专题03 函数和导函数（7大题型）-【好题汇编】备战2024-2025学年高二数学下学期期中真题分类汇编（黑龙江专用）

专题03 函数和导函数 题型概览 题型01 导函数的定义和求导 题型02导函数的几何意义 题型03利用导函数求参数范围（含零点问题，极值点问题） 题型04利用导函数求解不等式 题型05利用导函数求函数的单调性，极值和最值 题型06导函数综合问题 题型07导函数的创新题 导函数的定义和求导题型01 1．（23-24高二下·黑龙江伊春·期中）若是可导函数，且，则（    ） A．2 B． C． D． 2．（23-24高二下·黑龙江鸡西·期中）已知，则（　　） A． B． C． D． 3．（23-24高二下·黑龙江哈尔滨·期中）下列求导正确的是（   ） A． B． C． D． 4．（22-23高二下·黑龙江哈尔滨·期中）下列求导运算错误的是（    ） A． B． C． D． 5．（23-24高二下·黑龙江哈尔滨·期中）设函数，若，则 ． 6．（23-24高二下·黑龙江牡丹江·期中）若函数的导函数为，且满足，则 ． 7．（23-24高二下·黑龙江·期中）若是函数的导函数，，则（    ） A． B． C． D． 8．（23-24高二下·黑龙江·期中）设函数，若，则实数m的值为（    ） A． B．2 C． D． 9．（23-24高二下·黑龙江哈尔滨·期中）已知函数，其导函数的图象如图所示，则对于函数的描述正确的是（   ）    A．在上单调递减 B．在处取得极大值 C．在上单调递减 D．在处取得最小值 导函数的几何意义题型02 10．（23-24高二下·黑龙江哈尔滨·期中）已知直线与曲线相切，则实数的值为（    ）． A． B． C． D． 11．（23-24高二下·黑龙江哈尔滨·期中）若曲线在点处的切线与直线垂直，则a的值为（   ） A． B． C． D． 12．（23-24高二下·黑龙江哈尔滨·期中）曲线在点处的切线的倾斜角为（   ） A． B． C． D． 13．（23-24高二下·黑龙江齐齐哈尔·期中）已知直线l与函数的图象在点处的切线平行，则直线l的斜率为（    ） A．0 B． C．2 D．1 利用导函数求参数范围（含零点问题，极值点问题）题型03 14．（23-24高二下·黑龙江伊春·期中）已知函数与函数的图象相交于两点，且，则（    ） A． B． C．直线的斜率 D． 15．（23-24高二下·黑龙江·期中）已知 ，若关于x的方程恰好有6个不同的实数解，则a的取值可以是（    ） A． B． C． D． 16．（23-24高二下·黑龙江伊春·期中）若函数在上单调递增，则实数的最大值为（    ） A． B．0 C．1 D．2 17．（23-24高二下·黑龙江哈尔滨·期中）若对任意的，且，都有，则实数的最小值是（    ） A． B． C． D． 18．（23-24高二下·黑龙江伊春·期中）若函数在上有且仅有一个极值点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 19．（23-24高二下·黑龙江哈尔滨·期中）设函数. (1)求曲线在处的切线方程； (2)求的单调区间与极值； (3)求出方程的解的个数. 20．（23-24高二下·黑龙江大庆·期中）已知. (1)求的单调区间及极值； (2)（i）恒成立，求a的取值范围； （ii）证明时，； (3)时，恒成立，求a的取值范围. 21．（23-24高二下·黑龙江哈尔滨·期中）已知函数． (1)当时，求函数在区间上的最大值； (2)若当时，恒成立，求a的取值范围． 22．（23-24高二下·黑龙江哈尔滨·期中）已知函数． (1)讨论的单调性； (2)当时，求证：． 利用导函数求解不等式题型04 23．（23-24高二下·黑龙江哈尔滨·期中）已知定义在R上的奇函数，其导函数为，，当时，，则使得成立的x的取值范围是（    ）． A． B． C． D． 24．（23-24高二下·黑龙江齐齐哈尔·期中）若对任意的正实数，，当时，恒成立，则的取值范围（    ） A． B． C． D． 25．（21-22高二下·黑龙江哈尔滨·期中）已知函数，若，则（    ） A． B． C． D． 26．（22-23高二下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知函数有两个极值点，，若不等式恒成立，那么的取值范围是（    ） A． B． C． D． 27．（23-24高二下·黑龙江·期中）已知，下列不等式恒成立的是（    ） A． B． C． D． 28．（23-24高二下·黑龙江哈尔滨·期中）设函数在上存在导数，对于，有，且在上，恒有.若有，则实数的取值范围为 . 29．（23-24高二下·黑龙江齐齐哈尔·期中）已知函数的导函数满足在R上恒成立，则不等式的解集是 ． 利用导函数求函数的单调性，极值和最值题型05 30．（23-24高二下·黑龙江哈尔滨·期中）函数的单调减区间是（   ） A． B． C． D． 31．（23-24高二下·黑龙江齐齐哈尔·期中）已知函数，则（    ） A．若，则函数的最小值为1 B．若，则 C．若，则方程仅有1个实数根 D．若方程无实数根，则α的取值范围是 32．（23-24高二下·黑龙江绥化·期中）函数在上的最大值是（    ） A． B．0 C． D． 33．（23-24高二下·黑龙江佳木斯·期中）已知函数(为自然对数的底数) (1)求曲线在处的切线方程； (2)若不等式对任意恒成立，求实数的最大值； (3)证明： 34．（23-24高二下·黑龙江哈尔滨·期中）已知奇函数在处取得极大值2． (1)求的解析式； (2)若，使得有解，求实数的取值范围． 导函数综合问题题型06 35．