专题02 数列（7大题型）-【好题汇编】备战2024-2025学年高二数学下学期期中真题分类汇编（黑龙江专用）

专题02 数列 题型概览 题型01数列的基本问题（通项，前n项和和递推关系 题型02等差数列 题型03等比数列 题型04等差数列和等比数列的综合问题 题型05数列求和问题 题型06数列不等式 题型07数列创新题 数列的基本问题（通项，前n项和和递推关系）题型01 1．（23-24高二下·黑龙江哈尔滨·期中）已知数列满足，若，则的前2024项和为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由数列的递推式推得，从而得到，再由裂项相消法求和即可． 【详解】因为， 当时； 当时，， 两式相减可得， 所以，经检验当时也成立， 所以，所以， 设的前项和为， 则 ． 故选：B． 2．（23-24高二下·黑龙江伊春·期中）已知数列满足，记的前项和为，若，则的最小值是（    ） A．9 B．10 C．11 D．12 【答案】C 【分析】利用构造法，可求得数列通项公式，再利用分组求和及公式求和，即可求和，再利用赋值法和单调性易确定的最小值. 【详解】因为， 所以，，即， 所以数列是以1为首项，2为公比的等比数列， 所以， 所以 ， 利用，可知是单调递增，又， 所以满足的取值范围是，即的最小值是11． 故选：C． 3．（23-24高二下·黑龙江哈尔滨·期中）数列的前项和为，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由求出答案即得. 【详解】根据题意，的前项和为， 所以. 故选：D 4．（23-24高二下·黑龙江哈尔滨·期中）数列的前项和为，则 . 【答案】 【分析】利用与的关系式，分类讨论与两种情况即可得解. 【详解】因为， 当时，， 当时，， 经检验，当时，不满足上式， 所以. 故答案为：. 等差数列题型02 5．（23-24高二下·黑龙江哈尔滨·期中）如果三个数，，成等差数列，则的值为（   ） A．4 B．3 C．1 D． 【答案】A 【分析】由等差中项定义可解. 【详解】由，，成等差数列， 则，得. 故选：A 6．（2024高二下·黑龙江·期中）在公差不为0的等差数列中，，，是公比为2的等比数列，则（    ） A．11 B．13 C．15 D．17 【答案】C 【分析】利用基本量法可求的值. 【详解】设等差数列的公差为，则， 因为，，是公比为2的等比数列， 所以，由前者得到，代入后者可得， 故， 故选：C. 7．（23-24高二下·黑龙江伊春·期中）已知为等差数列的前项和，已知，则（    ） A．215 B．185 C．155 D．135 【答案】B 【分析】根据条件列出关于首项和公差的方程组，再根据等差数列的性质，即可求解 【详解】设等差数列的首项为，公差为，则，解得， 所以． 故选：B． 8．（23-24高二下·黑龙江伊春·期中）若7个正数成等差数列，且这7个数的和为5，则此等差数列的公差可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】AB 【分析】根据求出，然后由列不等式组求解可得. 【详解】设这7个数依次为，其和，所以， 要使这7个数均为正数，则，所以，解得． 故选：AB． 9．（23-24高二下·黑龙江大庆·期中）《Rhind Papyrus》是世界上最古老的数学著作之一.书中有一个类似这样的问题，请给出答案:把600个面包分给5个人，使每人所得面包个数成等差数列，且使较多的三份之和的是较少的两份之和，则最少的一份为（    ） A．5 B．10 C．11 D．55 【答案】B 【分析】设每份面包从小到大为等差数列，公差为，依题意可得，根据等差数列通项公式计算可得. 【详解】设每份面包从小到大为等差数列，公差为， 可得， 所以，解得. 故选：B. 等比数列题型03 10．（23-24高二下·黑龙江哈尔滨·期中）已知是各项均为正数的等比数列，且，则公比（   ） A．或 B． C． D． 【答案】B 【分析】根据等比数列通项公式得到，解得即可，注意需. 【详解】由，得，显然， 所以，解得或， 又的各项均为正数，所以，则. 