专题01 概率统计和计数原理（6大题型）-【好题汇编】备战2024-2025学年高二数学下学期期中真题分类汇编（黑龙江专用）

专题01 概率，统计和计数原理 题型概览 题型01 二项式定理及其应用 题型02排列组合及其应用 题型03随机变量及其分布 题型04条件概率 题型05统计 题型06统计案例 二项式定理及其应用题型01 1．（23-24高二下·黑龙江齐齐哈尔·期中）若的展开式中的系数为 ．（用数字作答） 【答案】 【分析】根据二项式展开式的通项特征即可求解. 【详解】的通项公式为， 当时，，当时，， ， 故的展开式中的系数为． 故答案为： 2．（23-24高二下·黑龙江哈尔滨·期中）的展开式中，的系数为（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】依题意展开式的项看做有个盒子，每个盒子中，，三个元素，从每个盒子中取出一个元素，再将所得的元素相乘，分三种情况讨论，根据组合数公式计算可得. 【详解】展开式中的项，可看做有个盒子，每个盒子中，，三个元素，从每个盒子中取出一个元素，再将所得的元素相乘； 要得到： ①可以取个，个，个，则为； ②可以取个，个，个，则为； ③可以取个，个，个，则为； 综上可得的系数为. 故选：D 3．（23-24高二下·黑龙江牡丹江·期中）展开式的二项式系数和64，则展开式中的有理项个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】利用二项式定理的性质与通项求解即可. 【详解】二项系数和为，则，所以的通项为：，其中， 则展开式中的有理项满足，故，共3项. 故选：C. 4．（23-24高二下·黑龙江哈尔滨·期中）若的展开式中所有项的二项式系数之和为16，则其展开式中的常数项为（    ）． A．4 B． C．6 D． 【答案】B 【分析】由二项式系数和为求出，再写出展开式的通项，利用通项计算可得. 【详解】由展开式中所有项的二项式系数和为， 所以，解得； 所以展开式的通项为，， 令，解得，所以展开式中的常数项为． 故选：B． 5．（23-24高二下·黑龙江绥化·期中）下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．精确到0.01的近似值为0.85 D．除以15的余数为1 【答案】ACD 【分析】分析展开式项的系数的符号，赋值判断A，逆用二项式定理判断B，由展开判断C，展开判断D. 【详解】在中， 所以令，则，故A正确； 因为，所以， 所以，故B错误； ， 取展开式前3项，则精确到0.01的近似值为，故C正确； ， 其中，所以能被15整除， 所以除以15的余数为1，故D正确． 故选：ACD． 6．（23-24高二下·黑龙江哈尔滨·期中）已知，则（    ） A． B． C．此二项式展开式的二项式系数和为64 D．展开式中二项式系数最大的项为第3项 【答案】BC 【分析】写出展开式的通项，可判断A、D；利用赋值法判断B；由二项式系数和为判断C. 【详解】二项式展开式的通项为，， 对于A：当时，，故A错误； 对于B：令，， 令，，所以，故B正确； 对于C：此二项式展开式的二项式系数和为，故C正确； 对于D：因为二项式系数为，所以当时，最大，即第项的二项式系数最大，故D错误； 故选：BC. 7．（23-24高二下·黑龙江·期中）已知的二项展开式中二项式系数之和为64，下列结论正确的是（    ） A．二项展开式中各项系数之和为 B．二项展开式中二项式系数最大的项为第四项 C．二项展开式中有3个有理项 D．二项展开式中系数最大的项为 【答案】ABD 【分析】由二项展开式中二项式系数之和为64求出，再得出通项，令可得A正确；由组合数的性质可得B正确；令为整数，可得C错误；令，可得D正确； 【详解】因为的二项展开式中二项式系数之和为64， 所以，所以二项式为， 通项为， A：令，可得二项展开式中各项系数之和为，故A正确； B：当时，二项式系数最大，即第四项，故B正确； C：令为整数，解得，所以有4个有理项，故C错误； D：因为通项为， 所以项的系数为，， 经检验，时，项的系数最大,为，故D正确； 故选：ABD. 8．（23-24高二下·黑龙江哈尔滨·期中）“杨辉三角”是二项式系数在三角形中的一种几何排列，在中国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中就有出现.如图所示，在“杨辉三角”中，除每行两边的数都是1外，其余每个数都是其“肩上”的两个数之和，例如第4行的6为第3行中两个3的和.则下列命题中正确的是（    ） A．在“杨辉三角”第9行中，从左到右第7个数是84 B．由“第行所有数之和为”猜想： C．在“杨辉三角”中，当时，从第2行起，每一行的第3列的数字之和为284 D．在“杨辉三角”中，第行所有数字的平方和恰好是第行的中间一项的数字 【答案】ABD 【分析】根据“杨辉三角”,结合组合数公式，二项式定理，组合数的性质，判断选项. 【详解】A. 在“杨辉三角”第9行中，从左到右第7个数是，故A正确； B.因为,令得，故B正确； C. 在“杨辉三角”中，当时，从第2行起，每一行的第3列的数字之和为 ，故C错误； D. 在“杨辉三角”中，第行所有数字的平方和恰好是第行的中间一项的数字， 即， 因为 对应相乘可得的系数为 而二项式展开式的通项公式，， 当时，，则的系数为, 所以，故D正确. 故选：ABD 9．（23-24高二下·黑龙江·期中）已知的展开式中，第3项的二项式系数与第2项的二项式系数的比为． (1)求n的值， (2)求展开式中的常数项； (3)求展开式中含的项的系数． 【答案】(1)6 (2)160 (3)6252 【分析】（1）利用二项式系数的比值求出n； （2）利用通项公式求解； （3）利用通项公式分别写出与的符合题意得项，相乘再相加即可. 