第01讲 分式概念与基本性质（知识解读+达标检测）-2024-2025学年八年级数学下册《知识解读•题型专练》（苏科版）

第01讲 分式概念与基本性质 【题型1:分式的定义】 【题型2:分式意义的条件】 【题型3:分式值为零的条件】 【题型4:分式的性质】 【题型5:分式的约分、最简分式】 【题型6: 分式的通分】 【题型7: 分式求值】 知识点1：分式相关概念 定义：一般地，如果A、B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式.其中A叫做分子，B叫做分母. 1.最简分式：分子与分母没有公因式的分式； 2.分式有意义的条件：B≠0； 3.分式值为0的条件：分子=0且分母≠0 【题型1:分式的定义】 【典例1】给出如下式子：①；②；③；④，其中是分式的是（    ） A．①②③④ B．①③④ C．①③ D．①④ 【变式1-1】下列式子是分式的是（   ） A． B． C． D． 【变式1-2】下列式子是分式的是（   ） A． B． C． D． 【变式1-3】下列代数式中，是分式是（   ） A． B． C． D． 【题型2:分式有意义的条件】 【典例2】若分式有意义，则的取值范围是 ． 【变式2-1】若分式在实数范围内有意义，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式2-2】若代数式有意义，则x的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式2-3】分式有意义，则x的取值范围是 ． 【题型3:分式值为零的条件】 【典例3】若分式的值为0，则x的值为（    ） A．3 B．3或 C． D．0 【变式3-1】若分式的值为零，则x应满足的条件是（   ） A． B． C． D． 【变式3-2】若分式的值为0，则的值为 ． 【变式3-3】当 时，分式的值为零． 知识点2：分式的基本性质 分式的分子与分母同乘(或除以)一个不等于0的整式，分式的值不变，这个性质叫做分式的基本性质，用式子表示是：（其中M是不等于零的整式）. 注意： （1） 基本性质中的A、B、M表示的是整式.其中B≠0是已知条件中隐含着的条件，一般在解题过程中不另强调；M≠0是在解题过程中另外附加的条件，在运用分式的基本性质时，必须重点强调M≠0这个前提条件. （2） 在应用分式的基本性质进行分式变形时，虽然分式的值不变，但分式中字母的取值范围有可能发生变化.例如：，在变形后，字母的取值范围变大了. 【题型4:分式的性质】 【典例4】如果把分式中的x和y都扩大2倍，那么这个分式的值（   ） A．不变 B．扩大2倍 C．扩大3倍 D．扩大4倍 【变式4-1】分式中的x，y的值都扩大为原来的2倍，则分式的值（   ） A．扩大为原来的2倍 B．不变 C．缩小为原来的 D．扩大为原来的4倍 【变式4-2】如果分式中的x，y都扩大为原来的2倍，那么分式的值（   ） A．不变 B．扩大为原来的2倍 C．缩小为原来的4倍 D．缩小为原来的倍 【变式4-3】若把分式中的和都扩大倍，那么分式的值（　　） A．扩大3倍 B．不变 C．缩小3倍 D．缩小6倍 知识点3：分式的变号法则 对于分式中的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变；改变其中任何一个或三个，分式成为原分式的相反数. 注意：根据分式的基本性质有，.根据有理数除法的符号法则有.分式与互为相反数.分式的符号法则在以后关于分式的运算中起着重要的作用. 知识点4：分式的约分，最简分式 与分数的约分类似，利用分式的基本性质，约去分子和分母的公因式，不改变分式的值，这样的分式变形叫做分式的约分.如果一个分式的分子与分母没有相同的因式（1除外），那么这个分式叫做最简分式. 【题型5:分式的约分、最简分式】 【典例5】下列分式中，为最简分式的是（    ） A． B． C． D． 【变式5-1】下列四个分式中，为最简分式的是（   ） A． B． C． D． 【变式5-2】约分的结果是（    ） A． B． C． D． 【变式5-3】下列等式成立的是（　　） A． B． C． D． 知识点5：分式通分 与分数的通分类似，利用分式的基本性质，使分式的分子和分母同乘适当的整式，不改变分式的值，把分母不同的分式化成相同分母的分式，这样的分式变形叫做分式的通分. 【题型6: 分式的通分】 【典例6】．通分： (1)，，； (2)，； (3)，，． 【变式6-1】通分： (1)，； (2)，． 【变式6-2】通分 (1) (2) 【题型7: 分式求值】 【典例7】已知，则代数式的值为 ． 【变式7-1】已知，则分式 ． 