（23-24高二下·黑龙江哈尔滨·期中）关于函数有下列结论： （1）函数存在最小值但没有最大值； （2）函数存在两个零点，且两个零点的和小于1； （3）函数存在唯一的极小值点，且； （4）函数存在唯一的极大值点，且． 其中正确的是 ．（填写所有正确结论的编号） 36．（23-24高二下·黑龙江·期中）下列关于函数的结论中，正确的是（    ） A． B．函数既存在极大值又存在极小值 C．当时，方程有且只有三个实根 D．若时，，则的最小值为-3 37．（23-24高二下·黑龙江哈尔滨·期中）下列说法正确的是（    ）． A．函数在区间的最小值为 B．函数的图象关于点中心对称 C．已知函数，若时，都有成立，则实数的取值范围为 D．若恒成立，则实数的取值范围为 38．（23-24高二下·黑龙江哈尔滨·期中）已知函数. (1)若，求的取值范围； (2)当时，证明：. 39．（23-24高二下·黑龙江鸡西·期中）已知函数（为实数） (1)若，求的单调区间； (2)若，求在的最值； (3)若恒成立，求的取值范围. 40．（23-24高二下·黑龙江鸡西·期中）已知函数的导函数为，若存在两个不同的零点. (1)当时，求函数在处的切线方程； (2)求函数的单调区间； (3)证明：． 41．（23-24高二下·黑龙江哈尔滨·期中）已知函数． (1)证明：； (2)设函数，若恒成立，求的最小值； (3)若方程有两个不相等的实根，求证：． 42．（23-24高二下·黑龙江哈尔滨·期中）已知函数，． (1)讨论函数的单调性； (2)若，，使得，求的取值范围． 43．（23-24高二下·黑龙江哈尔滨·期中）已知函数，. (1)当时，求函数的单调区间； (2)讨论函数的单调性； 44．（23-24高二下·黑龙江·期中）已知函数，． (1)求函数在区间上的最大值； (2)若，恒成立，求实数a的取值范围． 导函数的创新题题型07 45．（23-24高二下·黑龙江哈尔滨·期中）若，则（    ）． A． B． C． D． 46．（23-24高二下·黑龙江哈尔滨·期中）曲率是曲线的重要性质，表征了曲线的“弯曲程度”，曲线曲率解释为曲线某点切线方向对弧长的转动率，设曲线具有连续转动的切线，在点处的曲率，其中为的导函数，为的导函数，已知． (1)时，求在极值点处的曲率； (2)时，是否存在极值点，如存在，求出其极值点处的曲率； (3)，，当，曲率均为0时，自变量最小值分别为，，求证：． 47．（23-24高二下·黑龙江大庆·期中）悬链线的原理运用于悬索桥、架空电缆、双曲拱桥、拱坝等工程.通过适当建立坐标系，悬链线可为双曲余弦函数的图像，定义双曲正弦函数.类比三角函数的性质:①平方关系:，②导数关系:. (1)直接写出具有的类似①、②的性质（不需要证明）： (2)证明:当时，; (3)求的最小值. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03 函数和导函数 题型概览 题型01 导函数的定义和求导 题型02导函数的几何意义 题型03利用导函数求参数范围（含零点问题，极值点问题） 题型04利用导函数求解不等式 题型05利用导函数求函数的单调性，极值和最值 题型06导函数综合问题 题型07导函数的创新题 导函数的定义和求导题型01 1．（23-24高二下·黑龙江伊春·期中）若是可导函数，且，则（    ） A．2 B． C． D． 【答案】A 【分析】根据导数的定义即可求解. 【详解】. 故选:A． 2．（23-24高二下·黑龙江鸡西·期中）已知，则（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据复合函数求导规则求导即可. 【详解】，则. 故选：B. 3．（23-24高二下·黑龙江哈尔滨·期中）下列求导正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】由基本初等函数的求导公式，和复合函数求导法则逐项求解. 【详解】由求导公式，，A错误；，B正确；，C正确；，D正确. 故选：BCD 4．（22-23高二下·黑龙江哈尔滨·期中）下列求导运算错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】根据基本函数的求导公式以及求导法则即可结合选项逐一求解. 【详解】对于A，，故A错误， 对于B，，故B正确， 对于C，，故C错误， 对于D，，故D错误， 故选：ACD 5．（23-24高二下·黑龙江哈尔滨·期中）设函数，若，则 ． 【答案】2 【分析】根据给定条件，求出函数的导数，再代入求出的值. 【详解】函数，求导得，由，得， 所以. 故答案为：2 6．（23-24高二下·黑龙江牡丹江·期中）若函数的导函数为，且满足，则 ． 【答案】/ 【分析】先求导，然后代入求出，进而可得，接着代入计算即可. 【详解】由得， 所以，得， 所以， 所以. 故答案为：. 7．（23-24高二下·黑龙江·期中）若是函数的导函数，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】首先求出的导数，然后令，解方程即可解. 【详解】根据题意，， 所以， 令，得， 解得，所以， 则. 故选：A 8．（23-24高二下·黑龙江·期中）设函数，若，则实数m的值为（    ） A． B．2 C． D． 【答案】A 【分析】先求导函数，然后赋值求得，再利用列方程求解即可. 【详解】因为，所以， 所以即，解得， 所以，由，得. 故选：A 9．（23-24高二下·黑龙江哈尔滨·期中）已知函数，其导函数的图象如图所示，则对于函数的描述正确的是（   ）    A．在上单调递减 B．在处取得极大值 C．在上单调递减 D．