专题04 解三角形（5大题型）-【好题汇编】备战2024-2025学年高一数学下学期期中真题分类汇编（黑龙江专用）

专题04 解三角形 题型概览 题型01 正、余弦定理 题型02边角互化——正余弦定理的综合应用 题型03三角形的面积公式 题型04解三角形的实际应用 题型05创新综合题 正、余弦定理题型01 1．（23-24高一下·黑龙江绥化·阶段练习）在中，，则（    ） A．4 B． C．3 D． 【答案】C 【分析】先求角B，然后由正弦定理可得. 【详解】因为，所以， 由正弦定理得，解得. 故选：C 2．（23-24高一下·黑龙江齐齐哈尔·期中）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，，则 . 【答案】/ 【分析】根据已知条件直接利用余弦定理求解即可 【详解】由余弦定理知， 因为，所以. 故答案为： 3．（23-24高一下·黑龙江哈尔滨·期中）在中，，，满足此条件有两解，则BC边长度的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据三角形有两解，应满足，化简即可求解. 【详解】∵有两解， ∴，∴， 故选：D． 4．（23-24高一下·黑龙江哈尔滨·期中）的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知，则（    ） A．的外接圆半径为 B． C． D．为锐角三角形 【答案】BC 【分析】对A，由平方关系求出，利用正弦定理运算求出外接圆半径；对B，利用正弦定理求出判断；对C，由余弦定理求解判断；对D，由余弦定理可求得，可判断. 【详解】对于A，因为，所以． 因为，所以，所以的外接圆半径为，故A不正确； 对于B，因为，所以，故B正确； 对于C，因为，所以，即． 因为，所以，故C正确； 对于D，由选项C，，因为，即，所以角是钝角， 所以为钝角三角形，故D不正确． 故选：BC. 5．（23-24高一下·黑龙江大庆·期中）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，S为的面积，，且，则的周长的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用余弦定理结合三角形面积公式求出，利用正弦定理表示，求出周长最大值，进而利用三角形的性质求解即可. 【详解】若，则由余弦定理得， 而由面积公式得，故， 则，则，则， 则有，而在中，可得， 由二倍角公式得，故，， 由正弦定理得，则， 可得， ，而，则， 显然当时，最大，且此时，故， 而易知，综上， 故选：B 【点睛】关键点点睛：本题考查求解三角形，解题关键是求出，然后表示出，由三角函数和三角形性质得到所要求的取值范围即可． 6．（23-24高一下·黑龙江佳木斯·期中）对于有如下命题，其中正确的是（    ） A．若，则一定为等腰三角形 B．若，则为钝角三角形 C．若，则解的个数为0 D．若，则的面积为 【答案】ABC 【分析】由正弦定理的边角互化即可判断AB，由正弦定理代入计算，即可判断C，由余弦定理代入计算，即可求得或，再由三角形的面积公式即可判断D 【详解】A.因为，由正弦定理可得，所以为等腰三角形，故A正确； 因为，则， B.由正弦定理可得，则，即为钝角， 所以为钝角三角形，故B正确； C.因为，由正弦定理可得， 满足条件的三角形不存在，所以解的个数为0，故C正确； D.因为，由余弦定理可得， 化简可得，解得或， 所以或，故D错误. 故选：ABC 7．（23-24高一下·黑龙江哈尔滨·期中）对于，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，则一定为等腰三角形 C．若，则一定为直角三角形 D．若，则一定为钝角三角形 【答案】ACD 【分析】利用正弦定理和大边对大角可判断A；取可判断B；先用正弦定理边化角，再根据和差公式化简，然后由正弦定理角化边可判断C；根据已知可判断中至少有一个为负数，然后结合的范围可判断D. 【详解】对于A，由正弦定理角化边得，由大边对大角可得，A正确； 对于B，取，则，B错误； 对于C，若，则， 正弦定理边化角得， 角化边得，即，为直角三角形，C正确； 对于D，因为，所以角最多有一个钝角， 若，则中至少有一个为负数， 即中必有一个为钝角，D正确. 故选：ACD 8．