【变式7-2】若分式，则分式的值为 ． 【变式7-3】已知，且，则的值为 ． 一、单选题 1．若分式有意义，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 2．已知，则的值为（　　） A． B． C． D． 3．若分式的值为0，则（   ） A． B． C． D．或－2 4．根据分式的基本性质，把分式中的分子、分母的x，y同时扩大3倍，那么分式的值（   ） A．扩大3倍 B．缩小3倍 C．改变 D．不改变 5．下列各式中，正确的是（　　） A． B． C． D． 6．下列各式从左到右变形正确的是（   ） A． B． C． D． 7．根据下列表格信息，可能为（　　） 0 1 2 0 无意义 A． B． C． D． 二、填空题 8．已知，则分式的值为 ． 9．分式，，的最简公分母是 ． 10．若，则分式的值为 ． 11．化简 ． 12．当 时，分式的值为0． 三、解答题 13．通分： (1)，； (2)，； (3)，，． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第01讲 分式概念与基本性质 【题型1:分式的定义】 【题型2:分式意义的条件】 【题型3:分式值为零的条件】 【题型4:分式的性质】 【题型5:分式的约分、最简分式】 【题型6: 分式的通分】 【题型7: 分式求值】 知识点1：分式相关概念 定义：一般地，如果A、B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式.其中A叫做分子，B叫做分母. 1.最简分式：分子与分母没有公因式的分式； 2.分式有意义的条件：B≠0； 3.分式值为0的条件：分子=0且分母≠0 【题型1:分式的定义】 【典例1】给出如下式子：①；②；③；④，其中是分式的是（    ） A．①②③④ B．①③④ C．①③ D．①④ 【答案】C 【分析】此题考查了分式，形如（其中、都是整式，且中含有字母），这样的式子叫做分式，熟练掌握分式的定义是解题的关键． 根据分式的定义进行解答即可． 【详解】解：下列式子：①；②；③；④，分式有①；③． 故选：C． 【变式1-1】下列式子是分式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了分式的定义，熟练掌握分式的定义是解题的关键．根据分式的定义作答即可． 【详解】解：A、是分数，不是分式，故本选项不符合题意； B、 分母中含有字母x，是分式，故本选项符合题意； C、 是多项式，故本选项不符合题意； D、是多项式，故本选项不符合题意． 故选：B． 【变式1-2】下列式子是分式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查分式的定义，掌握分式的定义是解答本题的关键． 根据分式的定义逐项判断即可． 【详解】解：A、是分数，不是分式，故A选项不符合题意； B、是分式，故B选项符合题意； C、是整式，不是分式，故C选项不符合题意； D、是整式，不是分式，故D选项不符合题意； 故选：B． 【变式1-3】下列代数式中，是分式是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查分式的定义，熟练掌握分式的定义是解答本题的关键．判断分式的依据是看分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，如果不含有字母则不是分式．注意π不是字母，是常数，所以分母中含的代数式不是分式，是整式．根据分式的定义逐项分析即可． 【详解】解：A．是整式，不是分式，不符合题意； B．是整式，不是分式，不符合题意； C．是分式，符合题意； D．是整式，不是分式，不符合题意； 故选：C． 【题型2:分式有意义的条件】 【典例2】若分式有意义，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了分式有意义的条件，熟练掌握分式的分母不能为0是解题关键．根据分式的分母不能为0即可得． 【详解】解：分式有意义， 则， ∴， 故答案为：． 【变式2-1】若分式在实数范围内有意义，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了分式有意义的条件，掌握分式有意义，则分母不为零是解题的关键． 根据分式有意义的条件即可求解． 【详解】解：由题意得，， ∴， 故选：B． 【变式2-2】若代数式有意义，则x的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题主要考查了分式有意义的条件，分式分母不为零是解题的关键．