 4、5、8的最小公倍数是 2×2×5×2＝40。 40＋1＝41（人） 答：五（1）班至少有 41人。 篇首寄语 我们每位老师都希望把最好的教学资料留给学生使用，所以在平时教学时，能够快速找到高质量、高效率、高标准的资料显得十分重要。编者以前常常游走于各大学习网站寻找自己所需的资料，可却总在花费大量时间与精力后才能找到自己心仪的那份，这样费时费力不讨好，实在有些苦恼。正因如此，每次在寻找资料时，编者就会想，如果是自己来创作一份资料那又该如何呢？那么这份资料应该首先满足自身教学需要，并达到我的高标准要求，然后才能为他人提供参考。于是，本着这样的想法，在结合自身教学需求和学生实际情况后，最终酝酿出了一个既适宜课堂教学，又适应课后作业，还适合阶段复习的大综合系列。 《2024-2025学年五年级数学下册典型例题系列「2025版」》，它基于教材知识和常年真题进行总结与编辑，该系列主要分为典型例题篇、专项练习篇、单元复习篇、思维素养篇、分层试卷篇等五个部分。 1.典型例题篇，按照单元顺序进行编辑，主要分为计算和应用两大部分，其优点在于考题典型，考点丰富，变式多样。 2.专项练习篇，从高频考题和期末真题中选取专项练习，其优点在于选题经典，题型多样，题量适中。 3.单元复习篇，汇集系列精华，高效助力单元复习，其优点在于综合全面，精练高效，实用性强。 4.思维素养篇，新的学年，新的篇章，从课本到奥数，从方法到思维，从基础技能到核心素养，其优点在于由浅入深，思维核心，方法易懂。 5.分层试卷篇，根据试题难度和水平，主要分为A卷·基础巩固卷、B卷·素养提高卷、C卷·思维拓展卷，其优点在于考点广泛，分层明显，适应性广。 时光荏苒，转眼之间，《典型例题系列》已经历三个学年三个版本，在过去，它扬长补短，去粗取精，日臻完善；在未来，它承前启后，不断发展，未有竟时。 黄金无足色，白璧有微瑕，如果您在使用资料的过程中有任何宝贵意见，请留言于我，欢迎您的使用，感谢您的支持！ 101数学创作社 2025年1月9日 2024-2025学年五年级数学下册典型例题系列「2025版」 第三单元因数与倍数·单元复习篇【四大篇章】 知识点一：因数与倍数。 1. 因数与倍数的定义。 在整数除法中，如果商是整数而没有余数，我们就说被除数是除数的倍数，除数和商是被除数的因数。 例如：12÷2=6，12是6的倍数，6是12的因数；a×b=c(a、b、c都是不为0的整数)，那么a是c的因数，b也是c的因数；c是a的倍数，c也是b的倍数。 2. 找一个数的因数的方法。 （1）列乘法算式找，有序地写出两个自然数相乘得这个数的所有乘法算式，两个因数都是这个数的因数。 （2）列除法算式找，有序地写出这个数被整除的所有除法算式，除数和商都是这个数的因数。 3. 因数的特征。 一个数的因数的个数是有限的，其中最小的因数是1，最大的因数是它本身。 4. 找一个数的倍数的方法。 （1）列乘法算式找，用这个数依次与非0自然数相乘，所得的积就是这个数的倍数。 （2）列除法算式找，看哪些数除以这个数，商是整数而无余数，这些数就是这个数的倍数。 5. 倍数的特征。 一个数的倍数的个数是无限的，其中最小的倍数是它本身。 注意：一个非零自然数的最大因数与最小倍数是相等的且都等于它本身。 知识点二：2、5、3的倍数特征。 1. 2的倍数特征。 个位上是0、2、4、6、8的数是2的倍数。 2. 5的倍数特征。 个位上是0或5的数是5的倍数。 3. 3的倍数的特征。 一个数各位上的数的和是3的倍数，这个数就是3的倍数。 4. 2、5、3倍数特征之间的联系。 知识点三：奇数与偶数。 1. 偶数。 能被2整除的数就叫偶数（俗称双数），习惯用2n表示。 2. 奇数。 不能被2整除的数就叫奇数（俗称单数），习惯用2n－1表示。 3. 奇数与偶数的运算性质。 加法。 (1)奇数+偶数=奇数 (2)奇数+奇数=偶数 (3)偶数+偶数=偶数 (4)相邻两个自然数的和是奇数，相邻四个自然数的和是偶数。 减法。 奇数－奇数=偶数 奇数－偶数=奇数 偶数－奇数=奇数 偶数－偶数=偶数 乘法。 (1)奇数×偶数=偶数 (2)奇数×奇数=奇数 (3)偶数×偶数=偶数 知识点四：质数与合数。 1. 质数（素数）。 一个数，如果只有1和它本身两个因数，那么这样的数叫做质数（或素数）。 例如：20以内的质数有2，3，5，7，11，13，17，19。 注意： ①质数只有两个因数，一个质数的最小因数是1，最大因数是它本身。 ②最小的质数是2，没有最大的质数。 2. 合数。 一个数，如果除了1和它本身还有别的因数，那么这样的数叫做合数。 例如：20以内的合数有4，6，8，9，10，12，14，15，16，18。 注意： ①合数质数至少有三个因数，一个合数的最小因数是1，最大因数是它本身。 ②最小的合数是4，没有最大的合数。 3. 注意。 （1）0、1既不是质数，也不是合数。 （2）100以内的质数2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97，共25个。 知识点五：分解质因数。 1. 分解质因数。 就是把一个合数用几个质数乘积的形式表示出来。 例：15=3×5，24=2×2×2×3，这就是分解质因数。 2. 注意。 分解质因数是解决数论最有效最直接的途径。 知识点六：最大公因数。 1. 最大公因数的定义。 两个或多个整数公有的因数叫做这几个数的公因数，其中最大的一个叫做这几个数的最大公因数。 2. 求最大公因数的方法。 （1）列举法（枚举法） 列出所有的因数，找出共有因数中的最大值。 （2）短除法 用公有的质因数连续去除，直到商互质，所有除数的乘积即为最大公因数。 （短除法的口诀：求最大公因乘一边，求最小公倍乘一圈。） （3）分解质因数法 将数分解为质因数乘积形式，取共有质因数的最少个数的乘积。 （4）互质关系 若两个数是互质数，即只有公因数1，则它们的最大公因数是1。 （5）倍数关系 当两个整数呈现出倍数关系时，其中较小的数即为最大公因数。 3. 注意。 求两个数的最大公因数用小括号表示，例如：12和18的最大公因数是6，写作 (12, 18) = 6。 知识点七：最小公倍数。 1. 最小公倍数的定义。 两个或多个数公有的倍数，叫做它们的公倍数，其中最小的一个叫做它们的最小公倍数。 2. 求最小公倍数的方法。 （1）列举法 分别列出两数的倍数，找到最小的公共倍数 （2）短除法 用两数的公约数连续除，直到商互质，所有除数与商的乘积即为最小公倍数。 （短除法的口诀：求最大公因乘一边，求最小公倍乘一圈。） （3）分解质因数法 将数分解为质因数乘积形式，取共有质因数的最多个数的乘积。 （4）互质关系 若两个数是互质数，即只有公因数1，则它们的最大公因数是两数的乘积。 （5）倍数关系 当两个整数呈现出倍数关系时，其中较大的数即为最大公因数。 3. 注意。 求两个数的最小公倍数用中括号表示，例如：12和18的最小公倍数是36，写作 [12, 18] = 36。 【第一部分】基本知识与基本应用 【高频考题01】因数与倍数的认识。 1．根据32÷8＝4，( )是( )的因数；( )是( )的倍数。 2．数a的最大因数与它的最小倍数之和是( )。 【高频考题02】因数与倍数的求法和特征。 1．20的因数有( )，50以内6的倍数有( )。 2．24的因数有( )个，其中最大的因数是( )；24的倍数有( )个，其中最小的倍数是( )。 3．一个数的最大因数与最小倍数的积是36，这个数是( )，这个数的因数有( )。 【高频考题03】2、5的倍数特征。 1．把下列各数按要求填在横线上。 914       52       40       23       45       58   245       536      221      98       100      66 5的倍数有： 。 2的倍数有： 。 2．59□既是2的倍数，又是5的倍数，□里可填( )。 【高频考题04】奇数与偶数。 1．写出124后面的3个连续的奇数：( )、( )、( )。 2．三个连续奇数的和是177，其中最小的数是( )，最大的数是( )。 3．三个连续偶数的和是3m，则最大最小这两个数分别是( )和( )。 【高频考题05】3的倍数特征。 1．一个数是24的因数，同时也是3的倍数，这个数可能是( )或( )。 2．要使17□50能同时被2、3、5整除，□里最大能填( )。 3．能同时被2、3、5整除的最大两位数是( )，最大三位数是( )。 【高频考题06】质数与合数。 1．非0自然数中，( )既不是质数也不是合数，最小的质数是( )，最小的合数是( )。 2．在括号里填上合适的质数： 22＝( )＋( )；26＝( )＋( )＋( )。 【高频考题07】最大公因数。 1．如果A＝2×2×5，B＝2×3×5，那么A和B的最大公因数是( )。 2．已知ab＝c（a、b、c均为正整数），那么a和c的最大公因数是( )。 3．求下列各组数的最大公因数。 36和48         42和56         12，15和18 【高频考题08】最小公倍数。 1．，，和的最大公因数是( )，最小公倍数是( )。 2．a÷b＝15（a、b是不为0的自然数且b≠1），那么a和15的最大公因数是( )，最小公倍数是( )。 3．写出下面每组数的最小公倍数。 14和20          18和90            48和64 【第二部分】综合应用与解决问题 【高频考题01】猜数问题。 1．洪老师家的电话号码从左往右的数字依次是：①既是奇数又是合数的数；②既不是质数，也不是合数；③既是质数，又是偶数；④10以内最大的质数；⑤最小的合数；⑥最小奇数的5倍；⑦有因数3的偶数。 聪明的同学，你知道洪老师家的电话号码是多少吗？ 2．小明给自己的行李箱设置了四位数的简易密码，其中第一位数是最小的合数，第二位数是最小的偶数，第三位数是6的1.5倍，第四位数既不是质数也不是合数。行李箱的密码是多少？ 【高频考题02】因数与倍数、奇数与偶数、质数与合数的实际应用。 1．李文在新华书店用100元买了几本单价为5元一本和10元一本的书，找回了36元，请你帮李文算一算，钱找对了吗？ 2．水果店运来250千克水果，如果每20千克装一箱，能正好装完吗？如果每50千克装一箱，能正好装完吗？为什么？ 3．新年到了，妈妈准备用某聊天软件给姐姐和弟弟共发100元的红包。 （1）如果弟弟收到的红包钱数为奇数，姐姐收到的红包钱数为奇数还是偶数？ （2）如果弟弟收到的红包钱数为偶数，姐姐收到的红包钱数为奇数还是偶数？ 4．一个长方形的长和宽都是质数，它的周长是32厘米。这个长方形的面积可能是多少平方厘米？ 【高频考题03】分解质因数。 1．能被2、3整除的最小三位数是( )，把它分解质因数是( )。 2．一个数的最大因数是20，这个数是( )，把它分解质因数( )，它的因数有( )，其中奇数( )，合数有( )。 3．一个两位数，十位上的数字是最小的合数，个位上的数字既是质数又是偶数，这个两位数是( )，把它分解质因数是( )。 【高频考题04】最大公因数的实际应用。 1．学校要把48本《红色革命故事》和64本《雷锋日记》平均分给若干名同学。如果《红色革命故事》和《雷锋日记》都不要有剩余，且保证分到《红色革命故事》和《雷锋日记》的同学人数相同，最多能分给多少名同学？ 2．有一张长方形纸，长60厘米、宽50厘米，如果要剪成若干张同样大小的正方形纸片而没有剩余。剪出的正方形的边长最大是几厘米？ 3．用正方形地砖铺一间长2.7米，宽2.4米的房间，要使用的地砖都是整块的，最大可以用边长多少分米的地砖？要用这样的地砖多少块？ 【高频考题05】最小公倍数的实际应用。 1．实验小学准备选派五年级的一些同学参加公益活动，要求人数在30－50之间，把这些同学按8人一组或12人一组分都能正好分完。参加这次公益活动的同学有多少人？ 2．暑假期间，乐乐每6天游泳一次，小军每8天游泳一次。7月30日两人在游泳馆相遇，8月几日他们再次在游泳馆相遇？ 3．一个走廊长48米，每隔4米放一盆花（两端都放），一共需要放多少盆花？如果改成6米放一盆花，中间几米处的那几盆花不需要挪动？ 4．中秋节到来之际，为了弘扬传统文化，实验小学开展了以“我们的节日中秋”为主题的活动，其中一项活动是拔河比赛。五年级参加拔河比赛的学生在20到30人之间，赛前预演时，无论4人一组或6人一组都剩余3人，请问五年级参加拔河比赛的学生有多少人？ 一、填空题。 1．（2024·安徽六安·期末）在15，7，1，4，20，19，36，41这些数中，奇数有( )，偶数有( )，5的倍数有( )。 2．（2024·江苏·期末）5和10的最大公因数是( )，最小公倍数是( )。 3．（2024·安徽滁州·期末）一个数的最小倍数是36，把这个数分解质因数是( )，这个数的因数一共有( )。 4．（2024·安徽六安·期末）奇思和妙想围着圆形花坛晨练。奇思走一圈用6分，妙想走一圈用8分。他们同时从A点出发，( )分后在A点第一次相遇。 二、选择题。 5．（2024·江苏连云港·期末）1~20的自然数中有( )个合数。 A．8 B．9 C．10 D．11 6．（2024·贵州贵阳·期末）下面四种说法不正确的有( )个。 ①最小的质数和最小的合数的最大公因数是1 ②互质的两个数的最大公因数是1 ③两个数的公因数的个数是有限的 ④两个合数的最大公因数不可能是1 A．1 B．2 C．3 7．（2024·江苏淮安·期末）下面几组数中互质的是( )。 A．12和13 B．17和51 C．3和9 D．12和18 8．（2024·江苏连云港·期末）用数字0、1、5、8组成两位数，组成的数中既是2的倍数，也是5的倍数，有( )个。 