专题04 圆锥曲线（5大题型）-【好题汇编】备战2024-2025学年高二数学下学期期中真题分类汇编（黑龙江专用）

专题04 圆锥曲线 题型概览 题型01 直线和圆 题型02离心率问题 题型03焦点三角形的有关问题 题型04椭圆 题型05双曲线和抛物线 直线和圆题型01 1．（23-24高二下·黑龙江哈尔滨·期中）已知函数（）在点处的切线为直线，若直线与两坐标轴围成的三角形的面积为，则实数（    ） A． B．1 C．2 D． 【答案】C 【分析】求得函数在点处的切线方程，得到切线与坐标轴交点坐标，由面积求得. 【详解】易知，，且， 所以直线， 它与两坐标轴的交点坐标分别为和， 可得，又， 解得. 故选：C 2．（23-24高二下·黑龙江齐齐哈尔·期中）瑞士著名数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心､重心､垂心位于同一直线上，这条直线被后人称为三角形的“欧拉线”.若满足，顶点，且其“欧拉线”与圆相切，则下列结论正确的是（    ） A．圆上的点到原点的最大距离为 B．圆上存在三个点到直线的距离为 C．若点在圆上，则的最小值是 D．若圆与圆有公共点，则 【答案】BD 【分析】先求得三角形的“欧拉线”，根据“欧拉线”与圆相切求得，根据点与圆的位置关系、直线与圆的位置关系、斜率的范围、圆与圆的位置关系等知识对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】由题意，的欧拉线即的垂直平分线，，， 的中点坐标为，则的垂直平分线方程为， 即“欧拉线”为. 由“欧拉线”与圆相切， 到直线的距离， 则圆的方程为：， 圆心到原点的距离为，则圆上的点到原点的最大距离为，故A错误； 圆心到直线的距离为， 圆上存在三个点到直线的距离为，故B正确； 的几何意义为圆上的点与定点连线的斜率， 设过与圆相切的直线方程为，即， 由，解得的最小值是，故C错误； 的圆心坐标，半径为， 圆的的圆心坐标为，半径为， 要使圆与圆有公共点，则圆心距的范围为，解得，故D正确. 故选：BD 离心率问题题型02 3．（23-24高二下·黑龙江齐齐哈尔·期中）若双曲线的右焦点为，且点到双曲线的一条渐近线的距离为，则双曲线的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求出双曲线的渐近线方程，利用焦点到渐近线的距离求出，从而求出，即可求出离心率． 【详解】因为双曲线的右焦点为，则，即， 双曲线的渐近线方程为， 不妨取， 又点到双曲线的一条渐近线的距离为， 可得， 所以， 所以双曲线的离心率． 故选：C． 4．（23-24高二下·黑龙江齐齐哈尔·期中）已知椭圆上一点关于原点的对称点为点，为其右焦点，若，设，且，则该椭圆离心率的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设椭圆的左焦点为，根据，得到四边形为为矩形，再由，结合椭圆的定义得到，然后由求解. 【详解】设椭圆的左焦点为， 因为，所以四边形为为矩形，所以， 因为， 所以，，则， 由椭圆的定义得， 所以， 因为，所以， 所以， 其中 ， 所以， 所以. 故选：A 5．（23-24高二下·黑龙江齐齐哈尔·期中）双曲线的左､右焦点分别为，过作轴垂线交双曲线于两点，为正三角形，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用点在双曲线上代入可得三角形的边长，再利用双曲线的性质构造离心率的齐次方程，求出即可. 【详解】 设， 代入双曲线方程可得， 所以即正三角形的边长， 所以正三角形的高为， 所以 ， 故选：C. 焦点三角形的有关问题题型03 6．（23-24高二下·黑龙江哈尔滨·期中）已知点P在焦点为、的椭圆上，若，则的值为 ． 【答案】2 【分析】利用勾股定理构造方程，结合椭圆定义可求得结果. 【详解】    由椭圆方程知：，，， ，， 由椭圆定义知：， ， 解得：. 故答案为：2. 椭圆题型04 7．（23-24高二下·黑龙江大庆·期中）已知椭圆C：内一点M(1,2)，直线与椭圆C交于A，B两点，且M为线段AB的中点，则下列结论正确的是（    ） A．