【详解】（1）根据题意，， 所以； （2）由（1）二项式展开式的通项公式为 ， 由得，所以展开式中的常数项为； （3）由（1）， 展开式中含项为： 所以展开式中含项的系数为6252. 10．（23-24高二下·黑龙江齐齐哈尔·期中）已知的展开式中所有项的系数之和为. (1)求展开式中的系数； (2)求展开式中二项式系数最大的项. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）令，解得，再由通项公式求解； （2）展开式中二项式系数最大的项是第5项，即可求解． 【详解】（1）解：令，得，解得. ， 令，解得， 所以展开式中的系数为； （2）展开式中二项式系数最大的项是第5项， 所以，即展开式中二项式系数最大的项是. 11．（23-24高二下·黑龙江齐齐哈尔·期中）设的第项系数为. (1)当时，求的最大值； (2)表示的整数部分，，求的值. 【答案】(1) (2)0 【分析】（1）系数最大的项需满足即可求解； （2）分为偶数和为奇数求解． 【详解】（1）解：由题可知，展开式中第项为：， 则系数最大的项需满足，解得或， 所以系数最大为第3项或第4项， 所以最大项系数为. （2）注意到， 令，则， 令，则， 若为偶数，设，则， ，则 其中，于是， 此时为正整数，故， 若为奇数，设，则， ，故 于是，此时为正整数，故， 综上所述，. 排列组合及其应用题型02 12．（23-24高二下·黑龙江齐齐哈尔·期中） . 【答案】2 【分析】由排列数及组合数公式求解． 【详解】解：， 故答案为： 13．（23-24高二下·黑龙江哈尔滨·期中）（    ） A．84 B．83 C．70 D．69 【答案】D 【分析】根据组合数的性质来求得正确答案. 【详解】 . 故选：D 14．（23-24高二下·黑龙江哈尔滨·期中）从4名学生中挑选2人，分别担任正、副班长，则不同的安排方案有（    ）种． A．6 B．12 C．16 D．20 【答案】B 【分析】利用排列数公式计算可得. 【详解】依题意从4名学生中挑选2人，分别担任正、副班长有种安排方法. 故选：B 15．（23-24高二下·黑龙江牡丹江·期中）某企业召集6个部门的员工座谈，其中A部门有2人到会，其它5个部门各有1人到会，座谈会上安排来自不同部门的3人按顺序发言，则不同的安排方法种数为 ． 【答案】180 【分析】由A部门的特殊性，可以分有A部门的人发言和没有A部门的人发言两种情况进行分类讨论，然后利用分类加法计数原理即可得解. 【详解】第一类：有A部门的人发言，有不同的安排方法种数为：（种）， 第二类：没有A部门的人发言，有不同的安排方法种数为：（种）， 所以，不同的安排方法种数共为（种）， 故答案为：180. 16．（23-24高二下·黑龙江哈尔滨·期中）从集合中依次任取两数，组成复数，其中虚数有（    ） A．30个 B．42个 C．36个 D．35个 【答案】B 【分析】运用间接法，可放回地抽取两个数，得所有的复数个数，减去所有可组成的实数个数即得. 【详解】依题意，当且仅当时，复数表示虚数， 故可用间接法，先考虑从中可放回地任取两个数作为，有个复数， 再去掉时实数的个数7，即得虚数有个. 故选：B. 17．（23-24高二下·黑龙江齐齐哈尔·期中）某公司清明有三天假期，现安排甲、乙、丙、丁、戊5人值班，每人只值班1天，每天至少有1人值班，且甲、乙不在同一天值班，则不同的值班安排共有（    ） A．72种 B．114种 C．120种 D．144种 【答案】B 【分析】由题意问题可分为不考虑甲、乙是否在同一天值班和甲、乙在同一天值班两种情况，，两种情况分别用分组分配方法求解即可. 【详解】不考虑甲乙是否同一天加班的特殊情况，5位员工安排在3天加班， 可分为与两种情况， ①：；②：，共有150种情况． 若甲、乙在同一天加班，分他们都在2人组和都在3人组两种情况， ①都在2人组：；②都在3人组：， 考虑两人的特殊要求之后，共有（种）不同的值班安排方法． 故选：B 18．（23-24高二下·黑龙江牡丹江·期中）从2至7的6个整数中随机取3个不同的数，则这三个数作为边长可以构成三角形的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用组合知识求出一共有的情况数，再用列举法求出这三个数作为边长可以构成三角形的情况数，从而求出概率. 【详解】6个整数中取3个不同的数，共有种情况， 三个数作为边长可构成三角形的有，共有13种情况， 所以概率为 故选：C. 19．（23-24高二下·黑龙江哈尔滨·期中）现有8个市三好学生名额分给六个班，其中一班和二班每班至少2个名额，三班和四班每班至少1个名额，五班和六班可以不分配名额，则名额分配方式共有（    ）种． A．21 B．56 C．70 D．126 【答案】A 【分析】首先给一~四班分配最低要求的名额，从而还剩下个名额，再将剩下的个名额分两种情况讨论，利用组合数公式计算可得. 【详解】依题意，首先给一班和二班每班个名额，三班和四班每班个名额，则还剩下个名额， 将剩下的个名额给一个班级，有种方法； 将剩下的个名额给两个班级，有种方法； 综上可得：一共有种分配方法. 故选：A 20．（23-24高二下·黑龙江哈尔滨·期中）如图，给六个点涂色，现有五种不同的颜色可供选用，要求每个点涂一种颜色，且每条线段的两个端点涂不同颜色，则不同的涂色方法有（    ）种． A．1440 B．1920 C．2160 D．3360 【答案】B 【分析】根据题意，依次分析、、和、、的涂色方法数目，由分步计数原理计算可得答案． 【详解】根据题意，分2步进行分析： ①对于、、三点，两两相邻，有种涂色方法， ②与相邻，有4种颜色可选， 若与同色，其中与同色时，有3种涂色方法，与不同色时，有2种颜色可选，有2种颜色可选， 此时有种涂色方法，同理：若与同色，有7种涂色方法， 若与、颜色都不同，有2种颜色可选，、有3种颜色可选， 此时有种涂色方法， 则、、有种涂色方法， 故有种涂色方法． 故选：B． 21．