在处取得最小值 【答案】BC 【分析】由导函数图象得到的取值（正负）情况，从而得到的单调性与极值点. 【详解】由导函数的图象可知，当时，当时， 当时，当时， 所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减， 所以在处取得极大值，在处取得极小值，在处取得极大值. 故正确的有BC. 故选：BC 导函数的几何意义题型02 10．（23-24高二下·黑龙江哈尔滨·期中）已知直线与曲线相切，则实数的值为（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求出函数的导函数，设切点为，利用导数的几何意义得到方程组，解得即可. 【详解】，， 设切点为，则， 所以，解得. 故选：D． 11．（23-24高二下·黑龙江哈尔滨·期中）若曲线在点处的切线与直线垂直，则a的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】运用导数几何意义及导数公式求得切线的斜率，结合两直线垂直进而求得a的值. 【详解】由题设，知曲线在点处的切线的斜率为， 由，则， 所以. 故选：A 12．（23-24高二下·黑龙江哈尔滨·期中）曲线在点处的切线的倾斜角为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据导数的几何意义和斜率的定义求解. 【详解】因为，则， 所以， 所以曲线在点处的切线的倾斜角为. 故选：D 13．（23-24高二下·黑龙江齐齐哈尔·期中）已知直线l与函数的图象在点处的切线平行，则直线l的斜率为（    ） A．0 B． C．2 D．1 【答案】D 【分析】求导，结合导数的几何意义运算求解. 【详解】由函数，则，可得， 所以直线l的斜率为1． 故选：D. 利用导函数求参数范围（含零点问题，极值点问题）题型03 14．（23-24高二下·黑龙江伊春·期中）已知函数与函数的图象相交于两点，且，则（    ） A． B． C．直线的斜率 D． 【答案】ACD 【分析】依题意，取对数得，构造函数，根据奇偶性可知，可判断A；由可知，可判断B；构造函数，利用导数求单调性，根据单调性可得，可判断C；构造函数，利用导数求单调性可得，可判断D. 【详解】对于A，由题意有两个不等的实数根，则， 令（或）， 则，即为奇函数． 因为，所以在上均单调递增． 若，则，又，所以 所以，故A正确； 对于B，若成立，则有，与矛盾，故B错误； 对于C，， 令，则， 所以在上单调递增，，C正确． 令，当时，在上为增函数， 所以，即，D正确． 故选：ACD． 【点睛】关键点点睛：本题关键在于将转化为有两解，进而取对数，构造函数，根据奇偶性和单调性可判断. 15．（23-24高二下·黑龙江·期中）已知 ，若关于x的方程恰好有6个不同的实数解，则a的取值可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】CD 【分析】作出函数简图，根据方程有6个不同的实数解列出限制条件，进而可得答案. 【详解】当时，，. ，为增函数,，为减函数, 且. 其简图如下，    设，由图可知当时，方程有三个根， 因为方程恰好有6个不同的实数解， 所以在上有两个不等的实数根， 则，解得. 故选：CD 16．（23-24高二下·黑龙江伊春·期中）若函数在上单调递增，则实数的最大值为（    ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】D 【分析】求导，转化为，参变分离即可得解. 【详解】，求导得， 由在上单调递增，得， 又当，，则， 又时，在上单调递增， 所以实数的最大值为2. 故选：D． 17．（23-24高二下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）若对任意的，且，都有，则实数的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据条件得到，构造函数，利用导数与函数间的关系，求出的单调减区间，即可求出结果. 【详解】因为，由，得到，即， 令，则在区间上单调递减， 又，由，得到， 由，得到，即在区间上单调递减，所以， 故选：B. 18．（23-24高二下·黑龙江伊春·期中）若函数在上有且仅有一个极值点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意分离参数可知在区间上只有一个变号的根，构造函数即可得解. 【详解】，令，得，由题意知在区间上只有一个变号的根， 令，则，令，得， 当时，单调递减；当时，单调递增． 又， 所以当时，在区间上只有一个变号的根， 即函数在上有且仅有一个极值点时，的取值范围是． 故选：B． 19．（23-24高二下·黑龙江哈尔滨·期中）设函数. (1)求曲线在处的切线方程； (2)求的单调区间与极值； (3)求出方程的解的个数. 【答案】(1) (2)答案见解析 (3)答案见解析 【分析】（1）根据导数几何意义先求切线斜率，然后求出切线方程即可； （2）利用导数求的单调区间与极值； （3）画出和得图象，数形结合解决问题. 【详解】（1）由， 所以，且， 所以曲线在处的切线方程为， 即； （2）因为， 令，得或， 所以当或时，，则函数单调递增， 当时，，则函数单调递减， 所以的单调递增区间为；的单调递减区间为. 的极大值为；的极小值为； （3）由（2）可知函数的单调性和极值， 画出和得图象， 可得当或时，方程的解为1个； 当或时，方程的解为2个； 当时，方程的解为3个. 20．（23-24高二下·黑龙江大庆·期中）已知. (1)求的单调区间及极值； (2)（i）恒成立，求a的取值范围； （ii）证明时，； (3)时，恒成立，求a的取值范围. 