（23-24高一下·黑龙江牡丹江·期中）如图，在三角形中，若，，，则的长度的最大值为 .      【答案】6 【分析】先根据正弦定理和余弦定理得到，由基本不等式得到，求出，，为等边三角形，设，表达出，，，在中，由余弦定理可得，从而得到答案. 【详解】， 由正弦定理得， 由余弦定理得，代入上式中， ， 整理可得， 又，当且仅当，即时，等号成立， 故， 由于，所以， 因为，所以， 又此时，故为等边三角形， 设， 那么由余弦定理得 ， 即，故， 在中，由正弦定理得，即， 整理得， 因为，所以为锐角，那么， 则， 在中，由余弦定理可得， 所以 ， 当且仅当时，等号成立， 所以的最大值为6. 故答案为：6 【点睛】解三角形中最值或范围问题，通常涉及与边长，周长有关的范围问题，与面积有关的范围问题，或与角度有关的范围问题， 常用处理思路：①余弦定理结合基本不等式构造不等关系求出答案； ②采用正弦定理边化角，利用三角函数的范围求出最值或范围，如果三角形为锐角三角形，或其他的限制，通常采用这种方法； ③巧妙利用三角换元，实现边化角，进而转化为正弦或余弦函数求出最值. 9．（23-24高一下·黑龙江绥化·期中）（1）记的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知．求A； （2）在中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，，求角B的大小． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）利用正弦定理将边化角，即可求出，从而得解； （2）利用正弦定理将角化边，然后利用余弦定理求出，从而得解 【详解】（1）在中， 由正弦定理及， 得，又， 所以，因为， 所以； （2）由正弦定理及， 得，又，又， 所以 10．（23-24高一下·黑龙江大庆·期中）已知a，b，c分别为三个内角A，B，C的对边，且． (1)求； (2)若的面积为，求的周长． 【答案】(1) (2)10 【分析】（1）根据给定条件，利用正弦定理边化角，再借助和角的正弦公式求解作答. （2）由（1）的结论，利用三角形面积公式、余弦定理求出即可作答. 【详解】（1），由正弦定理可得， 因， 所以，可得， 为三角形内角，，解得，； （2）， ， 由余弦定理得， 即，解得， 的周长为. 边角互化——正余弦定理的综合应用题型02 11．（23-24高一下·黑龙江绥化·期中）已知的内角所对的边分别为，，，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据余弦定理和特殊角的三角函数值解出答案； 【详解】因为，余弦定理可得 ， 解得. 故选：C. 12．（23-24高一下·黑龙江哈尔滨·期中）在锐角三角形ABC中，，，则周长的取值范围是（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】借助三角形面积公式和余弦定理化简已知，可求出角，然后根据正弦定理和三角形内角和将周长用表示，结合三角恒等变化和三角函数图象即可求得范围. 【详解】根据题意，， 由三角形面积公式和余弦定理可得， ， 即， 整理得，，即， 在锐角三角形ABC中，， 因为根据正弦定理， 所以， 因为三角形周长为， 又因为，所以， 所以 ， 因为，即， 所以， 即，， 所以. 故选：C. 13．（23-24高一下·黑龙江哈尔滨·期中）在中，A，B，C的对边分别是，，则角 ． 【答案】 【分析】根据正弦定理边角互化，结合和差角公式可得，即可求解. 【详解】由正弦定理可得, 又, 故, 则， 由于,故, 由于，故， 故答案为： 14．（23-24高一下·黑龙江牡丹江·期中）的内角，，的对边分别为，，，其外接圆半径为，下列结论正确的有（    ） A．若是的重心，则 B．是所在平面内一点，若，则的面积是的面积的2倍 C．若，则是等腰三角形 D．若，，则的外接圆半径 【答案】ABD 【分析】根据重心的性质及平面向量线性运算法则判断A；利用向量加法的平行四边形法则，结合平行关系探讨面积判断B；利用正弦定理、余弦定理计算判断C；利用和差角的余弦公式、结合正弦定理计算判断D. 【详解】对于A，如图设为的中点，点为的重心， 则，即，即，A正确； 对于B，令，则， 由平行四边形法则得，，则，同理， 所以的面积是的面积的2倍，B正确； 对于C，由，得，整理得， 由余弦定理得，整理得，则是直角三角形，C错误； 对于D，由，得，由，得， 即， ， 由正弦定理，得， 即，解得，D正确. 