（23-24高二下·黑龙江齐齐哈尔·期中）若一个三位数中十位上的数字比百位上的数字和个位上的数字都小，则称这个数为“凹数”，如213、435等都是“凹数”，用1，2，3，4，5这五个数字组成无重复数字的三位数，则（    ） A．组成的三位数的个数为60 B．在组成的三位数中，各位数字之和为9的个数为6 C．在组成的三位数中，比300大的个数为36 D．在组成的三位数中，“凹数”的个数为24 【答案】AC 【分析】根据数的要求及大小结合排列组合数计算求解. 【详解】依题意，组成的三位数的个数为，故A正确； 各位数字之和为9的有；两种组合，故各位数字之和为9的个数为，B错误； 比300大，则百位上的数可以为3，4，5，比300大的个数为，C正确； 将这些“凸数”分为三类：①十位为1，则有（种）；②十位为2，则有（种）； ③十位为3，则有（种），所以在组成的三位数中，“凹数”的个数为，故D错误． 故选：AC. 22．（23-24高二下·黑龙江牡丹江·期中）由数字组成的比1300大且没有重复数字的正整数的个数是 ． 【答案】22 【分析】根据千位为1和不为1进行分类，由排列组合即可求解. 【详解】当千位和百位分别为1，3时，则十位和个位有个符合条件的， 当千位和百位分别为1，4时，则十位和个位有个符合条件的， 当千位为不为1时，共有个符合条件的， 故共有个. 故答案为：22. 23．（23-24高二下·黑龙江哈尔滨·期中）一张餐桌上有6盘不同的菜，甲、乙、丙3名同学每人从中各取1盘菜，不同的取法共有 种． 【答案】120 【分析】根据排列的意义问题可转化为从6个元素中取出3个元素的排列数求解 【详解】由题意，问题相当于从6个不同元素中取3个元素的排列数， 故有种． 故答案为：120 24．（23-24高二下·黑龙江哈尔滨·期中）某地教育局准备从本地区选聘6位教育家型教师到外地3所学校支教，要求每所学校至少去1位教师，每位教师只能去1所学校，且甲乙两位教师必须去同一所学校，则不同的分配方案种数为 ． 【答案】150 【分析】由排列、组合及简单计数问题，结合分步乘法计数原理和分类加法计数原理求解． 【详解】根据题意可分为三类：①甲乙两人一起去同一所学校，②甲乙连同另一名老师一起去同一所学校，③甲乙连同另外两名老师一起去同一所学校， ①甲乙两人一起去同一所学校， 则不同的分配方案种数为， ②甲乙连同另一名老师一起去同一所学校， 则不同的分配方案种数为， ③甲乙连同另外两名老师一起去同一所学校， 则不同的分配方案种数为， 则不同的分配方案种数共有． 故答案为：150． 25．（23-24高二下·黑龙江哈尔滨·期中）如图，某城市的街区由12个全等的矩形组成（实线表示马路），段马路由于正在维修，暂时不通，则从到的最短路径有 条. 【答案】26 【分析】由题意，假设之间通顺，先求出从到最短路径的数目，再求出经过的走法，即可求解. 【详解】由题意知，假设之间通顺，从到， 需要向右4次，向上3次，则其最短路径有条， 其中经过的走法有条， 所以从到最短的路径有条. 故答案为：26 26．（23-24高二下·黑龙江牡丹江·期中）产品抽样检查中经常遇到一类实际问题，假定在件产品中有件不合格品，在产品中随机抽件做检查，发现件不合格品的概率为，其中是与中的较小者，在不大于合格品数（即）时取0，否则取与合格品数之差，即 根据以上定义及分布列性质，请计算当时， ；若，请计算 .（两空均用组合数表示） 【答案】 (或) 【分析】根据分布列的性质可得，可求得；利用组合数的性质可求出. 【详解】当时，, 因为， 所以. 当时， 因为, 所以, 所以 . 故答案为:；(或)． 27．（23-24高二下·黑龙江齐齐哈尔·期中）从3位女生，4位男生中选出3人参加校园大扫除活动. (1)共有多少种不同的选择方法？ (2)如果至少有1位女生人选，共有多少种不同的选择方法？ 【答案】(1)35 (2)31 【分析】（1）根据组合数的含义求解即得； （2）根据“至少有1位女生”的反面情况为“没有女生”，运用间接法即得. 【详解】（1）从3位女生，4位男生中选出3人参加校园大扫除活动， 选择方法数为； （2）因为没有女生人选的选择方法数为， 所以至少有1位女生人选的选择方法数为. 28．（23-24高二下·黑龙江齐齐哈尔·期中）某班级举行元旦文艺晚会，晚会有3个唱歌节目和3个小品节目. (1)若第一个节目是小品节目，有多少种排法？ (2)若3个唱歌节目要排在一起，有多少种排法？ 【答案】(1)360 (2)144 【分析】（1）运用分步乘法计数原理，先排第一个节目，然后全排即得； （2）运用相邻问题“捆绑法”，将需要在一起的节目看成一个元素，与其他元素全排，再解绑，考虑内部元素的全排即得. 【详解】（1）依题意，分两步完成，① 在3个小品节目中任选一个，有种方法； ②将剩下的5个节目在第一个节目之后的五个位置上全排，有种方法， 由分步乘法计数原理可得，第一个节目是小品节目的排法共有（种）； （2）先将将3个唱歌节目进行“捆绑”看成一个元素，与其他3个节目形成4个元素进行全排有种方法， 再考虑对3个唱歌节目“松绑”，有种方法， 由分步乘法计数原理可得，排法共有（种）. 随机变量及其分布题型03 29．（23-24高二下·黑龙江绥化·期中）已知随机变量的分布列为 5 10 15 则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由分布列性质计算即可. 【详解】由分布列的性质，得，解得． 故选:D. 30．（23-24高二下·黑龙江牡丹江·期中）若是离散型随机变量，，，又已知，，则的值为 ． 【答案】1 【分析】由期望公式和方差公式列出的关系式，然后变形求解． 【详解】因为，所以随机变量的值只能为， 所以，解得或， ∴． 故答案为：1． 31．（23-24高二下·黑龙江齐齐哈尔·期中）某同学会做老师给出的6道题中的4道，现从这6道题中选3道让该同学做，规定至少做出2道才能及格，试求：选出的3题中该同学会做的题目数的分布列． 