【答案】(1)在上递减，在上递增，极小值0，无极大值 (2)（i），（ii）证明见解析 (3) 【分析】（1）对函数求导后，再令，可求得在上递减，在上递增，而当时，， ，从而可求出函数的单调区间，从而可求出函数的极值； （2）（i）由，得，构造函数，利用导数求出其最大值即可；（ii）由（i）知，当时，，令，利用导数可求得，则得，从而可证得结论； （3）由，得，由（2）可知，且当时，取等号，设，结合零点存在性定理可得，，从而可求出a的取值范围. 【详解】（1）由，得， 令，则， 当时，，当时，， 所以在上递减，在上递增， 即在上递减，在上递增， 因为当时，，而， 所以当时，，当时，， 所以在上递减，在上递增， 所以当时，取得极小值，无极大值； （2）（i）由，得， 所以，令， 则， 当时，，当时，， 所以在上递增，在上递减， 所以，所以，得， 即a的取值范围为； （ii）由（i）知，当时，， 令，则， 当时，，当时，， 所以在上递减，在上递增， 所以，所以， 所以，所以， 因为， 所以时，； （3）由，得， 所以， 所以 由（2）知，当且仅当时，取等号，即时，， 设，其在上递增， 因为当时，，当时，， 所以存在唯一，使， 所以， 所以， 所以当时，在上恒成立， 当时，显然时，不成立， 综上 【点睛】关键点点睛：此题考查导数的综合应用，考查利用导数求函数的单调区间，考查利用导数证明不等式，考查利用导数解决不等式恒成立问题，第（3）问解题的关键是将转化为，再结合恒成立可求得结果，考查数学转化思想和计算能力，属于难题. 21．（23-24高二下·黑龙江哈尔滨·期中）已知函数． (1)当时，求函数在区间上的最大值； (2)若当时，恒成立，求a的取值范围． 【答案】(1) 答案见解析 (2) 【分析】（1）直接求导，根据导函数判断的单调性，对参数分类讨论即可； （2）利用，利用先得出，再证明是充分条件. 【详解】（1）当时，，，,. 当时，，在单调递增； 当时，，在单调递减， 可得是函数的极大值，也是最大值. 当时，在区间单调递增，最大值为； 当时，在区间单调递减，最大值为； 当时，的最大值为. 综上，在区间内的最大值分别为： 当时，最大值为：； 当时，最大值为：； 当时，最大值为：. （2）当时，，要恒成立的必要条件为； ，，得. 令，则当时，可以得到. 当时，恒成立，，可得恒成立. 综上，满足时的充要条件为. 故所求的取值范围为 22．（23-24高二下·黑龙江哈尔滨·期中）已知函数． (1)讨论的单调性； (2)当时，求证：． 【答案】(1)答案见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）求出函数的定义域与导函数，分、、、四种情况讨论，分别求出函数的单调区间； （2）设，利用导数说明函数的单调性，从而求出函数的最大值，即可得证. 【详解】（1）函数的定义域为， 则， ①当时，令，解得，令，解得， 在上单调递减，在上单调递增， ②当时，令，解得，令，解得或， 在上单调递减，在和上单调递增， ③当时，恒成立， 在上单调递增， ④当时，令，解得，令，解得或， 在上单调递减，在和上单调递增， 综上所述，当时，在上单调递减，在上单调递增； 当时，在上单调递减，在和上单调递增； 当时，在上单调递增； 当时，在上单调递减，在和上单调递增； （2）当时，，定义域为， 设， 则， 当时，，单调递增；当时，，单调递减， 所以在处取得极大值，即最大值，所以， 所以，即得证． 利用导函数求解不等式题型04 23．（23-24高二下·黑龙江哈尔滨·期中）已知定义在R上的奇函数，其导函数为，，当时，，则使得成立的x的取值范围是（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设，根据题意可得函数为偶函数以及其单调性，再分以及讨论即可得出答案． 【详解】设，则， 由于当时，， 则当时，，在单调递减， 又为奇函数，,则，则函数为偶函数， 可得函数在上单调递增， 又，则， 当时，由，可得，即，解得； 当时，由，可得，即，解得； 综上，不等式的解集为,,． 故选：B． 24．（23-24高二下·黑龙江齐齐哈尔·期中）若对任意的正实数，，当时，恒成立，则的取值范围（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由可得，令，则在上为减函数，即在上恒成立，求解即可. 【详解】，又，所以， 所以， 由已知对任意的，，且时，， 设，则在上为减函数， 因为，所以在上恒成立， 所以在上恒成立，所以，所以的取值范围为． 故选：A． 25．（21-22高二下·黑龙江哈尔滨·期中）已知函数，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】先求导，利用基本不等式求出，从而得到单调递增，得到，根据函数单调性得到ABD选项，C选项可以举出反例. 【详解】定义域为R， ， 当且仅当即时，等号成立，此时， 所以恒成立，所以单调递增， 因为， 所以， 因为单调递增，所以，A正确； 因为单调递增，所以，B正确； ，但与大小不确定，例如， 此时满足，但=，此时，C错误； 因为，画出函数图像，如下图： 可知单调递增，所以，D正确. 故选：ABD 26．（22-23高二下·黑龙江哈尔滨·期中）已知函数有两个极值点，，若不等式恒成立，那么的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意可得，由函数有两个极值点，，可得方程在上有两个不相等的正实数根，由根与系数的关系可求得的取值范围，由，令，利用导数研究其范围即可． 