故选：ABD 15．（23-24高一下·黑龙江佳木斯·期中）的内角，，的对边分别为，，，已知. (1)求； (2)若，，求； (3)若，，求边上的高. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用正弦定理将边化角，再由两角和的正弦公式求出，即可得解； （2）首先求出，再由正弦定理计算可得； （3）利用余弦定理求出，再由计算可得. 【详解】（1）因为， 由正弦定理可得， 又， 所以， 所以， 又，所以，所以， 又，所以. （2）因为，，所以， 由正弦定理，即，解得； （3）因为，，， 由余弦定理， 所以， 又， 即，解得. 16．（23-24高一下·黑龙江佳木斯·期中）在中，已知，则此三角形的形状为（    ） A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 【答案】B 【分析】由正弦定理把给定等式化成边的比值关系，再用余弦定理计算最大边的余弦即可得解. 【详解】设三内角A，B，C所对边分别为a，b，c， 由正弦定理可得，令， 显然边c最大，由余弦定理得， 所以C是钝角，选项B正确. 故选：B 17．（23-24高一下·黑龙江大庆·期中）在中，角所对的边分别是，且满足． (1)求角； (2)求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用正弦定理进行边角互化，结合辅助角公式进行求解； （2）对待求表达式使用正弦定理边角互化，得到，然后消去一个变量，使得原式是关于的三角函数表达式，结合二倍角公式，二次函数的知识点求解. 【详解】（1），由正弦定理得， ， 因为， 所以， 即， 因为，所以，故， 所以， 因为，所以， 故，解得； （2）由（1）知，根据正弦定理， 则 ， 令， 因为，所以，， 则， 故当时，取得最小值，最小值为， 当时，取得最大值，最大值为， 故的取值范围是. 三角形的面积公式题型03 18．（23-24高一下·黑龙江哈尔滨·期中）在△ABC中，已知∠BAC＝60°，BC＝3，点D是BC上的点，AD平分∠BAC.若AD＝2，则△ABC的面积为 . 【答案】/ 【分析】利用等面积法及余弦定理列方程组求解，再代入三角形面积公式即可. 【详解】在△ABC中，设、、的对边分别为， 在△ABC中，由余弦定理可得：，   ① 因为，所以，    ② ②平方得：，   ③ 联立①③可得：， 所以. 故答案为： 19．（23-24高一下·黑龙江哈尔滨·期中）已知内角，，，的对边分别为，，，且. (1)求角； (2)若，的面积为，求，的值. 【答案】(1) (2)2，2 【分析】（1）首先化简等式，再根据余弦定理求角； （2）根据面积公式和余弦定理求边长. 【详解】（1）由， 可知，，即， 即，, 即； （2），即， 根据余弦定理，， 即，得， 由，得. 所以 20．（23-24高一下·黑龙江哈尔滨·期中）在中，内角的对边分别为，且. (1)求的值； (2)求及的面积. 【答案】(1) (2)， 【分析】（1）由余弦定理得的值； （2）由得到的值，由三角形面积公式得到的面积. 【详解】（1）由余弦定理得. （2）因为，所以， . 21．（23-24高一下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则的最大值为（    ） A．2 B．4 C． D． 【答案】B 【分析】利用三角形的面积公式可求得，由余弦定理可得，利用两角和的正弦公式可求，进而利用正弦函数的性质即可求解其最大值． 【详解】因为的面积为，可得， 又由余弦定理可得， 所以， 因为，则，所以，所以， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最大值为4． 故选：B. 22．（23-24高一下·黑龙江大庆·期中）如图，半圆的直径为为直径延长线上的点，为半圆上任意一点，以AB为一边作等边三角形ABC．设．    (1)当时，求四边形OACB的周长； (2)著作《天文集》中涉及如下定理：任意凸四边形中，两条对角线的乘积小于或等于两组对边乘积之和，当且仅当对角互补时取等号，根据以上材料，则当线段OC的长取最大值时，求． (3)求四边形OACB的面积最大值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）结合已知利用余弦定理可求，即可得到所求四边形的周长； （2）由已知条件分析出的最大值并得到，之间的关系，由此借助余弦定理求解出的长度，再利用余弦定理即可求解出的大小； （3）先由余弦定理求，再由三角形的面积公式和等边三角形的面积公式，结合辅助角公式和正弦函数的最值，可得所求结论． 【详解】（1）在中，由余弦定理得， 即，于是四边形OACB的周长为； （2）因为，且为等边三角形，，，    所以，所以， 即OC的最大值为3，取等号时， 所以， 不妨设， 则，解得， 所以， 所以； （3）在中，由余弦定理得， 所以，， 于是四边形OACB的面积为 ， 当，即时，四边形OACB的面积取得最大值为， 所以，当B满足时，四边形OACB的面积最大，最大值为. 解三角形的实际应用题型04 23．（23-24高一下·黑龙江牡丹江·期中）“不以规矩，不能成方圆”出自《孟子・离娄章句上》.“规”指圆规，“矩”指由相互垂直的长短两条直尺构成的方尺，是古人用来测量、画圆和方形图案的工具.敦煌壁画就有伏羲女娲手执规矩的记载（如图（1））今有一块圆形木板，以“矩”量之，如图（2）.若将这块圆形木板截成一块四边形形状的木板，且这块四边形木板的一个内角满足，则这块四边形木板周长的最大值为 （单位：厘米） 【答案】 【分析】作出图形，利用余弦定理结合基本不等式可求得这个矩形周长的最大值. 【详解】由题图（2）得，圆形木板的直径为. 设截得的四边形木板为，设，，，，，，如下图所示. 由且可得， 在中，由正弦定理得，解得. 在中，由余弦定理，得， 所以，， 即，可得，当且仅当时等号成立. 在中，， 由余弦定理可得 ， 即，即，当且仅当时等号成立， 因此，这块四边形木板周长的最大值为. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：解答本题的关键是将四边形周长问题转化为三角形边长和的范围，利用余弦定理和基本不等式求解即可. 24．（23-24高一下·黑龙江哈尔滨·期中）如图所示，某海域在A，B两处分别设有停靠码头，B在A北偏东30°相距海里处，现由甲，乙两艘货船分别从A，B两处向C处航行．甲货船从A处以海里/小时的速度沿着正东方向行驶，乙货船从B处以3海里/小时的速度向沿东偏南45°的方向行驶，当航行至1小时，甲货船到达E处，乙货船到达F处，此时乙货船因故障停止航行并发出求救信号，甲接到信号后立即掉转方向并以海里/小时的速度行至F处施展抢修工作． (1)求码头B和甲船位置E处相距多少海里． (2)若抢修工作共经历1小时，抢修结束后乙船仍以原速度驶向C处，则自乙船从B处出发到乙船行至C处为止，共经过了多长时间， 【答案】(1) (2)小时 【分析】（1）在中，由余弦定理解三角形得. （2）在中，解三角形得，得到，在中，由余弦定理解三角形得，在中由正弦定理求得，结合已知即可求得结果. 【详解】（1）由题意知 在中， 由余弦定理得 所以 （2）由题意， 在中， 由正弦定理得，即 所以（舍去） 所在 又 在中， 由余弦定理得 ， ∴甲接到信号后行至F，用时为小时， 在中， , 由正弦定理得，即,解得： ， 则抢修结束后乙船仍以原速度驶向C处，用时为小时， ∴自乙船从B处出发到乙船行至C处为止，共用时为小时. 25．（23-24高一下·黑龙江齐齐哈尔·期中）如图所示，为了测量两岛屿间的距离，小胡同学在处观测到分别在处的北偏西，北偏东方向.再往正东方向行驶100海里至处，观测到在处的北偏西方向，在处的北偏东方向，则两岛屿间的距离约为（    ）（参考数据：） A．169.50海里 B．175.10海里 C．182.30海里 D．191.40海里 【答案】A 【分析】根据题意求出，，，在中利用正弦定理可求得，然后在中利用勾股定理可求得结果. 【详解】在中，由题意得， 所以，. 在中，由题意得，，所以， 由正弦定理得， 所以. 在中，，， 所以海里. 故选：A. 26．（23-24高一下·黑龙江哈尔滨·期中）圣·索菲亚教堂是哈尔滨的标志性建筑，其中央主体建筑集球、圆柱、棱柱于一体，极具对称之美．为了估算圣·索菲亚教堂的高度，某人在教堂的正东方向找到一座建筑物，高约为，在它们之间的地面上的点（三点共线）处测得建筑物顶、教堂顶的仰角分别是和，在建筑物顶处测得教堂顶的仰角为，则可估算圣索菲亚教堂的高度约为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意求得，在中由正弦定理求出，即可在直角中求出. 