【答案】分布列见解析 【分析】根据超几何分布的概率公式求解概率，即可求解分布列. 【详解】解：记该同学会做的题目数为X，由题意，，2，3， ，，， 所以该同学会做的题目数的分布列为： X 1 2 3 P 32．（23-24高二下·黑龙江牡丹江·期中）现有一批疫苗试剂，拟进入动物试验阶段，将对一组动物（共10只）进行试验．第一轮注射，对该组的每只动物都注射一次，若检验出该组中有9只或10只动物产生抗体，说明疫苗有效，试验终止；否则对没有产生抗体的动物进行第二轮注射，再次检验．如果被二次注射的动物都产生抗体，说明疫苗有效，否则需要改进疫苗．设每只动物是否产生抗体相互独立，两次注射疫苗互不影响，且产生抗体的概率均为．若试验只需一轮注射的概率为，需要注射第二轮的概率为，且该组中某一只动物在这次试验中只被注射一次的概率为（均用含的多项式表示），再设该组动物总共需要注射的次数的数学期望为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】对于A，直接计算即可；对于B，使用对立事件概率公式即可；对于C，使用和事件概率公式即可；对于D，使用期望的可加性计算出，再证明不等式即可. 【详解】对于A，实验只需要一轮等价于该组中有9只或10只动物产生抗体， 从而，故A正确； 对于B，由对立事件概率公式知，故B错误； 对于C，该动物在这次试验中只被注射一次等价于第一次该动物产生抗体（记为事件）或其它动物都产生抗体（记为事件）， 从而，故C正确； 对于D，我们设这十只动物分别需要注射的次数为，则总共需要注射的次数， 根据C选项的讨论，对任意都有. 所以 ，故D正确. 故选：ACD. 【点睛】关键点点睛：本题的关键在于对题目背景的理解，以及对各种概率公式的运用. 条件概率题型04 33．（23-24高二下·黑龙江大庆·期中）工厂有甲，乙，丙三个车间生产同一产品，已知各车间的产量分别占全厂产量的，，，并且各车间的次品率依次为，，.现从该厂这批产品中任取一件. (1)求取到次品的概率； (2)若取到的是次品，则此次品由甲车间生产的概率是多少? 【答案】(1) (2) 【分析】（1）记事件表示车间生产的产品，记事件表示车间生产的产品，记事件表示车间生产的产品，记事件表示抽取到次品，利用全概率公式计算可得； （2）利用条件概率的概率公式计算可得. 【详解】（1）记事件表示车间生产的产品， 记事件表示车间生产的产品， 记事件表示车间生产的产品， 记事件表示抽取到次品， 则, ， 取到次品的概率为 ； （2）若取到的是次品，此次品由甲车间生产的概率为： . 34．（23-24高二下·黑龙江哈尔滨·期中）甲、乙两名游客慕名来到哈尔滨旅游，准备分别从中央大街、圣索菲亚大教堂、太阳岛、东北虎园林、龙塔这5个景点中随机选一个游玩．设事件A为“两人至少有一人选择中央大街”，事件B为“两人选择的景点不同”，则（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据条件概率的计算公式即可求解. 【详解】由题意可知，, ， 所以． 故选：D． 35．（23-24高二下·黑龙江哈尔滨·期中）某地区气象台统计，该地区下雨的概率为，已知下雨的条件下，刮风的概率为，则既刮风又下雨的概率为 ． 【答案】 【分析】先设事件为下雨，事件为刮风，由概率乘法公式计算可得． 【详解】设事件为下雨，事件为刮风， 由题意得，，，又， 所以． 故答案为：． 36．（23-24高二下·黑龙江哈尔滨·期中）设，是一个随机试验中的两个事件，且，，，则下列说法正确的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】根据求出，即可判断A；由判断B，由条件概率公式判断C、D. 【详解】因为，，， 且， 所以，故A正确； ，故B正确； ，故C正确； ，故D错误. 故选：ABC 37．（23-24高二下·黑龙江·期中）掷一个均匀的骰子．记A为“掷得点数小于5”，B为“掷得点数为奇数”，则为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据已知列出事件A和事件的结果，求出，，然后利用条件概率公式求解即可. 【详解】掷一个均匀的骰子，有共种结果， 事件A包含点数为，共种结果，所以； 事件包含点数为共种结果，所以， 所以． 故选：D 38．（17-18高二下·黑龙江齐齐哈尔·期末）2023年4月5日是我国的传统节日“清明节”.这天，王华的妈妈煮了五个青团子，其中两个肉馅，三个豆沙馅，王华随机拿了两个青团子，若已知王华拿到的两个青团子为同一种馅，则这两个青团子都为肉馅的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据条件概率的计算公式即可求解. 【详解】设事件A为“王华拿到的两个青团子为同一种馅”，事件AB为“两个青团子都为肉馅”，则事件A包含的基本事件的个数为，事件AB包含的基本事件的个数为，所以, 故选：A 39．（23-24高二下·黑龙江鸡西·期中）甲､乙两位学生心仪某中学已久，所以这两名学生准备分别从教学南楼､教学北楼､活动中心和学生劳动实践基地四个地点中随机选择一个考察参观，事件甲和乙至少一人选择活动中心考察参观，事件：甲和乙选择的地点不同，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据条件概率的计算公式即可求解. 【详解】甲乙两人从四个地点中随机选择一个考察参观，共有种选择， 甲和乙均不选择活动中心考察参观共有种选择，所以甲和乙至少一人选择活动中心考察参观有种选择，所以， 事件AB：甲乙只有一人选择青少年活动中心考察参观，故共有种选择， 所以,因此. 故选：A． 40．（23-24高二下·黑龙江鸡西·期中）下列选项中正确的是（    ） A．已知随机变量服从二项分布，则 B．