【详解】函数的定义域为，且， 因为函数有两个极值点，， 所以方程在上有两个不相等的正实数根， 则，解得． 因为 ， 设， ，易知在上恒成立， 故在上单调递增， 故， 所以， 所以的取值范围是． 故选：D． 【点睛】关键点点睛：先求导函数，根据极值点、韦达定理求，，关于a的表达式及的范围，再将题设不等式转化为恒成立，最后利用导数研究范围可得答案. 27．（23-24高二下·黑龙江·期中）已知，下列不等式恒成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】构造函数，利用导数研究单调性即可求解A；构造函数，即可求解B；构造函数，求导即可判断C；构造函数，利用导数得，可得证D. 【详解】对于A，令且，则，故在上递减， 又，所以，A错误； 对于B，令且，则，故在上递增， 又，所以，B错误； 对于C，令且，则， 所以上，递减，上，递增， 而，此时不能比较，的大小， 所以无法确定的大小，C错误； 对于D，令，则， 故在上递增，，所以， 由，，可得D正确， 故选：D. 28．（23-24高二下·黑龙江哈尔滨·期中）设函数在上存在导数，对于，有，且在上，恒有.若有，则实数的取值范围为 . 【答案】 【分析】令，判断的奇偶性、单调性，再由得，利用的奇偶性、单调性求解即可. 【详解】令，，则，所以为奇函数， 又因为时，，所以在上单调递减， 故在上单调递减， , 所以，故，解得， 即实数的取值范围为， 故答案为：. 【点睛】方法点睛：利用导数解抽象函数不等式，实质是利用导数研究对应函数单调性，而对应函数需要构造.构造辅助函数常根据导数法则进行：如构造，构造，构造等. 29．（23-24高二下·黑龙江齐齐哈尔·期中）已知函数的导函数满足在R上恒成立，则不等式的解集是 ． 【答案】 【分析】根据已知关系式可构造函数，可知在R上单调递减，将所求不等式转化为，利用单调性可解不等式求得结果. 【详解】令，则， 所以在R上单调递减， 由，得， 即， 又在R上单调递减，所以， 解得，所以不等式的解集是． 故答案为： 利用导函数求函数的单调性，极值和最值题型05 30．（23-24高二下·黑龙江哈尔滨·期中）函数的单调减区间是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求出的导数，根据导数的性质即可求解. 【详解】设，定义域为， 则，令， 所以函数的单调减区间是. 故选：A. 31．（23-24高二下·黑龙江齐齐哈尔·期中）已知函数，则（    ） A．若，则函数的最小值为1 B．若，则 C．若，则方程仅有1个实数根 D．若方程无实数根，则α的取值范围是 【答案】AB 【分析】对求导，即可得单调性，进而可求解AB，构造函数，求导，结合零点存在性定理即可求解C，对于D，求导，对讨论，即可根据函数的单调性求解最值求解. 【详解】若，则，，当时，，可得在上单调递减，当时，，可得在上单调递增，所以时，函数取得最小值，，A、B正确； 若，则，令，则， 当时，，可得在上单调递减， 当时，，可得在上单调递增， 又，，，所以函数有两个零点，即方程有2个实数根，C错误； 若方程无实数根，即无解，， 则， 若，在上恒成立，即在上单调递减； ，，在上有解，不合题意； 若，令，解得； 所以当时，，此时在单调递减； 当时，，此时在单调递增； 在处取得极小值，也是最小值； 即， 依题意可得，所以即可； 解得，即α的取值范围是，D错误． 故选：AB 【点睛】方法点睛：已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路 (1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围； (2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决； (3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解． 32．（23-24高二下·黑龙江绥化·期中）函数在上的最大值是（    ） A． B．0 C． D． 【答案】B 【分析】先求导，根据导数的正负得函数单调性即可求最大值. 【详解】由题， 所以当时，，单调递增；当时，，单调递减， 所以. 故选：B. 33．（23-24高二下·黑龙江佳木斯·期中）已知函数(为自然对数的底数) (1)求曲线在处的切线方程； (2)若不等式对任意恒成立，求实数的最大值； (3)证明： 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【分析】（1）利用导数求曲线在切点处的切线方程； （2）求出函数在时的值域，可求实数的最大值； （3）因为， 依题意，构造函数，利用导数证明即可. 【详解】（1）函数， 则， 所以曲线在处的切点坐标为，切线斜率为0， 切线方程为； （2）， 因为，所以， 则，所以， 所以函数在上单调递减， 所以， 所以函数的值域为， 若不等式对任意恒成立，所以， 即，则实数的最小值为， 所以实数的最大值为； （3）证明：， 所以， 设，则， 令，则， 所以在R上单调递增， 所以， 则有， 故存在，使得，即， 所以当时，，当时，， 即在上单调递减，在上单调递增， 故当时，函数有极小值，且是唯一的极小值， 故函数， 因为，所以， 故， 所以， 即 34．（23-24高二下·黑龙江哈尔滨·期中）已知奇函数在处取得极大值2． (1)求的解析式； (2)若，使得有解，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据函数为奇函数求出的值，由处取得极大值，求出，的值，即可确定的解析式； （2）判断在上的单调性，求出函数的最值，依题意，解得即可． 