第02讲 分式运算（知识解读+达标检测）-2024-2025学年八年级数学下册《知识解读•题型专练》（苏科版）

第02讲 分式运算 【考点1:同分母分式的加减】 【考点2:异分母分式的加减】 【考点3:分式的加减法的实际应用】 【考点4:分式的乘除】 【考点5:分式混合运算】 【考点6: 分式化简求值】 知识点1：同分母分式的加减 同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减； 上述法则可用式子表为： . 注意： （1） “把分子相加减”是把各分式的分子的整体相加减，即各个分子都应用括号， 当分子是单项式时，括号可以省略；当分子是多项式时，特别是分子相减时，括号不能省，不然，容易导致符号上的错误. （2）分式的加减法运算的结果必须化成最简分式或整式. 【考点1:同分母分式的加减】 【典例1】化简下列式子： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了同分母分式的加减法． （1）根据同分母分式的运算法则计算即可； （2）根据同分母分式的运算法则计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【变式1-1】化简下列各式： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题主要考查利用平方差公式化简分式， （1）根据同分母通分，再利用平方差公式进行分解约分即可； （2）变式后根据同分母通分，再利用平方差公式进行分解约分即可； 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． 【变式1-2】计算 (1) (2) 【答案】(1) (2)1 【分析】本题考查分式的加减，解题关键是熟练掌握分式运算法则． （1）根据同分母分式加减法则计算即可； （2）先变形，然后根据同分母分式加减法则计算即可． 【详解】（1）解：   ； （2）解： ． 【变式1-3】计算： (1) (2) (3) 【答案】(1) (2)1 (3) 【分析】本题考查分式的加减法，解答本题的关键是明确分式的加减法的计算方法，注意最后结果要化为最简． （1）根据同分母分式加减法则进行运算即可； （2）将式子整理后，利用同分母分式加减法则进行运算即可； （3）将式子整理后，利用同分母分式加减法则进行运算即可； 【详解】（1）解：， ， ， ； （2）解：， ， ， ； （3）解：， ， ． 知识点2：异分母分式的加减 异分母分式相加减，先通分，变为同分母的分式，再加减. 上述法则可用式子表为： . 注意： （1） 异分母的分式相加减，先通分是关键.通分后，异分母的分式加减法变成同分母分 式的加减法. （2）异分母分式加减法的一般步骤：①通分，②进行同分母分式的加减运算，③把结果化成最简分式. 【考点2:异分母分式的加减】 【典例2】．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查分式的加减法，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． （1）先通分，然后根据同分母分式的加减法法则计算； （2）先把同分母的结合计算，再通分，然后根据同分母分式的加减法法则计算． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解： ． 【变式2-1】计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)1 【分析】本题考查了分式的加减运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）先将分母通分，变成同分母分式，再根据同分母的分式加减法运算即可； （2）将式子变形后根据同分母的分式加减法运算即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 【变式2-2】化简： 【答案】 【分析】本题考查了分式加减运算，熟练掌握分式加减运算是解题的关键．先对各分式的分子分母因式分解，然后进行同分母分式加减计算，再进行异分母分式的加减计算，即可得到答案． 【详解】解： ． 【变式2-3】计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了分式的运算，整式的混合运算，准确熟练地进行计算是解题的关键． （1）先通分，再合并同类项计算，即可解答； （2）先根据平方差展开，再通分计算，最后约分，即可解答． 【详解】（1）解：原式 （2）解：原式 ． 【考点3:分式的加减法的实际应用】 【典例3】为了鼓励学生加强锻炼，增强体质，实验中学准备购买一些健身器材供学生使用．经调查，某厂家有A，B两种健身器材可供选择，如果购买A种健身器材套需要2万元，如果购买B种健身器材套需要12万元． (1)请用含x的代数式分别表示这两种健身器材的单价； (2)一套A种健身器材和一套B种健身器材一共多少元？ 【答案】(1)A种健身器材的单价为：万元；B种健身器材的单价为：万元 (2)万元 【分析】本题考查列代数式的应用，分式加法的应用，掌握，分式加法法则是解题的关键． （1）根据，列式即可． （2）用A种健身器材的单价+B种健身器材的单价，列式计算即可． 【详解】（1）解：A种健身器材的单价为：万元； B种健身器材的单价为：． （2）解： ， 答：一套A种健身器材和一套B种健身器材一共万元 【变式3-1】为了改善生态环境，防止水土流失，某村计划在荒坡上种树a棵．