椭圆的焦点坐标为(2,0)､(-2,0) B．椭圆C的长轴长为 C．直线的方程为 D． 【答案】BCD 【分析】根据椭圆方程可直接判断A、B的正误，设直线为，，，且，联立椭圆方程应用韦达定理即可求k值，写出直线方程，进而应用弦长公式可求，即可判断C、D的正误. 【详解】A：由椭圆方程知：其焦点坐标为，错误； B：，即椭圆C的长轴长为，正确； C：由题意，可设直线为，，，则，联立椭圆方程并整理得：，M为椭圆内一点则， ∴，可得，即直线为，正确； D：由C知：，，则，正确. 故选：BCD. 8．（23-24高二下·黑龙江哈尔滨·期中）已知椭圆经过点，且焦距为2． (1)求椭圆的方程； (2)椭圆的左、右焦点分别为，，若，，，四点都在椭圆上，直线与交于点，且直线，分别过点，． ①若直线和的斜率存在且分别为，，求证：为定值； ②求四边形面积的最大值． 【答案】(1) (2)①证明见解析；② 【分析】（1）依题意可得，解得、，即可求出椭圆方程； （2）①由，关于对称，设的方程，，，，利用直线的斜率公式，即可求得为定值；②分类讨论，当所在直线与轴垂直时，求得点坐标，即可求得四边形面积，当所在直线斜率存在时，设直线方程为，代入椭圆方程，利用韦达定理求得，利用两平行线之间的关系求得，根据平行四边形的面积公式，利用二次函数的性质，即可求得四边形面积的最大值． 【详解】（1）依题意可得，解得， 所以椭圆的方程为； （2）①因为，，，四点都在椭圆上，直线与交于点， 所以四边形为平行四边形， 又直线，的斜率均存在， 所以设的方程，，，， 显然， 椭圆的方程，则，， 所以， 又，， ， 为定值； ②由（1）可知：椭圆的左焦点，右焦点， 当所在直线与轴垂直时，则所在直线方程为，代入，得，则，，所以，， 平行四边形的面积； 当所在直线斜率存在时，设直线方程为， 联立，得． 显然，设，，则，， ， 两条平行线间的距离， 平行四边形的面积 ， 由，，， 设，由在上单调递减， ， ， 综上，平行四边形面积的最大值为． 【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下： （1）设直线方程，设交点坐标为、； （2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，必要时计算； （3）列出韦达定理； （4）将所求问题或题中的关系转化为、的形式； （5）代入韦达定理求解. 9．（23-24高二下·黑龙江大庆·期中）已知椭圆分别为椭圆的左顶点和右焦点，过作斜率不为的直线交椭圆于点，两点，且.当直线轴时，. (1)求椭圆的方程； (2)设直线的斜率分别为，问是否为定值?并证明你的结论； (3)直线交轴于点，若过点作直线的平行线交椭圆于点，求的最小值. 【答案】(1) (2)为定值，证明见解析 (3) 【分析】（1）由，，及可求得，，即可得到椭圆方程； （2）可先设直线的方程与，的坐标，联立直线与椭圆的方程，由韦达定理建立交点坐标的关系，将用坐标表示，再探求定值的存在性； （3）设出直线的方程，联立直线的方程和椭圆方程，求得点的横坐标，联立直线的方程和椭圆方程，求得，由此得到，再由基本不等式计算可得. 【详解】（1）设椭圆的右焦点为，，则， 由，得， 又当直线轴时，，的横坐标为，将代入中，解得， 则， 联立，解得，，， 所以椭圆的方程为 （2）为定值，证明如下： 显然，直线不与轴垂直，可设的方程为， 联立椭圆方程，消去并整理得， 又设，，显然，所以由韦达定理得， 从而， ， 所以 ， 即，故得证． （3）依题意直线的斜率存在且不为，设直线的方程为：， 则直线的方程为. 联立直线与椭圆的方程可得：， 由，可得， 联立直线与椭圆的方程可得：，即， 即 ， 当且仅当，即时取等号， 即的最小值为. 【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下： （1）设直线方程，设交点坐标为、； （2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，必要时计算； （3）列出韦达定理； （4）将所求问题或题中的关系转化为、的形式； （5）代入韦达定理求解. 10．