根据分式有意义的条件可得，即可解答． 【详解】解：由题意得：，解得：， 故选：C． 【变式2-3】分式有意义，则x的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了分式有意义的条件．根据分式的分母不等于可得，解不等式即可求解． 【详解】解：∵分式有意义， ∴， ∴， 故答案为：． 【题型3:分式值为零的条件】 【典例3】若分式的值为0，则x的值为（    ） A．3 B．3或 C． D．0 【答案】A 【分析】本题考查了分式有意义和分式的值为的条件，解题的关键是掌握分式的相关定义．根据分式的值为的条件即可求解． 【详解】解：依据题意得：， ， 解得：， ， ， ， 故选：C． 【变式3-1】若分式的值为零，则x应满足的条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查分式值为零的条件，解题的关键是明确分式值为零需分子为零且分母不为零． 先根据分子为零求出的值，再根据分母不为零对求出的值进行筛选． 【详解】要使分式的值为零，则分子，且分母， 由，解得或， 又因为分母，即， 所以． 故选：D． 【变式3-2】若分式的值为0，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查分式的概念及性质，根据题意得到，计算即可求出． 【详解】解：根据题意， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式3-3】当 时，分式的值为零． 【答案】1 【分析】本题考查了分式的值为零的条件，解题的关键是掌握若分式的值为零，需同时具备两个条件：（1）分子为0；（2）分母不为0．这两个条件缺一不可．根据分式的值为零的条件，即可求解． 【详解】解：由题意得：且， 解得：， 故答案为：1． 知识点2：分式的基本性质 分式的分子与分母同乘(或除以)一个不等于0的整式，分式的值不变，这个性质叫做分式的基本性质，用式子表示是：（其中M是不等于零的整式）. 注意： （1） 基本性质中的A、B、M表示的是整式.其中B≠0是已知条件中隐含着的条件，一般在解题过程中不另强调；M≠0是在解题过程中另外附加的条件，在运用分式的基本性质时，必须重点强调M≠0这个前提条件. （2） 在应用分式的基本性质进行分式变形时，虽然分式的值不变，但分式中字母的取值范围有可能发生变化.例如：，在变形后，字母的取值范围变大了. 【题型4:分式的性质】 【典例4】如果把分式中的x和y都扩大2倍，那么这个分式的值（   ） A．不变 B．扩大2倍 C．扩大3倍 D．扩大4倍 【答案】B 【分析】本题考查了分式的基本性质，根据分式的分子分母都乘以或处以同一个不为零的数，分式的值不变，可得答案分式的分子分母都乘以或处以同一个不为零的数，分式的值不变． 【详解】解：分式中的与都扩大2倍，得 ， 故选：B． 【变式4-1】分式中的x，y的值都扩大为原来的2倍，则分式的值（   ） A．扩大为原来的2倍 B．不变 C．缩小为原来的 D．扩大为原来的4倍 【答案】B 【分析】本题考查了分式的基本性质“分式的分子和分母乘（或除以）同一个不等于0的整式，分式的值不变”，熟练掌握分式的基本性质是解题关键．根据分式的基本性质求解即可得． 【详解】解：∵， ∴分式的值不变． 故选：B． 【变式4-2】如果分式中的x，y都扩大为原来的2倍，那么分式的值（   ） A．不变 B．扩大为原来的2倍 C．缩小为原来的4倍 D．缩小为原来的倍 【答案】B 【分析】本题主要考查分式的基本性质，掌握以上知识是解答本题的关键； 本题根据分式的基本性质，进行作答，即可求解； 【详解】解：原分式为，当 和均扩大为原来的2倍时，新分式为： ， 分子扩大为原来的4倍，分母扩大为原来的2倍，因此分式的值整体扩大2倍； 故选：B； 【变式4-3】若把分式中的和都扩大倍，那么分式的值（　　） A．扩大3倍 B．不变 C．缩小3倍 D．缩小6倍 【答案】C 【分析】本题考查的是对分式的性质的理解，根据分式的基本性质分式中元素扩大或缩小倍，只要将原数乘以或除以，再代入原式求解即可． 【详解】解：把原式中的、分别换成、，那么 把分式中的和都扩大倍，分式的值缩小倍， 故选：C． 知识点3：分式的变号法则 对于分式中的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变；改变其中任何一个或三个，分式成为原分式的相反数. 注意：根据分式的基本性质有，.根据有理数除法的符号法则有.分式与互为相反数.分式的符号法则在以后关于分式的运算中起着重要的作用. 