【详解】由题可得在直角中，，，所以， 在中，，， 所以， 所以由正弦定理可得，所以， 则在直角中，，即圣·索菲亚教堂的高度约为. 故选：B 27．（23-24高一下·黑龙江哈尔滨·期中）某同学打算测量一座塔ED的高，他在山下A处测得塔尖D的仰角为，再沿AC方向前进20米到达山脚点B，测得塔尖点D的仰角为，塔底点E的仰角为，那么在下列选项中，塔高最接近（    ）米．（参考数据：，） A．31.33 B．31.94 C．32.45 D．33.21 【答案】A 【分析】根据给定条件，利用正弦定理求出，再结合直角三角形边角关系求解即得. 【详解】在中，，则，， 由正弦定理得，则， 在中，，则， 在中，，则，又， 因此，， 所以塔高约为31.33米. 故选：A 创新综合题题型05 28．（23-24高一下·黑龙江哈尔滨·期中）（1）四点共圆是平面几何中一种重要的位置关系： 如图，，，，四点共圆，为外接圆直径，，，，求与的长度； （2）古希腊的两位数学家在研究平面几何问题时分别总结出如下结论： ①（托勒密定理）任意凸四边形，两组对边的乘积之和不小于两条对角线的乘积，当且仅当该四边形的四个顶点共圆时等号成立． ②（婆罗摩笈多面积定理）若给定凸四边形的四条边长，当且仅当该四边形的四个顶点共圆时，四边形的面积最大． 根据上述材料，解决以下问题： （i）见图1，若，，，，求线段长度的最大值； （ii）见图2，若，，，求四边形面积取得最大值时角的大小，并求出此时四边形的面积． 【答案】（1），；（2）（i）；（ii），四边形的面积的最大值. 【分析】（1）由圆内接四边形的性质可得，由勾股定理可得的值，再由正弦定理可得的值； （2）（i）根据“托勒密定理”表示出边长的关系即可求出. （ii）连接，分别在和利用余弦定理，再结合四点共圆后同角三角函数关系解出角A ，最后由三角形的面积公式得到四边形的面积. 【详解】（1）因为为外接圆直径，，，， 由同弧所对的圆周角相等，可得，， ，所以， 而， 所以， ， 在中，由正弦定理可得， 即； 即，； （2）（i）设，则 ， 由材料可知， ， 即 ， 解得 ， 所以线段长度的最大值为． （ii）由材料可知，当 A、B、C、 四点共圆时，四边形的面积达到最大． 连接，在中，由余弦定理得： ，① 在 中，由余弦定理得： ，② 因为 A、B、C、 四点共圆，所以，从而，③ 由①②③，解得 ， 因为，所以 ． 从而， ， 所以 ． 29．（23-24高一下·黑龙江佳木斯·期中）在中，，，对应的边分别为，，，. (1)求； (2)若为边中点，，求的最大值； (3)奥古斯丁·路易斯·柯西（Augustin Louis Cauchy，1789年-1857年），.法国著名数学家，柯西在数学领域有非常高的造诣，很多数学的定理和公式都以他的名字来命名，如柯西不等式、柯西积分公式.其中柯西不等式在解决不等式证明的有关问题中有着广泛的应用.现在，在（1）的条件下，若，P是内一点，过P作AB，BC，AC垂线，垂足分别为D，E，F，借助于三维分式型柯西不等式：，，，，当且仅当时等号成立.求的最小值. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）先用正弦定理角化边，然后结合余弦定理可以解出. （2）利用余弦定理及基本不等式求出，再由，将两边平方，根据数量积的运算律求出的最大值； （3）将构造出符合三维分式型柯西不等式左边的形式，然后用三维分式型柯西不等式结合余弦定理可解. 【详解】（1）因为， 由正弦定理得， 由余弦定理， 所以，即， 若，等式不成立，则，可得， 因为，所以. （2） 由余弦定理，即，所以，当且仅当时取等号， 所以，当且仅当时取等号， 因为为边中点，所以， 所以 ， 所以，当且仅当时取等号， 所以的最大值为. （3）. 又， 所以. 由三维分式型柯西不等式有. 当且仅当即时等号成立. 由余弦定理得， 所以即，则. 令，则 因为，解得，当且仅当时等号成立. 所以.则. 令，则在上递减， 当即时，有最大值，此时有最小值. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共28页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题04 解三角形 题型概览 题型01 正、余弦定理 题型02边角互化——正余弦定理的综合应用 题型03三角形的面积公式 题型04解三角形的实际应用 题型05创新综合题 正、余弦定理题型01 1．