（23-24高二下·黑龙江齐齐哈尔·期中）已知椭圆经过点，下顶点为抛物线的焦点． (1)求椭圆的方程； (2)若点均在椭圆上，且满足直线与的斜率之积为， （ⅰ）求证：直线过定点； （ⅱ）当时，求直线的方程． 【答案】(1) (2)（ⅰ）证明见解析；（ⅱ） 【分析】（1）首先求出抛物线的焦点坐标，即可得到，再由椭圆过点，求出； （2）（ⅰ）设直线的方程为，、，直线方程代入椭圆方程后应用韦达定理得，代入后化简得的值，代入直线方程可得定点坐标； （ⅱ）设直线恒过定点为，由，可得，结合（ⅰ）中韦达定理求出、，即可求出，从而求出直线方程. 【详解】（1）抛物线的焦点为，所以椭圆的下顶点，则， 又椭圆经过点，所以，解得， 所以椭圆方程为； （2）（ⅰ）当直线的斜率不存在时，设，则， 所以，则，与矛盾， 所以直线的斜率存在， 由已知直线斜率同号，因此直线的斜率存在且不为， 设直线的方程为，设， 由得， 由，可得， 所以，， 则 ， ， 所以， 即， 所以，解得或， 当时直线方程为，令，可得，所以直线恒过定点，不合题意， 当时直线方程为，令，可得，所以直线恒过定点，符合题意． 综上可得直线恒过定点. （ⅱ）设直线恒过定点为， 此时，解得， 由，可得， 又，， 所以，， 所以，解得，满足， 所以， 所以直线方程为.    【点睛】方法点睛：处理圆锥曲线上直线过定点问题的方法． 设出直线方程为，设交点坐标为，直线方程与圆锥曲线方程联立方程组，消元后应用韦达定理得，代入题中关于交点的满足的条件可得出关系，从而代入直线方程后得定点坐标． 11．（23-24高二下·黑龙江大庆·期中）已知椭圆，点､分别是其左､右焦点，点A､B分别为其左､右顶点.若两焦点与短轴两端点围成四边形面积为，且圆为该四边形的内切圆. （1）求椭圆C的方程； （2）若以（1）中较圆的椭圆为研究对象，过的直线交椭圆于两点，求面积的最大值. 【答案】（1）或；（2）. 【分析】（1）利用题设条件四边形面积为，以及直线与圆相切，列出等量关系，即得解； （2）设直线，与椭圆联立，，借助韦达定理，可得，令，则分析单调性，即得解. 【详解】（1）设半焦距为，则即， 又直线与圆相切， ∴， 故， ∴，故， 故，或，， 椭圆方程为或. （2）较圆的椭圆为 根据题意，直线斜率不为0，设直线， 联立方程得，           令，则 易知单调递增， 所以当时，取最大值，此时. 双曲线和抛物线题型05 12．（23-24高二下·黑龙江大庆·期中）已知A，B分别是双曲线的左、右顶点，P是C上异于A，B的一点，直线PA，PB的斜率分别为，且. (1)求双曲线C的方程； (2)已知过点的直线，交C的左，右两支于D，E两点（异于A，B）. （i）求m的取值范围； （ii）设直线AD与直线BE交于点Q，求证：点Q在定直线上. 【答案】(1) (2)（i）或；（ii）证明见解析 【分析】（1）由已知条件去设点的坐标，表示斜率之积，通过点在双曲线上，代入并消元一个变量，即可得到，从而求出双曲线方程； （2）（i）利用过点的直线与双曲线的左右两支相交，必满足,从而去求出的取值范围； （ii）先用交点坐标去表示直线的方程，然后猜想交点的横坐标为定值，所以消去纵坐标得到关于交点的横坐标的表达式，最后利用韦达定理代入化简，可得定值，即问题可得证. 【详解】（1） 由题意可知， 因为，所以. 设，则，所以， 又， 所以. 所以双曲线C的方程为. （2）（i）由题意知直线l的方程为. 联立，化简得， 因为直线l与双曲线左右两支相交，所以， 即满足：， 所以或； （ii）， 直线AD的方程为 直线BE的方程为. 联立直线AD与BE的方程，得， 所以， 所以， 所以 . 所以点Q的横坐标始终为1，故点Q在定直线上. 13．（23-24高二下·黑龙江哈尔滨·期中）已知抛物线的焦点为，准线与轴交于点，过的直线与抛物线相交于两点，点是点关于轴的对称点，则下列说法正确的是（    ） A． B．的最小值为10 C．三点共线 D． 【答案】CD 【分析】设直线联立抛物线，应用韦达定理判断A；由，结合抛物线定义及基本不等式求最小值判断B；设，联立抛物线，应用韦达定理得，结合A分析求参数判断C；应用向量的坐标运算求判断D. 【详解】 设直线，联立方程组， 可得，且，则，A不正确； 由， 所以， 当且仅当时等号成立，所以的最小值为9，不正确； 设，，联立，可得，且， 则，结合A分析得，即直线过点，正确； 由， ，正确. 