知识点4：分式的约分，最简分式 与分数的约分类似，利用分式的基本性质，约去分子和分母的公因式，不改变分式的值，这样的分式变形叫做分式的约分.如果一个分式的分子与分母没有相同的因式（1除外），那么这个分式叫做最简分式. 【题型5:分式的约分、最简分式】 【典例5】下列分式中，为最简分式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是最简分式，一个分式的分子与分母没有公因式时，叫最简分式，根据最简分式的概念判断即可． 【详解】解：A、是最简分式，符合题意； B、，不是最简分式，不符合题意； C、，不是最简分式，不符合题意； D、，不是最简分式，不符合题意； 故选：A． 【变式5-1】下列四个分式中，为最简分式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了最简分式，利用最简分式的定义：分子分母没有公因式，判断即可． 【详解】解：A、为最简分式，符合题意； B、，不符合题意； C、，不符合题意； D、，不符合题意． 故选：A． 【变式5-2】约分的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了分式的约分，分子分母同时约去即可得出答案． 【详解】解：， 故选：A． 【变式5-3】下列等式成立的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了分式的约分和分式的基本性质，根据分式基本性质进行变形，即可得到答案. 【详解】A. ，故选项错误，不合题意； B. ，故选项错误，不合题意； C. ，故选项正确，符合题意； D. ，故选项错误，不合题意； 故选：C 知识点5：分式通分 与分数的通分类似，利用分式的基本性质，使分式的分子和分母同乘适当的整式，不改变分式的值，把分母不同的分式化成相同分母的分式，这样的分式变形叫做分式的通分. 【题型6: 分式的通分】 【典例6】．通分： (1)，，； (2)，； (3)，，． 【答案】(1)，，； (2)，； (3)，，． 【分析】本题考查了通分，准确熟练地进行计算是解题的关键． （1）先求出最简公分母是，然后根据分式的基本性质进行计算，即可解答； （2）先求出最简公分母是，然后根据分式的基本性质进行计算，即可解答； （3）先求出最简公分母是，然后根据分式的基本性质进行计算，即可解答． 【详解】（1）解：最简公分母是， 所以，，； （2）解：最简公分母是， 所以，； （3）解：最简公分母是， 所以，，． 【变式6-1】通分： (1)，； (2)，． 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题考查了通分，准确熟练地进行计算是解题的关键． （1）先求出最简公分母是，然后根据分式的基本性质进行计算，即可解答； （2）先求出最简公分母是，然后根据分式的基本性质进行计算，即可解答． 【详解】（1）解：， ； （2）解：， ． 【变式6-2】通分 (1) (2) 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了通分．解答此题的关键是熟知找公分母的方法：系数取各系数的最小公倍数；凡出现的因式都要取；相同因式的次数取最高次幂． （1）最简公分母是，利用分式的性质变形即可； （2）中分式的分母分别为，，确定最简公分母是，然后利用分式的基本性质变形即可． 【详解】（1）解：∵最简公分母为， ∴，； （2）解：∵最简公分母为， ∴， ． 【题型7: 分式求值】 【典例7】已知，则代数式的值为 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查分式的加减法，将已知条件变形为，再将要求的分式变形为，然后整体代入求值即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴ ， 故答案为：． 【变式7-1】已知，则分式 ． 【答案】 【分析】本题考查了分式的化简求值，设，则，，代入即可求解，掌握分式的基本性质是解题的关键． 【详解】解：设， ∴，， ∴， 故答案为：． 【变式7-2】若分式，则分式的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查分式的化简求值，由题干条件找出之间的关系，根据已知条件，将分式整理为，再代入则分式中求值即可． 【详解】解：∵， ∴， ， 将整体代入分式得 ． 故答案为：． 【变式7-3】已知，且，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查分式的求值，整体代入法求值即可． 【详解】解：∵，且， ∴； 故答案为：． 