故选：B 11．（23-24高二下·黑龙江齐齐哈尔·期中）在各项为正的等比数列中，与的等比中项为，则（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据等比中项的性质得到，再由对数的运算性质及下标和性质计算可得. 【详解】因为与的等比中项为， 所以， 所以. 故选：B 等差数列和等比数列的综合问题题型04 12．（23-24高二下·黑龙江哈尔滨·期中）关于等差数列和等比数列，下列说法不正确的是（   ） A．若数列为等比数列，且其前项的和，则 B．若数列为等比数列，且，则 C．若数列为等比数列，为前项和，则，，，…成等比数列 D．若数列为等差数列，，则最小 【答案】CD 【分析】求出的值判断A；利用等比数列的性质计算判断B；举例说明判断C；求出与公差的关系判断D. 【详解】对于A，由，得，数列为等比数列， 则，解得，经验证符合题意，A正确； 对于B，等比数列中，由，得，则，B正确； 对于C，等比数列的公比，为偶数时，，，，，…不成等比数列，C错误； 对于D，设等差数列的公差为，由，得， 整理得，当时，没有最小值，D错误. 故选： CD 13．（23-24高二下·黑龙江哈尔滨·期中）已知是等差数列，是等比数列，且，，． (1)求的通项公式； (2)设，求数列的前项和. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设的公差为，的公比为，依题意求出，即可得到的通项公式，从而求出，即可求出，从而得到的通项公式； （2）由（1）可得，利用分组求和法计算可得. 【详解】（1）设的公差为，的公比为， 又，，所以，则， 则， 所以，则. （2）由（1）可得， 设数列的前项和为， 则 . 14．（23-24高二下·黑龙江哈尔滨·期中）在各项均为正数的等差数列中，，，，成等比数列，保持数列中各项先后顺序不变，在与（）之间插入个3，使它们和原数列的项构成一个新的数列，记的前项和为，则 . 【答案】348 【分析】计算出公差，得到，从而得到，，，……，，，再求和即可. 【详解】设公差为，由题意得， 即，解得， 解得或（舍去）， 故，， 则，，，， ，，， ，，， ，， 故. 故答案为：348 15．（23-24高二下·黑龙江大庆·期中）已知为正项数列的前n项积，且. (1)证明：数列是等比数列； (2)若，求的前n项和. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据题意，由条件可得，从而可得，然后两边取对数，结合等比数列的定义，即可证明； （2）根据题意，由条件可得，结合错位相减法代入计算，即可得到结果. 【详解】（1）由题意知①， 当时，. 当时，②. ①-②得适合上式， ③，则④. 得， 两边同时取以2为底的对数，得， 则，又， ∴数列是首项为，公比为的等比数列. （2）由题意及（1）知，则， 所以， 两式相减得， . 数列求和问题题型05 16．（23-24高二下·黑龙江齐齐哈尔·期中）数列满足，则数列的前项和为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据等差数列求和公式得到，从而得到，再由裂项相消法计算可得. 【详解】因为， 所以， 设数列的前项和为， 则. 故选：B 17．（23-24高二下·黑龙江哈尔滨·期中）已知等差数列的前项和为，若，，则下列结论正确的是（   ） A．是递减数列 B．， C． D． 【答案】BCD 【分析】根据等差数列求和公式及下标和性质得到，，即可判断B、C，又判断A，根据，判断D. 【详解】，， ∴， ， ∴，， ∴，，且，故B、C正确； ∴公差，等差数列是递增数列，故A错误； 因为，，所以时，取得最小值， 所以，故D正确. 故选：BCD. 18．（23-24高二下·黑龙江伊春·期中）中国三大名楼之一的黄鹤楼因其独特的建筑结构而闻名，其外观有五层而实际上内部有九层，隐喻“九五至尊”之意，为迎接国庆节的到来，有网友建议在黄鹤楼内部挂灯笼进行装饰，若在黄鹤楼内部塔楼的顶层挂4盏灯笼，且相邻的两层中，下一层的灯笼数是上一层灯笼数的两倍，则九层塔楼一共需要挂的灯笼数为（    ） A．