口袋中有大小相同的7个红球､2个蓝球和1个黑球，从中任取两个球，记其中红球的个数为随机变量，则的数学期望 C．对标有不同编号的6件正品和4件次品的产品进行检测，从中任取2件，已知其中一件为正品，则另一件也为正品的概率是 D．某学校有2023名学生，其中男生1012人，女生1011人，现选派10名学生参加学校组织的活动，记男生的人数为X，则X服从超几何分布 【答案】BCD 【分析】对于A，二项分布的方差公式以及方差的性质即可判断；对于BD，由超几何分布的概念即相关知识即可判断；对于C，由条件概率公式即可判断. 【详解】A选项，，，，A错误； B选项，X服从超几何分布，，，B正确； C选项，根据题意，设“第一次摸出正品”为事件A，“第二次摸出正品”为事件B，则 ,，，故C正确； D选项，某学校有2023名学生，其中男生1012人，女生1011人，现选派10名学生参加学校组织的活动， 记男生的人数为X，则X服从超几何分布，故D正确. 故选：BCD. 41．（23-24高二下·黑龙江哈尔滨·期中）某运动队共有12名运动员，其中一级运动员6名，二级运动员4名，三级运动员2名．现举办奥运选拔赛，一、二、三级运动员晋级的概率分别为0.75，0.5，0.25． (1)从这12名运动员中选4人参加奥运选拔赛，已知所选4人中一、二、三级运动员都有入选，求一级运动员人数最多的概率； (2)从这12名运动员中任选1人参加奥运选拔赛，求其能够晋级的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用条件概率公式即可求解； （2）利用全概率公式求解． 【详解】（1）设事件表示“所选4人中一、二、三级运动员都有入选”，事件表示“一级运动员人数最多”， 则，， 所以， 即已知所选4人中一、二、三级运动员都有入选，一级运动员人数最多的概率为； （2）设事件表示“这12名运动员中任选1人参加奥运选拔赛能够晋级”， 则． 统计题型05 42．（23-24高二下·黑龙江牡丹江·期中）设样本数据的平均数为，方差为，若数据，，，的平均数比方差大4，则的最大值是 ． 【答案】 【分析】根据平均数和方差的性质，以及二次函数的性质即可解出． 【详解】数据，，，的平均数为，方差为， 所以，，即， 则， 因为，所以， 因函数在上单调递减， 故当时，的最大值是． 故答案为：． 43．（23-24高二下·黑龙江绥化·期中）某研究机构对高三学生的记忆力和判断力进行统计分析，得表数据. 6 8 10 12 2 3 5 6 请根据上表提供的数据，求出关于的线性回归方程 ，据此可预测判断力为的同学的记忆力为 . （回归直线方程是：，其中，） 【答案】 ； . 【分析】设回归方程，利用表中数据，根据最小二乘原理求得系数，即得方程；再用方程代入数据预测记忆力即可. 【详解】设y关于x的线性回归方程为，直线过样本中心点 由表格数据得， ， ， ， 故根据最小二乘原理知， 所以， 即线性回归方程为； 将代入方程，得， 即可预测判断力为4的同学的记忆力为. 故答案为：；. 44．（23-24高二下·黑龙江牡丹江·期中）某单位有职工750人，其中青年职工350人，中年职工250人，老年职工150人，为了了解该单位职工的健康情况，用按比例分层随机抽样的方法从中抽取样本，若样本中的青年职工为7人，则样本容量为（    ） A．15 B．25 C．35 D．75 【答案】A 【分析】结合分层抽样方法求出青年职工的比例继而求出样本容量. 【详解】由题意得样本容量为. 故选：A 45．（23-24高二下·黑龙江牡丹江·期中）下列说法错误的是（    ） A．在残差图中，残差点比较均匀地落在水平带状区域中，说明选用的模型比较合适，带状区域越窄，说明回归方程的预报精度越高 B．在独立性检验时，两个变量的列联表中，对角线上数据的乘积相差越大，说明“这两个变量没有关系”成立的可能性就越大 C．在回归直线方程中，当解释变量每增加一个单位时，预报变量就增加0.2个单位 D．越大，意味着残差平方和越小，即模型的拟合效果越好 【答案】B 【分析】AD选项，根据残差分析可得AD正确；B选项，由卡方的定义可知B错误；C选项，由一元线性回归方程可知，故C正确. 【详解】A选项，在残差图中，残差点比较均匀地落在水平带状区域中，说明选用的模型比较合适，带状区域越窄，说明回归方程的预报精度越高，A正确； B选项，在独立性检验时，两个变量的列联表中，对角线上数据的乘积相差越大，说明“这两个变量没有关系”成立的可能性就越小，B错误； C选项，由于，故在回归直线方程中，当解释变量每增加一个单位时，预报变量就增加0.2个单位，C正确； D选项，越大，意味着残差平方和越小，即模型的拟合效果越好，D正确. 故选：B 统计案例题型06 46．（2024高二下·黑龙江哈尔滨·期中）针对2025年第九届亚冬会在哈尔滨举办，校团委对“是否喜欢冰雪运动与学生性别的关系”进行了一次调查，其中被调查的男、女生人数相同，男生中喜欢冰雪运动的人数占男生人数的，女生中喜欢冰雪运动的人数占女生人数的，若依据的独立性检验，认为是否喜欢冰雪运动与学生性别有关，则被调查的学生中男生的人数不可能是（     ） 附:. 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 A．48 B．54 C．60 D．66 【答案】A 【分析】根据已知条件设男生人数为，结合独立性检验公式得出不等式，根据的取值，即可求解. 【详解】设男生人数为，因为被调查的男、女生人数相同， 所以女生人数也为，根据题意列出列联表： 男生 女生 合计 喜欢冰雪运动 不喜欢冰雪运动 合计 则， 因为依据的独立性检验，认为是否喜欢冰雪运动与学生性别有关， 所以，即，解得，又， 所以B、C、D正确，A错误. 故选：A 47．（23-24高二下·黑龙江牡丹江·期中）某加盟连锁店总部对旗下600个加盟店中每个店的日销售额（单位：百元）进行了调查，如图是随机抽取的50个加盟店的日销售额的频率分布直方图．