原计划每天种b棵树，由于青年志愿者的支援，每天比原计划多种10棵，结果提前 天完成任务． 【答案】 【分析】本题主要考查了分式减法的应用．根据题意列出代数式，再计算，即可． 【详解】解：根据题意得： ， 即结果提前天完成任务． 故答案为： 【变式3-2】将克糖放入一杯水中，得到克糖水（）． (1)糖水的浓度为_____________； A．        B．        C． (2)再往杯中加入克糖，生活经验告诉我们糖水更甜了，用不等式表示加糖前后的浓度关系为_________； (3)请证明（2）中的不等式成立． 【答案】(1)B (2) (3)见解析 【分析】本题主要考查了列代数式，分式加减的应用，解题的关键是熟练掌握分式混合运算法则，准确计算． （1）根据“糖水浓度糖糖水”，即可求解； （2）先表示出加入克糖后，糖水的浓度为：，根据糖水变甜，浓度变大，得出； （3）利用作差法进行证明即可． 【详解】（1）解：糖水的浓度为：， 故选：B； （2）再往杯中加入克糖后，糖水的浓度为：， 糖水变甜了，即糖水的浓度变大了， ， 故答案为：； （3）证明： ，， ，， ， 即． 【变式3-3】某地产公司推出“主房+多变入户花园”的两种户型，即在图1中边长为a米的正方形主房进行改造．户型一是在主房两侧均加长b米．阴影部分作为入户花园，如图2所示，户型二是在主房一边减少b米后，另一边再增加b米，阴影部分作为入户花园．如图3所示．解答下列问题： (1)填空：户型一的面积（包括入户花园）： ；户型一入户花园与户型二入户花园面积差为M，则M＝ ． (2)若户型一的总价为50万元，户型二的总价为40万元，试判断哪种户型（包括入户花园）单价较低，并说明理由． 【答案】(1)， (2)户型二的单价较低，理由见详解 【分析】（1）户型一是边长为的正方形，根据完全平方公式计算即可．分别计算户型一入户花园面积与户型二入户花园面积，作差即可． （2）先根据总价÷总面积＝单价，计算两种户型的单价，再利用作差法，即可作出判断． 【详解】（1）户型一的面积为： ， ， 故答案为：，． （2）户型一的单价为：万元， 户型二的单价为：万元， ， ， ，， ， ∴户型二的单价较低． 【点睛】本题考查了比较代数式大小及分式加减法的应用等知识，掌握整式混合运算与分式加减法的运算法则，并利用作差法比较大小是解题的关键． 知识点3：分式的乘除 分式的乘除法运算 乘法 分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母，即 除法 分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘，即 知识点4：分式的乘方 分式的乘方运算法则：分式的乘方是把分子、分母分别乘方，用字母表示为： （为正整数）. ⑴、（是正整数） ⑵、（是正整数） ⑶、（是正整数） ⑷、（，是正整数，） ⑸、（是正整数） ⑹、（，n是正整数） 【考点4:分式的乘除】 【典例4】计算： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1)2 (2) (3) (4) 【分析】此题了考查分式的乘除运算，熟练掌握分式的运算法则是解题的关键． （1）将分子与分母分解因式，分式除法化为分式乘法，再约去分子分母中的公因式即可； （2）将分子与分母分解因式，分式除法化为分式乘法，再约去分子分母中的公因式即可； （3）将分子与分母分解因式，分式除法化为分式乘法，再约去分子分母中的公因式即可； （4）将分子与分母分解因式，分式除法化为分式乘法，再约去分子分母中的公因式即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 【变式4-1】计算 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了分式的除法计算，分式的乘除法计算： （1）先把两个分式的分子和分母都分解因式，再把除法变成乘法后约分化简即可得到答案； （2）先把第一个分式的分子分解因式，再把除法变成乘法后约分化简即可得到答案． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【变式4-2】计算： (1) ； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了分式运算，涉及到因式分解，熟记运算法则是关键． （1）根据分式的乘除混合运算运算即可； （2）运用完全平方式、平方差公式、提取公因式因式分解，再约分化简即可． 【详解】（1）解：原式 （2）解：原式 ． 【变式4-3】（1）计算：； （2）计算：； （3）计算：． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】本题主要考查了分式的乘除运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． （1）按照分式的乘法法则进行计算即可； （2）按照分式的除法法则进行计算即可； （3）将除法变成乘法，然后按照分式的乘法法则进行计算即可． 【详解】解：（1） ； （2） ； （3） ． 【考点5:分式混合运算】 【典例5】化简： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题主要考查了分式的混合计算： （1）先把小括号内的式子通分，再把除法变成乘法后约分化简即可得到答案； （2）先把小括号内的式子通分，再把除法变成乘法后约分化简即可得到答案． 【详解】（1）解：原式 ∙ （2）解：原式 ． 【变式5-1】计算：． 