360 B．511 C．1022 D．2044 【答案】D 【分析】由题意转化为根据首项和公比求等比数列的前9项和. 【详解】依题意，各层灯笼数从上到下排成一列构成等比数列，且，公比， 所以前9项和为，所以九层塔楼一共需要挂2044盏灯笼． 故选：D． 19．（23-24高二下·黑龙江齐齐哈尔·期中）已知等差数列的公差为，前项和为，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】根据已知条件，推出，即可得到数列的单调性，从而判断A、B、D，再利用作差法判断C． 【详解】因为， 所以，， 故，故A、B正确； ，，所以单调递增， 则， 所以，则，故C错误； ，故D正确. 故选：ABD． 20．（23-24高二下·黑龙江哈尔滨·期中）已知等差数列的前项和为,若，，则 ． 【答案】 【分析】设等差数列的公差为，依题意可得，求出、，即可求出，从而得到，再利用裂项相消法计算可得. 【详解】设等差数列的公差为，由，可得， 解得，所以，则， 所以， 所以 . 故答案为： 21．（23-24高二下·黑龙江哈尔滨·期中）已知数列为等差数列，其前项和为，且，，则 ． 【答案】135 【分析】由等差数列求和公式及下标和定理即可求解． 【详解】设等差数列的公差为， 因为数列为等差数列，所以，即， 则， 故答案为：135． 22．（23-24高二下·黑龙江齐齐哈尔·期中）已知数列是正项等比数列，其前项和为，且，． (1)求的通项公式； (2)求的前项和为． 【答案】(1)） (2) 【分析】（1）设的公比为，由等比数列的性质可得，解方程求出，即可求出的通项公式； （2）由（1）可知，由分组求和法求解即可. 【详解】（1）设的公比为，则， 因为，所以，依题意可得，即， 整理得，解得或（舍去），所以． （2）由（1）可知， 故 数列不等式题型06 23．（23-24高二下·黑龙江伊春·期中）已知数列的前项和满足，记，数列的前项和为，且对任意的恒成立，则（    ） A． B． C． D．的取值范围是 【答案】ABD 【分析】利用求出可判断AB；根据错位相减法求和可判断C；参变分离，根据数列单调性求最值可判断D. 【详解】对于A，当时，， 当时，，满足上式，所以，故A正确； 对于B，由上知，，故B正确； 对于C，，则， 两式相减的， 即，故C错误； 对于D，对任意的恒成立， 即恒成立， 设，则， 当时，，即；当时，，即， 所以的最大值为， 所以，故的取值范围是，故D正确． 故选：ABD． 【点睛】思路点睛：关于恒成立求参数范围问题，通常采用参变分离法，将问题转化为求最值问题，求最值时可以使用基本不等式、导数、函数单调性求解. 24．（23-24高二下·黑龙江哈尔滨·期中）已知数列，若，且． (1)求数列的通项公式； (2)证明：． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）根据累加法即可求出通项公式； （2）分类讨论及，根据不等式及等比数列求和公式即可证明． 【详解】（1）当时， ，符合该式， 所以． （2）证明：当时，， 当时，因为，即，所以， 则， 所以， 综上所述，． 25．（23-24高二下·黑龙江哈尔滨·期中）已知各项均为正数的数列的前项和为，且成等差数列. (1)证明：数列是等比数列，并写出数列的通项公式； (2)若，设，求数列的前项和. 【答案】(1)证明见解析， (2) 【分析】（1）根据等差中项可得，即可根据的关系即可得为等比数列； （2）根据错位相减法即可求解. 【详解】（1）由题可得，当时，， 当时，，整理得，又， 所以， 数列是以为首项，以2为公比的等比数列， ； （2）由题意可得：， 所以，则有 ， ， 由错位相减得 ， 所以. 数列创新题题型07 26．（23-24高二下·黑龙江齐齐哈尔·期中）已知二项式（，）的展开式中含的项的系数为，则 ． 【答案】 【分析】由二项式定理求出，再代入化简，由裂项相消法求解即可. 【详解】展开式的通项为：， 令，解得：， 所以， . 故答案为：. 27．