A．3 B．4 C．6 D．9 三、计算题。 9．（2023·江苏淮安·期末）用短除法求出每组数的最大公因数和最小公倍数。 18和45        120和48        64和144 四、解答题。 10．（2024·贵州毕节·期末）体育课上，为了使队形整齐，要求站队时每行人数都相等。五一班有32名同学，可以排几行？共有几种站队的方法？（每行或每列不少于2人） 11．（2024·江苏淮安·期末）工地上有两根钢管，一根长36分米，另一根长63分米。因施工需要，把它们都锯成长度相等的小段，每段要尽可能长，且没有剩余。每段钢管长多少分米？一共能锯成多少段？ 12．（2024·安徽合肥·期末）在城市较高建筑物的顶端应当设置航空障碍灯，通过间隔一段时间闪光的方式提醒过往飞机。一天晚上，小兰观察高楼上的障碍灯，发现第一盏灯每2秒闪一次，第二盏灯每3秒闪一次，第三盏灯每5秒闪一次，从某次三盏灯同时闪了之后开始计时，到2分钟结束时，三盏灯同时又闪了多少次？ 13．（2024·山西大同·期末）五（1）班的同学分组合作学习，每4人一组多1人，每5人一组多1人，每8人一组也多1人。五（1）班至少有多少人？ 第 1 页 共 6 页 学科网（北京）股份有限公司 $$第 1 页 共 16 页 篇首寄语 我们每位老师都希望把最好的教学资料留给学生使用，所以在平时教学时， 能够快速找到高质量、高效率、高标准的资料显得十分重要。编者以前常常游走 于各大学习网站寻找自己所需的资料，可却总在花费大量时间与精力后才能找到 自己心仪的那份，这样费时费力不讨好，实在有些苦恼。正因如此，每次在寻找 资料时，编者就会想，如果是自己来创作一份资料那又该如何呢？那么这份资料 应该首先满足自身教学需要，并达到我的高标准要求，然后才能为他人提供参考。 于是，本着这样的想法，在结合自身教学需求和学生实际情况后，最终酝酿出了 一个既适宜课堂教学，又适应课后作业，还适合阶段复习的大综合系列。 《2024-2025学年五年级数学下册典型例题系列「2025版」》，它基于教材 知识和常年真题进行总结与编辑，该系列主要分为典型例题篇、专项练习篇、单 元复习篇、思维素养篇、分层试卷篇等五个部分。 1.典型例题篇，按照单元顺序进行编辑，主要分为计算和应用两大部分，其 优点在于考题典型，考点丰富，变式多样。 2.专项练习篇，从高频考题和期末真题中选取专项练习，其优点在于选题经 典，题型多样，题量适中。 3.单元复习篇，汇集系列精华，高效助力单元复习，其优点在于综合全面， 精练高效，实用性强。 4.思维素养篇，新的学年，新的篇章，从课本到奥数，从方法到思维，从基 础技能到核心素养，其优点在于由浅入深，思维核心，方法易懂。 5.分层试卷篇，根据试题难度和水平，主要分为 A卷·基础巩固卷、B卷·素 养提高卷、C卷·思维拓展卷，其优点在于考点广泛，分层明显，适应性广。 时光荏苒，转眼之间，《典型例题系列》已经历三个学年三个版本，在过去， 它扬长补短，去粗取精，日臻完善；在未来，它承前启后，不断发展，未有竟时。 黄金无足色，白璧有微瑕，如果您在使用资料的过程中有任何宝贵意见，请 留言于我，欢迎您的使用，感谢您的支持！ 101 数学创作社 2025 年 1 月 9 日 第 2 页 共 16 页 2024-2025 学年五年级数学下册典型例题系列「2025 版」 第三单元因数与倍数·单元复习篇【四大篇章】 知识点一：因数与倍数。 1. 因数与倍数的定义。 在整数除法中，如果商是整数而没有余数，我们就说被除数是除数的倍数，除数 和商是被除数的因数。 例如：12÷2=6，12是 6的倍数，6是 12的因数；a×b=c(a、b、c都是不为 0的整 数)，那么 a是 c的因数，b也是 c的因数；c是 a的倍数，c也是 b的倍数。 2. 找一个数的因数的方法。 （1）列乘法算式找，有序地写出两个自然数相乘得这个数的所有乘法算式，两 个因数都是这个数的因数。 （2）列除法算式找，有序地写出这个数被整除的所有除法算式，除数和商都是 这个数的因数。 3. 因数的特征。 一个数的因数的个数是有限的，其中最小的因数是 1，最大的因数是它本身。 4. 找一个数的倍数的方法。 （1）列乘法算式找，用这个数依次与非 0自然数相乘，所得的积就是这个数的 第 3 页 共 16 页 倍数。 （2）列除法算式找，看哪些数除以这个数，商是整数而无余数，这些数就是这 个数的倍数。 5. 倍数的特征。 一个数的倍数的个数是无限的，其中最小的倍数是它本身。 注意：一个非零自然数的最大因数与最小倍数是相等的且都等于它本身。 知识点二：2、5、3 的倍数特征。 1. 2的倍数特征。 个位上是 0、2、4、6、8的数是 2的倍数。 2. 5的倍数特征。 个位上是 0或 5的数是 5的倍数。 3. 3的倍数的特征。 一个数各位上的数的和是 3的倍数，这个数就是 3的倍数。 4. 2、5、3倍数特征之间的联系。 知识点三：奇数与偶数。 1. 偶数。 能被 2整除的数就叫偶数（俗称双数），习惯用 2n表示。 2. 奇数。 不能被 2整除的数就叫奇数（俗称单数），习惯用 2n－1表示。 第 4 页 共 16 页 3. 奇数与偶数的运算性质。 加法。 (1)奇数+偶数=奇数 (2)奇数+奇数=偶数 (3)偶数+偶数=偶数 (4)相邻两个自然数的和是奇数，相邻四个自然数的和是偶数。 减法。 奇数－奇数=偶数 奇数－偶数=奇数 偶数－奇数=奇数 偶数－偶数=偶数 乘法。 (1)奇数×偶数=偶数 (2)奇数×奇数=奇数 (3)偶数×偶数=偶数 知识点四：质数与合数。 1. 质数（素数）。 一个数，如果只有 1和它本身两个因数，那么这样的数叫做质数（或素数）。 例如：20以内的质数有 2，3，5，7，11，13，17，19。 注意： ①质数只有两个因数，一个质数的最小因数是 1，最大因数是它本身。 ②最小的质数是 2，没有最大的质数。 2. 合数。 一个数，如果除了 1和它本身还有别的因数，那么这样的数叫做合数。 例如：20以内的合数有 4，6，8，9，10，12，14，15，16，18。 注意： ①合数质数至少有三个因数，一个合数的最小因数是 1，最大因数是它本身。 ②最小的合数是 4，没有最大的合数。 3. 注意。 第 5 页 共 16 页 （1）0、1既不是质数，也不是合数。 （2）100以内的质数 2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、 47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97，共 25个。 知识点五：分解质因数。 1. 分解质因数。 就是把一个合数用几个质数乘积的形式表示出来。 例：15=3×5，24=2×2×2×3，这就是分解质因数。 2. 注意。 分解质因数是解决数论最有效最直接的途径。 知识点六：最大公因数。 1. 最大公因数的定义。 两个或多个整数公有的因数叫做这几个数的公因数，其中最大的一个叫做这几个 数的最大公因数。 2. 求最大公因数的方法。 （1）列举法（枚举法） 列出所有的因数，找出共有因数中的最大值。 （2）短除法 用公有的质因数连续去除，直到商互质，所有除数的乘积即为最大公因数。 （短除法的口诀：求最大公因乘一边，求最小公倍乘一圈。） （3）分解质因数法 将数分解为质因数乘积形式，取共有质因数的最少个数的乘积。 （4）互质关系 若两个数是互质数，即只有公因数 1，则它们的最大公因数是 1。 （5）倍数关系 当两个整数呈现出倍数关系时，其中较小的数即为最大公因数。 3. 注意。 求两个数的最大公因数用小括号表示，例如：12和 18的最大公因数是 6，写作 (12, 18) = 6。 知识点七：最小公倍数。 第 6 页 共 16 页 1. 最小公倍数的定义。 两个或多个数公有的倍数，叫做它们的公倍数，其中最小的一个叫做它们的最小 公倍数。 2. 求最小公倍数的方法。 （1）列举法 分别列出两数的倍数，找到最小的公共倍数 （2）短除法 用两数的公约数连续除，直到商互质，所有除数与商的乘积即为最小公倍数。 （短除法的口诀：求最大公因乘一边，求最小公倍乘一圈。） （3）分解质因数法 将数分解为质因数乘积形式，取共有质因数的最多个数的乘积。 （4）互质关系 若两个数是互质数，即只有公因数 1，则它们的最大公因数是两数的乘积。 （5）倍数关系 当两个整数呈现出倍数关系时，其中较大的数即为最大公因数。 3. 注意。 求两个数的最小公倍数用中括号表示，例如：12 和 18的最小公倍数是 36，写 作 [12, 18] = 36。 【第一部分】基本知识与基本应用 【高频考题 01】因数与倍数的认识。 1．根据 32÷8＝4，( )是( )的因数；( )是( )的倍 数。 【答案】 8 32 32 8 2．数 a的最大因数与它的最小倍数之和是( )。 【答案】2a 第 7 页 共 16 页 【高频考题 02】因数与倍数的求法和特征。 1．20的因数有( )，50以内 6的倍数有 ( )。 【答案】 1，2，4，5，10，20 6，12，18，24，30，36，42，48 2．24的因数有( )个，其中最大的因数是( )；24的倍数有 ( )个，其中最小的倍数是( )。 【答案】 8 24 无数 24 3．一个数的最大因数与最小倍数的积是 36，这个数是( )，这个数的因 数有( )。 【答案】 6 1，2，3，6 【高频考题 03】2、5 的倍数特征。 1．把下列各数按要求填在横线上。 914 52 40 23 45 58 245 536 221 98 100 66 5的倍数有： 。 2的倍数有： 。 【答案】 40、45、245、100 914、52、40、58、536、98、100、66 2．59□既是 2的倍数，又是 5的倍数，□里可填( )。 【答案】0 【高频考题 04】奇数与偶数。 1．写出 124后面的 3个连续的奇数：( )、( )、( )。 【答案】 125 127 129 2．三个连续奇数的和是 177，其中最小的数是( )，最大的数是( )。 【答案】 57 61 3．三个连续偶数的和是 3m，则最大最小这两个数分别是( )和( )。 【答案】 m＋2 m－2 【高频考题 05】3 的倍数特征。 1．一个数是 24的因数，同时也是 3的倍数，这个数可能是( )或( )。 第 8 页 共 16 页 【答案】 3、6 12、24 2．要使 17□50能同时被 2、3、5整除，□里最大能填( )。 【答案】8 3．能同时被 2、3、5整除的最大两位数是( )，最大三位数是( )。 【答案】 90 990 【高频考题 06】质数与合数。 1．非 0自然数中，( )既不是质数也不是合数，最小的质数是( )， 最小的合数是( )。 【答案】 1 2 4 2．在括号里填上合适的质数： 22＝( )＋( )；26＝( )＋( )＋( )。 【答案】 17 5 13 11 2 【高频考题 07】最大公因数。 1．如果 A＝2×2×5，B＝2×3×5，那么 A和 B的最大公因数是( )。 【答案】10 2．已知 ab＝c（a、b、c均为正整数），那么 a和 c的最大公因数是( )。 【答案】a 3．求下列各组数的最大公因数。 36和 48 42和 56 12，15和 18 【答案】12；14；3 【高频考题 08】最小公倍数。 1． 3 5m   ， 2 5 11n    ，m和n的最大公因数是( )，最小公倍数是 ( )。 【答案】 5 330 2．a÷b＝15（a、b是不为0的自然数且b≠1），那么a和15的最大公因数是( )， 最小公倍数是( )。 【答案】 15 a 3．写出下面每组数的最小公倍数。 第 9 页 共 16 页 14和 20 18和 90 48和 64 【答案】140；90；192 【第二部分】综合应用与解决问题 【高频考题 01】猜数问题。 1．洪老师家的电话号码从左往右的数字依次是：①既是奇数又是合数的数；② 既不是质数，也不是合数；③既是质数，又是偶数；④10以内最大的质数；⑤ 最小的合数；⑥最小奇数的 5倍；⑦有因数 3的偶数。 聪明的同学，你知道洪老师家的电话号码是多少吗？ 【答案】9127456 2．小明给自己的行李箱设置了四位数的简易密码，其中第一位数是最小的合数， 第二位数是最小的偶数，第三位数是 6的 1.5倍，第四位数既不是质数也不是合 数。行李箱的密码是多少？ 【答案】4091 【高频考题 02】因数与倍数、奇数与偶数、质数与合数的实际应 用。 1．李文在新华书店用 100元买了几本单价为 5元一本和 10元一本的书，找回了 36元，请你帮李文算一算，钱找对了吗？ 【答案】不对，两本书的价格都是 5的倍数，所以找回的钱也应该是 5的倍数， 36不是 5的倍数，所以钱找的不对。 2．水果店运来 250千克水果，如果每 20千克装一箱，能正好装完吗？如果每 50千克装一箱，能正好装完吗？为什么？ 【答案】每 20千克装一箱，不能正好装完；每 50千克装一箱，能正好装完 3．新年到了，妈妈准备用某聊天软件给姐姐和弟弟共发 100元的红包。 （1）如果弟弟收到的红包钱数为奇数，姐姐收到的红包钱数为奇数还是偶数？ （2）如果弟弟收到的红包钱数为偶数，姐姐收到的红包钱数为奇数还是偶数？ 【答案】（1）奇数 第 10 页 共 16 页 （2）偶数 4．一个长方形的长和宽都是质数，它的周长是 32厘米。这个长方形的面积可能 是多少平方厘米？ 【答案】 32÷2＝16（厘米） 16＝3＋13，16＝5＋11 3×13＝39（平方厘米） 5×11＝55（平方厘米） 答：这个长方形的面积可能是 39或 55平方厘米。 