【详解】（1）因为是奇函数，所以， 即，所以，所以． 由，得． 因为在上取得极大值， 所以，解得， 经检验，当时，在处取得极大值， 故． （2）由（1）可知，， 当时，， 当和时，， 即在上单调递增，在，上单调递减， 所以在取得极小值，在处取得极大值， 又因为，，，， 所以在上的最大值为，最小值为， 要使得有解，则，解得， 所以的取值范围为． 导函数综合问题题型06 35．（23-24高二下·黑龙江哈尔滨·期中）关于函数有下列结论： （1）函数存在最小值但没有最大值； （2）函数存在两个零点，且两个零点的和小于1； （3）函数存在唯一的极小值点，且； （4）函数存在唯一的极大值点，且． 其中正确的是 ．（填写所有正确结论的编号） 【答案】（1）（3）（4） 【分析】求得令，利用导数求得的单调性和最小值，得到的两个根分别为，其中，进而求得的单调性，结合时，，可得判定（1）正确；根据题意得到是的一个零点，设函数的一个零点为，结合的单调性和，可判定（2）不正确；求得函数在区间上单调递增，得到，可得判定（3）正确；根据，以及，可得，求得的表达式，结合二次函数的性质，可判定（4）正确. 【详解】因为函数，可得 令，可得， 当时，，在单调递减； 当时，，在单调递增， 所以，当时，函数取得最小值，最小值为， 设的两个根分别为，其中， 则当时，可得； 当时，可得； 当时，可得， 所以函数在上单调递增，在上单调递减，在单调递增， 又由函数，令，其中， 可得，所以在上单递减，可得， 所以当时，，且时，， 函数的图象，如图所示，所以有最小值，无最大值，所以（1）正确； 由，令，即， 设，则，即是的一个零点，即的一个零点， 设函数的另一个零点为，其中， 由，当时，；当时，， 可得在上单调递减，在上单递增， 所以时，取得极小值，也时最小值，最小值为， 所以当时，，在区间上没有零点， 又因为，所以区间上没有零点，所以， 所以函数存在两个零点，且两个零点的和大于，所以（2）不正确； 由（1）知，函数存在唯一的极小值点， 又由函数，可得， 因为，可得， 当时，，在单调递增，且，所以， 又因为函数在区间上单调递增，所以， 所以（3）正确； 由（1）知，函数存在唯一的极大值点， 因为，可得， 又由，可得，所以，且 又因为，可得， 则， 可得函数在上单调递增，所以， 所以，所以（4）正确. 故答案为：（1）（3）（4）. 【点睛】方法技巧：已知函数零点（方程根）的个数，求参数的取值范围问题的三种常用方法： 1、直接法，直接根据题设条件构建关于参数的不等式（组），再通过解不等式（组）确定参数的取值范围2、分离参数法，先分离参数，将问题转化成求函数值域问题加以解决； 3、数形结合法，先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中作出函数的图象，然后数形结合求解. 结论拓展：与和相关的常见同构模型 ①，构造函数或； ②，构造函数或； ③，构造函数或. 36．（21-22高二下·黑龙江·期中）下列关于函数的结论中，正确的是（    ） A． B．函数既存在极大值又存在极小值 C．当时，方程有且只有三个实根 D．若时，，则的最小值为-3 【答案】ABD 【分析】，对求导，代入即可判断A；讨论的单调性即可判断B；方程有且只有三个实根转化为与的图象有三个交点，即可判断C；讨论的单调性即可判断D. 【详解】对于A，因为，，，所以，故A正确； 对于B，，令，解得或，令，解得 ，所以在，上单调递减，在上单调递增，故函数在处取得极小值，函数在处取得极大值，故B正确. 对于C，如下图，在，上单调递减，在上单调递增，，当，，当，，所以方程有且只有三个实根转化为与的图象有三个交点，所以，故C错误； 对于D， 因为在，上单调递减，在上单调递增，所以时，，则的最小值为-3，故D正确. 故选：ABD. 37．（23-24高二下·黑龙江哈尔滨·期中）下列说法正确的是（    ）． A．函数在区间的最小值为 B．函数的图象关于点中心对称 C．已知函数，若时，都有成立，则实数的取值范围为 D．若恒成立，则实数的取值范围为 【答案】ABD 【分析】利用导数求出函数的单调性，即可求出函数的最小值，即可判断A；计算出即可判断B；依题意时，都有成立，令，则，从而在上单调递增，在上恒成立，参变分离即可求出参数的取值范围，即可判断C；将变为即，构造新函数，利用其单调性得到，即可判断D. 【详解】对于A：，， 则，当时，当时， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以在取得极小值，即最小值，即，故A正确； 对于B：因为，则， 所以， 所以函数的图象关于点中心对称，故B正确； 对于C：因为时，都有成立， 即时，都有成立， 即时，都有成立， 令，则， 则在上单调递增， 所以在上恒成立， 所以在上恒成立，又在上单调递减，所以， 所以，即实数的取值范围为，故C错误； 对于D：当时，不等式在上恒成立不会成立， 故 ， 当 时， ，此时不等式恒成立； 不等式在上恒成立, 即在上恒成立, 而即， 设 ，当 时，， 故是增函数， 则即，故， 设， 当 时，， 单调递增， 当 时，， 单调递减， 故 ，则 ， 综上可得，实数的取值范围是，故D正确. 故选：ABD 【点睛】方法点睛：导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理． 38．（23-24高二下·黑龙江哈尔滨·期中）已知函数. (1)若，求的取值范围； (2)当时，证明：. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）令，将问题转化为，利用导数求出即可； （2）令，将问题转化为，通过导数研究单调性，借助隐零点和放缩法证明即可. 