【答案】 【分析】本题考查分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．先通分括号内的式子，同时将括号外的除法转化为乘法，再约分即可． 【详解】解： 【变式5-2】计算 【答案】 【分析】本题考查了分式的混合运算，先把括号内通分化简，再把除法转化为乘法约分化简即可． 【详解】解： ． 【变式5-3】计算与化简：． 【答案】 【分析】本题主要考查了分式的混合运算，掌握分式的混合运算法则是解题的关键．先算括号内的减法，再算除法即可． 【详解】解：， = 【考点6: 分式化简求值】 【典例6】先化简，再求值：；请在以下四个数：，，，中，选择一个适当的数作为的值，并求出代数式的值． 【答案】，． 【分析】本题考查了分式的化简求值，掌握分式的混合运算法则是解题的关键． 根据分式的减法法则、除法法则把原式化简，然后根据分式有意义的条件确定的值，代入计算得到答案． 【详解】解： ， ∵由分母与除数不为零可知：且， ∴， ∴原式． 【变式6-1】先化简，再求值：，化简后，将代入求值． 【答案】， 【分析】本题考查了分式的化简求值，先利用分式的性质和运算法则进行化简，再把的值代入化简后的结果中计算即可求解，掌握分式的性质和运算法则是解题的关键． 【详解】解：原式 ， 当时， 原式． 【变式6-2】先化简，再求值：，其中． 【答案】，3 【分析】本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则． 先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再将m的值代入计算即可． 【详解】解：原式 ， 当时，原式． 【变式6-3】先化简，再求值：，其中 【答案】， 【分析】本题主要考查了分式的化简求值，正确计算是解题的关键． 根据分式的混合计算法则化简后再代入计算即可． 【详解】解： 当时，原式． 一、单选题 1．计算，结果正确的是（   ） A．1 B． C．0 D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了分式的加减法，熟练掌握分式通分的方法是解答本题的关键，注意结果要化为最简． 根据同分母分式的加减法法则：分母不变，分子相加减，据此计算即可求出答案． 【详解】解： 故选：B． 2．计算的结果是（   ） A． B． C．2 D．4 【答案】B 【分析】本题主要考查了同分母分式加减法．根据同分母分式加减法法则进行计算即可． 【详解】解： ． 故选：B． 3．化简的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题主要考查了分式的乘方运算，直接利用分式的乘方运算法则计算得出答案． 【详解】解：． 故选：D． 4．下列计算不正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了含乘方的分式的乘除混合运算，熟练掌握相关运算法则是解题关键． 根据分式的乘除混合运算法则以及分式的乘方逐一化简，即可判断答案． 【详解】解：A、 ， ∴原计算正确，本选项不符合题意； B、 ， ∴原计算正确，本选项不符合题意； C、 ， ∴原计算正确，本选项不符合题意； D、 ，原计算错误，本选项符合题意． 故选：D． 5．的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了分式的混合运算，掌握分式的混合运算法则成为解题的关键． 先对能因式分解的分子、分母因式分解，然后再约分即可解答． 【详解】解： ． 故选A． 6．小明在纸上书写了一个正确的演算过程，同桌小亮一不小心撕坏了一角，如图所示，则撕坏的一角中“”为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是分式的混合运算，理解题意，列出正确的运算式是解本题的关键． 先根据乘法与减法的意义列式表示“”为，再计算即可． 【详解】解：撕坏的一角中“”为 ． 故选：A． 7．化简 的结果是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了分式的除法运算等知识点，根据分式的除法运算法则即可求出答案，解题的关键是熟练运用分式的除法运算法则． 【详解】 ， 故选：A ． 二、填空题 8．计算的结果是 ． 【答案】2 【分析】本题主要考查分式的加减，直接利用分式的加减运算的法则进行求解即可． 【详解】解：原式， 故答案为：2． 9．若，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查分式的化简求值，原式通分并利用同分母分式的加法法则计算，再利用完全平方公式变形，把已知等式代入计算即可求出值．熟练掌握相应的运算法则是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， 即． 故答案为：． 三、解答题 10．计算：． 【答案】 【分析】本题考查分式的混合运算，熟练掌握分式运算法则是解题的关键． 先计算括号内的，再计算除法即可求解． 【详解】解：原式 ． 11．先化简，再求值：，其中． 【答案】，3 【分析】本题考查的是分式的化简求值，掌握分式的混合运算法则是解题的关键． 根据分式的减法法则、除法法则把原式化简，把m的值代入计算得到答案． 【详解】解：原式 ， 当时，原式． 12．先化简，再从−1，1，2，3，四个数中选一个合适的数作为的值代入求值． 【答案】； 【分析】本题考查了分式的化简求值，熟练掌握分式混合运算法则是解题的关键． 先化简分式，然后将x的值代入计算即可． 