【高频考题 03】分解质因数。 1．能被 2、3整除的最小三位数是( )，把它分解质因数是 ( )。 【答案】 102 102＝2×3×17 2．一个数的最大因数是 20，这个数是( )，把它分解质因数 ( )，它的因数有( )，其中奇数( )，合数有 ( )。 【答案】20 20＝2×2×5 1、2、4、5、10、20 1、5 4、10、20 3．一个两位数，十位上的数字是最小的合数，个位上的数字既是质数又是偶数， 这个两位数是( )，把它分解质因数是( )。 【答案】 42 42＝2×3×7 【高频考题 04】最大公因数的实际应用。 1．学校要把 48本《红色革命故事》和 64本《雷锋日记》平均分给若干名同学。 如果《红色革命故事》和《雷锋日记》都不要有剩余，且保证分到《红色革命故 事》和《雷锋日记》的同学人数相同，最多能分给多少名同学？ 【答案】 48＝2×2×2×2×3 64＝2×2×2×2×2×2 48和 64的最大公因数＝2×2×2×2＝16 当学生人数为 16人时，书没有剩余。 第 11 页 共 16 页 答：最多能分给 16名同学。 2．有一张长方形纸，长 60厘米、宽 50厘米，如果要剪成若干张同样大小的正 方形纸片而没有剩余。剪出的正方形的边长最大是几厘米？ 【答案】 60＝2×2×3×5 50＝2×5×5 60和 50的最大公因数是：5×2＝10 即正方形的边长最大是 10厘米。 答：剪出的正方形的边长最大是 10厘米。 3．用正方形地砖铺一间长 2.7米，宽 2.4米的房间，要使用的地砖都是整块的， 最大可以用边长多少分米的地砖？要用这样的地砖多少块？ 【答案】 2.7米＝27分米 2.4米＝24分米 27和 24的最大公因数是 3。 （27÷3）×（24÷3） ＝9×8 ＝72（块） 答：最大可以用边长 3分米的地砖，要用这样的地砖 72块。 【高频考题 05】最小公倍数的实际应用。 1．实验小学准备选派五年级的一些同学参加公益活动，要求人数在 30－50之间， 把这些同学按 8人一组或 12人一组分都能正好分完。参加这次公益活动的同学 有多少人？ 第 12 页 共 16 页 【答案】 8＝2×2×2 12＝2×2×3 2×2×2×3＝24（人） 24×2＝48（人） 30＜48＜50 答：参加这次公益活动的同学有 48人。 2．暑假期间，乐乐每 6天游泳一次，小军每 8天游泳一次。7月 30日两人在游 泳馆相遇，8月几日他们再次在游泳馆相遇？ 【答案】 2 3 4  6 4  24 6和 8的最小公倍数是 24，所以他们每隔 24天见一次面； 7月还有：31－30＝1（天） 8月还要：24－1＝23（天） 即 7月 30日再过 24天是 8月 23日； 答：8月 23日他们再次在游泳馆相遇。 3．一个走廊长 48米，每隔 4米放一盆花（两端都放），一共需要放多少盆花？ 如果改成 6米放一盆花，中间几米处的那几盆花不需要挪动？ 【答案】 48÷4＋1 ＝12＋1 ＝13（盆） 4＝2×2 6＝2×3 4和 6的最小公倍数是：2×2×3＝12 第 13 页 共 16 页 48以内 12的倍数有：12，24，36。 即中间 12米、24米、36米处的那 3盆花不需要挪动。 答：一共需要放 13盆花。如果改成 6米放一盆花，中间 12米、24米、36米处 的那 3盆花不需要挪动。 4．中秋节到来之际，为了弘扬传统文化，实验小学开展了以“我们的节日中秋” 为主题的活动，其中一项活动是拔河比赛。五年级参加拔河比赛的学生在 20到 30人之间，赛前预演时，无论 4人一组或 6人一组都剩余 3人，请问五年级参 加拔河比赛的学生有多少人？ 【答案】 4＝2×2 6＝2×3 4人和 6人的最小公倍数是 2×2×3＝12 因为五年级参加拔河比赛的学生在 20－30人之间，所以 12×2＝24（人） 24＋3＝27（人） 答：五年级参加划旱地龙舟的学生有 27人。 第 14 页 共 16 页 一、填空题。 1．（2024·安徽六安·期末）在 15，7，1，4，20，19，36，41这些数中，奇数 有( )，偶数有( )，5的倍数有( )。 【答案】 15，7，1，19，41 4，20，36 15，20 2．（2024·江苏·期末）5和 10的最大公因数是( )，最小公倍数是( )。 【答案】 5 10 3．（2024·安徽滁州·期末）一个数的最小倍数是 36，把这个数分解质因数是 ( )，这个数的因数一共有( )。 【答案】 36＝2×2×3×3 9个 4．（2024·安徽六安·期末）奇思和妙想围着圆形花坛晨练。奇思走一圈用 6分， 妙想走一圈用 8分。他们同时从 A点出发，( )分后在 A点第一次相遇。 【答案】24 二、选择题。 5．（2024·江苏连云港·期末）1~20的自然数中有( )个合数。 A．8 B．9 C．10 D．11 【答案】D 6．（2024·贵州贵阳·期末）下面四种说法不正确的有( )个。 ①最小的质数和最小的合数的最大公因数是 1 ②互质的两个数的最大公因数是 1 ③两个数的公因数的个数是有限的 ④两个合数的最大公因数不可能是 1 A．1 B．2 C．3 【答案】B 7．（2024·江苏淮安·期末）下面几组数中互质的是( )。 A．12和 13 B．17和 51 C．3和 9 D．12和 18 【答案】A 8．（2024·江苏连云港·期末）用数字 0、1、5、8组成两位数，组成的数中既是 第 15 页 共 16 页 2的倍数，也是 5的倍数，有( )个。 A．3 B．4 C．6 D．9 【答案】A 三、计算题。 9．（2023·江苏淮安·期末）用短除法求出每组数的最大公因数和最小公倍数。 18和 45 120和 48 64和 144 【答案】9，90；24，240；16，576 四、解答题。 10．（2024·贵州毕节·期末）体育课上，为了使队形整齐，要求站队时每行人数 都相等。五一班有 32名同学，可以排几行？共有几种站队的方法？（每行或每 列不少于 2人） 【答案】 32＝1×32＝2×16＝4×8 因为每行或每列不少于 2人，所以 1×32、2×16不符合题意，所以有两种站队方 法：①4行 8列，②8行 4列。 答：可以排 4行或 8行，共有 2种站队的方法。 11．（2024·江苏淮安·期末）工地上有两根钢管，一根长 36分米，另一根长 63 分米。因施工需要，把它们都锯成长度相等的小段，每段要尽可能长，且没有剩 余。每段钢管长多少分米？一共能锯成多少段？ 【答案】 36＝2×2×3×3 63＝3×3×7 36和 63的最大公因数 3×3＝9 36÷9＋63÷9 ＝4＋7 ＝11（段） 答：每段钢管长 9分米，一共能锯成 11段。 12．（2024·安徽合肥·期末）在城市较高建筑物的顶端应当设置航空障碍灯，通 过间隔一段时间闪光的方式提醒过往飞机。一天晚上，小兰观察高楼上的障碍灯， 第 16 页 共 16 页 发现第一盏灯每 2秒闪一次，第二盏灯每 3秒闪一次，第三盏灯每 5秒闪一次， 从某次三盏灯同时闪了之后开始计时，到 2分钟结束时，三盏灯同时又闪了多少 次？ 【答案】 2，3，5的最小公倍数是 2×3×5＝30，所以这三盏灯每隔 30秒同时闪动一次。 2分＝120秒 120÷30＝4（次） 答：到 2分钟结束时，三盏灯同时又闪了 4次。 13．（2024·山西大同·期末）五（1）班的同学分组合作学习，每 4人一组多 1 人，每 5人一组多 1人，每 8人一组也多 1人。五（1）班至少有多少人？ 【答案】 4＝2×2 5的质因数只有 5。 8＝2×2×2 则 4、5、8的最小公倍数是 2×2×5×2＝40。 40＋1＝41（人） 答：五（1）班至少有 41人。 第 1 页 共 13 页 篇首寄语 我们每位老师都希望把最好的教学资料留给学生使用，所以在平时教学时， 能够快速找到高质量、高效率、高标准的资料显得十分重要。编者以前常常游走 于各大学习网站寻找自己所需的资料，可却总在花费大量时间与精力后才能找到 自己心仪的那份，这样费时费力不讨好，实在有些苦恼。正因如此，每次在寻找 资料时，编者就会想，如果是自己来创作一份资料那又该如何呢？那么这份资料 应该首先满足自身教学需要，并达到我的高标准要求，然后才能为他人提供参考。 于是，本着这样的想法，在结合自身教学需求和学生实际情况后，最终酝酿出了 一个既适宜课堂教学，又适应课后作业，还适合阶段复习的大综合系列。 《2024-2025学年五年级数学下册典型例题系列「2025版」》，它基于教材 知识和常年真题进行总结与编辑，该系列主要分为典型例题篇、专项练习篇、单 元复习篇、思维素养篇、分层试卷篇等五个部分。 1.典型例题篇，按照单元顺序进行编辑，主要分为计算和应用两大部分，其 优点在于考题典型，考点丰富，变式多样。 2.专项练习篇，从高频考题和期末真题中选取专项练习，其优点在于选题经 典，题型多样，题量适中。 3.单元复习篇，汇集系列精华，高效助力单元复习，其优点在于综合全面， 精练高效，实用性强。 4.思维素养篇，新的学年，新的篇章，从课本到奥数，从方法到思维，从基 础技能到核心素养，其优点在于由浅入深，思维核心，方法易懂。 5.分层试卷篇，根据试题难度和水平，主要分为 A卷·基础巩固卷、B卷·素 养提高卷、C卷·思维拓展卷，其优点在于考点广泛，分层明显，适应性广。 时光荏苒，转眼之间，《典型例题系列》已经历三个学年三个版本，在过去， 它扬长补短，去粗取精，日臻完善；在未来，它承前启后，不断发展，未有竟时。 黄金无足色，白璧有微瑕，如果您在使用资料的过程中有任何宝贵意见，请 留言于我，欢迎您的使用，感谢您的支持！ 101 数学创作社 2025 年 1 月 9 日 第 2 页 共 13 页 2024-2025 学年五年级数学下册典型例题系列「2025 版」 第三单元因数与倍数·单元复习篇【四大篇章】 知识点一：因数与倍数。 1. 因数与倍数的定义。 在整数除法中，如果商是整数而没有余数，我们就说被除数是除数的倍数，除数 和商是被除数的因数。 例如：12÷2=6，12是 6的倍数，6是 12的因数；a×b=c(a、b、c都是不为 0的整 数)，那么 a是 c的因数，b也是 c的因数；c是 a的倍数，c也是 b的倍数。 2. 找一个数的因数的方法。 （1）列乘法算式找，有序地写出两个自然数相乘得这个数的所有乘法算式，两 个因数都是这个数的因数。 （2）列除法算式找，有序地写出这个数被整除的所有除法算式，除数和商都是 这个数的因数。 3. 因数的特征。 一个数的因数的个数是有限的，其中最小的因数是 1，最大的因数是它本身。 4. 找一个数的倍数的方法。 （1）列乘法算式找，用这个数依次与非 0自然数相乘，所得的积就是这个数的 第 3 页 共 13 页 倍数。 （2）列除法算式找，看哪些数除以这个数，商是整数而无余数，这些数就是这 个数的倍数。 5. 倍数的特征。 一个数的倍数的个数是无限的，其中最小的倍数是它本身。 注意：一个非零自然数的最大因数与最小倍数是相等的且都等于它本身。 知识点二：2、5、3 的倍数特征。 1. 2的倍数特征。 个位上是 0、2、4、6、8的数是 2的倍数。 2. 5的倍数特征。 个位上是 0或 5的数是 5的倍数。 3. 3的倍数的特征。 一个数各位上的数的和是 3的倍数，这个数就是 3的倍数。 4. 2、5、3倍数特征之间的联系。 知识点三：奇数与偶数。 1. 偶数。 能被 2整除的数就叫偶数（俗称双数），习惯用 2n表示。 2. 奇数。 不能被 2整除的数就叫奇数（俗称单数），习惯用 2n－1表示。 第 4 页 共 13 页 3. 奇数与偶数的运算性质。 加法。 (1)奇数+偶数=奇数 (2)奇数+奇数=偶数 (3)偶数+偶数=偶数 (4)相邻两个自然数的和是奇数，相邻四个自然数的和是偶数。 减法。 奇数－奇数=偶数 奇数－偶数=奇数 偶数－奇数=奇数 偶数－偶数=偶数 乘法。 (1)奇数×偶数=偶数 (2)奇数×奇数=奇数 (3)偶数×偶数=偶数 知识点四：质数与合数。 1. 质数（素数）。 一个数，如果只有 1和它本身两个因数，那么这样的数叫做质数（或素数）。 例如：20以内的质数有 2，3，5，7，11，13，17，19。 注意： ①质数只有两个因数，一个质数的最小因数是 1，最大因数是它本身。 ②最小的质数是 2，没有最大的质数。 2. 合数。 一个数，如果除了 1和它本身还有别的因数，那么这样的数叫做合数。 例如：20以内的合数有 4，6，8，9，10，12，14，15，16，18。 注意： ①合数质数至少有三个因数，一个合数的最小因数是 1，最大因数是它本身。 ②最小的合数是 4，没有最大的合数。 3. 注意。 第 5 页 共 13 页 （1）0、1既不是质数，也不是合数。 （2）100以内的质数 2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、 47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97，共 25个。 知识点五：分解质因数。 1. 分解质因数。 就是把一个合数用几个质数乘积的形式表示出来。 例：15=3×5，24=2×2×2×3，这就是分解质因数。 2. 注意。 分解质因数是解决数论最有效最直接的途径。 知识点六：最大公因数。 1. 最大公因数的定义。 两个或多个整数公有的因数叫做这几个数的公因数，其中最大的一个叫做这几个 数的最大公因数。 2. 求最大公因数的方法。 （1）列举法（枚举法） 列出所有的因数，找出共有因数中的最大值。 （2）短除法 用公有的质因数连续去除，直到商互质，所有除数的乘积即为最大公因数。 （短除法的口诀：求最大公因乘一边，求最小公倍乘一圈。） （3）分解质因数法 将数分解为质因数乘积形式，取共有质因数的最少个数的乘积。 （4）互质关系 若两个数是互质数，即只有公因数 1，则它们的最大公因数是 1。 （5）倍数关系 当两个整数呈现出倍数关系时，其中较小的数即为最大公因数。 3. 注意。 求两个数的最大公因数用小括号表示，例如：12和 18的最大公因数是 6，写作 (12, 18) = 6。 知识点七：最小公倍数。 第 6 页 共 13 页 1. 最小公倍数的定义。 两个或多个数公有的倍数，叫做它们的公倍数，其中最小的一个叫做它们的最小 公倍数。 2. 求最小公倍数的方法。 （1）列举法 分别列出两数的倍数，找到最小的公共倍数 （2）短除法 用两数的公约数连续除，直到商互质，所有除数与商的乘积即为最小公倍数。 （短除法的口诀：求最大公因乘一边，求最小公倍乘一圈。） （3）分解质因数法 将数分解为质因数乘积形式，取共有质因数的最多个数的乘积。 （4）互质关系 若两个数是互质数，即只有公因数 1，则它们的最大公因数是两数的乘积。 （5）倍数关系 当两个整数呈现出倍数关系时，其中较大的数即为最大公因数。 3. 注意。 求两个数的最小公倍数用中括号表示，例如：12 和 18的最小公倍数是 36，写 作 [12, 18] = 36。 【第一部分】基本知识与基本应用 【高频考题 01】因数与倍数的认识。 1．根据 32÷8＝4，( )是( )的因数；( )是( )的倍 数。 2．数 a的最大因数与它的最小倍数之和是( )。 【高频考题 02】因数与倍数的求法和特征。 1．20的因数有( )，50以内 6的倍数有 ( )。 第 7 页 共 13 页 2．24的因数有( )个，其中最大的因数是( )；24的倍数有 ( )个，其中最小的倍数是( )。 3．一个数的最大因数与最小倍数的积是 36，这个数是( )，这个数的因 数有( )。 【高频考题 03】2、5 的倍数特征。 1．把下列各数按要求填在横线上。 914 52 40 23 45 58 245 536 221 98 100 66 5的倍数有： 。 2的倍数有： 。 2．59□既是 2的倍数，又是 5的倍数，□里可填( )。 【高频考题 04】奇数与偶数。 1．写出 124后面的 3个连续的奇数：( )、( )、( )。 2．三个连续奇数的和是 177，其中最小的数是( )，最大的数是( )。 3．三个连续偶数的和是 3m，则最大最小这两个数分别是( )和( )。 【高频考题 05】3 的倍数特征。 1．一个数是 24的因数，同时也是 3的倍数，这个数可能是( )或( )。 2．要使 17□50能同时被 2、3、5整除，□里最大能填( )。 3．能同时被 2、3、5整除的最大两位数是( )，最大三位数是( )。 【高频考题 06】质数与合数。 1．非 0自然数中，( )既不是质数也不是合数，最小的质数是( )， 最小的合数是( )。 2．在括号里填上合适的质数： 22＝( )＋( )；26＝( )＋( )＋( )。 【高频考题 07】最大公因数。 1．如果 A＝2×2×5，B＝2×3×5，那么 A和 B的最大公因数是( )。 2．已知 ab＝c（a、b、c均为正整数），那么 a和 c的最大公因数是( )。 3．求下列各组数的最大公因数。 第 8 页 共 13 页 36和 48 42和 56 12，15和 18 【高频考题 08】最小公倍数。 1． 3 5m   ， 2 5 11n    ，m和n的最大公因数是( )，最小公倍数是 ( )。 2．a÷b＝15（a、b是不为0的自然数且b≠1），那么a和15的最大公因数是( )， 最小公倍数是( )。 3．写出下面每组数的最小公倍数。 14和 20 18和 90 48和 64 第 9 页 共 13 页 【第二部分】综合应用与解决问题 【高频考题 01】猜数问题。 1．洪老师家的电话号码从左往右的数字依次是：①既是奇数又是合数的数；② 既不是质数，也不是合数；③既是质数，又是偶数；④10以内最大的质数；⑤ 最小的合数；⑥最小奇数的 5倍；⑦有因数 3的偶数。 聪明的同学，你知道洪老师家的电话号码是多少吗？ 2．小明给自己的行李箱设置了四位数的简易密码，其中第一位数是最小的合数， 第二位数是最小的偶数，第三位数是 6的 1.5倍，第四位数既不是质数也不是合 数。行李箱的密码是多少？ 【高频考题 02】因数与倍数、奇数与偶数、质数与合数的实际应 用。 1．李文在新华书店用 100元买了几本单价为 5元一本和 10元一本的书，找回了 36元，请你帮李文算一算，钱找对了吗？ 2．水果店运来 250千克水果，如果每 20千克装一箱，能正好装完吗？如果每 50千克装一箱，能正好装完吗？为什么？ 第 10 页 共 13 页 3．新年到了，妈妈准备用某聊天软件给姐姐和弟弟共发 100元的红包。 （1）如果弟弟收到的红包钱数为奇数，姐姐收到的红包钱数为奇数还是偶数？ （2）如果弟弟收到的红包钱数为偶数，姐姐收到的红包钱数为奇数还是偶数？ 4．一个长方形的长和宽都是质数，它的周长是 32厘米。这个长方形的面积可能 是多少平方厘米？ 【高频考题 03】分解质因数。 1．能被 2、3整除的最小三位数是( )，把它分解质因数是 ( )。 2．一个数的最大因数是 20，这个数是( )，把它分解质因数 ( )，它的因数有( )，其中奇数( )，合数有 ( )。 3．一个两位数，十位上的数字是最小的合数，个位上的数字既是质数又是偶数， 这个两位数是( )，把它分解质因数是( )。 【高频考题 04】最大公因数的实际应用。 1．学校要把 48本《红色革命故事》和 64本《雷锋日记》平均分给若干名同学。 如果《红色革命故事》和《雷锋日记》都不要有剩余，且保证分到《红色革命故 事》和《雷锋日记》的同学人数相同，最多能分给多少名同学？ 2．有一张长方形纸，长 60厘米、宽 50厘米，如果要剪成若干张同样大小的正 方形纸片而没有剩余。剪出的正方形的边长最大是几厘米？ 第 11 页 共 13 页 3．用正方形地砖铺一间长 2.7米，宽 2.4米的房间，要使用的地砖都是整块的， 最大可以用边长多少分米的地砖？要用这样的地砖多少块？ 【高频考题 05】最小公倍数的实际应用。 1．实验小学准备选派五年级的一些同学参加公益活动，要求人数在 30－50之间， 把这些同学按 8人一组或 12人一组分都能正好分完。参加这次公益活动的同学 有多少人？ 2．暑假期间，乐乐每 6天游泳一次，小军每 8天游泳一次。7月 30日两人在游 泳馆相遇，8月几日他们再次在游泳馆相遇？ 3．一个走廊长 48米，每隔 4米放一盆花（两端都放），一共需要放多少盆花？ 如果改成 6米放一盆花，中间几米处的那几盆花不需要挪动？ 4．中秋节到来之际，为了弘扬传统文化，实验小学开展了以“我们的节日中秋” 为主题的活动，其中一项活动是拔河比赛。五年级参加拔河比赛的学生在 20到 30人之间，赛前预演时，无论 4人一组或 6人一组都剩余 3人，请问五年级参 加拔河比赛的学生有多少人？ 第 12 页 共 13 页 一、填空题。 1．（2024·安徽六安·期末）在 15，7，1，4，20，19，36，41这些数中，奇数 有( )，偶数有( )，5的倍数有( )。 2．（2024·江苏·期末）5和 10的最大公因数是( )，最小公倍数是( )。 3．（2024·安徽滁州·期末）一个数的最小倍数是 36，把这个数分解质因数是 ( )，这个数的因数一共有( )。 4．（2024·安徽六安·期末）奇思和妙想围着圆形花坛晨练。奇思走一圈用 6分， 妙想走一圈用 8分。他们同时从 A点出发，( )分后在 A点第一次相遇。 二、选择题。 5．（2024·江苏连云港·期末）1~20的自然数中有( )个合数。 A．8 B．9 C．10 D．11 6．（2024·贵州贵阳·期末）下面四种说法不正确的有( )个。 ①最小的质数和最小的合数的最大公因数是 1 ②互质的两个数的最大公因数是 1 ③两个数的公因数的个数是有限的 ④两个合数的最大公因数不可能是 1 A．1 B．2 C．3 7．（2024·江苏淮安·期末）下面几组数中互质的是( )。 A．12和 13 B．17和 51 C．3和 9 D．12和 18 8．（2024·江苏连云港·期末）用数字 0、1、5、8组成两位数，组成的数中既是 2的倍数，也是 5的倍数，有( )个。 A．3 B．4 C．6 D．9 三、计算题。 9．（2023·江苏淮安·期末）用短除法求出每组数的最大公因数和最小公倍数。 18和 45 120和 48 64和 144 第 13 页 共 13 页 四、解答题。 10．（2024·贵州毕节·期末）体育课上，为了使队形整齐，要求站队时每行人数 都相等。五一班有 32名同学，可以排几行？共有几种站队的方法？（每行或每 列不少于 2人） 11．（2024·江苏淮安·期末）工地上有两根钢管，一根长 36分米，另一根长 63 分米。因施工需要，把它们都锯成长度相等的小段，每段要尽可能长，且没有剩 余。每段钢管长多少分米？一共能锯成多少段？ 12．（2024·安徽合肥·期末）在城市较高建筑物的顶端应当设置航空障碍灯，通 过间隔一段时间闪光的方式提醒过往飞机。一天晚上，小兰观察高楼上的障碍灯， 发现第一盏灯每 2秒闪一次，第二盏灯每 3秒闪一次，第三盏灯每 5秒闪一次， 从某次三盏灯同时闪了之后开始计时，到 2分钟结束时，三盏灯同时又闪了多少 次？ 13．（2024·山西大同·期末）五（1）班的同学分组合作学习，每 4人一组多 1 人，每 5人一组多 1人，每 8人一组也多 1人。五（1）班至少有多少人？ 篇首寄语 我们每位老师都希望把最好的教学资料留给学生使用，所以在平时教学时，能够快速找到高质量、高效率、高标准的资料显得十分重要。编者以前常常游走于各大学习网站寻找自己所需的资料，可却总在花费大量时间与精力后才能找到自己心仪的那份，这样费时费力不讨好，实在有些苦恼。正因如此，每次在寻找资料时，编者就会想，如果是自己来创作一份资料那又该如何呢？那么这份资料应该首先满足自身教学需要，并达到我的高标准要求，然后才能为他人提供参考。于是，本着这样的想法，在结合自身教学需求和学生实际情况后，最终酝酿出了一个既适宜课堂教学，又适应课后作业，还适合阶段复习的大综合系列。 《2024-2025学年五年级数学下册典型例题系列「2025版」》，它基于教材知识和常年真题进行总结与编辑，该系列主要分为典型例题篇、专项练习篇、单元复习篇、思维素养篇、分层试卷篇等五个部分。 1.典型例题篇，按照单元顺序进行编辑，主要分为计算和应用两大部分，其优点在于考题典型，考点丰富，变式多样。 2.专项练习篇，从高频考题和期末真题中选取专项练习，其优点在于选题经典，题型多样，题量适中。 3.单元复习篇，汇集系列精华，高效助力单元复习，其优点在于综合全面，精练高效，实用性强。 4.思维素养篇，新的学年，新的篇章，从课本到奥数，从方法到思维，从基础技能到核心素养，其优点在于由浅入深，思维核心，方法易懂。 5.分层试卷篇，根据试题难度和水平，主要分为A卷·基础巩固卷、B卷·素养提高卷、C卷·思维拓展卷，其优点在于考点广泛，分层明显，适应性广。 时光荏苒，转眼之间，《典型例题系列》已经历三个学年三个版本，在过去，它扬长补短，去粗取精，日臻完善；在未来，它承前启后，不断发展，未有竟时。 黄金无足色，白璧有微瑕，如果您在使用资料的过程中有任何宝贵意见，请留言于我，欢迎您的使用，感谢您的支持！ 101数学创作社 2025年1月9日 2024-2025学年五年级数学下册典型例题系列「2025版」 第三单元因数与倍数·单元复习篇【四大篇章】 知识点一：因数与倍数。 1. 因数与倍数的定义。 在整数除法中，如果商是整数而没有余数，我们就说被除数是除数的倍数，除数和商是被除数的因数。 例如：12÷2=6，12是6的倍数，6是12的因数；a×b=c(a、b、c都是不为0的整数)，那么a是c的因数，b也是c的因数；c是a的倍数，c也是b的倍数。 2. 找一个数的因数的方法。 （1）列乘法算式找，有序地写出两个自然数相乘得这个数的所有乘法算式，两个因数都是这个数的因数。 （2）列除法算式找，有序地写出这个数被整除的所有除法算式，除数和商都是这个数的因数。 3. 因数的特征。 一个数的因数的个数是有限的，其中最小的因数是1，最大的因数是它本身。 4. 找一个数的倍数的方法。 （1）列乘法算式找，用这个数依次与非0自然数相乘，所得的积就是这个数的倍数。 （2）列除法算式找，看哪些数除以这个数，商是整数而无余数，这些数就是这个数的倍数。 5. 倍数的特征。 一个数的倍数的个数是无限的，其中最小的倍数是它本身。 注意：一个非零自然数的最大因数与最小倍数是相等的且都等于它本身。 知识点二：2、5、3的倍数特征。 1. 2的倍数特征。 个位上是0、2、4、6、8的数是2的倍数。 2. 5的倍数特征。 个位上是0或5的数是5的倍数。 3. 3的倍数的特征。 一个数各位上的数的和是3的倍数，这个数就是3的倍数。 4. 2、5、3倍数特征之间的联系。 知识点三：奇数与偶数。 1. 偶数。 能被2整除的数就叫偶数（俗称双数），习惯用2n表示。 2. 奇数。 不能被2整除的数就叫奇数（俗称单数），习惯用2n－1表示。 3. 奇数与偶数的运算性质。 加法。 (1)奇数+偶数=奇数 (2)奇数+奇数=偶数 (3)偶数+偶数=偶数 (4)相邻两个自然数的和是奇数，相邻四个自然数的和是偶数。 减法。 奇数－奇数=偶数 奇数－偶数=奇数 偶数－奇数=奇数 偶数－偶数=偶数 乘法。 (1)奇数×偶数=偶数 (2)奇数×奇数=奇数 (3)偶数×偶数=偶数 知识点四：质数与合数。 1. 质数（素数）。 一个数，如果只有1和它本身两个因数，那么这样的数叫做质数（或素数）。 例如：20以内的质数有2，3，5，7，11，13，17，19。 注意： ①质数只有两个因数，一个质数的最小因数是1，最大因数是它本身。 ②最小的质数是2，没有最大的质数。 2. 合数。 一个数，如果除了1和它本身还有别的因数，那么这样的数叫做合数。 例如：20以内的合数有4，6，8，9，10，12，14，15，16，18。 注意： ①合数质数至少有三个因数，一个合数的最小因数是1，最大因数是它本身。 ②最小的合数是4，没有最大的合数。 3. 注意。 （1）0、1既不是质数，也不是合数。 （2）100以内的质数2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97，共25个。 知识点五：分解质因数。 1. 分解质因数。 就是把一个合数用几个质数乘积的形式表示出来。 例：15=3×5，24=2×2×2×3，这就是分解质因数。 2. 注意。 分解质因数是解决数论最有效最直接的途径。 知识点六：最大公因数。 1. 最大公因数的定义。 两个或多个整数公有的因数叫做这几个数的公因数，其中最大的一个叫做这几个数的最大公因数。 2. 求最大公因数的方法。 （1）列举法（枚举法） 列出所有的因数，找出共有因数中的最大值。 （2）短除法 用公有的质因数连续去除，直到商互质，所有除数的乘积即为最大公因数。 （短除法的口诀：求最大公因乘一边，求最小公倍乘一圈。） （3）分解质因数法 将数分解为质因数乘积形式，取共有质因数的最少个数的乘积。 （4）互质关系 若两个数是互质数，即只有公因数1，则它们的最大公因数是1。 （5）倍数关系 当两个整数呈现出倍数关系时，其中较小的数即为最大公因数。 3. 注意。 求两个数的最大公因数用小括号表示，例如：12和18的最大公因数是6，写作 (12, 18) = 6。 知识点七：最小公倍数。 1. 最小公倍数的定义。 两个或多个数公有的倍数，叫做它们的公倍数，其中最小的一个叫做它们的最小公倍数。 2. 求最小公倍数的方法。 （1）列举法 分别列出两数的倍数，找到最小的公共倍数 （2）短除法 用两数的公约数连续除，直到商互质，所有除数与商的乘积即为最小公倍数。 （短除法的口诀：求最大公因乘一边，求最小公倍乘一圈。） （3）分解质因数法 将数分解为质因数乘积形式，取共有质因数的最多个数的乘积。 （4）互质关系 若两个数是互质数，即只有公因数1，则它们的最大公因数是两数的乘积。 （5）倍数关系 当两个整数呈现出倍数关系时，其中较大的数即为最大公因数。 3. 注意。 求两个数的最小公倍数用中括号表示，例如：12和18的最小公倍数是36，写作 [12, 18] = 36。 【第一部分】基本知识与基本应用 【高频考题01】因数与倍数的认识。 1．根据32÷8＝4，( )是( )的因数；( )是( )的倍数。 【答案】 8 32 32 8 2．数a的最大因数与它的最小倍数之和是( )。 【答案】2a 【高频考题02】因数与倍数的求法和特征。 1．20的因数有( )，50以内6的倍数有( )。 【答案】 1，2，4，5，10，20 6，12，18，24，30，36，42，48 2．24的因数有( )个，其中最大的因数是( )；24的倍数有( )个，其中最小的倍数是( )。 【答案】 8 24 无数 24 3．一个数的最大因数与最小倍数的积是36，这个数是( )，这个数的因数有( )。 【答案】 6 1，2，3，6 【高频考题03】2、5的倍数特征。 1．把下列各数按要求填在横线上。 914       52       40       23       45       58   245       536      221      98       100      66 5的倍数有： 。 2的倍数有： 。 【答案】 40、45、245、100 914、52、40、58、536、98、100、66 2．59□既是2的倍数，又是5的倍数，□里可填( )。 【答案】0 【高频考题04】奇数与偶数。 1．写出124后面的3个连续的奇数：( )、( )、( )。 【答案】 125 127 129 2．三个连续奇数的和是177，其中最小的数是( )，最大的数是( )。 【答案】 57 61 3．三个连续偶数的和是3m，则最大最小这两个数分别是( )和( )。 【答案】 m＋2 m－2 【高频考题05】3的倍数特征。 1．一个数是24的因数，同时也是3的倍数，这个数可能是( )或( )。 【答案】 3、6 12、24 2．要使17□50能同时被2、3、5整除，□里最大能填( )。 【答案】8 3．能同时被2、3、5整除的最大两位数是( )，最大三位数是( )。 【答案】 90 990 【高频考题06】质数与合数。 1．非0自然数中，( )既不是质数也不是合数，最小的质数是( )，最小的合数是( )。 【答案】 1 2 4 2．在括号里填上合适的质数： 22＝( )＋( )；26＝( )＋( )＋( )。 【答案】 17 5 13 11 2 【高频考题07】最大公因数。 1．如果A＝2×2×5，B＝2×3×5，那么A和B的最大公因数是( )。 【答案】10 2．已知ab＝c（a、b、c均为正整数），那么a和c的最大公因数是( )。 【答案】a 3．求下列各组数的最大公因数。 36和48         42和56         12，15和18 【答案】12；14；3 【高频考题08】最小公倍数。 1．，，和的最大公因数是( )，最小公倍数是( )。 【答案】 5 330 2．a÷b＝15（a、b是不为0的自然数且b≠1），那么a和15的最大公因数是( )，最小公倍数是( )。 【答案】 15 a 3．写出下面每组数的最小公倍数。 14和20          18和90            48和64 【答案】140；90；192 【第二部分】综合应用与解决问题 【高频考题01】猜数问题。 1．洪老师家的电话号码从左往右的数字依次是：①既是奇数又是合数的数；②既不是质数，也不是合数；③既是质数，又是偶数；④10以内最大的质数；⑤最小的合数；⑥最小奇数的5倍；⑦有因数3的偶数。 聪明的同学，你知道洪老师家的电话号码是多少吗？ 【答案】9127456 2．小明给自己的行李箱设置了四位数的简易密码，其中第一位数是最小的合数，第二位数是最小的偶数，第三位数是6的1.5倍，第四位数既不是质数也不是合数。行李箱的密码是多少？ 【答案】4091 【高频考题02】因数与倍数、奇数与偶数、质数与合数的实际应用。 1．李文在新华书店用100元买了几本单价为5元一本和10元一本的书，找回了36元，请你帮李文算一算，钱找对了吗？ 【答案】不对，两本书的价格都是5的倍数，所以找回的钱也应该是5的倍数，36不是5的倍数，所以钱找的不对。 2．水果店运来250千克水果，如果每20千克装一箱，能正好装完吗？如果每50千克装一箱，能正好装完吗？为什么？ 【答案】每20千克装一箱，不能正好装完；每50千克装一箱，能正好装完 3．新年到了，妈妈准备用某聊天软件给姐姐和弟弟共发100元的红包。 （1）如果弟弟收到的红包钱数为奇数，姐姐收到的红包钱数为奇数还是偶数？ （2）如果弟弟收到的红包钱数为偶数，姐姐收到的红包钱数为奇数还是偶数？ 【答案】（1）奇数 （2）偶数 4．一个长方形的长和宽都是质数，它的周长是32厘米。这个长方形的面积可能是多少平方厘米？ 【答案】 32÷2＝16（厘米） 16＝3＋13，16＝5＋11 3×13＝39（平方厘米） 5×11＝55（平方厘米） 答：这个长方形的面积可能是39或55平方厘米。 【高频考题03】分解质因数。 1．能被2、3整除的最小三位数是( )，把它分解质因数是( )。 【答案】 102 102＝2×3×17 2．一个数的最大因数是20，这个数是( )，把它分解质因数( )，它的因数有( )，其中奇数( )，合数有( )。 【答案】20 20＝2×2×5 1、2、4、5、10、20 1、5 4、10、20 3．一个两位数，十位上的数字是最小的合数，个位上的数字既是质数又是偶数，这个两位数是( )，把它分解质因数是( )。 【答案】 42 42＝2×3×7 【高频考题04】最大公因数的实际应用。 1．学校要把48本《红色革命故事》和64本《雷锋日记》平均分给若干名同学。如果《红色革命故事》和《雷锋日记》都不要有剩余，且保证分到《红色革命故事》和《雷锋日记》的同学人数相同，最多能分给多少名同学？ 【答案】 48＝2×2×2×2×3 64＝2×2×2×2×2×2 48和64的最大公因数＝2×2×2×2＝16 当学生人数为16人时，书没有剩余。 答：最多能分给16名同学。 2．有一张长方形纸，长60厘米、宽50厘米，如果要剪成若干张同样大小的正方形纸片而没有剩余。剪出的正方形的边长最大是几厘米？ 【答案】 60＝2×2×3×5 50＝2×5×5 60和50的最大公因数是：5×2＝10 即正方形的边长最大是10厘米。 答：剪出的正方形的边长最大是10厘米。 3．用正方形地砖铺一间长2.7米，宽2.4米的房间，要使用的地砖都是整块的，最大可以用边长多少分米的地砖？要用这样的地砖多少块？ 【答案】 2.7米＝27分米 2.4米＝24分米 27和24的最大公因数是3。 （27÷3）×（24÷3） ＝9×8 ＝72（块） 答：最大可以用边长3分米的地砖，要用这样的地砖72块。 【高频考题05】最小公倍数的实际应用。 1．实验小学准备选派五年级的一些同学参加公益活动，要求人数在30－50之间，把这些同学按8人一组或12人一组分都能正好分完。参加这次公益活动的同学有多少人？ 【答案】 8＝2×2×2 12＝2×2×3 2×2×2×3＝24（人） 24×2＝48（人） 30＜48＜50 答：参加这次公益活动的同学有48人。 2．暑假期间，乐乐每6天游泳一次，小军每8天游泳一次。7月30日两人在游泳馆相遇，8月几日他们再次在游泳馆相遇？ 【答案】 6和8的最小公倍数是24，所以他们每隔24天见一次面； 7月还有：31－30＝1（天） 8月还要：24－1＝23（天） 即7月30日再过24天是8月23日； 答：8月23日他们再次在游泳馆相遇。 3．一个走廊长48米，每隔4米放一盆花（两端都放），一共需要放多少盆花？如果改成6米放一盆花，中间几米处的那几盆花不需要挪动？ 【答案】 48÷4＋1 ＝12＋1 ＝13（盆） 4＝2×2 6＝2×3 4和6的最小公倍数是：2×2×3＝12 48以内12的倍数有：12，24，36。 即中间12米、24米、36米处的那3盆花不需要挪动。 答：一共需要放13盆花。如果改成6米放一盆花，中间12米、24米、36米处的那3盆花不需要挪动。 4．中秋节到来之际，为了弘扬传统文化，实验小学开展了以“我们的节日中秋”为主题的活动，其中一项活动是拔河比赛。五年级参加拔河比赛的学生在20到30人之间，赛前预演时，无论4人一组或6人一组都剩余3人，请问五年级参加拔河比赛的学生有多少人？ 【答案】 4＝2×2 6＝2×3 4人和6人的最小公倍数是2×2×3＝12 因为五年级参加拔河比赛的学生在20－30人之间，所以12×2＝24（人） 24＋3＝27（人） 答：五年级参加划旱地龙舟的学生有27人。 一、填空题。 1．（2024·安徽六安·期末）在15，7，1，4，20，19，36，41这些数中，奇数有( )，偶数有( )，5的倍数有( )。 【答案】 15，7，1，19，41 4，20，36 15，20 2．（2024·江苏·期末）5和10的最大公因数是( )，最小公倍数是( )。 【答案】 5 10 3．（2024·安徽滁州·期末）一个数的最小倍数是36，把这个数分解质因数是( )，这个数的因数一共有( )。 【答案】 36＝2×2×3×3 9个 4．（2024·安徽六安·期末）奇思和妙想围着圆形花坛晨练。奇思走一圈用6分，妙想走一圈用8分。他们同时从A点出发，( )分后在A点第一次相遇。 【答案】24 二、选择题。 5．（2024·江苏连云港·期末）1~20的自然数中有( )个合数。 A．8 B．9 C．10 D．11 【答案】D 6．（2024·贵州贵阳·期末）下面四种说法不正确的有( )个。 ①最小的质数和最小的合数的最大公因数是1 ②互质的两个数的最大公因数是1 ③两个数的公因数的个数是有限的 ④两个合数的最大公因数不可能是1 A．1 B．2 C．3 【答案】B 7．（2024·江苏淮安·期末）下面几组数中互质的是( )。 A．12和13 B．17和51 C．3和9 D．12和18 【答案】A 8．（2024·江苏连云港·期末）用数字0、1、5、8组成两位数，组成的数中既是2的倍数，也是5的倍数，有( )个。 A．3 B．4 C．6 D．9 【答案】A 三、计算题。 9．（2023·江苏淮安·期末）用短除法求出每组数的最大公因数和最小公倍数。 18和45        120和48        64和144 【答案】9，90；24，240；16，576 四、解答题。 10．（2024·贵州毕节·期末）体育课上，为了使队形整齐，要求站队时每行人数都相等。五一班有32名同学，可以排几行？共有几种站队的方法？（每行或每列不少于2人） 【答案】 32＝1×32＝2×16＝4×8 因为每行或每列不少于2人，所以1×32、2×16不符合题意，所以有两种站队方法：①4行8列，②8行4列。 答：可以排4行或8行，共有2种站队的方法。 11．