一、单选题 1．若分式有意义，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了分式有意义的条件．根据分母不为零列出不等式计算即可． 【详解】解：∵分式有意义， ∴， ∴， 故选：B． 2．已知，则的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了分式的值，熟练掌握整体思想是解题的关键．将分式变形为，然后代入求值即可． 【详解】解：∵， ∴ ， 故选：C． 3．若分式的值为0，则（   ） A． B． C． D．或－2 【答案】C 【分析】此题主要考查了分式的值为零的条件，熟练掌握分式的值为零的条件是解题的关键； 根据分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零得且即可解答． 【详解】解：由题意得：且， 解得：， 故选C． 4．根据分式的基本性质，把分式中的分子、分母的x，y同时扩大3倍，那么分式的值（   ） A．扩大3倍 B．缩小3倍 C．改变 D．不改变 【答案】D 【分析】本题主要考查了分式的基本性质，分式的分子分母同时乘或除以同一个不为零的整式，分式的值不变，根据分式的基本性质进行解答即可，熟记分式基本性质是解题的关键． 【详解】解：根据分式的基本性质可得，把分式中的分子、分母的、同时扩大3倍，即，则分式的值不改变． 故选：D． 5．下列各式中，正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查分式的基本性质，熟练掌握其性质是解题的关键．利用分式的性质逐项判断即可． 【详解】解：不能约分，则A不符合题意； ，则B符合题意； ，则C不符合题意； 不能约分，则D不符合题意； 故选：B． 6．下列各式从左到右变形正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查分式的性质，根据分式的性质逐项计算即可得出正确的选项 【详解】解：A. ，正确，符合题意； B. ，原选项错误，不符合题意； C. ，原选项错误，不符合题意； D. ，原选项错误，不符合题意； 故选：A． 7．根据下列表格信息，可能为（　　） 0 1 2 0 无意义 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是分式有意义的条件、分式为0是条件，掌握分式的分母不为0是解题的关键．根据分式有意义的条件、分式为0是条件解答． 【详解】解：当时，分式无意义， 分式的分母可能是． 当时，分式的值为0， 分式的分子可能是． 分式可能是． 故选：C． 二、填空题 8．已知，则分式的值为 ． 【答案】/0.6 【分析】本题考查了分式的求值，由得，然后代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 9．分式，，的最简公分母是 ． 【答案】 【分析】本题考查了分式的最简公分母，根据确定最简公分母的方法：①找系数：找各分母中系数的最小公倍数；②找分母：找各分母中所有单个字母因式或多项式字母因式；③找指数：取各相同字母因式或多项式字母因式的最大指数求解即可． 【详解】解：分式，，的最简公分母是， 故答案为：． 10．若，则分式的值为 ． 【答案】 【分析】此题考查了分式的值，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 已知等式整理得到关系式，代入原式计算即可求出值． 【详解】解：等式整理得：，即， 则． 故答案为：． 11．化简 ． 【答案】 【分析】本题考查约分，根据分式的基本性质，进行约分化简即可． 【详解】解：； 故答案为： 12．当 时，分式的值为0． 【答案】2 【分析】本题考查分式值为0的条件，根据分式值为0分子为0，分母不为0直接求解即可得到答案； 【详解】解：∵分式的值为0， ∴，， ∴， 故答案为：2． 三、解答题 13．通分： (1)，； (2)，； (3)，，． 【答案】(1)， (2)， (3)，， 【分析】本题考查了通分，找出最简公分母是解此题的关键． （1）先找出所有分式的最简公分母，再利用分式的性质把所有分式化为同分母的分式即可； （2）先找出所有分式的最简公分母，再利用分式的性质把所有分式化为同分母的分式即可； （3）先找出所有分式的最简公分母，再利用分式的性质把所有分式化为同分母的分式即可． 【详解】（1）解：（1）最简公分母是， ， ； （2）解：最简公分母是， ， ； （3）解：最简公分母是， ， ， ． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$