故选：CD 第1页 共4页 ◎ 第2页 共4页 第1页 共4页 ◎ 第2页 共4页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题04 圆锥曲线 题型概览 题型01 直线和圆 题型02离心率问题 题型03焦点三角形的有关问题 题型04椭圆 题型05双曲线和抛物线 直线和圆题型01 1．（23-24高二下·黑龙江哈尔滨·期中）已知函数（）在点处的切线为直线，若直线与两坐标轴围成的三角形的面积为，则实数（    ） A． B．1 C．2 D． 2．（23-24高二下·黑龙江齐齐哈尔·期中）瑞士著名数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心､重心､垂心位于同一直线上，这条直线被后人称为三角形的“欧拉线”.若满足，顶点，且其“欧拉线”与圆相切，则下列结论正确的是（    ） A．圆上的点到原点的最大距离为 B．圆上存在三个点到直线的距离为 C．若点在圆上，则的最小值是 D．若圆与圆有公共点，则 离心率问题题型02 3．（23-24高二下·黑龙江齐齐哈尔·期中）若双曲线的右焦点为，且点到双曲线的一条渐近线的距离为，则双曲线的离心率为（   ） A． B． C． D． 4．（23-24高二下·黑龙江齐齐哈尔·期中）已知椭圆上一点关于原点的对称点为点，为其右焦点，若，设，且，则该椭圆离心率的取值范围为（   ） A． B． C． D． 5．（23-24高二下·黑龙江齐齐哈尔·期中）双曲线的左､右焦点分别为，过作轴垂线交双曲线于两点，为正三角形，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 焦点三角形的有关问题题型03 6．（23-24高二下·黑龙江哈尔滨·期中）已知点P在焦点为、的椭圆上，若，则的值为 ． 椭圆题型04 7．（23-24高二下·黑龙江大庆·期中）已知椭圆C：内一点M(1,2)，直线与椭圆C交于A，B两点，且M为线段AB的中点，则下列结论正确的是（    ） A．椭圆的焦点坐标为(2,0)､(-2,0) B．椭圆C的长轴长为 C．直线的方程为 D． 8．（23-24高二下·黑龙江哈尔滨·期中）已知椭圆经过点，且焦距为2． (1)求椭圆的方程； (2)椭圆的左、右焦点分别为，，若，，，四点都在椭圆上，直线与交于点，且直线，分别过点，． ①若直线和的斜率存在且分别为，，求证：为定值； ②求四边形面积的最大值． 9．（23-24高二下·黑龙江大庆·期中）已知椭圆分别为椭圆的左顶点和右焦点，过作斜率不为的直线交椭圆于点，两点，且.当直线轴时，. (1)求椭圆的方程； (2)设直线的斜率分别为，问是否为定值?并证明你的结论； (3)直线交轴于点，若过点作直线的平行线交椭圆于点，求的最小值. 10．（23-24高二下·黑龙江齐齐哈尔·期中）已知椭圆经过点，下顶点为抛物线的焦点． (1)求椭圆的方程； (2)若点均在椭圆上，且满足直线与的斜率之积为， （ⅰ）求证：直线过定点； （ⅱ）当时，求直线的方程． 11．（23-24高二下·黑龙江大庆·期中）已知椭圆，点､分别是其左､右焦点，点A､B分别为其左､右顶点.若两焦点与短轴两端点围成四边形面积为，且圆为该四边形的内切圆. （1）求椭圆C的方程； （2）若以（1）中较圆的椭圆为研究对象，过的直线交椭圆于两点，求面积的最大值. 双曲线和抛物线题型05 12．（23-24高二下·黑龙江大庆·期中）已知A，B分别是双曲线的左、右顶点，P是C上异于A，B的一点，直线PA，PB的斜率分别为，且. (1)求双曲线C的方程； (2)已知过点的直线，交C的左，右两支于D，E两点（异于A，B）. （i）求m的取值范围； （ii）设直线AD与直线BE交于点Q，求证：点Q在定直线上. 13．（23-24高二下·黑龙江哈尔滨·期中）已知抛物线的焦点为，准线与轴交于点，过的直线与抛物线相交于两点，点是点关于轴的对称点，则下列说法正确的是（    ） A． B．的最小值为10 C．三点共线 D． 第1页 共4页 ◎ 第2页 共4页 第1页 共4页 ◎ 第2页 共4页 学科网（北京）股份有限公司 $$