（23-24高一下·黑龙江绥化·阶段练习）在中，，则（    ） A．4 B． C．3 D． 2．（23-24高一下·黑龙江齐齐哈尔·期中）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，，则 . 3．（23-24高一下·黑龙江哈尔滨·期中）在中，，，满足此条件有两解，则BC边长度的取值范围为（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高一下·黑龙江哈尔滨·期中）的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知，则（    ） A．的外接圆半径为 B． C． D．为锐角三角形 5．（23-24高一下·黑龙江大庆·期中）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，S为的面积，，且，则的周长的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．（23-24高一下·黑龙江佳木斯·期中）对于有如下命题，其中正确的是（    ） A．若，则一定为等腰三角形 B．若，则为钝角三角形 C．若，则解的个数为0 D．若，则的面积为 7．（23-24高一下·黑龙江哈尔滨·期中）对于，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，则一定为等腰三角形 C．若，则一定为直角三角形 D．若，则一定为钝角三角形 8．（23-24高一下·黑龙江牡丹江·期中）如图，在三角形中，若，，，则的长度的最大值为 .      9．（23-24高一下·黑龙江绥化·期中）（1）记的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知．求A； （2）在中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，，求角B的大小． 10．（23-24高一下·黑龙江大庆·期中）已知a，b，c分别为三个内角A，B，C的对边，且． (1)求； (2)若的面积为，求的周长． 边角互化——正余弦定理的综合应用题型02 11．（23-24高一下·黑龙江绥化·期中）已知的内角所对的边分别为，，，若，则（    ） A． B． C． D． 12．（23-24高一下·黑龙江哈尔滨·期中）在锐角三角形ABC中，，，则周长的取值范围是（    ）． A． B． C． D． 13．（23-24高一下·黑龙江哈尔滨·期中）在中，A，B，C的对边分别是，，则角 ． 14．（23-24高一下·黑龙江牡丹江·期中）的内角，，的对边分别为，，，其外接圆半径为，下列结论正确的有（    ） A．若是的重心，则 B．是所在平面内一点，若，则的面积是的面积的2倍 C．若，则是等腰三角形 D．若，，则的外接圆半径 15．（23-24高一下·黑龙江佳木斯·期中）的内角，，的对边分别为，，，已知. (1)求； (2)若，，求； (3)若，，求边上的高. 16．（23-24高一下·黑龙江佳木斯·期中）在中，已知，则此三角形的形状为（    ） A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 17．（23-24高一下·黑龙江大庆·期中）在中，角所对的边分别是，且满足． (1)求角； (2)求的取值范围． 三角形的面积公式题型03 18．（23-24高一下·黑龙江哈尔滨·期中）在△ABC中，已知∠BAC＝60°，BC＝3，点D是BC上的点，AD平分∠BAC.若AD＝2，则△ABC的面积为 . 19．（23-24高一下·黑龙江哈尔滨·期中）已知内角，，，的对边分别为，，，且. (1)求角； (2)若，的面积为，求，的值. 20．（23-24高一下·黑龙江哈尔滨·期中）在中，内角的对边分别为，且. (1)求的值； (2)求及的面积. 21．（23-24高一下·黑龙江哈尔滨·期中）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则的最大值为（    ） A．2 B．