（2024·江苏淮安·期末）工地上有两根钢管，一根长36分米，另一根长63分米。因施工需要，把它们都锯成长度相等的小段，每段要尽可能长，且没有剩余。每段钢管长多少分米？一共能锯成多少段？ 【答案】 36＝2×2×3×3 63＝3×3×7 36和63的最大公因数3×3＝9 36÷9＋63÷9 ＝4＋7 ＝11（段） 答：每段钢管长9分米，一共能锯成11段。 12．（2024·安徽合肥·期末）在城市较高建筑物的顶端应当设置航空障碍灯，通过间隔一段时间闪光的方式提醒过往飞机。一天晚上，小兰观察高楼上的障碍灯，发现第一盏灯每2秒闪一次，第二盏灯每3秒闪一次，第三盏灯每5秒闪一次，从某次三盏灯同时闪了之后开始计时，到2分钟结束时，三盏灯同时又闪了多少次？ 【答案】 2，3，5的最小公倍数是2×3×5＝30，所以这三盏灯每隔30秒同时闪动一次。 2分＝120秒 120÷30＝4（次） 答：到2分钟结束时，三盏灯同时又闪了4次。 13．（2024·山西大同·期末）五（1）班的同学分组合作学习，每4人一组多1人，每5人一组多1人，每8人一组也多1人。五（1）班至少有多少人？ 【答案】 4＝2×2 5的质因数只有5。 8＝2×2×2 则4、5、8的最小公倍数是2×2×5×2＝40。 40＋1＝41（人） 答：五（1）班至少有41人。 第 1 页 共 6 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 篇首寄语 我们每位老师都希望把最好的教学资料留给学生使用，所以在平时教学时，能够快速找到高质量、高效率、高标准的资料显得十分重要。编者以前常常游走于各大学习网站寻找自己所需的资料，可却总在花费大量时间与精力后才能找到自己心仪的那份，这样费时费力不讨好，实在有些苦恼。正因如此，每次在寻找资料时，编者就会想，如果是自己来创作一份资料那又该如何呢？那么这份资料应该首先满足自身教学需要，并达到我的高标准要求，然后才能为他人提供参考。于是，本着这样的想法，在结合自身教学需求和学生实际情况后，最终酝酿出了一个既适宜课堂教学，又适应课后作业，还适合阶段复习的大综合系列。 《2024-2025学年五年级数学下册典型例题系列「2025版」》，它基于教材知识和常年真题进行总结与编辑，该系列主要分为典型例题篇、专项练习篇、单元复习篇、思维素养篇、分层试卷篇等五个部分。 1.典型例题篇，按照单元顺序进行编辑，主要分为计算和应用两大部分，其优点在于考题典型，考点丰富，变式多样。 2.专项练习篇，从高频考题和期末真题中选取专项练习，其优点在于选题经典，题型多样，题量适中。 3.单元复习篇，汇集系列精华，高效助力单元复习，其优点在于综合全面，精练高效，实用性强。 4.思维素养篇，新的学年，新的篇章，从课本到奥数，从方法到思维，从基础技能到核心素养，其优点在于由浅入深，思维核心，方法易懂。 5.分层试卷篇，根据试题难度和水平，主要分为A卷·基础巩固卷、B卷·素养提高卷、C卷·思维拓展卷，其优点在于考点广泛，分层明显，适应性广。 时光荏苒，转眼之间，《典型例题系列》已经历三个学年三个版本，在过去，它扬长补短，去粗取精，日臻完善；在未来，它承前启后，不断发展，未有竟时。 黄金无足色，白璧有微瑕，如果您在使用资料的过程中有任何宝贵意见，请留言于我，欢迎您的使用，感谢您的支持！ 101数学创作社 2025年1月9日 2024-2025学年五年级数学下册典型例题系列「2025版」 第三单元因数与倍数·单元复习篇【四大篇章】 知识点一：因数与倍数。 1. 因数与倍数的定义。 在整数除法中，如果商是整数而没有余数，我们就说被除数是除数的倍数，除数和商是被除数的因数。 例如：12÷2=6，12是6的倍数，6是12的因数；a×b=c(a、b、c都是不为0的整数)，那么a是c的因数，b也是c的因数；c是a的倍数，c也是b的倍数。 2. 找一个数的因数的方法。 （1）列乘法算式找，有序地写出两个自然数相乘得这个数的所有乘法算式，两个因数都是这个数的因数。 （2）列除法算式找，有序地写出这个数被整除的所有除法算式，除数和商都是这个数的因数。 3. 因数的特征。 一个数的因数的个数是有限的，其中最小的因数是1，最大的因数是它本身。 4. 找一个数的倍数的方法。 （1）列乘法算式找，用这个数依次与非0自然数相乘，所得的积就是这个数的倍数。 （2）列除法算式找，看哪些数除以这个数，商是整数而无余数，这些数就是这个数的倍数。 5. 倍数的特征。 一个数的倍数的个数是无限的，其中最小的倍数是它本身。 注意：一个非零自然数的最大因数与最小倍数是相等的且都等于它本身。 知识点二：2、5、3的倍数特征。 1. 2的倍数特征。 个位上是0、2、4、6、8的数是2的倍数。 2. 5的倍数特征。 个位上是0或5的数是5的倍数。 3. 3的倍数的特征。 一个数各位上的数的和是3的倍数，这个数就是3的倍数。 4. 2、5、3倍数特征之间的联系。 知识点三：奇数与偶数。 1. 偶数。 能被2整除的数就叫偶数（俗称双数），习惯用2n表示。 2. 奇数。 不能被2整除的数就叫奇数（俗称单数），习惯用2n－1表示。 3. 奇数与偶数的运算性质。 加法。 (1)奇数+偶数=奇数 (2)奇数+奇数=偶数 (3)偶数+偶数=偶数 (4)相邻两个自然数的和是奇数，相邻四个自然数的和是偶数。 减法。 奇数－奇数=偶数 奇数－偶数=奇数 偶数－奇数=奇数 偶数－偶数=偶数 乘法。 (1)奇数×偶数=偶数 (2)奇数×奇数=奇数 (3)偶数×偶数=偶数 知识点四：质数与合数。 1. 质数（素数）。 一个数，如果只有1和它本身两个因数，那么这样的数叫做质数（或素数）。 例如：20以内的质数有2，3，5，7，11，13，17，19。 注意： ①质数只有两个因数，一个质数的最小因数是1，最大因数是它本身。 ②最小的质数是2，没有最大的质数。 2. 合数。 一个数，如果除了1和它本身还有别的因数，那么这样的数叫做合数。 例如：20以内的合数有4，6，8，9，10，12，14，15，16，18。 注意： ①合数质数至少有三个因数，一个合数的最小因数是1，最大因数是它本身。 ②最小的合数是4，没有最大的合数。 3. 注意。 （1）0、1既不是质数，也不是合数。 （2）100以内的质数2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97，共25个。 知识点五：分解质因数。 1. 分解质因数。 就是把一个合数用几个质数乘积的形式表示出来。 例：15=3×5，24=2×2×2×3，这就是分解质因数。 2. 注意。 分解质因数是解决数论最有效最直接的途径。 知识点六：最大公因数。 1. 最大公因数的定义。 两个或多个整数公有的因数叫做这几个数的公因数，其中最大的一个叫做这几个数的最大公因数。 2. 求最大公因数的方法。 （1）列举法（枚举法） 列出所有的因数，找出共有因数中的最大值。 （2）短除法 用公有的质因数连续去除，直到商互质，所有除数的乘积即为最大公因数。 （短除法的口诀：求最大公因乘一边，求最小公倍乘一圈。） （3）分解质因数法 将数分解为质因数乘积形式，取共有质因数的最少个数的乘积。 （4）互质关系 若两个数是互质数，即只有公因数1，则它们的最大公因数是1。 （5）倍数关系 当两个整数呈现出倍数关系时，其中较小的数即为最大公因数。 3. 注意。 求两个数的最大公因数用小括号表示，例如：12和18的最大公因数是6，写作 (12, 18) = 6。 知识点七：最小公倍数。 1. 最小公倍数的定义。 两个或多个数公有的倍数，叫做它们的公倍数，其中最小的一个叫做它们的最小公倍数。 2. 求最小公倍数的方法。 （1）列举法 分别列出两数的倍数，找到最小的公共倍数 （2）短除法 用两数的公约数连续除，直到商互质，所有除数与商的乘积即为最小公倍数。 （短除法的口诀：求最大公因乘一边，求最小公倍乘一圈。） （3）分解质因数法 将数分解为质因数乘积形式，取共有质因数的最多个数的乘积。 （4）互质关系 若两个数是互质数，即只有公因数1，则它们的最大公因数是两数的乘积。 （5）倍数关系 当两个整数呈现出倍数关系时，其中较大的数即为最大公因数。 3. 注意。 求两个数的最小公倍数用中括号表示，例如：12和18的最小公倍数是36，写作 [12, 18] = 36。 【第一部分】基本知识与基本应用 【高频考题01】因数与倍数的认识。 1．根据32÷8＝4，( )是( )的因数；( )是( )的倍数。 【答案】 8 32 32 8 【分析】在整数除法中，商是整数且没有余数，我们就说被除数是除数和商的倍数，除数和商是被除数的因数，据此解答即可。 【详解】由分析可知： 根据32÷8＝4，8是32的因数；32是8的倍数。 【点睛】本题考查因数和倍数，明确因数和倍数的定义是解题的关键。 2．数a的最大因数与它的最小倍数之和是( )。 【答案】2a 【分析】一个数的最大因数和最小倍数都是这个数本身，据此分析解答。 【详解】a＋a＝2a 则这个数a的最大因数与它的最小倍数之和是2a。 【点睛】此题考查含有字母的式子的化简，熟练掌握最大因数和最小倍数的求法也是解题的关键。 【高频考题02】因数与倍数的求法和特征。 1．20的因数有( )，50以内6的倍数有( )。 【答案】 1，2，4，5，10，20 6，12，18，24，30，36，42，48 【分析】列乘法算式找因数，按照从小到大的顺序，一组一组地写出所有积是这个数的乘法算式，乘法算式中的两个因数就是这个数的因数。 列乘法算式找倍数，按照从小到大的顺序，一组一组地写出这个数与非0自然数的乘法算式，乘法算式中的积就是这个数的倍数。 【详解】20的因数有：1，2，4，5，10，20； 50以内6的倍数有：6，12，18，24，30，36，42，48。 【点睛】掌握求一个数的因数和倍数的方法是解题的关键。 2．24的因数有( )个，其中最大的因数是( )；24的倍数有( )个，其中最小的倍数是( )。 【答案】 8 24 无数 24 【分析】一个数的因数的个数是有限的，最小因数是1，最大因数是它本身； 一个数的倍数的个数是无限的，最小倍数是它本身，没有最大倍数。 【详解】24的因数：1，2，3，4，6，8，12，24； 24的倍数：24，48，72，…； 24的因数有8个，其中最大的因数是24；24的倍数有无数个，其中最小的倍数是24。 【点睛】本题考查因数和倍数的知识，掌握求一个数的因数和倍数的方法，明确一个数的最大因数和最小倍数都是它本身。 3．一个数的最大因数与最小倍数的积是36，这个数是( )，这个数的因数有( )。 【答案】 6 1，2，3，6 【分析】一个非0自然数的最大因数是它本身，最小倍数也是它本身，即一个数的最大因数等于它的最小倍数。一个数的最大因数与最小倍数的积是36，即两个相同的数的乘积是36，因为6×6＝36，所以这个数是6。再用列乘法算式的方法找出6的因数。 【详解】36＝6×6，所以这个数是6。 6＝1×6，6＝2×3，所以这个数的因数有1，2，3，6。 【点睛】解决此题的关键是明确一个数的最大因数和这个数的最小倍数的关系。 【高频考题03】2、5的倍数特征。 1．把下列各数按要求填在横线上。 914       52       40       23       45       58   245       536      221      98       100      66 5的倍数有： 。 2的倍数有： 。 【答案】 40、45、245、100 914、52、40、58、536、98、100、66 【分析】2的倍数的数的特征是：个位上是0、2、4、6、8的数；5的倍数的数的特征是：个位上是0或5的数都是5的倍数；由此解答。 【详解】5的倍数有：40、45、245、100； 2的倍数有：914、52、40、58、536、98、100、66。 【点睛】此题的解题关键是理解掌握2、5的倍数的特征。 2．59□既是2的倍数，又是5的倍数，□里可填( )。 【答案】0 【分析】既是2的倍数又是5的倍数的特征：个位上的数字是0的数，既是2的倍数，又是5的倍数。 【详解】59□既是2的倍数，又是5的倍数，□里可填0。 【点睛】关键是掌握2和5的倍数的特征。 【高频考题04】奇数与偶数。 1．写出124后面的3个连续的奇数：( )、( )、( )。 【答案】 125 127 129 【分析】在自然数中，能被2整除的数为偶数，不能被2整除的数为奇数；据此填空即可。 【详解】124后面的3个连续的奇数：125、127、129。 【点睛】通过本题可发现，自然数中奇数、偶数的排列是有规律的，每相邻的两个偶数或奇数之间相差2。 2．三个连续奇数的和是177，其中最小的数是( )，最大的数是( )。 【答案】 57 61 【分析】相邻的奇数之间相差2，用三个连续奇数的和÷3，求出中间奇数，中间奇数－2＝最小奇数，中间奇数＋2＝最大奇数。 【详解】177÷3＝59 59－2＝57 59＋2＝61 【点睛】整数中，是2的倍数的数是偶数，不是2的倍数的数是奇数。 3．三个连续偶数的和是3m，则最大最小这两个数分别是( )和( )。 【答案】 m＋2 m－2 【分析】根据偶数的排列规律，相邻的偶数相差2，已知三个连续偶数的和是3m，用3m除以3即可求出中间的偶数，那么最大的数比中间的数多2，最小的数比中间的数少2，然后用中间的数加上（减去）2即可。 【详解】3m÷3＝m 所以最大的数是m＋2，最小的数是m－2 【点睛】此题考查的目的是理解掌握偶数的意义及偶数的排列规律，明确：相邻的偶数相差2。 【高频考题05】3的倍数特征。 1．