【详解】（1）记，，则恒成立，即. 因为， 当；当； 所以在上单调递增，在上单调递减. 所以，解得. 故实数的取值范围是； （2）记，则， 令，则， 所以即在上单调递增. 由，知. 所以，即， 故当单调递减；当单调递增. 所以， 由（*）式，可得. 代入式，得. 由（1）知，当时有，故， 所以. 由于，所以. 故，即，原不等式得证. 【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式，转化为构造函数，利用导数分析构造的函数的单调性，求得最值，证明即可.当导函数的零点不易求出时，可借助其单调性和零点存在定理确定零点所在区间，设出零点，再整体代换即可. 39．（23-24高二下·黑龙江鸡西·期中）已知函数（为实数） (1)若，求的单调区间； (2)若，求在的最值； (3)若恒成立，求的取值范围. 【答案】(1)减区间为，增区间为 (2)最小值为，最大值为 (3) 【分析】（1）根据题意，求得，结合和的解集，即可求得函数的单调区间； （2）根据题意，求得，得到函数的单调区间和最值，即可求解； （3）根据题意，转化为恒成立，令 ，利用导数求得的单调区间和最小值，即可求解. 【详解】（1）解：当时，，可得， 令，即，解得；令，即，解得， 所以函数在上单调减，在上单调递增， 即函数的递减区间为，递增区间为. （2）解：当时，，可得， 令，可得；令，可得， 所以在上单调递减，在上单调递增， 且，，， 则函数在区间上的最小值为，最大值为. （3）解：由题意，可得得函数的定义域为， 若恒成立，则，即恒成立， 令 ，则， 当 时， ；当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 则，所以 ， 故的取值范围为. 40．（23-24高二下·黑龙江鸡西·期中）已知函数的导函数为，若存在两个不同的零点. (1)当时，求函数在处的切线方程； (2)求函数的单调区间； (3)证明：． 【答案】(1) (2)在上为减函数，在上为增函数 (3)证明见解析 【分析】（1）当时，求得，得到，且，结合导数的几何意义，即可求解； （2）根据题意，求得，设，得到，进而求得函数的单调区间，即可得求得单调区间； （3）由（2）可得，根据题意，转化为，即为，设，利用导数求得函数的单调性，得到，即可得证. 【详解】（1）解：当时，，可得， 可得，且，即切线的斜率为，切点坐标为， 所以在的切线方程为，即. （2）解：由函数，其定义域为，且， 设，则， 当时，；当时，， 所以在上为减函数，在上为增函数， 即的单调递减区间为，单调递增区间为. （3）证明：由（2）可得， 要证：，即证：， 因，即，即证， 即证：，其中， 设，其中， 可得， 则 因为，等号不可取， 所以在上为增函数，故，即， 故成立即. 41．（23-24高二下·黑龙江哈尔滨·期中）已知函数． (1)证明：； (2)设函数，若恒成立，求的最小值； (3)若方程有两个不相等的实根，求证：． 【答案】(1)证明见解析 (2)1 (3)证明见解析 【分析】（1）由得出的最大值，即可证明； （2）将整理为，分类讨论，，，即可得出的范围，进而得出的最小值； （3）将等价转化为，构造函数，得出，则，即可证明． 【详解】（1）证明：由得，，， 当时，，即在单调递增， 当时，，即在单调递减， 所以． （2）由得，，整理得， 设，则， 当时，，当时，， 所以在单调递减，在单调递增，所以， 设，则，所以在单调递增，即， 当时，，恒成立， 当时，，即， 所以， 因为，则，不等式不成立； 当时，，即， 所以， 因为，则，不等式恒成立； 综上所述，，所以的最小值为1． （3）由（1）得，在单调递增，在单调递减，，图象如图所示， 由方程有两个不相等的实根得，，，且， 所以，， ， 因为，所以， 设，则， 当时，，即在单调递增， 当时，，即在单调递减， 所以，即，所以， 则，即证． 【点睛】关键点点睛：第二问转化为，讨论参数k研究与左侧大小关系并确定不等式恒成立求参数范围；第三问转化为证明即可. 42．（23-24高二下·黑龙江哈尔滨·期中）已知函数，． (1)讨论函数的单调性； (2)若，，使得，求的取值范围． 【答案】(1)答案见解析 (2) 【分析】（1）分类讨论的取值范围，确定的正负即可得出单调区间； （2）由题知，，由（1）分类讨论和时的，列出不等式求解即可． 【详解】（1）由题知，，， ①当时，， 则时，，单调递增； 当时，，单调递减； 所以的增区间是，减区间是； ②当时，， 当和时，，单调递增， 当时，，单调递减， 故的增区间是和，减区间是； ③当时，，故的单调递增区间是； ④当时，，在和上，单调递增； 在上，单调递减； 故的增区间是和，减区间是， 综上，当时，的增区间是，减区间是； 当时，的增区间是和，减区间是； 当时，的增区间是， 当时，的增区间是和，减区间是． （2）因为，对于，，使得， 所以， 由（1）知，， 当时，在上单调递增，， 所以，解得； 当时，在上单调递增，在上单调递减， 所以， 由得，，所以，即， 所以， 综上所述，的取值范围是． 43．（23-24高二下·黑龙江哈尔滨·期中）已知函数，. (1)当时，求函数的单调区间； (2)讨论函数的单调性； 【答案】(1)单调递增区间为，，单调递减区间为 (2)答案见解析 【分析】（1）求出函数的导函数，再解关于导函数的不等式，即可求出函数的单调区间； （2）求出函数的定义域与导函数，分、、、四种情况讨论，分别求出函数的单调区间. 