若将日销售额在的加盟店评定为“四星级”加盟店，日销售额在的加盟店评定为“五星级”加盟店． (1)根据上述调查结果，估计这50个加盟店日销售额的平均数和中位数（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表，结果精确到0.1）； (2)若该加盟连锁店总部旗下所有加盟店的日销售额，其中近似为（1）中的样本平均数，根据的分布估计这600个加盟店中“五星级”加盟店的个数（结果精确到整数）；（参考数据：若，则，，．） (3)该加盟连锁店总部决定对样本中“四星级”及“五星级”加盟店进一步调研，现从这些加盟店中随机抽取3个，设为抽取的“五星级”加盟店的个数，求的概率分布列与数学期望． 【答案】(1)平均数为13.0百元，中位数为13百元 (2)14 (3)分布列见解析，1 【分析】（1）由平均数和中位数的计算公式计算即可得出答案； （2）由（1）知，，由正态分布的性质求出的概率，即可求出这600个加盟店中“五星级”加盟店的个数； （3）求出Y的所有可能取值和每个变量对应的概率，即可求出Y的分布列，再由期望公式求出Y的数学期望. 【详解】（1）由频率分布直方图得样本中日销售额为，，，，，， 的频率分别为0.08，0.10，0.20，0.24，0.20，0.12，0.06， ∴估计这50个加盟店日销售额的平均数为： （百元）． ∵，， ∴中位数在内，设中位数为x百元， 则，解得． ∴估计中位数为13百元． （2）由（1）知， ∵，， ∴， ∴估计这600个加盟店中“五星级”加盟店的个数为． （3）由（1）得样本中“四星级”加盟店有（个），“五星级”加盟店有（个）， ∴Y的所有可能取值为0，1，2，3， ，， ，． ∴Y的概率分布列为 Y 0 1 2 3 P ∴． 48．（23-24高二下·黑龙江牡丹江·期中）某地区100位居民的人均月用水量（单位：）的分组及各组的频数如下：                            (1)列出样本的频率分布表； (2)补全频率分布直方图，并根据直方图估计这组数据的平均数、中位数、众数；（同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值为代表） (3)当地政府制定了人均月用水量为的标准，若超出标准加倍收费，当地政府说，以上的居民不超过这个标准，这个解释对吗？为什么？ 【答案】(1)分布表见解析； (2)频率分布直方图见解析；平均数为2.02，中位数为2.02，众数为2.25； (3)政府的解释是正确的，原因见解析. 【分析】（1）根据100位居民的人均月用水量（单位：）的分组及各组的频数列出频率分布表. （2）根据（1）的频率分布表画出直方图，根据众数、中位数和平均数定义求解. （3）先算出人均月用水量在以上的居民所占的比例即可. 【详解】（1）频率分布表如下： 分组 频数 频率 4 0.04 8 0.08 15 0.15 22 0.22 25 0.25 14 0.14 6 0.06 4 0.04 2 0.02 合计 100 1 （2）频率分布直方图如图： 平均数： . 中位数：用水量在的频率为：， 所以中位数为. 众数为：. （3）因为人均月用水量在以上的居民所占的比例为， 即大约有的居民月用水量在以上， 的居民月用水量在以下， 因此政府的解释是正确的. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 概率，统计和计数原理 题型概览 题型01 二项式定理及其应用 题型02排列组合及其应用 题型03随机变量及其分布 题型04条件概率 题型05统计 题型06统计案例 二项式定理及其应用题型01 1．（23-24高二下·黑龙江齐齐哈尔·期中）若的展开式中的系数为 ．（用数字作答） 2．（23-24高二下·黑龙江哈尔滨·期中）的展开式中，的系数为（    ）． A． B． C． D． 3．（23-24高二下·黑龙江牡丹江·期中）展开式的二项式系数和64，则展开式中的有理项个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 4．（23-24高二下·黑龙江哈尔滨·期中）若的展开式中所有项的二项式系数之和为16，则其展开式中的常数项为（    ）． A．4 B． C．6 D． 5．（23-24高二下·黑龙江绥化·期中）下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．精确到0.01的近似值为0.85 D．除以15的余数为1 6．（23-24高二下·黑龙江哈尔滨·期中）已知，则（    ） A． B． C．此二项式展开式的二项式系数和为64 D．展开式中二项式系数最大的项为第3项 7．（23-24高二下·黑龙江·期中）已知的二项展开式中二项式系数之和为64，下列结论正确的是（    ） A．二项展开式中各项系数之和为 B．二项展开式中二项式系数最大的项为第四项 C．二项展开式中有3个有理项 D．二项展开式中系数最大的项为 8．（23-24高二下·黑龙江哈尔滨·期中）“杨辉三角”是二项式系数在三角形中的一种几何排列，在中国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中就有出现.如图所示，在“杨辉三角”中，除每行两边的数都是1外，其余每个数都是其“肩上”的两个数之和，例如第4行的6为第3行中两个3的和.则下列命题中正确的是（    ） A．在“杨辉三角”第9行中，从左到右第7个数是84 B．由“第行所有数之和为”猜想： C．在“杨辉三角”中，当时，从第2行起，每一行的第3列的数字之和为284 D．在“杨辉三角”中，第行所有数字的平方和恰好是第行的中间一项的数字 9．（23-24高二下·黑龙江·期中）已知的展开式中，第3项的二项式系数与第2项的二项式系数的比为． (1)求n的值， (2)求展开式中的常数项； (3)求展开式中含的项的系数． 10．