4 C． D． 22．（23-24高一下·黑龙江大庆·期中）如图，半圆的直径为为直径延长线上的点，为半圆上任意一点，以AB为一边作等边三角形ABC．设．    (1)当时，求四边形OACB的周长； (2)著作《天文集》中涉及如下定理：任意凸四边形中，两条对角线的乘积小于或等于两组对边乘积之和，当且仅当对角互补时取等号，根据以上材料，则当线段OC的长取最大值时，求． (3)求四边形OACB的面积最大值． 解三角形的实际应用题型04 23．（23-24高一下·黑龙江牡丹江·期中）“不以规矩，不能成方圆”出自《孟子・离娄章句上》.“规”指圆规，“矩”指由相互垂直的长短两条直尺构成的方尺，是古人用来测量、画圆和方形图案的工具.敦煌壁画就有伏羲女娲手执规矩的记载（如图（1））今有一块圆形木板，以“矩”量之，如图（2）.若将这块圆形木板截成一块四边形形状的木板，且这块四边形木板的一个内角满足，则这块四边形木板周长的最大值为 （单位：厘米） 24．（23-24高一下·黑龙江哈尔滨·期中）如图所示，某海域在A，B两处分别设有停靠码头，B在A北偏东30°相距海里处，现由甲，乙两艘货船分别从A，B两处向C处航行．甲货船从A处以海里/小时的速度沿着正东方向行驶，乙货船从B处以3海里/小时的速度向沿东偏南45°的方向行驶，当航行至1小时，甲货船到达E处，乙货船到达F处，此时乙货船因故障停止航行并发出求救信号，甲接到信号后立即掉转方向并以海里/小时的速度行至F处施展抢修工作． (1)求码头B和甲船位置E处相距多少海里． (2)若抢修工作共经历1小时，抢修结束后乙船仍以原速度驶向C处，则自乙船从B处出发到乙船行至C处为止，共经过了多长时间， 25．（23-24高一下·黑龙江齐齐哈尔·期中）如图所示，为了测量两岛屿间的距离，小胡同学在处观测到分别在处的北偏西，北偏东方向.再往正东方向行驶100海里至处，观测到在处的北偏西方向，在处的北偏东方向，则两岛屿间的距离约为（    ）（参考数据：） A．169.50海里 B．175.10海里 C．182.30海里 D．191.40海里 26．（23-24高一下·黑龙江哈尔滨·期中）圣·索菲亚教堂是哈尔滨的标志性建筑，其中央主体建筑集球、圆柱、棱柱于一体，极具对称之美．为了估算圣·索菲亚教堂的高度，某人在教堂的正东方向找到一座建筑物，高约为，在它们之间的地面上的点（三点共线）处测得建筑物顶、教堂顶的仰角分别是和，在建筑物顶处测得教堂顶的仰角为，则可估算圣索菲亚教堂的高度约为（    ） A． B． C． D． 27．（23-24高一下·黑龙江哈尔滨·期中）某同学打算测量一座塔ED的高，他在山下A处测得塔尖D的仰角为，再沿AC方向前进20米到达山脚点B，测得塔尖点D的仰角为，塔底点E的仰角为，那么在下列选项中，塔高最接近（    ）米．（参考数据：，） A．31.33 B．31.94 C．32.45 D．33.21 创新综合题题型05 28．（23-24高一下·黑龙江哈尔滨·期中）（1）四点共圆是平面几何中一种重要的位置关系： 如图，，，，四点共圆，为外接圆直径，，，，求与的长度； （2）古希腊的两位数学家在研究平面几何问题时分别总结出如下结论： ①（托勒密定理）任意凸四边形，两组对边的乘积之和不小于两条对角线的乘积，当且仅当该四边形的四个顶点共圆时等号成立． ②（婆罗摩笈多面积定理）若给定凸四边形的四条边长，当且仅当该四边形的四个顶点共圆时，四边形的面积最大． 根据上述材料，解决以下问题： （i）见图1，若，，，，求线段长度的最大值； （ii）见图2，若，，，求四边形面积取得最大值时角的大小，并求出此时四边形的面积． ． 29．（23-24高一下·黑龙江佳木斯·期中）在中，，，对应的边分别为，，，. (1)求； (2)若为边中点，，求的最大值； (3)奥古斯丁·路易斯·柯西（Augustin Louis Cauchy，1789年-1857年），.法国著名数学家，柯西在数学领域有非常高的造诣，很多数学的定理和公式都以他的名字来命名，如柯西不等式、柯西积分公式.其中柯西不等式在解决不等式证明的有关问题中有着广泛的应用.现在，在（1）的条件下，若，P是内一点，过P作AB，BC，AC垂线，垂足分别为D，E，F，借助于三维分式型柯西不等式：，，，，当且仅当时等号成立.求的最小值. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共8页 学科网（北京）股份有限公司 $$