【详解】（1）当时定义域为， 且， 所以当或时，当时， 所以在，上单调递增，在上单调递减， 即的单调递增区间为，，单调递减区间为； （2）函数的定义域为， 又， 当时，则恒成立， 令，解得；令，解得； 故在上单调递增，在上单调递减； 当时，令，解得或， ①当，即时，令，解得或；令，解得； 故在上单调递增，在上单调递减； ②当，即时，则在定义域上恒成立， 故在上单调递增； ③当，即时，令，解得或；令，解得； 故在上单调递增，在上单调递减； 综上所述：当时，在上单调递减，在上单调递增； 当，在上单调递增，在上单调递减； 当，在上单调递增； 当，在上单调递增，在上单调递减； 44．（23-24高二下·黑龙江·期中）已知函数，． (1)求函数在区间上的最大值； (2)若，恒成立，求实数a的取值范围． 【答案】(1)答案见解析 (2) 【分析】（1）利用导数分类讨论求最值； （2）根据题意，分离参数得恒成立，借助不等式，可求的最小值. 【详解】（1）函数的定义域为. 由已知可得． 当时，，故在区间上单调递增， 所以函数在区间上的最大值为； 当时，由，解得；由，解得． 所以函数在上单调递增，在上单调递减.， 则当时，，则函数在区间上单调递增， 所以最大值为； 当时，，则函数在区间上先增后减， 所以最大值为； 当时，，则函数在区间上单调递减， 所以最大值为； 综上所述，当时， 函数在区间上的最大值为， 当时，函数在区间上的最大值为， 当时，函数在区间上的最大值为； （2）设，则， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 所以，则， 依题意，，恒成立，即恒成立， 而， 当且仅当时，等号成立， 因为函数在上单调递增，， 所以存在，使得成立， 所以，即实数a的取值范围为. 【点睛】关键点点睛：第（2）问中借助不等式,求最值. 导函数的创新题题型07 45．（23-24高二下·黑龙江哈尔滨·期中）若，则（    ）． A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】写出展开式的通项，即可得到，从而判断A，令即可判断B，令，求出导函数，再利用赋值判断C、D. 【详解】因为展开式的通项为（且）， 又， 所以，故A错误； 令，得， 所以，故B正确； 令， 则， 又， 则， 所以，故C错误； ，故D正确. 故选：BD 46．（23-24高二下·黑龙江哈尔滨·期中）曲率是曲线的重要性质，表征了曲线的“弯曲程度”，曲线曲率解释为曲线某点切线方向对弧长的转动率，设曲线具有连续转动的切线，在点处的曲率，其中为的导函数，为的导函数，已知． (1)时，求在极值点处的曲率； (2)时，是否存在极值点，如存在，求出其极值点处的曲率； (3)，，当，曲率均为0时，自变量最小值分别为，，求证：． 【答案】(1)2 (2)答案见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）求得函数的极值点，进而由曲率公式计算即可； （2）令，可得，令时，可得，进而数形结合可得时，有解，且有两解且，进而计算可得极值点处的曲率； （3）根据曲率为0可得，，由（2）可得时，有两解，可证明，再证明即可. 【详解】（1）当时，，可得， 令，可得，当时，，当时，， 所以当为在极小值点，又，所以， 所以； （2）由，可得， 令，则， 令时，可得，令，可得， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减，则， 所以时，有解，且有两解且， 为的极小值点，为的极大值点， 当时，有解，且有唯一解，但此解不是极值点， 当时，无解，所以无极值点， 所以当时，存在极值点， 所以； （3）由题意可得，可得， 要，曲率为0，则，即， 可得，， 所以时，有两解，，可证， 由（2）可得，， 可得，． 要证明，即证明，也就是． 因为，所以即证明， 即，令，则，于是， 令，则, 故函数在上是增函数， 所以，即成立．所以成立． 又因为，则， 由（2）可得在上单调递减， 因为，，所以， 【点睛】关键点睛：本题利用导数分析函数单调性与最值及零点，进而证明不等式的问题.需要根据题意找到间的关系，平时积累常见的函数如的图象性质与指对数函数的常见化简如等是关键，同时也要注意根据零点的关系，，构造函数证明不等式的方法. 47．（23-24高二下·黑龙江大庆·期中）悬链线的原理运用于悬索桥、架空电缆、双曲拱桥、拱坝等工程.通过适当建立坐标系，悬链线可为双曲余弦函数的图像，定义双曲正弦函数.类比三角函数的性质:①平方关系:，②导数关系:. (1)直接写出具有的类似①、②的性质（不需要证明）： (2)证明:当时，; (3)求的最小值. 【答案】(1)答案见详解 (2)证明见详解 (3)0 【分析】（1）类比，写出平方关系，导数关系； （2）构造函数，，求导，结合基本不等式，得到函数单调性，进而得证； （3）多次求导，结合（2）中结论，先得到在内单调递增，再求出为偶函数，从而得到在内单调递减，求出. 【详解】（1）平方关系：； 导数关系：； （2）构造函数，， 可知， 由， 故恒成立，故单调递增， 则，故对任意，恒成立，满足题意； （3），， 令，则， 令，则， 当时，由（2）可知，，则， 令，则，故在内单调递增， 则，故在内单调递增， 则，故在内单调递增， 则，故在内单调递增， 因为， 即为偶函数，故在内单调递减， 则，故当且仅当时，取得最小值0. 【点睛】对于求不等式成立时的参数范围问题，一般有三个方法，一是分离参数法, 使不等式一端是含有参数的式子，另一端是一个区间上具体的函数，通过对具体函数的研究确定含参式子满足的条件；二是讨论分析法，根据参数取值情况分类讨论；三是数形结合法，将不等式转化为两个函数，通过两个函数图像确定条件. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$