一个数是24的因数，同时也是3的倍数，这个数可能是( )或( )。 【答案】 3、6 12、24 【分析】根据求一个数因数的方法，求出24的因数，再结合3的倍数特征：一个数的各个数位上的数字之和是3的倍数，这个数就是3的倍数，据此填空即可。 【详解】24的因数有：1、2、3、4、6、8、12、24，其中3、6、12、24是3的倍数。 则一个数是24的因数，同时也是3的倍数，这个数可能是3、6或12、24。 【点睛】本题考查求一个数的因数和3的倍数，明确求一个数的因数的方法和3的倍数特征是解题的关键。 2．要使17□50能同时被2、3、5整除，□里最大能填( )。 【答案】8 【分析】同时是2、3、5倍数的倍数特征：个位数字是0，各个位上数字相加的和是3的倍数，据此解答。 【详解】分析可知，17□50的个位数字为0。 □里为9时，1＋7＋9＋5＝22，22不是3的倍数； □里为8时，1＋7＋8＋5＝21，21是3的倍数。 所以，□里最大能填8。 【点睛】掌握同时是2、3、5倍数的倍数特征是解答题目的关键。 3．能同时被2、3、5整除的最大两位数是( )，最大三位数是( )。 【答案】 90 990 【分析】（1）根据2、3、5的倍数特征可知；同时是2、3、5的倍数，只要是个位是0，十位满足是3的倍数即可，十位满足是3的倍数的有3、6、9，其中3是最小的，9是最大的，即90； （2）同时是2、3、5的倍数的最小的三位数，只要个位是0，百位是最大的自然数9，十位满足和百位、个位上的数加起来是3的倍数即可，这样的数有：9、6、3、0，其中9是最大的，即990；解答即可。 【详解】由分析可知： 能同时被2、3、5整除的最大的两位数是90，最大的三位数是990。 【点睛】本题主要考查2、3、5的倍数，明确2、3、5的倍数特征是解题的关键。 【高频考题06】质数与合数。 1．非0自然数中，( )既不是质数也不是合数，最小的质数是( )，最小的合数是( )。 【答案】 1 2 4 【分析】一个大于1的自然数，只有1与它本身两个因数的数，这样的数叫作质数； 一个大于1的自然数，除了1和它本身外还有其它因数的数，这样的数叫作合数。据此解答。 【详解】由分析可知：非0自然数中，1的因数只有1，所以，1既不是质数也不是合数，最小的质数是2，最小的合数是4。 【点睛】掌握质数和合数的特点是解题此题的关键。 2．在括号里填上合适的质数： 22＝( )＋( )；26＝( )＋( )＋( )。 【答案】 17 5 13 11 2 【分析】因数只有1和本身的数是质数，26以内的质数有2、3、5、7、11、13、17、19、23，据此通过尝试填空即可。 【详解】22＝17＋5或22＝3＋19 26＝13＋11＋2或26＝7＋17＋2 （答案需配对） 【高频考题07】最大公因数。 1．如果A＝2×2×5，B＝2×3×5，那么A和B的最大公因数是( )。 【答案】10 【分析】分解质因数是把合数分解成若干个质因数相乘的形式。 两个或两个以上的合数分解质因数后，把公有的相同质因数乘起来就是最大公因数。 【详解】A＝2×2×5 B＝2×3×5 A和B的最大公因数是：2×5＝10。 【点睛】掌握求两个数的最大公因数的方法是解题的关键。 2．已知ab＝c（a、b、c均为正整数），那么a和c的最大公因数是( )。 【答案】a 【分析】当两个数成倍数关系时，较小数就是它们的最大公因数。根据求两个数的最大公因数的特殊情况解答即可。 【详解】ab＝c（a、b、c均为正整数），说明c是a的倍数，a是较小数，c是较大数，所以a和c的最大公因数a。 【点睛】解决此题的关键是明确求两个数的最大公因数和最小公倍数的特殊情况。当两个数成倍数关系时，较小数就是它们的最大公因数，较大数就是它们的最小公倍数；当两个数是互质数时，最大公因数是1，最小公倍数是这两个数的积。 3．求下列各组数的最大公因数。 36和48         42和56         12，15和18 【答案】12；14；3 【分析】把几个数公有的质因数从小到大依次作为除数连续去除这两个数，直到得出的商只有公因数1为止，然后把所有除数连乘起来，所得的积就是这几个数的最大公因数，据此解答。 【详解】（1）36和48 36和48的最大公因数：2×2×3＝12 （2）42和56 42和56的最大公因数：2×7＝14 （3）12，15和18 12，15和18的最大公因数：3 【高频考题08】最小公倍数。 1．，，和的最大公因数是( )，最小公倍数是( )。 【答案】 5 330 【分析】全部共有的质因数（公有质因数）相乘的积就是这几个数的最大公因数。 全部公有的质因数和各自独立的质因数，它们连乘的积就是这几个数的最小公倍数。 【详解】2×3×5×11＝330 ，，和的最大公因数是5，最小公倍数是330。 【点睛】关键是掌握最大公因数和最小公倍数的求法。 2．a÷b＝15（a、b是不为0的自然数且b≠1），那么a和15的最大公因数是( )，最小公倍数是( )。 【答案】 15 a 【分析】求两数的最大公因数和最小公倍数，要看两个数之间的关系：两个数为倍数关系时，最大公因数为较小的数，最小公倍数为较大的数；由此选择情况解决问题。 【详解】由a÷b＝15可知，a÷15＝b，a是15的b倍，a＞15，属于倍数关系， 那么a和15的最大公因数是15，最小公倍数是a。 【点睛】此题主要考查求两个数为倍数关系时两个数的最大公因数和最小公倍数。 3．写出下面每组数的最小公倍数。 14和20          18和90            48和64 【答案】140；90；192 【分析】最小公倍数是公有质因数与独有质因数的连乘积，若两个数互为倍数关系，则较大的数就是它们的最小公倍数；若两个数是互质数，则最小公倍数就是它们的乘积。据此计算即可。 【详解】14＝2×7 20＝2×2×5 所以14和20的最小公倍数是2×7×2×5＝140； 因为18和90成倍数关系，所以18和90的最小公倍数是90； 因为48＝2×2×2×2×3 64＝2×2×2×2×2×2 所以48和64的最小公倍数是2×2×2×2×2×2×3＝192。 【第二部分】综合应用与解决问题 【高频考题01】猜数问题。 1．洪老师家的电话号码从左往右的数字依次是：①既是奇数又是合数的数；②既不是质数，也不是合数；③既是质数，又是偶数；④10以内最大的质数；⑤最小的合数；⑥最小奇数的5倍；⑦有因数3的偶数。 聪明的同学，你知道洪老师家的电话号码是多少吗？ 【答案】9127456 【分析】2的倍数叫做偶数，个位是0、2、4、6、8的数；不是2的倍数叫做奇数，个位是1、3、5、7、9的数。一个数，如果只有1和它本身两个因数，那么这样的数叫做质数；一个数，除了1和它本身还有别的因数，那么这样的数叫做合数；1既不是质数也不是合数；10以内的质数有：2，3，5，7；10以内的合数有：4，6，8，9；据此解答。 【详解】①既是奇数又是合数的数：9； ②既不是质数，也不是合数：1； ③既是质数，又是偶数：2； ④10以内最大的质数：7； ⑤最小的合数：4； ⑥最小奇数的5倍：5； ⑦有因数3的偶数：6。 答：洪老师家的电话号码是9127456。 【点睛】掌握奇数、偶数、质数、合数的特点，以及因数、倍数的知识是解题的关键。 2．小明给自己的行李箱设置了四位数的简易密码，其中第一位数是最小的合数，第二位数是最小的偶数，第三位数是6的1.5倍，第四位数既不是质数也不是合数。行李箱的密码是多少？ 【答案】4091 【分析】第一位数是最小的合数是4，第二位数是最小的偶数是0，第三位数是6的1.5倍是6×1.5＝9，第四位数既不是质数也不是合数是1，据此解答。 【详解】第一位数是4，第二位数是0，第三位数是6×1.5＝9，第四位数是1。 答：行李箱的密码是4091。 【点睛】此题主要考查根据质数、合数、奇数、偶数的意义，掌握自然数中，是2的倍数的数叫做偶数，不是2的倍数的数叫做奇数；除了1和它本身以外，不含其它因数的数是质数；除了1和它本身外，还含有其它因数的数是合数是解题关键。 【高频考题02】因数与倍数、奇数与偶数、质数与合数的实际应用。 1．李文在新华书店用100元买了几本单价为5元一本和10元一本的书，找回了36元，请你帮李文算一算，钱找对了吗？ 【答案】不对，两本书的价格都是5的倍数，所以找回的钱也应该是5的倍数，36不是5的倍数，所以钱找的不对。 【分析】5的倍数特点是个位是0或5，36的个位不是5或0，所以不是5的倍数。 【详解】两本书的价格都是5的倍数，所以找回的钱也应该是5的倍数，找回的钱不是5的倍数，所以找回的钱数不对。 【点睛】这个题目考查5的倍数特点。 2．水果店运来250千克水果，如果每20千克装一箱，能正好装完吗？如果每50千克装一箱，能正好装完吗？为什么？ 【答案】每20千克装一箱，不能正好装完；每50千克装一箱，能正好装完 【分析】根据因数和倍数的意义，如果数a能被数b整除（b≠0），a就叫做b的倍数，b就叫做a的因数；如果20是250的因数，则每20千克装一箱，能正好装完，反之则不能；如果50是250的因数，则每50千克装一箱，能正好装完，反之则不能。据此解答。 【详解】250÷20＝12（箱）……10（千克） 250÷50＝5（箱） 250不是20的倍数，而是50的倍数。 答：每20千克装一箱，不能正好装完；每50千克装一箱能正好装完。 【点睛】此题考查了因数、倍数的意义和应用。 3．新年到了，妈妈准备用某聊天软件给姐姐和弟弟共发100元的红包。 （1）如果弟弟收到的红包钱数为奇数，姐姐收到的红包钱数为奇数还是偶数？ （2）如果弟弟收到的红包钱数为偶数，姐姐收到的红包钱数为奇数还是偶数？ 【答案】（1）奇数 （2）偶数 【分析】根据奇偶运算性质，奇数＋奇数＝偶数，奇数＋偶数＝奇数，偶数＋偶数＝偶数，据此进行解答即可。 【详解】（1）因为弟弟收到的红包钱数为奇数，100是偶数，根据奇数＋奇数＝偶数，则姐姐收到的红包钱数为奇数。 答：姐姐收到的红包钱数为奇数。 （2）如果弟弟收到的红包钱数为偶数，100是偶数，根据偶数＋偶数＝偶数，则姐姐收到的红包钱数为偶数。 答：姐姐收到的红包钱数为偶数。 【点睛】本题考查奇偶运算，明确奇偶运算性质是解题的关键。 4．一个长方形的长和宽都是质数，它的周长是32厘米。这个长方形的面积可能是多少平方厘米？ 【答案】39平方厘米或55平方厘米 【分析】根据长方形的周长公式：C＝（a＋b）×2，用32除以2即可求出长方形的长与宽的和，再结合质数的定义找到长方形的长与宽，最后根据长方形的面积公式：S＝ab，据此进行计算即可。 【详解】32÷2＝16（厘米） 16＝3＋13，16＝5＋11 3×13＝39（平方厘米） 5×11＝55（平方厘米） 答：这个长方形的面积可能是39或55平方厘米。 【点睛】本题考查质数，结合长方形的周长和面积的计算方法是解题的关键。 【高频考题03】分解质因数。 1．能被2、3整除的最小三位数是( )，把它分解质因数是( )。 【答案】 102 102＝2×3×17 【分析】个位上是0，2，4，6，8的数都是2的倍数，一个数各个数位上的数字和是3的倍数，这个数就是3的倍数。最小的三位数，百位一定是1，再结合2、3的倍数特征判断出个位数字是几，最后再把它写成几个质数相乘的形式，据此解答。 【详解】最小的三位数，百位一定是1，因为它是2的倍数，则个位上可能是0，2，4，6，8，又因为它是3的倍数，当这个数是102、108时正好是3的倍数但最小的数是102。因为102＝2×51，而51＝3×17，这时的2、3、17都是质数，所以102＝2×3×17。故能被2、3整除的最小三位数是（102），把它分解质因数是（102＝2×3×17）。 【点睛】考查2、3的倍数特征及分解质因数的方法。个位上是0，2，4，6，8的数都是2的倍数，一个数各个数位上的数字和是3的倍数，这个数就是3的倍数。把一个数写成几个质数相乘的形式的过程叫做分解质因数。 2．一个数的最大因数是20，这个数是( )，把它分解质因数( )，它的因数有( )，其中奇数( )，合数有( )。 【答案】 20 20＝2×2×5 1、2、4、5、10、20 1、5 4、10、20 【分析】应明确一个数的最小倍数是它本身，得出这个数是20；然后根据找一个数的因数的方法，列举出20的因数；进而根据奇数、合数的含义：除了1和它本身以外，还含其它因数的数是合数；自然数中不是2的倍数的数是奇数；据此解答即可。 【详解】20＝2×2×5 20的因数有1、2、4、5、10、20。 所以一个数的最大因数是20，这个数是20，把它分解质因数20＝2×2×5，它的因数有1、2、4、5、10、20，其中奇数1、5，合数有4、10、20。 【点睛】此题应根据求一个数的因数的方法及奇数、合数的含义进行解答。 3．一个两位数，十位上的数字是最小的合数，个位上的数字既是质数又是偶数，这个两位数是( )，把它分解质因数是( )。 【答案】 42 42＝2×3×7 【分析】质数是指除了1和它本身的两个因数以外再没有其他的因数。合数是指就除了1和它本身的两个因数以外还有其他的因数。不能被2整除的自然数叫奇数，能被2整除的数叫偶数。分解质因数利用相乘法：写成几个质数相乘的形式（这些不重复的质数即为质因数），实际运算时可采用逐步分解的方式。 【详解】最小的合数是4，即十位上的数字是4，既是质数又是偶数的数字是2，即个位上的数字是2，所以这个两位数是42。 把42分解质因数：42＝2×3×7 【点睛】此题主要明确奇数与偶数、质数与合数的定义，以及奇数与质数、偶数与合数的区别，才能做出正确的解答。 【高频考题04】最大公因数的实际应用。 1．学校要把48本《红色革命故事》和64本《雷锋日记》平均分给若干名同学。