（23-24高二下·黑龙江齐齐哈尔·期中）已知的展开式中所有项的系数之和为. (1)求展开式中的系数； (2)求展开式中二项式系数最大的项. 11．（23-24高二下·黑龙江齐齐哈尔·期中）设的第项系数为. (1)当时，求的最大值； (2)表示的整数部分，，求的值.. 排列组合及其应用题型02 12．（23-24高二下·黑龙江齐齐哈尔·期中） . 13．（23-24高二下·黑龙江哈尔滨·期中）（    ） A．84 B．83 C．70 D．69 14．（23-24高二下·黑龙江哈尔滨·期中）从4名学生中挑选2人，分别担任正、副班长，则不同的安排方案有（    ）种． A．6 B．12 C．16 D．20 15．（23-24高二下·黑龙江牡丹江·期中）某企业召集6个部门的员工座谈，其中A部门有2人到会，其它5个部门各有1人到会，座谈会上安排来自不同部门的3人按顺序发言，则不同的安排方法种数为 ． 16．（23-24高二下·黑龙江哈尔滨·期中）从集合中依次任取两数，组成复数，其中虚数有（    ） A．30个 B．42个 C．36个 D．35个 17．（23-24高二下·黑龙江齐齐哈尔·期中）某公司清明有三天假期，现安排甲、乙、丙、丁、戊5人值班，每人只值班1天，每天至少有1人值班，且甲、乙不在同一天值班，则不同的值班安排共有（    ） A．72种 B．114种 C．120种 D．144种 18．（23-24高二下·黑龙江牡丹江·期中）从2至7的6个整数中随机取3个不同的数，则这三个数作为边长可以构成三角形的概率为（    ） A． B． C． D． 19．（23-24高二下·黑龙江哈尔滨·期中）现有8个市三好学生名额分给六个班，其中一班和二班每班至少2个名额，三班和四班每班至少1个名额，五班和六班可以不分配名额，则名额分配方式共有（    ）种． A．21 B．56 C．70 D．126 20．（23-24高二下·黑龙江哈尔滨·期中）如图，给六个点涂色，现有五种不同的颜色可供选用，要求每个点涂一种颜色，且每条线段的两个端点涂不同颜色，则不同的涂色方法有（    ）种． A．1440 B．1920 C．2160 D．3360 21．（23-24高二下·黑龙江齐齐哈尔·期中）若一个三位数中十位上的数字比百位上的数字和个位上的数字都小，则称这个数为“凹数”，如213、435等都是“凹数”，用1，2，3，4，5这五个数字组成无重复数字的三位数，则（    ） A．组成的三位数的个数为60 B．在组成的三位数中，各位数字之和为9的个数为6 C．在组成的三位数中，比300大的个数为36 D．在组成的三位数中，“凹数”的个数为24 22．（23-24高二下·黑龙江牡丹江·期中）由数字组成的比1300大且没有重复数字的正整数的个数是 ． 23．（23-24高二下·黑龙江哈尔滨·期中）一张餐桌上有6盘不同的菜，甲、乙、丙3名同学每人从中各取1盘菜，不同的取法共有 种． 24．（23-24高二下·黑龙江哈尔滨·期中）某地教育局准备从本地区选聘6位教育家型教师到外地3所学校支教，要求每所学校至少去1位教师，每位教师只能去1所学校，且甲乙两位教师必须去同一所学校，则不同的分配方案种数为 ． 25．（23-24高二下·黑龙江哈尔滨·期中）如图，某城市的街区由12个全等的矩形组成（实线表示马路），段马路由于正在维修，暂时不通，则从到的最短路径有 条. 26．（23-24高二下·黑龙江牡丹江·期中）产品抽样检查中经常遇到一类实际问题，假定在件产品中有件不合格品，在产品中随机抽件做检查，发现件不合格品的概率为，其中是与中的较小者，在不大于合格品数（即）时取0，否则取与合格品数之差，即 根据以上定义及分布列性质，请计算当时， ；若，请计算 .（两空均用组合数表示） 27．（23-24高二下·黑龙江齐齐哈尔·期中）从3位女生，4位男生中选出3人参加校园大扫除活动. (1)共有多少种不同的选择方法？ (2)如果至少有1位女生人选，共有多少种不同的选择方法？ 28．（23-24高二下·黑龙江齐齐哈尔·期中）某班级举行元旦文艺晚会，晚会有3个唱歌节目和3个小品节目. (1)若第一个节目是小品节目，有多少种排法？ (2)若3个唱歌节目要排在一起，有多少种排法？ 随机变量及其分布题型03 29．（23-24高二下·黑龙江绥化·期中）已知随机变量的分布列为 5 10 15 则（    ） A． B． C． D． 30．（23-24高二下·黑龙江牡丹江·期中）若是离散型随机变量，，，又已知，，则的值为 ． 31．（23-24高二下·黑龙江齐齐哈尔·期中）某同学会做老师给出的6道题中的4道，现从这6道题中选3道让该同学做，规定至少做出2道才能及格，试求：选出的3题中该同学会做的题目数的分布列． 32．（23-24高二下·黑龙江牡丹江·期中）现有一批疫苗试剂，拟进入动物试验阶段，将对一组动物（共10只）进行试验．第一轮注射，对该组的每只动物都注射一次，若检验出该组中有9只或10只动物产生抗体，说明疫苗有效，试验终止；否则对没有产生抗体的动物进行第二轮注射，再次检验．如果被二次注射的动物都产生抗体，说明疫苗有效，否则需要改进疫苗．设每只动物是否产生抗体相互独立，两次注射疫苗互不影响，且产生抗体的概率均为．若试验只需一轮注射的概率为，需要注射第二轮的概率为，且该组中某一只动物在这次试验中只被注射一次的概率为（均用含的多项式表示），再设该组动物总共需要注射的次数的数学期望为，则（    ） A． B． C． D． 条件概率题型04 33．（23-24高二下·黑龙江大庆·期中）工厂有甲，乙，丙三个车间生产同一产品，已知各车间的产量分别占全厂产量的，，，并且各车间的次品率依次为，，.现从该厂这批产品中任取一件. (1)求取到次品的概率； (2)若取到的是次品，则此次品由甲车间生产的概率是多少? 34．（23-24高二下·黑龙江哈尔滨·期中）甲、乙两名游客慕名来到哈尔滨旅游，准备分别从中央大街、圣索菲亚大教堂、太阳岛、东北虎园林、龙塔这5个景点中随机选一个游玩．