【详解】解： 且， ， 则原式． 13．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据分式的乘法计算即可； （2）根据分式的除法法则计算即可． 本题考查了分式的乘法，除法，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第02讲 分式运算 【考点1:同分母分式的加减】 【考点2:异分母分式的加减】 【考点3:分式的加减法的实际应用】 【考点4:分式的乘除】 【考点5:分式混合运算】 【考点6: 分式化简求值】 知识点1：同分母分式的加减 同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减； 上述法则可用式子表为： . 注意： （1） “把分子相加减”是把各分式的分子的整体相加减，即各个分子都应用括号， 当分子是单项式时，括号可以省略；当分子是多项式时，特别是分子相减时，括号不能省，不然，容易导致符号上的错误. （2）分式的加减法运算的结果必须化成最简分式或整式. 【考点1:同分母分式的加减】 【典例1】化简下列式子： (1)； (2)． 【变式1-1】化简下列各式： (1)； (2)． 【变式1-2】计算 (1) (2) 【变式1-3】计算： (1) (2) (3) 知识点2：异分母分式的加减 异分母分式相加减，先通分，变为同分母的分式，再加减. 上述法则可用式子表为： . 注意： （1） 异分母的分式相加减，先通分是关键.通分后，异分母的分式加减法变成同分母分 式的加减法. （2）异分母分式加减法的一般步骤：①通分，②进行同分母分式的加减运算，③把结果化成最简分式. 【考点2:异分母分式的加减】 【典例2】．计算： (1)； (2)． 【变式2-1】计算： (1)； (2)． 【变式2-2】化简： 【变式2-3】计算： (1)； (2)． 【考点3:分式的加减法的实际应用】 【典例3】为了鼓励学生加强锻炼，增强体质，实验中学准备购买一些健身器材供学生使用．经调查，某厂家有A，B两种健身器材可供选择，如果购买A种健身器材套需要2万元，如果购买B种健身器材套需要12万元． (1)请用含x的代数式分别表示这两种健身器材的单价； (2)一套A种健身器材和一套B种健身器材一共多少元？ 【变式3-1】为了改善生态环境，防止水土流失，某村计划在荒坡上种树a棵．原计划每天种b棵树，由于青年志愿者的支援，每天比原计划多种10棵，结果提前 天完成任务． 【变式3-2】将克糖放入一杯水中，得到克糖水（）． (1)糖水的浓度为_____________； A．        B．        C． (2)再往杯中加入克糖，生活经验告诉我们糖水更甜了，用不等式表示加糖前后的浓度关系为_________； (3)请证明（2）中的不等式成立． 【变式3-3】某地产公司推出“主房+多变入户花园”的两种户型，即在图1中边长为a米的正方形主房进行改造．户型一是在主房两侧均加长b米．阴影部分作为入户花园，如图2所示，户型二是在主房一边减少b米后，另一边再增加b米，阴影部分作为入户花园．如图3所示．解答下列问题： (1)填空：户型一的面积（包括入户花园）： ；户型一入户花园与户型二入户花园面积差为M，则M＝ ． (2)若户型一的总价为50万元，户型二的总价为40万元，试判断哪种户型（包括入户花园）单价较低，并说明理由． 知识点3：分式的乘除 分式的乘除法运算 乘法 分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母，即 除法 分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘，即 知识点4：分式的乘方 分式的乘方运算法则：分式的乘方是把分子、分母分别乘方，用字母表示为： （为正整数）. ⑴、（是正整数） ⑵、（是正整数） ⑶、（是正整数） ⑷、（，是正整数，） ⑸、（是正整数） ⑹、（，n是正整数） 【考点4:分式的乘除】 【典例4】计算： (1) (2) (3) (4) 【变式4-1】计算 (1) (2) 【变式4-2】计算： (1) ； (2)． 【变式4-3】（1）计算：； （2）计算：； （3）计算：． 【考点5:分式混合运算】 【典例5】化简： (1)； (2)． 【变式5-1】计算：． 【变式5-2】计算 【变式5-3】计算与化简：． 【考点6: 分式化简求值】 【典例6】先化简，再求值：；请在以下四个数：，，，中，选择一个适当的数作为的值，并求出代数式的值． 【变式6-1】先化简，再求值：，化简后，将代入求值． 【变式6-2】先化简，再求值：，其中． 【变式6-3】先化简，再求值：，其中 一、单选题 1．计算，结果正确的是（   ） A．1 B． C．0 D． 2．计算的结果是（   ） A． B． C．2 D．4 3．化简的结果是（   ） A． B． C． D． 4．下列计算不正确的是（   ） A． B． C． D． 5．的结果是（   ） A． B． C． D． 6．小明在纸上书写了一个正确的演算过程，同桌小亮一不小心撕坏了一角，如图所示，则撕坏的一角中“”为（   ） A． B． C． D． 7．化简 的结果是（ ） A． B． C． D． 二、填空题 8．计算的结果是 ． 9．若，，则 ． 三、解答题 10．计算：． 11．先化简，再求值：，其中． 12．先化简，再从−1，1，2，3，四个数中选一个合适的数作为的值代入求值． 13．计算： (1)； (2)． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$