如果《红色革命故事》和《雷锋日记》都不要有剩余，且保证分到《红色革命故事》和《雷锋日记》的同学人数相同，最多能分给多少名同学？ 【答案】16名 【分析】学生人数是48和64的最大公因数时，学生人数最多且书没有剩余。 【详解】48＝2×2×2×2×3 64＝2×2×2×2×2×2 48和64的最大公因数＝2×2×2×2＝16 当学生人数为16人时，书没有剩余。 答：最多能分给16名同学。 【点睛】此题考查最大公因数的应用，明确最大公因数的求法是解题的关键。 2．有一张长方形纸，长60厘米、宽50厘米，如果要剪成若干张同样大小的正方形纸片而没有剩余。剪出的正方形的边长最大是几厘米？ 【答案】10厘米 【分析】根据题意，把一张长方形纸剪成若干张同样大小的正方形纸片而没有剩余，那么正方形的边长是长方形长、宽的公因数；求正方形的最大边长，就是求长、宽的最大公因数。 把60、50分解质因数后，把公有的相同质因数乘起来就是最大公因数，即可得解。 【详解】60＝2×2×3×5 50＝2×5×5 60和50的最大公因数是：5×2＝10 即正方形的边长最大是10厘米。 答：剪出的正方形的边长最大是10厘米。 【点睛】本题考查求两个数的最大公因数的方法解决实际问题，也可以用短除法求两个数的最大公因数。 3．用正方形地砖铺一间长2.7米，宽2.4米的房间，要使用的地砖都是整块的，最大可以用边长多少分米的地砖？要用这样的地砖多少块？ 【答案】3分米；72块 【分析】2.7米＝27分米，2.4米＝24分米，由题意可知，地砖的边长是27和24的公因数，地砖最大的边长是27和24的最大公因数。先用短除法求出27和24的最大公因数是3，再用房间的长除以3求出一行地砖的块数，用房间的宽除以3求出行数，最后用一行地砖的块数乘行数，求出地砖的总块数。 【详解】2.7米＝27分米 2.4米＝24分米 27和24的最大公因数是3。 （27÷3）×（24÷3） ＝9×8 ＝72（块） 答：最大可以用边长3分米的地砖，要用这样的地砖72块。 【点睛】当所求量分别与两个（或几个）已知量的因数有关时，可以用公因数或最大公因数的知识解决。 【高频考题05】最小公倍数的实际应用。 1．实验小学准备选派五年级的一些同学参加公益活动，要求人数在30－50之间，把这些同学按8人一组或12人一组分都能正好分完。参加这次公益活动的同学有多少人？ 【答案】48人 【分析】这些同学按8人一组或12人一组分都能正好分完，说明总人数是8和12的公倍数，求出8和12的最小公倍数，再推算出在30和50之间的公倍数即可。 【详解】8＝2×2×2 12＝2×2×3 2×2×2×3＝24（人） 24×2＝48（人） 30＜48＜50 答：参加这次公益活动的同学有48人。 【点睛】关键是理解公倍数和最小公倍数的意义，掌握公倍数和最小公倍数的求法。 2．暑假期间，乐乐每6天游泳一次，小军每8天游泳一次。7月30日两人在游泳馆相遇，8月几日他们再次在游泳馆相遇？ 【答案】 8月23日 【分析】乐乐每6天游泳一次，小军每8天游泳一次，6和8的最小公倍数就是他们相遇两次之间间隔的时间；从7月30日向后推算这个天数即可。 【详解】 6和8的最小公倍数是24，所以他们每隔24天见一次面； 7月还有：31－30＝1（天） 8月还要：24－1＝23（天） 即7月30日再过24天是8月23日； 答：8月23日他们再次在游泳馆相遇。 3．一个走廊长48米，每隔4米放一盆花（两端都放），一共需要放多少盆花？如果改成6米放一盆花，中间几米处的那几盆花不需要挪动？ 【答案】13盆；12米、24米、36米处的那3盆花 【分析】已知走廊长48米，每隔4米放一盆花，先根据“全长÷间距＝间隔数”求出花盆的间隔；再根据“两端都放”可知，花的盆数＝间隔数＋1，据此求出一共需要放多少盆花。 原来每隔4米放一盆花，现在改成6米放一盆花，那么中间不需要挪动的花盆间隔是4和6的公倍数，先求出4和6的最小公倍数，再求出最小公倍数在48以内的倍数即可。 【详解】48÷4＋1 ＝12＋1 ＝13（盆） 4＝2×2 6＝2×3 4和6的最小公倍数是：2×2×3＝12 48以内12的倍数有：12，24，36。 即中间12米、24米、36米处的那3盆花不需要挪动。 答：一共需要放13盆花。如果改成6米放一盆花，中间12米、24米、36米处的那3盆花不需要挪动。 4．中秋节到来之际，为了弘扬传统文化，实验小学开展了以“我们的节日中秋”为主题的活动，其中一项活动是拔河比赛。五年级参加拔河比赛的学生在20到30人之间，赛前预演时，无论4人一组或6人一组都剩余3人，请问五年级参加拔河比赛的学生有多少人？ 【答案】27人 【分析】根据题意，五年级参加拔河比赛的学生人数在20人～30人之间，无论4人或6人一组都剩3人，求出4和6的公倍数，在20～30之间，求出倍数再加上3，就是参加拔河比赛的学生人数。 【详解】4＝2×2 6＝2×3 4人和6人的最小公倍数是2×2×3＝12 因为五年级参加拔河比赛的学生在20－30人之间，所以12×2＝24（人） 24＋3＝27（人） 答：五年级参加划旱地龙舟的学生有27人。 一、填空题。 1．（2024·安徽六安·期末）在15，7，1，4，20，19，36，41这些数中，奇数有( )，偶数有( )，5的倍数有( )。 【答案】 15，7，1，19，41 4，20，36 15，20 【分析】个位上是1、3、5、7、9的数是奇数，个位上是0、2、4、6、8的数是偶数，个位上是0或5的数是5的倍数。据此解题。 【详解】在15，7，1，4，20，19，36，41这些数中，奇数有15，7，1，19，41；偶数有4，20，36；5的倍数有15，20。 2．（2024·江苏·期末）5和10的最大公因数是( )，最小公倍数是( )。 【答案】 5 10 【分析】两数成倍数关系，最大公因数是较小数，最小公倍数是较大的数，据此分析。 【详解】 10是5的2倍，所以5和10的最大公因数是5，最小公倍数是10。 3．（2024·安徽滁州·期末）一个数的最小倍数是36，把这个数分解质因数是( )，这个数的因数一共有( )。 【答案】 36＝2×2×3×3 9个 【分析】分解质因数：把一个合数分解成若干个质因数的乘积的形式，即求质因数的过程叫做分解质因数。分解质因数只针对合数。再根据求一个数的因数的方法，求出36的因数，即可解答。 【详解】36＝2×2×3×3 36的因数有：1，2，3，4，6，9，12，18，36；一共有9个。 一个数的最小倍数是36，把这个数分解质因数是36＝2×2×3×3，这个数的因数一共有9个。 4．（2024·安徽六安·期末）奇思和妙想围着圆形花坛晨练。奇思走一圈用6分，妙想走一圈用8分。他们同时从A点出发，( )分后在A点第一次相遇。 【答案】24 【分析】第一次相遇经过的时间是6和8的最小公倍数。先将6和8分别分解质因数，公有质因数和独有质因数的乘积是这两个数的最小公倍数。 【详解】6＝2×3 8＝2×2×2 6和8的最小公倍数：2×3×2×2＝24 所以24分后在A点第一次相遇。 二、选择题。 5．（2024·江苏连云港·期末）1~20的自然数中有( )个合数。 A．8 B．9 C．10 D．11 【答案】D 【分析】合数：除了1和它本身，还有其它因数的数是合数，据此找出1~20的合数即可。 【详解】20以内的合数：4、6、8、9、10、12、14、15、16、18、20。 由此即可知道1~20的自然数中有11个。 故答案为：D 6．（2024·贵州贵阳·期末）下面四种说法不正确的有( )个。 ①最小的质数和最小的合数的最大公因数是1 ②互质的两个数的最大公因数是1 ③两个数的公因数的个数是有限的 ④两个合数的最大公因数不可能是1 A．1 B．2 C．3 【答案】B 【分析】①一个数，如果只有1和它本身两个因数，那么这样的数叫做质数。 一个数，如果除了1和它本身还有别的因数，那么这样的数叫做合数。 ②公因数只有1的两个非零自然数叫互质数。 ③因为一个数的因数个数是有限的，所以两个数公有的因数个数也是有限的。 ④通过举例找出两个合数，看它们的最大公因数是否能为1。 【详解】①最小的质数是2，最小的合数是4，2和4最大公因数是2，原题说法不正确； ②互质的两个数的最大公因数是1，原题说法正确； ③两个数的公因数的个数是有限的，原题说法正确； ④两个合数的最大公因数可能是1，例如8和9都是合数，8和9的最大公因数是1；原题说法不正确。 所以，说法不正确的是①和④，有2个。 故答案为：B 7．（2024·江苏淮安·期末）下面几组数中互质的是( )。 A．12和13 B．17和51 C．3和9 D．12和18 【答案】A 【分析】公因数只有1的两个非零自然数，叫做互质数，据此逐项分析即可。 【详解】A．12和13的公因数只有1，12和13是互质数； B．17和51的公因数除了1，还有17，17和51不是互质数； C．3和9的公因数除了1，还有3，3和9不是互质数； D．12和18公因数除了1，还有2、3、6，12和18不是互质数。 互质的是12和13。 故答案为：A 8．（2024·江苏连云港·期末）用数字0、1、5、8组成两位数，组成的数中既是2的倍数，也是5的倍数，有( )个。 A．3 B．4 C．6 D．9 【答案】A 【分析】根据2的倍数特征：个位上是0、2、4、6、8的数。5的倍数特征：个位上是5或0的数。那么既是2的倍数，也是5的倍数的特征就是：个位上是0的数。用数字0、1、5、8组成两位数，个位上是0的有：10、50、80，共3个。据此解答。 【详解】据分析可知，用数字0、1、5、8组成两位数，组成的数中既是2的倍数，也是5的倍数，有3个。 故答案为：A 三、计算题。 9．（2023·江苏淮安·期末）用短除法求出每组数的最大公因数和最小公倍数。 18和45        120和48        64和144 【答案】9，90；24，240；16，576 【分析】把两个数写在横线上，并用它们的公有质因数去除。如果两个数的商是互质数（即两个数的最大公因数为1），则这个公有质因数就是这两个数的最大公因数。如果两个数的商不互质，就按照上面的方法继续除，直到两个数的商最后是互质数为止。然后把所有的除数连乘起来，所得的积就是这两个数的最大公因数。所有公有质因数和各自独有的质因数连乘起来，所得的积就是这两个数的最小公倍数，据此解答。 【详解】 18和45的最大公因数3×3＝9， 最小公倍数3×3×2×5＝90。 120和48的最大公因数3×2×2×2＝24， 最小公倍数3×2×2×2×5×2＝240。 64和144的最大公因数2×2×2×2＝16， 最小公倍数2×2×2×2×4×9＝576。 四、解答题。 10．（2024·贵州毕节·期末）体育课上，为了使队形整齐，要求站队时每行人数都相等。五一班有32名同学，可以排几行？共有几种站队的方法？（每行或每列不少于2人） 【答案】4行或8行；2种 【分析】根据题意可知，每行人数×行数＝32，据此将32拆分成2个因数相乘，已知每行或每列不少于2人，据此判断有几种方法即可。 【详解】32＝1×32＝2×16＝4×8 因为每行或每列不少于2人，所以1×32、2×16不符合题意，所以有两种站队方法：①4行8列，②8行4列。 答：可以排4行或8行，共有2种站队的方法。 11．（2024·江苏淮安·期末）工地上有两根钢管，一根长36分米，另一根长63分米。因施工需要，把它们都锯成长度相等的小段，每段要尽可能长，且没有剩余。每段钢管长多少分米？一共能锯成多少段？ 【答案】9分米；11段 【分析】已知两根钢管要把它们剪成同样长的小段，每段长要尽可能长，且没有剩余，求每段钢管长多少米，就是求36和63的最大公因数；然后分别用36和63除以它们的最大公因数，即可求出两根钢管各自剪成的段数，最后相加即可。 【详解】36＝2×2×3×3 63＝3×3×7 36和63的最大公因数3×3＝9 36÷9＋63÷9 ＝4＋7 ＝11（段） 答：每段钢管长9分米，一共能锯成11段。 12．（2024·安徽合肥·期末）在城市较高建筑物的顶端应当设置航空障碍灯，通过间隔一段时间闪光的方式提醒过往飞机。一天晚上，小兰观察高楼上的障碍灯，发现第一盏灯每2秒闪一次，第二盏灯每3秒闪一次，第三盏灯每5秒闪一次，从某次三盏灯同时闪了之后开始计时，到2分钟结束时，三盏灯同时又闪了多少次？ 【答案】4次 【分析】2，3，5的最小公倍数是30，也就是说每30秒三盏灯同时闪动1次；2分钟＝120秒，因为从某次三盏灯同时闪了之后开始计时，所以到下一次同时闪动需要30秒；用120除以30，求出120里面有几个30就是三盏灯又同时闪动了几次。 【详解】2，3，5的最小公倍数是2×3×5＝30，所以这三盏灯每隔30秒同时闪动一次。 2分＝120秒 120÷30＝4（次） 答：到2分钟结束时，三盏灯同时又闪了4次。 13．（2024·山西大同·期末）五（1）班的同学分组合作学习，每4人一组多1人，每5人一组多1人，每8人一组也多1人。五（1）班至少有多少人？ 【答案】41人 【分析】每4人一组多1人，每5人一组多1人，每8人一组也多1人，说明五（1）班的总人数比4、5、8的公倍数多1。求五（1）班至少有多少人，求出4、5、8的最小公倍数，再加上1即可解答。 用质因数分解法可以求几个数的最小公倍数。全部公有的质因数和各自独立的质因数，它们连乘的积就是这几个数的最小公倍数。 【详解】4＝2×2 5的质因数只有5。 8＝2×2×2 则4、5、8的最小公倍数是2×2×5×2＝40。 40＋1＝41（人） 答：五（1）班至少有41人。 第 1 页 共 6 页 学科网（北京）股份有限公司 $$