（23-24高二下·黑龙江大庆·期中）马尔科夫链是机器学习和人工智能的基石，其数学定义为:假设序列状态是...，，那么时刻的状态的条件概率仅依赖前一状态，即.著名的赌徒模型就应用了马尔科夫链：假如一名赌徒进入赌场参与一个赌博游戏，每一局赌徒赌赢的概率都为50%，每局赌赢可以赢得1金币，赌输就要输掉1金币.赌徒自以为理智地决定，遇到如下两种情况就会结束赌博游戏：一是输光了手中金币;二是手中金币达到预期的1000金币，出现这两种情况赌徒都会停止赌博.记赌徒的本金为70金币，求赌徒输光所有金币的概率 . 【答案】/ 【分析】设当赌徒手中有元时，最终输光的概率为，分别计算和，由全概率公式可得，可证明为等差数列，从而求出通项公式，得出结果. 【详解】设当赌徒手中有元时，最终输光的概率为， 当时，赌徒已经输光了，所以， 当时，赌徒到了终止赌博的条件，不再赌了，因此输光的概率为， 记：赌徒有元最后输光的事件，：赌徒有元下一次赢的事件， 所以， 即，所以， 所以为等差数列，设， 由于，所以， 所以， 故 故答案为： 28．（23-24高二下·黑龙江伊春·期中）差分法的定义：若数列的前项和为，且，则时，．例如：已知数列的通项公式是，前项和为，因为，所以． (1)若数列的通项公式是，求的前项和； (2)若，且数列的前项和分别为，证明：． 【答案】(1)； (2)证明见解析. 【分析】（1）由，根据差分法求解即可； （2）由（1）中结论，结合求数列的前项和，由，根据差分法可得数列的前项和，然后可得的前项和，结合等差数列求和公式可证. 【详解】（1）因为（且）， 所以，即， 当时，； 当时，，满足上式．所以． （2）证明：因为数列是等差数列，所以． 由（1）知数列的前项和为， 数列是等差数列，其前项和为， 因为， 所以数列的前项和为． 因为（且）， 所以，即． 令数列的前项和为， 当时，； 当时，，满足上式．所以． 又数列的前项和为， 数列是等差数列，其前项和为， 因为， 所以数列的前项和为 ， 即．又，所以． 【点睛】关键点点睛：本题关键在于对新定义的理解，以及对代数式结构特征的敏锐观察，由和，根据差分法求解即可. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 数列 题型概览 题型01数列的基本问题（通项，前n项和和递推关系 题型02等差数列 题型03等比数列 题型04等差数列和等比数列的综合问题 题型05数列求和问题 题型06数列不等式 题型07数列创新题 数列的基本问题（通项，前n项和和递推关系）题型01 1．（23-24高二下·黑龙江哈尔滨·期中）已知数列满足，若，则的前2024项和为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二下·黑龙江伊春·期中）已知数列满足，记的前项和为，若，则的最小值是（    ） A．9 B．10 C．11 D．12 3．（23-24高二下·黑龙江哈尔滨·期中）数列的前项和为，则（   ） A． B． C． D． 4．（23-24高二下·黑龙江哈尔滨·期中）数列的前项和为，则 . 等差数列题型02 5．（23-24高二下·黑龙江哈尔滨·期中）如果三个数，，成等差数列，则的值为（   ） A．4 B．3 C．1 D． 6．（2024高二下·黑龙江·期中）在公差不为0的等差数列中，，，是公比为2的等比数列，则（    ） A．11 B．13 C．15 D．17 7．（23-24高二下·黑龙江伊春·期中）已知为等差数列的前项和，已知，则（    ） A．215 B．185 C．155 D．135 8．（23-24高二下·黑龙江伊春·期中）若7个正数成等差数列，且这7个数的和为5，则此等差数列的公差可能是（    ） A． B． C． D． 9．（23-24高二下·黑龙江大庆·期中）《Rhind Papyrus》是世界上最古老的数学著作之一.书中有一个类似这样的问题，请给出答案:把600个面包分给5个人，使每人所得面包个数成等差数列，且使较多的三份之和的是较少的两份之和，则最少的一份为（    ） A．5 B．10 C．11 D．55 等比数列题型03 10．