设事件A为“两人至少有一人选择中央大街”，事件B为“两人选择的景点不同”，则（    ）． A． B． C． D． 35．（23-24高二下·黑龙江哈尔滨·期中）某地区气象台统计，该地区下雨的概率为，已知下雨的条件下，刮风的概率为，则既刮风又下雨的概率为 ． 36．（23-24高二下·黑龙江哈尔滨·期中）设，是一个随机试验中的两个事件，且，，，则下列说法正确的是（    ）． A． B． C． D． 37．（23-24高二下·黑龙江·期中）掷一个均匀的骰子．记A为“掷得点数小于5”，B为“掷得点数为奇数”，则为（    ） A． B． C． D． 38．（17-18高二下·黑龙江齐齐哈尔·期末）2023年4月5日是我国的传统节日“清明节”.这天，王华的妈妈煮了五个青团子，其中两个肉馅，三个豆沙馅，王华随机拿了两个青团子，若已知王华拿到的两个青团子为同一种馅，则这两个青团子都为肉馅的概率为（    ） A． B． C． D． 39．（23-24高二下·黑龙江鸡西·期中）甲､乙两位学生心仪某中学已久，所以这两名学生准备分别从教学南楼､教学北楼､活动中心和学生劳动实践基地四个地点中随机选择一个考察参观，事件甲和乙至少一人选择活动中心考察参观，事件：甲和乙选择的地点不同，则（    ） A． B． C． D． 40．（23-24高二下·黑龙江鸡西·期中）下列选项中正确的是（    ） A．已知随机变量服从二项分布，则 B．口袋中有大小相同的7个红球､2个蓝球和1个黑球，从中任取两个球，记其中红球的个数为随机变量，则的数学期望 C．对标有不同编号的6件正品和4件次品的产品进行检测，从中任取2件，已知其中一件为正品，则另一件也为正品的概率是 D．某学校有2023名学生，其中男生1012人，女生1011人，现选派10名学生参加学校组织的活动，记男生的人数为X，则X服从超几何分布 41．（23-24高二下·黑龙江哈尔滨·期中）某运动队共有12名运动员，其中一级运动员6名，二级运动员4名，三级运动员2名．现举办奥运选拔赛，一、二、三级运动员晋级的概率分别为0.75，0.5，0.25． (1)从这12名运动员中选4人参加奥运选拔赛，已知所选4人中一、二、三级运动员都有入选，求一级运动员人数最多的概率； (2)从这12名运动员中任选1人参加奥运选拔赛，求其能够晋级的概率． 统计题型05 42．（23-24高二下·黑龙江牡丹江·期中）设样本数据的平均数为，方差为，若数据，，，的平均数比方差大4，则的最大值是 ． 43．（23-24高二下·黑龙江绥化·期中）某研究机构对高三学生的记忆力和判断力进行统计分析，得表数据. 6 8 10 12 2 3 5 6 请根据上表提供的数据，求出关于的线性回归方程 ，据此可预测判断力为的同学的记忆力为 . （回归直线方程是：，其中，） 44．（23-24高二下·黑龙江牡丹江·期中）某单位有职工750人，其中青年职工350人，中年职工250人，老年职工150人，为了了解该单位职工的健康情况，用按比例分层随机抽样的方法从中抽取样本，若样本中的青年职工为7人，则样本容量为（    ） A．15 B．25 C．35 D．75 45．（23-24高二下·黑龙江牡丹江·期中）下列说法错误的是（    ） A．在残差图中，残差点比较均匀地落在水平带状区域中，说明选用的模型比较合适，带状区域越窄，说明回归方程的预报精度越高 B．在独立性检验时，两个变量的列联表中，对角线上数据的乘积相差越大，说明“这两个变量没有关系”成立的可能性就越大 C．在回归直线方程中，当解释变量每增加一个单位时，预报变量就增加0.2个单位 D．越大，意味着残差平方和越小，即模型的拟合效果越好 统计案例题型06 46．（2024高二下·黑龙江哈尔滨·期中）针对2025年第九届亚冬会在哈尔滨举办，校团委对“是否喜欢冰雪运动与学生性别的关系”进行了一次调查，其中被调查的男、女生人数相同，男生中喜欢冰雪运动的人数占男生人数的，女生中喜欢冰雪运动的人数占女生人数的，若依据的独立性检验，认为是否喜欢冰雪运动与学生性别有关，则被调查的学生中男生的人数不可能是（     ） 附:. 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 A．48 B．54 C．60 D．66 47．（23-24高二下·黑龙江牡丹江·期中）某加盟连锁店总部对旗下600个加盟店中每个店的日销售额（单位：百元）进行了调查，如图是随机抽取的50个加盟店的日销售额的频率分布直方图．若将日销售额在的加盟店评定为“四星级”加盟店，日销售额在的加盟店评定为“五星级”加盟店． (1)根据上述调查结果，估计这50个加盟店日销售额的平均数和中位数（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表，结果精确到0.1）； (2)若该加盟连锁店总部旗下所有加盟店的日销售额，其中近似为（1）中的样本平均数，根据的分布估计这600个加盟店中“五星级”加盟店的个数（结果精确到整数）；（参考数据：若，则，，．） (3)该加盟连锁店总部决定对样本中“四星级”及“五星级”加盟店进一步调研，现从这些加盟店中随机抽取3个，设为抽取的“五星级”加盟店的个数，求的概率分布列与数学期望． 48．（23-24高二下·黑龙江牡丹江·期中）某地区100位居民的人均月用水量（单位：）的分组及各组的频数如下：                            (1)列出样本的频率分布表； (2)补全频率分布直方图，并根据直方图估计这组数据的平均数、中位数、众数；（同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值为代表） (3)当地政府制定了人均月用水量为的标准，若超出标准加倍收费，当地政府说，以上的居民不超过这个标准，这个解释对吗？为什么？ 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$