（23-24高二下·黑龙江哈尔滨·期中）已知是各项均为正数的等比数列，且，则公比（   ） A．或 B． C． D． 11．（23-24高二下·黑龙江齐齐哈尔·期中）在各项为正的等比数列中，与的等比中项为，则（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 等差数列和等比数列的综合问题题型04 12．（23-24高二下·黑龙江哈尔滨·期中）关于等差数列和等比数列，下列说法不正确的是（   ） A．若数列为等比数列，且其前项的和，则 B．若数列为等比数列，且，则 C．若数列为等比数列，为前项和，则，，，…成等比数列 D．若数列为等差数列，，则最小 13．（23-24高二下·黑龙江哈尔滨·期中）已知是等差数列，是等比数列，且，，． (1)求的通项公式； (2)设，求数列的前项和. 14．（23-24高二下·黑龙江哈尔滨·期中）在各项均为正数的等差数列中，，，，成等比数列，保持数列中各项先后顺序不变，在与（）之间插入个3，使它们和原数列的项构成一个新的数列，记的前项和为，则 . 15．（23-24高二下·黑龙江大庆·期中）已知为正项数列的前n项积，且. (1)证明：数列是等比数列； (2)若，求的前n项和. 数列求和问题题型05 16．（23-24高二下·黑龙江齐齐哈尔·期中）数列满足，则数列的前项和为（   ） A． B． C． D． 17．（23-24高二下·黑龙江哈尔滨·期中）已知等差数列的前项和为，若，，则下列结论正确的是（   ） A．是递减数列 B．， C． D． 18．（23-24高二下·黑龙江伊春·期中）中国三大名楼之一的黄鹤楼因其独特的建筑结构而闻名，其外观有五层而实际上内部有九层，隐喻“九五至尊”之意，为迎接国庆节的到来，有网友建议在黄鹤楼内部挂灯笼进行装饰，若在黄鹤楼内部塔楼的顶层挂4盏灯笼，且相邻的两层中，下一层的灯笼数是上一层灯笼数的两倍，则九层塔楼一共需要挂的灯笼数为（    ） A．360 B．511 C．1022 D．2044 19．（23-24高二下·黑龙江齐齐哈尔·期中）已知等差数列的公差为，前项和为，且，则（   ） A． B． C． D． 20．（23-24高二下·黑龙江哈尔滨·期中）已知等差数列的前项和为,若，，则 ． 21．（23-24高二下·黑龙江哈尔滨·期中）已知数列为等差数列，其前项和为，且，，则 ． 22．（23-24高二下·黑龙江齐齐哈尔·期中）已知数列是正项等比数列，其前项和为，且，． (1)求的通项公式； (2)求的前项和为． 数列不等式题型06 23．（23-24高二下·黑龙江伊春·期中）已知数列的前项和满足，记，数列的前项和为，且对任意的恒成立，则（    ） A． B． C． D．的取值范围是 24．（23-24高二下·黑龙江哈尔滨·期中）已知数列，若，且． (1)求数列的通项公式； (2)证明：． 25．（23-24高二下·黑龙江哈尔滨·期中）已知各项均为正数的数列的前项和为，且成等差数列. (1)证明：数列是等比数列，并写出数列的通项公式； (2)若，设，求数列的前项和. 数列创新题题型07 26．（23-24高二下·黑龙江齐齐哈尔·期中）已知二项式（，）的展开式中含的项的系数为，则 ． 27．（23-24高二下·黑龙江大庆·期中）马尔科夫链是机器学习和人工智能的基石，其数学定义为:假设序列状态是...，，那么时刻的状态的条件概率仅依赖前一状态，即.著名的赌徒模型就应用了马尔科夫链：假如一名赌徒进入赌场参与一个赌博游戏，每一局赌徒赌赢的概率都为50%，每局赌赢可以赢得1金币，赌输就要输掉1金币.赌徒自以为理智地决定，遇到如下两种情况就会结束赌博游戏：一是输光了手中金币;二是手中金币达到预期的1000金币，出现这两种情况赌徒都会停止赌博.记赌徒的本金为70金币，求赌徒输光所有金币的概率 . 28．（23-24高二下·黑龙江伊春·期中）差分法的定义：若数列的前项和为，且，则时，．例如：已知数列的通项公式是，前项和为，因为，所以． (1)若数列的通项公式是，求的前项和； (2)若，且数列的前项和分别为，证明：． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$